Kumpulan Soal-Soal Ujian


Kumpulan Soal-Soal Ujian
Semester Genap 2006/2007
Angk. 2004 Semester 6
Angk. 2005 Semester 4
Angk. 2006 Semester 2
Matakuliah Wajib Semester 6
Kewarganegaraan Matematika Diskrit
Peng. Analisis Real II Peng. Model Matematika
Peng. Statistika Matematika
Matakuliah Wajib Semester 4
Kalkulus Multivariabel II Peng. Analisis Numerik
Aljabar Linear Kalkulus Lanjut
Fungsi Variabel Kompleks Geometri
Matakuliah Wajib Semester 2
Mekanika A Algoritma & Pemrograman
Kalkulus II Ke-Gadjah-Madaan & Etika Math
Peng. Struktur Aljabar I Geometri Analitik A
Matakuliah Pilihan
Peng. Teori Modul Peng. Topologi
Teori Himpunan Peng. Teori Bilangan
Peng. Teori Kendali Masalah Syarat Batas
Peng. Teori Ukuran & Int. Umum
Ujian Tengah Semester
Kewarganegaraan
Letkol Sus Drs. H.Mardoto, M.T
26 Maret 2007, Open Book
1. Apa yang dimaksud dengan negara menurut pandangan anda?
2. Berikan contoh yang dapat menjelaskan tentang “bukan penduduk” dan “warga
negara asing”.
3. Uraikan pendapat anda tentang hal-hal yang dapat dilakukan pemerintah dalam
menggelorakan semangat/wawasan berbangsa dan bernegara di lingkungan perguruan
tinggi.
4. Jelaskan perbedaan pandangan antara John Locke dan J.J. Rosseau dalam Teori
Perjanjian Masyarakat.
5. Genosida dikelompokkan sebagai salah satu kejahatan kemanusiaan. Uraikan pendapat
anda tentang hal tersebut berdasarkan referensi dengan alasan-alasan yang jelas.
Ujian Akhir Semester
Kewarganegaraan
Letkol Sus Drs. H.Mardoto, M.T
15 Juni 2007, Open Book
1. Dari pendapat para pakar, pejabat dan politikus tentang RUU Keamanan Nasional yang
digagas oleh Pemerintah (Departemen Pertahanan), bagaimanakah kecenderungan
pemikiran mereka (setuju, tidak setuju atau yang lainnya). Sebutkan alasan-alasan yang
mendasari pemikiran tersebut.
2. Uraikan pendapat anda tentang bagaimana mewujudkan/merealisasikan hak dan
kewajiban sebagai Warga Negara Indonesia yang masih berstatus sebagai mahasiswa.
3. Tanggal 27 April 2007 di Gianyar Bali, Indonesia – Singapura telah menandatangani tiga
dokumen perjanjian yaitu Perjanjian Ekstradisi, Kerjasama Pertahanan dan Kerangka
Aturan Daerah Latihan Militer. Jelaskan pendapat anda (sebagai WNI) tentang plus
minus bagi negara kita setelah menandatangani ketiga dokumen terebut ditinjau dari sisi
politik maupun pertahanan (boleh mereferensi pendapat pakar atau pengamat
politik/pertahanan).
4. Beberapa waktu lalu Sultan Hamengkubuwono X telah memutuskan tidak ingin lagi
menjabat sebagai Gubernur DIY mulai tahun 2008. Keputusan ini dipandang para
pengamat terkait RUU Keistimewaan DIY yang tidak segera disahkan DPR-Pemerintah,
padahal konsep RUU telah diajukan tahun 2005. Jelaskan pendapat anda tentang
keputusan Sultan HB X tersebut ditinjau dari bentuk negara kita dan status keistimewaan
DIY (Bentuk Negara RI adalah Republik sedangkan Kesultanan jelas berbentuk
Monarki).
5. Berdasarkan referensi/informasi/pengetahuan tentang materi pendidikan
kewarganegaraan pada perguruan tinggi negara lain (luar Indonesia) yang telah anda
miliki, buatlah perbandingan (plus minusnya) dengan materi pendidikan
kewarganegaraan yang telah anda terima.
6. Dalam era reformasi sekarang ini, banyak orang berdalil bahwa pemilihan pemimpin
apapun, entah itu pemerintahan (bupati, walikota, gubernur, presiden) maupun
keorganisasian (Ketua Partai Politik, Rektor Perguruan Tinggi, Ketua KNPI, dan lainnya)
agar demokratis harus dilakukan pemilihan secara langsung dengan satu orang satu
suara. Sebagai salah seorang Warga Negara Indonesia yang telah belajar materi
demokrasi, bagaimanakah pendapat anda tentang hal tersebut.
Ujian Tengah Semester
Peng. Analisis Real II
Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS
26 Maret 2007, Closed Book
1. a. Jika fungsi f :I ⊂􀁜→􀁜 kontinu pada I, buktikan fungsi f :I→ 􀁜 dengan
f (x) = f(x) juga kontinu pada I.
b. Jika fungsi g:I → 􀁜 dengan g(x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ I , kontinu pada I. Buktikan
fungsi g :I → 􀁜 dengan ( g)(x) = g(x) kontinu pada I.
