Penggunaan Persamaan Diferensial


Penggunaan Persamaan Diferensial

Model Matemetika

Tahapan pembentukan modelnya:
1. Membuat pengamatan
2. Membaca rumusan
3. Mengumpulkan informasi
4. Menyaatakan model real ke dalam bahasa matematika
5. Menjelaskan model matematika
6. Membuat kesimpulan
7. Membandingkan informasi

Rumusan Permasalaham

1. Masalah laju perubahan sederhana
a. Laju pertumbuhan
b. Laju penurunan

2. Masalah benda jatuh bebas

3. Masalah rangkaian listrik

4. Masalah pegas

Beberapa Pengguanan Persamaan Diferensial Biasa Tingkat I

1. Masalah Laju Penambahan Sederhana
Misalnya kita mempunyai suatu populasi yang setiap saat besarnya berubah dengan laju perubahan yang sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu. Masalah seperti ini dikenal dengan “Masalah Laju Perusahaan Sederhana”.
Untuk menyelesaikan masalah ini, dimisalkan besarnya populasi pada saat t adalah =

P = P(t); t > 0

Maka besarnya laju perubahan populasi pada saat t adalah

Karena laju perubahan populasi setiap saat sebanding dengan besarnya populasi yang ada pada saat itu, maka terdapat konstanta sehingga

……………….(*)

Dalam hal ini populasinya berubah secara eksponensial

Catatan: Bila diketahui dua data tentang besarnya P pada saat yang berbeda, maka besarnya konstanta C dan k dapat ditentukan

Contoh : Misalkan jumlah penduduk suatu kota pada saat t.
Diketahui laju pertambahan berbanding lurus dengan P, ini berarti terdapat konstanta k > 0 sehingga :

Berdasarkan (*) solusi PD ini adalah:

Jika penduduk bertambah dari 1,2 juta menjadi 1,8 juta dalam waktu 20 tahun.
a) Tentukan jumlah penduduk sebagai fungsi dari waktu t.
b) Lamanya waktu yang diperlukan agar penduduk kota itu bertambah dari 1,2 juta menjadi 2,7 juta.

Jawab :
a) Dari data sehingga

Dari diperoleh , sehingga diperoleh

Jadi jumlah penduduk kota dinyatakan sebagai fungsi dari t adalah

b) Dari data sehingga

Jadi waktu yang dibutuhkan agar penduduk kota tersebut bertambah dari 1,2 juta jiwa menjadi 2,7 juta jiwa adalh 40 tahun.

Masalah Benda Jatuh Bebas

Jika sebuah benda yang massanya m, jatuh bebas, maka sekalian gaya berat benda , benda juga mengalami hambatan udara, yang menurut penelitian besarnya berbanding lurus, dengan kuadrat kecepatannya.
Jika kecepatan benda pada saat adalah dan konstanta perbandingan maka besar hambatan udara itu adalah

Menurut hukum newton kedua
(Massa) (Percepatan) = Gaya

Contoh : Sebuah benda dilemparkan tegak lurus ke atas, dari permukaan tanah yang dianggap datar dengan kecepatan awal . Jika hambatan udara pada gerakan benda diabaikan, tentukan tinggi max benda dan waktu yang diperlukan benda sampai ketanah.

Jawab:
Misal massa benda , terletak meter diatas permukaan tanah pada saat detik. Dengan menggunakan hukum kedua Newton diperoleh pada :

Sehingga

Dengan syarat

Jadi pada :

Untuk mencari tinggi max

Sehingga tinggi maksimumnya adalah:

Benda sampai di tanah kembali pada saat

Karena diperoleh sehingga

Jadi waktu yang diperlukan benda sampai ketanah kembali = 4 det.

Soal :
1. Harga pada sebuah mobil pada suatu saat 10 juta rupiah. Jika mobil itu dijual kembali, maka harga jualnya turun sebanding dengan harganya pada saat itu. Jika setelah 3 tahun dibeli harga mobil itu 8 juta rupiah. Tentukan harga mobil setelah 10 tahun sejak saat dibeli.

2. Gradien garis singgung disetiap titik pada suatu kurva sama dengan perbandingan absis dan ordinatnya. Jika kurva tersebut melalui tittik (2, -1). Tentukan persamaannya.

3. Tentukan sebagai fungsi dari dengan

4. Tentukan solusi pada

5. Seorang penerjun bebas dijatuhkan dari ketinggian tertentu dan parasutnya pada saat terbuka, dan pada saat itu kecepatan . Buat penerjun dan peralatannya 712 Newton. Jika hambatan udara sebanding dengan kuadrat kecepatannya dengan . Tentukan kecepatan penerjun pada setiap saat.

Tinggalkan Balasan

Please log in using one of these methods to post your comment:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s