2. Diberikan interval tertutup terbatas I = [a,b] . Jika fungsi f :I → 􀁜 kontinu pada I
buktikan f terbatas pada I.
3. Buktikan fungsi f(x) 1
x
= kontinu seragam pada (1, ∞)
4. Diberikan interval I, titik c∈I bukan titik ujung interval dan fungsi f :I → 􀁜 turun
monoton pada I. Buktikan
lim ( ) inf { ( ) | , }
x c
fx fx x Ix c → −
= ∈
ii. lim ( ) inf { ( ) | , }
x c
fx fx x Ix c → −
= ∈ t+b|X >b) =P(X >t)
c) Cari median X
3. Gunakan metode MLE untuk mencari estimator parameter dalam distribusi Normal,
kemudian turunkan apakah estimator tersebut mempunyai sifat tak bias?
4. Tulis dan buktikan Teorema Limit Sentral!
5. Variabel Random Y berdistribusi Binomial(n,p). Konstruksikan interval konfidensi
untuk p!
Ujian Tengah Semester
Aljabar Linear
Ari Suparwanto
27 Maret 2007, Closed Book
1. Misalkan 2
T:P1 → 􀁜 adalah fungsi yang didefinisikan dengan rumus
2.
T(p(x)) = (p(0),p(1))
a. Tentukan T(1−2x)!
b. Tunjukkan bahwa T adalah Transformasi Linear!
c. Tentukan basis dari range T !
d. Tunjukkan bahwa T injektif !
e. Tentukan T −1(2,3) !
3. Misalkan S basis untuk ruang vektor V berdimensi n. Tunjukkan
a. { } 1 2 , ,…, r v v v bebas linear di V jika dan hanya jika {( ) ( ) ( ) } 1 2 , ,…, s s r s v v v
bebas linear di 􀁜n !
b. { } 1 2 , ,…, r v v v membangun V jika dan hanya jika {( ) ( ) ( ) } 1 2 , ,…, s s r s v v v
membangun 􀁜n !
4. Tentukan basis untuk ruang bagian dari 2 P yang dibangun oleh {1+x,x2,−2+2×2,−3x}.
5. Diberikan V={(1,x)x∈􀁜} dengan operasi :
(1,y)+(1,y’)=(1,y+y’) dan k.(1,y) = (1,ky) dengan k ∈ 􀁜
Selidiki apakah V dengan operasi tersebut merupakan ruang vektor atas 􀁜 !
Ujian Akhir Semester
Aljabar Linear
Ari Suparwanto
5 Juni 2007, Closed Book
1. a. Misalkan A dan B matriks bujursangkar yang berukuran sama.
Buktikan A dan B similar ilar jika dan hanya jika A− I dan B − I similar.
b. Dengan menggunakan pernyataan pada bagian a., selidiki similaritas dari matriks :
1 0 0
1 1 1
1 0 2
A
⎛ ⎞
=⎜⎜− ⎟⎟
⎜⎝− ⎟⎠
dan
1 1 0
0 1 0
0 0 2
B
⎛ ⎞
=⎜⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. Misalkan ( ) 2 2 x M 􀁜 adalah ruang vektor dari semua matriks berukuran 2×2 atas 􀁜 .
Didefiniskan transformasi linear ( ) ( ) 2 2 2 2 : x x T M 􀁜 →M 􀁜 yaitu T(X) = AXB, dengan :
1 2
1 3
A
⎛ ⎞
=⎜⎝− ⎟⎠
dan
2 1
0 4
B
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
Hitunglah trace dan determinan dari T !
3. Misalkan 3 V=P adalah ruang vektor dari semua polinomial berderajat ≤ 3 atas 􀁜 ,
U={a+b(x−x2)a,b∈􀁜} dan W={c(1+x)+dx3c,d∈􀁜}
Selidiki apakah U W ⊕ atau bukan !
4. Ditinjau 􀁜4 sebagai ruang inner produk Euclid. Tentukan basis ortonormal untuk 􀁜4
yang memuat vektor (1 1 1 1)
1 2 2 2 2 v = , , , sebagai salah satu vektor dalam basis
ortonormalnya!
Ujian Tengah Semester
Kalkulus Multivariabel II
Prof. Dr. Soeparna Darmawijaya
28 Maret 2007, Closed Book
1. a. Persamaan umum bidang datar di dalam ruang 􀁜n dengan vektor arah
( ) 1 2 , ,…, n α = α α α adalah α , x = β . Carilah nilai β agar bidang datar tersebut
melalui titik ( ) 1 2 , ,…, n y= y y y
b. Carilah persamaan luasan bola di dalam ruang 􀁜n yang memiliki titik pusat
α =(1,−2,1, 2) dan berjari-jari 4.
2. Buktikan bahwa fungsi ( ) 1 2 , ,…, n f = f f f dari 􀁜 ke 􀁜n mempunyai limit
( ) 1 2 , ,…, n c= c c c untuk x → a . Jadi lim ( )
x a
f x c

= jika dan hanya jika lim ( ) x a k k
f x c

= untuk
k= 1,2,…,n.
3. Jika f (x) sin 2x,ex 1,tanx
x
=⎛⎜ − − ⎞⎟
⎝ ⎠
dengan x∈[−1, 2],
a) Hitung
0
lim ( )
x
f x

!
b) Cari titik-titik diskontinu dan titik-titik kontinu fungsi f (x) tersebut!
4. Jika F(x,y)=(2xy−x2,y2−4x), P=(0,0),Q=(1,2),R=(1,0) , hitung nilai integral
garis . Q
P
c∫ Fdr jika c memiliki persamaan :
a) Poligon yang menghubungkan P ke R ke Q
b) y= 2x
c) y= 2×2
Ujian Akhir Semester
Kalkulus Multivariabel II
Prof Dr. Soeparna Darmawijaya
6 Juni 2007, Closed Book
Kerjakan 5 dari 7 soal dibawah ini !
1. Jika V1= α,x−α =0 dan 2 V= β,x−β =0 dua persamaan bidang datar di dalam
ruang 􀁜n , maka berkas bidang datar yang dibentuk adalah 1 2 V+λV = 0 (λ suatu
parameter) 1 V = 0 dan 2 V = 0 disebut anggota pokok dan garis perpotongannya disebut
garis pokok. Buktikan bahwa :
a) Setiap nilai λ menentukan suatu anggota dan setiap anggota menentukan satu
nilai λ .
b) Setiap y ∈ 􀁜n dilalui oleh tepat satu anggota.
c) Setiap anggota memuat garis pokok.
2. Jika persamaan f :􀁜→􀁜n mempunyai derivatif di titik a ∈ 􀁜 buktikan bahwa setiap
fungsi komponennya mempunyai derivatif di a pula dan sebaliknya. Lebih lanjut
buktikan pula ( ) 1, 2,…, n ( ) d fa df df df a
dt dt dt dt
=⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠
.
3. Jika kurva C mempunyai persaman ( ) ,2, 2 3
3
r=r t =⎛⎜t t t ⎞⎟
⎝ ⎠
carilah kelengkungan, puntiran,
T,N,Bdi suatu titik.
4. Jika R merupakan bagian luasan parabolaida 2z=x2+y2 yang terletak di bawah bidang
datar z = 2 dan F=F(x,y,z)=(2y,−xz,yz2 ) , hitung nilai integral luasan
R
∫∫∇ ×F•ndS.
5. Jika V benda (daerah) dengan batas-batas bidang-bidang datar 0, x= y=0,z=0 dan
2x+2y+z=6, 1 R luasan kulit benda tersebut dan
F=F(x,y,z)=(2xy+z,y2,− (x+3y)) hitung nilai integral luasan
R1
∫∫F•ndS.
6. Jika F=F(x,y,z)=(3xy,−5z,10x) dan C persamaan r=r(t)=(t2+1,2t2,t3 ), hitung
nilai integral garis . Q
P
c∫ Fdr dengan P= (2, 2,1),Q= (5,8,8) .
7. Diketahui F=F(x,y,z)=(3xy+z3,x2,3xz3)
a) Buktikan bahwa integral garis . Q
P
c∫ Fdr, dengan P= (1,−2,1),Q=(3,1,4) , bebas
lintas.
b) Jika F mempunyai fungsi skalar potensial, carilah fungsi tersebut!
c) Hitung nilai integral garis fungsi tersebut!
Ujian Tengah Semester
Kalkulus Lanjut
Yusuf dan Lina Aryati
28 Maret 2007, Closed Book
1. Diberikan fungsi f:[a,b] → 􀁜 terbatas. Jika untuk setiap ε > 0 , terdapat partisi P pada
[a,b] sedemikian sehingga U(f,P) −L(f,P) < ε , maka f terintegral Riemann pada
[a,b]. Buktikan!
2. Diberikan fungsi :
2, 0 1
3, 1
( )
2, 1 2
2, 2 3
x x
x
f x
x x
x
⎧ ≤ <
= ⎪⎪⎨ =
− + < ≤ ⎪⎪
⎩ < ≤
dan partisi P={0,1−h,1+h, 2−h, 2+h,3} .
a) Hitung U(f,P)−L(f,P)
b) Apakah f terintegral Riemann pada [0,3] ? Jelaskan alasannya!
3. Diberikan fungsi f:[a,b] → 􀁜 terbatas. Jika f turun monoton pada [a,b] maka f
terintegral Riemann pada [a,b]. Buktikan !
4. Diberikan fungsi f:[a,b] → 􀁜 terbatas. Fungsi f terintegral pada [a,x] untuk setiap
x ≤ b dan ( ) ( ) , [ , ]
x
a
F x =∫ f t dt x∈ a b .
Jika f kontinu di 0 x , maka 0 F'(x ) ada dan 0 0 F'(x ) = f(x ) . Buktikan!
Ujian Akhir Semester
Kalkulus Lanjut
Yusuf dan Lina Aryati
15 Juni 2007, Closed Book
1. Diberikan fungsi f :[−2,3]→􀁜 dengan rumus :
2 2, 2 1
( ) 3, 1 2
2 1, 2 3
t t
f x t t
t t
⎧ − − ≤ <−
⎪ = + − ≤ ≤ ⎨⎪
⎩ + < ≤
Jika [ ]
2
( ) ( ) , 2,3
x
F x f t dt x

=∫ ∈ − , tentukan :
a) Rumus 0 F(x ) secara eksplisit
b) 0 F'(x )
2. Diberikan deret suku positif
1
n
n
a

= Σ
. Jika lim n 1
n
n
a r
a
+
→∞
= , dengan r 0 sehingga
f (z) =c, untuk setiap z∈D, maka tunjukkan f konstan pada D.
Hint: Karena f (z).f(z) =c2 maka
2
( )
( )
f z c
f z
= .
4. Diketahui 4 2 ( )
f z ez
z z
=
+
. Hitunglah integral garis ( )
C
c∫ f z dz, jika
a) C lintasan positif berbentuk segi empat dengan titik-titik sudut 1±2i dan −1±2i .
b) C: 3
z+i = 2 arah positif.
5. Perderetkan secara Laurent ( )
( ) 2
ln 1
f z z
z

=

pada 0< z
H {A 2 (A P),(Q P) 0} − = ∈􀁜 − − ⊥ <
Buktikan bahwa H− konveks.
Kemudian tentukan bidang H− jika titik P = (−1, 2) dan Q = (3, 4) !
Semua soal harus disertai gambar yang lengkap !
Ujian Tengah Semester
Peng. Analisis Numerik
Lina Aryati
3 April 2007, Closed Book
1. a. Apa yang anda dapat simpulkan tentang fungsi ( ) 1 fx= −sinx dan
( ) cos2
1 sin
g x x
x
=
+
?
b. Fungsi mana yang anda pilih untuk menghitung pendekatan nilai fungsi untuk x
mendekati 2
π ? Mengapa?
c. Fungsi mana yang anda pilih untuk menghitung pendekatan nilai fungsi untuk x
mendekati 3
2
π ? Mengapa?
2. a. Misalkan 1P(x) merupakan interpolasi linear yang melewati dua data ( , ( )) o o x f x dan
( ) 1 1 x, f(x) . Jika f ‘ dan f ” ada dan kontinu pada [ ] 0 1 x , x , maka terdapat β dengan
0 1 x <β < x sehingga
( )( ) 0 1
1 ( ) ( ) ( ) ”( )
2!
x x x x
e x f x P x f β
− −
= − = , untuk setiap
[ ] 0 1 x ∈ x ,x . Buktikan!
b. Diberikan data yang berasal dari f (x) = lnx berikut
Tentukan polinom berderajad dua yang menginterpolasi data diatas. Kemudian
gunakan untuk menghitung nilai pendekatan dari ln (0,3). Dengan menghitung
f ”'(0, 25) , tentukan nilai pendekatan untuk e(0,3) !
3. Dengan menggunakan metode Bisection sebanyak 4 langkah (n = 4), tentukan nilai
pendekatan untuk pembuat nol fungsi f (x) =x3 −4x+1 yang terletak di antara 0 dan 1.
4. Nilai pendekatan ( )
b
a
∫ f x dx dapat dihitung dengan metode Trapezium
[ ] 2( ) ( ) ( )
2
T f b a f a f b

= +
Uraikan dengan lengkap cara mendapatkan rumus 2T (f)
x 0.1 0.2 0.4
f(x) -2.303 -1.609 -0.916
Ujian Akhir Semester
Peng. Analisis Numerik
Lina Aryati
12 Juni 2007, Closed Book
1. a. Buktikan bahwa terdapat tepat satu polinom berderajad n yang menginterpolasi
(n+1) data.
b. Diketahui hasil running program dengan suatu metode sebagai berikut:
h Nilai Mutlak Error
1/4 0.5948
1/16 0.1544
1/64 0.0389
Berapakah perkiraan orde error dari metode yang digunakan? Mengapa?
2. a. Jika f analitik dan nilai f(x – h), f(x + h), dan f(x – 2h) diketahui, tentukan rumus
pendekatan untuk ”( f x) dengan metode koefisien tak tentu. Berapakah error
pendekatannya?
b. Dengan menggunakan hasil a., hitung nilai pendekatan untuk f ”(0.5) jika diketahui
data berikut:
x 0.4 0.5 0.6 0.7
f(x) 0.737 0.794 0.843 0.888
3. a. Diketahui rumus pendekatan differensi berikut :
‘( ) (1) ( ) ( 3 ) 9 ( ) 8 ( )
h 6
f x D f x f x h f x h f x
h
− + + + −
= = ,
dengan error (1) ( ) 1 2 ”( )
h 2 e f x ≈ h f x . Lakukan analisis sensitivitas nilai fungsi terhadap
error dari rumus pendekatan tersebut.
b. Diketahui f (x)=ln(1−x) . Jika nilai pendekatan untuk 1
f ‘( 2) dihitung dengan rumus
pendekatan pada a., dan nilai f dihitung sampai dua angka di belakang koma, tentukan
nilai h􀀄 * sehingga untuk h 1 ? Beri alasan secara jelas.
b) Kenapa 1+1 = 2?
2. Diberikan sistem bilangan asli (􀁠,+,⋅). Jika m,n∈ 􀁠 dan m≤n,
buktikan n|m atau (∃p,q∈􀁠).(n=pm+q ∧ 1≤q<n)
3. Di dalam sistem bilangan asli (􀁠,+,⋅) dibentuk himpunan
P={p∈􀁠|(∀n∈􀁠)(n|p⇒ n= p∨n=1)}
Tunjukkan :
a) P bukan himpunan kosong
b) 1∉ P dan (∀n∈􀁠).1+1≤n
c) ( )( ( ) ) 1 12 1 ,…, . … k k ∀n∈􀁠 n≠ ⇒ ∃p p∈Pn=pp p
Ujian Akhir Semester
Peng. Teori Bilangan
Budi Surodjo
12 Juni 2007, Open Book
1. Diberikan S himpunan tidak kosong dilengkapi dengan operasi biner *:S×S→S yang
memenuhi :
a. ( )( )( ) 1 1 1 ∃e∈S ∀s∈S s*e ≠e
b. ( )( )( ) 2 2 2 ∃e ∈S ∀r,s∈S r*e =s*e ⇒r=s
c. ( )( )( ) 3 3 3 ∃e∈S ∀r,s∈S (s*r)*e =s*(r*e)
d. ( )( ( ) ) 1 2 3 1,2,3 ∀G⊆S ∃e,e,e ∈G∧ s∈G⇒s*e ∈G ⇒G=S
Apakah S dapat membentuk sistem bilangan asli? Jelaskan jawaban anda!
2. Diketahui S×S ={(n,m) n,m∈S} dengan ( , , ) S S S + × sistem bilangan asli dan
(,) {(,) } S S n m = k l ∈S×S k+ m=n+ l
2.1. Tunjukkan bahwa ada sistem ( , , ) S S S S S S × × × + × yang membentuk perluasan
( , , ) S S S + × !
2.2. Ada berapa banyak pasangan ((n,m),(k,l)) yang memenuhi
(n,m).(k,l)=(n,m).(11,1)+(13,1).(k,l)+(m+1,m).(l +1,l)
Catatan: Notasi × disingkat dengan .
3. Diketahui P×(P−{(m,m)})={(n,l) n∈P,l∈P−{(m,m)}} dengan P=S×S.
3.1. Tunjukkan bahwa ada sistem ( , , ) P P P P P P × × × + × yang membentuk perluasan
( , , ) S S S S S S × × × + × .
3.2. Jika dan (( , ),( , )) ((1 1,1),( 1, )) Q Q=⎛⎜P×P mk pq ⎞⎟≥ + q+ q
⎝ ⎠
, buktikan
bahwa (( , ),( , )) (( , ),( , )) ((3,1),( 1, )) Q m k p q + p q m k ≥ k + k
3.3. Buatlah suatu sistem yang merupakan perluasan dari sistem ( , , ) P P P P P P × × × + × .
Jelaskan prosesnya!
Ujian Tengah Semester
Masalah Syarat Batas
Moch. Tari M.Si
29 Maret 2007, Open Book
1. Tentukan Integral Fourier Sinus dan Cosinus untuk fungsi
( ) 4 2
fx x ex − =
2. Fungsi f didefinisikan :
4sin ,
( )
0 , dan
x x
f x
x x
π π
π π
⎧ − < <
= ⎨⎩
Ditanyakan :
a. Integral Fourier Fungsi itu
b. Dengan menggunakan hasil pada a. dan kovergensinya di x =π , perlihatkan
bahwa 2
2
0
1 sin 0
1
πα dα
α

=
− ∫
3. Tentukan penyelesaian masalah syarat batas semi infinit berikut:
i. 1
t 4 xx U= U , 0 < x 0
ii. U(0,t) = 0 , t > 0
iii. U(x,0)= 0,004 , 0 < x < ∞
Ujian Akhir Semester
Masalah Syarat Batas
Moch. Tari M.Si
7 Juni 2007, Open Book
1. Selesaikan BVP untuk vibrasi membran berikut:
tt xx yy U =U +U ; 0<x<π, 0<y0
U(0,y,t)=U(π,y,t)=U(x, 0,t)=U(x,π,t) = 0 ; t ≥ 0
( , ,0) 0 t U x y = ; 0 <x<π , 0 <y<π
U(x,y,0)=0,25xy ; 0<x<π, 0<y<π
2. Diketahui BVP berikut:
1
tt 4 xx Y= Y ; 0< x 0
Y(0,t) = 0 ; t ≥ 0
( ,0) 0 t Y x = ; 0 < x < ∞
( ) 3
2 ,0 ( ) 1
32
Y x f x xe− = = ; 0 < x < ∞
Tentukan penyelesaiannya, kemudian tentukan Y(x,t) jika syarat terakhir diganti dengan
( ) 1(1 )
2
fx= −e− x ; 0 < x < ∞
Ujian Tengah Semester
Peng. Teori Kendali
Dr. Salmah M.Si
2 April 2007, Open Book
1. Diberikan sistem dengan persamaan
􀀅s􀀅 =u
Diambil state 1 x = s dan 2 x = s􀀅
a. Tentukan persamaan bentuk state space sistem!
b. Desain observer sedemikian sehingga pole observer terletak di −1± i !
c. Berikan persamaan sistem observer!
2. Pandang sistem
6 28 3
2 2 1
x x u
⎛− ⎞ ⎛ ⎞
=⎜⎝− ⎟⎠ +⎜⎝ ⎟⎠
􀀅
y=(1 −14)x
a. Buatlah desain umpan balik dengan pole system terletak di -1 dan -2!
b. Buatlah desain observer dengan pole observer terletak di −1± i !
c. Buatlah gabungan desain umpan balik dan observer dengan pole terletak seperti pada
soal a. dan b.!
d. Berikan persamaan sistem setelah diberi umpan balik dan dibangun observer!
3. Diberikan sistem dalam bentuk state space
1 1 2
0 2 0
x x u
⎛− ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
􀀅
a. Tunjukkan bahwa sistem tidak teramati!
b. Selidiki sub ruang teramati sistem tersebut!
c. Apakah sistem dapat distabilkan?
4. Diberikan sistem
1 0 2 1
0 3 0 1
1 0 0 0
x x u
⎛− ⎞ ⎛ ⎞
=⎜⎜ − ⎟⎟ +⎜⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
􀀅
a. Tunjukkan bahwa sistem tidak stabil!
b. Tunjukkan bahwa sistem dapat distabilkan!
c. Hitunglah kendali umpan balik u=Fx sedemikian sehingga pole sistem terletak
di -1, -2, dan -3!
d. Tunjukkan bahwa sistem tidak teramati!
e. Apakah sistem detectable? Jelaskan jawaban anda!
Ujian Akhir Semester
Peng. Teori Kendali
Dr. Salmah M.Si
11 Juni 2007, Closed Book
1. Diberikan sistem yang memenuhi
x 􀀅 = Ax+Bu dengan
0 1 0
,
0,16 1 1
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜⎝− − ⎟⎠ =⎜⎝ ⎟⎠
a. Selidiki apakah sistem terkendali!
b. Jika sistem dapat dikendalikan carilah umpan balik sedemikian sehingga pole sistem
terletak di 1,2 μ = −1± i !
c. Diberikan y=(1 0)x. Apakah sistem teramati?
d. Jika dapat buatlah desain observer yang menempatkan pole sistem di 1,2 λ = −1± i !
2. Diberikan sistem yang memenuhi
x􀀅 = Ax+Bu dengan
1 0 2 1
0 3 0 , 1 ,
1 0 0 0
A B y Cx
⎛− ⎞ ⎛ ⎞
=⎜⎜ − ⎟⎟ =⎜⎜ ⎟⎟ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dengan C =(1 0 0)
a. Apakah sistem stabil?
b. Apakah sistem dapat distabilkan?
c. Dapatkah menempatkan pole sistem di -1, -2, dan -3? Jika dapat hitunglah kendali
umpan baliknya!
3. Selidikilah masalah kendali optimal berikut apakah mempunyai penyelesaian. Jika
mempunyai penyelesaian optimal tentukan penyelesaian optimal tersebut.
Minimalkan :
a.
1
2 2
0
2 () 1 ( )
2
⎧⎨− x t− u t⎫⎬dt
⎩ ⎭ ∫ yang memenuhi 0 x􀀅(t) =−2x(t)+u(t), x(0)=x
b. { } 1
2 2
0
∫ 2x (t)−u (t) dt yang memenuhi 0
( ) 1 ( ) ( ), (0)
2
x􀀅t= xt+ut x =x
4. Diberikan sistem yang memenuhi
x 􀀅 = Ax+Bu dengan
0 1 0
,
0 0 1
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Akan diminimalkan fungsi objektif ( ) 2
0
J xTQx u dt

=∫ + , dengan
1 0
0 2
Q
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
a. Tentukan persamaan aljabar Riccatinya!
b. Carilah solusi persamaan aljabar Riccati!
c. Carilah kendali optimal steady state!
d. Tentukan sistem lingkar tertutupnya dan selidiki kestabilannya.
e. Jika 0
1
1
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, tentukan rumus x(t) untuk respon sistem lingkar tertutupnya.
Kemudian tentukan x(5)!
Ujian Tengah Semester
Teori Himpunan
Budi Surodjo
27 Maret 2007, Closed Book
Catatan: Kalau berani kerjakan dahulu soal yang sulit
1. Diberikan dua himpunan A dan B.
1.1 Benarkah A∪B∼A jika dan hanya jika B ⊆ A ? Jelaskan!
1.2 Jika AB ={f | f :B→A} himpunan denumerabel, apakah yang anda ketahui tentang
A dan B? jelaskan!
2. Ceritakan dan beri penjelasan:
2.1 Manfaat teori himpunan pada bidang statistika ?!
2.2 Manfaat teori himpunan pada bidang ilmu komputer ?!
3. Untuk sebarang himpunan H didefinisikan
P(H)={X|X⊆H}
3.1 Apa yang anda ketahui tentang P(∅) ? Jelaskan!
3.2 Jika K himpunan, apakah P(H×K) ∼P(H)× P(K) ? Jelaskan!
4. Diketahui 􀁠 ={1,2,3,…}. Himpunan A hingga, jika A = ∅ atau
(∃n∈􀁠).A∼{1, 2,3,…,n} . Himpunan A tak hingga jika
(∃B ⊆A)(A≠B∧B∼A)
Buktikan:
1. Jika (∀n∈􀁠).A􀁘{1, 2,…,n} , maka A = ∅ atau A tak hingga.
2. A hingga jika dan hanya jika tak benar A tak hingga!
Ujian Akhir Semester
Teori Himpunan
Budi Surodjo
5 Juni 2007, Closed Book
1. Diberikan fungsi f :A→B dan fungsi g:B→C.
a. Tentukan syarat agar f 􀁄 g terdefinisi!
b. Jika g􀁄 f injektif, apakah selalu g dan f keduanya injektif? Beri alasan!
2. Diketahui A ≠ ∅ dan 􀁜 adalah himpunan semua bilangan real. Notasi C(B)
menyatakan kardinalitas himpunan B.
2.1. Apakah selalu berlaku C([0,1]) =C(􀁜)? Jelaskan!
2.2. Definisikan C(A)−C(B)!
2.3. Apakah C(D)(C(A)−C(B))=C(D)C(A)−C(D)C(B)? Jelaskan!
3. Sekelompok anak akan bermain kelereng. Mereka meletakkan 27 kelereng ke dalam atau
pada suatu segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 meter. Jari-jari setiap kelereng 1 cm.
Setiap kelereng paling luar terletak pada segitiga dengan pusat kelereng tepat pada sisi
segitiga. Buktikan bahwa terdapat paling sedikit dua kelereng yang berjarak paling jauh
18 cm!
4. Diketahui { 1,2,3,…, } i Ai= n adalah koleksi himpunan-himpunan hingga. Apakah benar
1 2 1 2 3
1 2 1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 , 1 , , 1
, , , 1
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) …
( 1) ( … )
n n n n
i i i i i i i
i i ii i i i
n
i i i i
i i i i
n
n
A A A A A A A
A A A A
A A A
= = ≥ ≥

= − ∩ + ∩ ∩
− ∩ ∩ ∩ + +
− ∩ ∩
Σ Σ Σ
Σ
C ∪ C C C
C
C
dengan j k i ≠i untuk setiap i≠k? Jika ya, buktikan!
Ujian Tengah Semester
Peng. Teori Modul
Sri Wahyuni, M.S, DR, Prof.
27 Maret 2007, Closed Book
1. Misalkan M adalah modul atas Ring R, dan 1 S serta 2 S adalah submodul-submodul
dalam M.
a) Tunjukkan 1 2 S S ∩ juga submodul di M
b) Tunjukkan 1 2 S S + juga submodul di M
c) Tunjukkan 1 2 S S ∪ belum tentu submodul di M
d) Tunjukkan 1 2 1 2 S +S = S ∪S
e) Sudah diketahui bahwa akan terbentuk 4 modul faktor
( ) ( )
( ) ( ) 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
S S , S S , S , S
S S S S S S
+ +
∩ ∩
Terangkan hubungan-hubungan yang mungkin diantara keempat Modul Faktor
tersebut. Jelaskan!
(Nilai: 50)
2. Misalkan V adalah ruang vektor atas F. Sudah kita ketahui bahwa akan terbentuk Ring
Suku Banyak F[x]. Misalkan juga T adalah Transformasi Linear dari V ke V.
a) Tunjukkan bahwa V merupakan modul atas F[x] terhadap operasi sebagai berikut:
p(x)􀁄v=p(T)(v)
∀p(x)∈F[x] dan ∀v∈V
b) Jika diambil V = 􀁜3 dan T :􀁜3→􀁜3 dengan definisi
1 1
3
2 1 2
3 2 3
0
,
x x
T x x x
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟=⎜⎜ ⎟⎟ ∀⎜⎜ ⎟⎟∈
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
􀁜
Deskripsikan Modul V atas F[x] melalui Transformasi Linear T seperti pada soal
a) di atas!
(Nilai: 50)
Ujian Akhir Semester
Peng. Teori Modul
Sri Wahyuni, M.S, DR, Prof.
5 Juni 2007, Closed Book
1. Misalkan M1 dan M2 masing-masing adalah Modul atas Ring Komutatif R dengan elemen
satuan 1R. Selanjutnya dibentuk himpunan
{( ) } 1 2 1 2 1 1 2 2 M ×M= m,m m∈M,m∈M
dan operasi jumlahan + pada 1 2 M ×M ,yaitu untuk setiap ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 m,m , m’,m ‘ ∈M ×M
didefinisikan :
( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 m,m + m’,m ‘ = m +m ‘,m +m ‘
Perintah a.)
Tunjukkan secara singkat bahwa 1 2 M ×M merupakan Grup Abelian!
Selanjutnya, jika r∈R dan ( ) 1 2 1 2 m,m ∈M ×M didefinisikan operasi 􀁄 (pergandaan
skalar) sebagai berikut :
( ) ( ) 1 2 1 2 r􀁄 m,m = rm,rm
Perintah b.)
Tunjukkan 1 2 M ×M merupakan Modul atas Ring R terhadap operasi 􀁄 diatas!
2. Diketahui Modul M atas Ring Komutatif R dengan elemen satuan 1R. Selanjutnya
dibentuk himpunan
( ) { : homomorfisma modul} R End M = f M→M f
Pada ( ) R End M didefinisikan operasi + dan 􀁄 sebagai berikut.
Untuk setiap , ( ) R f g∈End M dan untuk setiap m∈M
i. f + g adalah fungsi dari M ke M dengan definisi ( f+g)(m)=f(m)+g(m)
ii. f 􀁄 g adalah fungsi dari M ke M dengan definisi ( f 􀁄g)(m)= f(g(m))
Perintah a.)
Tunjukkan secara singkat bahwa ( ) R End M adalah Ring dengan elemen satuan!
Selanjutnya didefinisikan operasi pergandaan skalar antara ( ) R f ∈ End M dan m∈M
sebagai berikut :
f 􀁄m=f(m)
Perintah b.)
Tunjukkan bahwa M merupakan Modul atas Ring ( ) R End M terhadap operasi
pergandaan skalar 􀁄 diatas!
3. 􀁝8 dapat dipandang sebagai 􀁝 -Modul dan juga dapat dipandang sebagai 􀁝8 -Modul.
Hitunglah :
a) ( ) 8 T 􀁝 jika 􀁝8 = 􀁝 -Modul
b) ( ) 8 T 􀁝 jika 􀁝8 = 􀁝8 -Modul
c) Annihilator {2} jika 􀁝8 = 􀁝 -Modul
d) Annihilator {2} jika 􀁝8 = 􀁝8 -Modul
Ujian Tengah Semester
Peng. Topologi
Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS
29 Maret 2007, Closed Book
1. Diberikan 􀁠 = {1, 2,3,…} dan didefinisikan
{, 1, 2,…} n E = nn+ n+ , untuk n ∈ 􀁠
Dibentuk keluarga himpunan bagian 􀁠 sebagai berikut :
{ } { | } n τ = Ø ∪ E n∈􀁠
Buktikan τ topologi pada 􀁠 !
2. Jika (X ,τ ) ruang topologi, A⊂X dan A􀁄 himpunan semua titik interior A, buktikan:
a. A􀁄 terbuka
b. A􀁄 himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A
3. Untuk setiap ruang topologi ( X ,τ ) dan A,B⊂X buktikan :
a. A∪B=A∪B
b. A∩B⊂A∩B dan tidak berlaku sebaliknya
4. Jika X ={a,b,c,d,e} buktikan
S= {{a,b},{b,c},{e,d},{d,e}}
Merupakan subbasis untuk suatu topologi pada X. Tentukan juga topologinya.
5. Dalam ruang topologi biasa (􀁜,τ ) buatlah liput terbuka untuk interval [−2,1) yang tidak
memuat liput terbuka berhingga.
Ujian Akhir Semester
Peng. Topologi
Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS
7 Juni 2007, Closed Book
1. Jika 1 2 , ,…, n τ τ τ topologi pada himpunan tak kosong X, buktikan
1
n
i
i
τ
= ∩
topologi pada X !
2. Diberikan ruang topologi biasa (􀁜,τ ) dan himpunan
A 1n 3 1n
n n
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
=⎨ ∈ ⎬∪⎨ − ∈ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
􀁠 􀁠
Tentukan A􀁄, A’, A, b(A), dan ext(A)
3. Diberikan ruang topologi (X ,τ ), himpunan K kompak di dalamnya dan F⊂K dengan
F tertutup. Buktikan F kompak!
4. Jika (X ,τ ) ruang topologi terhubung dan fungsi f :X→Y kontinu pada X, buktikan
f(x) terhubung.
5. Buktikan setiap ruang T4 pasti ruang T3 dan setiap ruang T3 pasti ruang Hausdorff.
Ujian Tengah Semester
Peng. Teori Ukuran & Integral Umum
Ch. Rini Indrati
3 April 2007, Closed Book
I. JAWABAN SINGKAT
1. Berikan pengertian himpunan E ⊆ 􀁜 terukur Lebesgue!
2. Diketahui X himpunan tidak kosong dan A Aljabar −σ pada X
i. Kapan A⊆X terukur?
ii. Berikan pengertian ukuran μ pada ruang terukur ( X , A ) !
iii. Berikan pengertian fungsi f :X → 􀁜 terukur −μ !
iv. Berikan pengertian fungsi sederhana pada X!
v. Berikan pengertian SIFAT P berlaku hampir dimana-mana pada E⊆X!
3. Diberikan ruang ukuran (X,A,μ) dan f fungsi terukur non negatif pada X. Berikan
pengertian
X
∫ f dμ !
II. ESSAY
1. Diketahui X = {1, 2,3, 4} , { { } { }} 1 A = ∅,X, 1 , 2,3,4 , dan { { } { }} 2 A = ∅,X, 2 , 1,3,4 .
a. Berikan 1 2 A ∪A !
b. Selidiki apakah 1 2 A , A , maupun 1 2 A ∪A aljabar pada X ?
2. Tunjukkan bahwa koleksi semua himpunan terukur Lebesgue di 􀁜 membentuk aljabar!
3. Tunjukkan bahwa jika { } n f barisan fungsi terukur −μ pada ruang terukur (X , A), maka
inf n n
f terukur −μ pada ruang terukur ( X , A ) !
4. Diberikan fungsi ( )
3, 1 4
1, 4 5
4, 5 7
x
f x x
x
− ≤ < ⎧⎪
= ≤ ≤ ⎨⎪
⎩ < ≤
. Hitunglah ( ) ( )
E
∫ f x dμ x , dengan E = [−1,7]
dan μ ukuran Lebesgue pada 􀁜 !
5. Diberikan ruang ukuran (X,A,μ) dan f fungsi terukur non-negatif pada X. Jika f = 0
hampir di mana-mana pada X, tunjukkan bahwa 0
X
∫ f dμ = !

Tinggalkan Balasan

Please log in using one of these methods to post your comment:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s