Defenisi dan Teorema Dalam Kalkulus


BAB 
Konsep Dasar
 Denisi dan Teorema Dalam Kalkulus
Pengembangan metoda numerik tidak terlepas dari pengembangan beberapa
denisi dan teorema dalam mata kuliah kalkulus yang berkenaan dengan fungsi
polinomial fx Oleh karena itu dibawah ini akan diingatkan kembali beberapa
denisi dan teorema tersebut
Teorema  Nilai Tengah Jika fx adalah fungsi kontinyu pada interval
a b dan didenisikan m  Infaxb fx dan M  Supaxb fx maka ada
sebarang  pada interval mM sehingga paling sedikit satu titik  di dalam
interval a b akan memenuhi f  
Teorema  Nilai RataRata Jika fx adalah fungsi kontinyu pada in
terval a b dan terdefrensialkan pada interval a b maka paling sedikit ada satu
titik  dalam a b yang memenuhi fb  fa  fb  a

BAB  KONSEP DASAR
Teorema  Integral Nilai RataRata Jika wx adalah fungsi tak negatif
dan terintegralkan pada interval a b dan misal fx kontinyu pada a b maka
Z b
a
wxfxdx  f Z b
a
wxdx
untuk semua   a b
Teorema  Teorema Taylor Jika fx mempunyai n
 turunan kon
tinyu pada interval a b untuk beberapa n  dan bila x x  a b maka
fx  pnx
Rnx 
pnx  fx

x  x

fx
  

x  xn
n
fnx  
Rnx 

n Z x
x
x  tnfntdt 


x  xn
n

fn 
untuk  antara x dan x
Deret Taylor ini nantinya akan menjadi konsep dasar pengembangan metoda
numeris Beberapa metoda aproksimasi adalah merupakan hasil ekspansi dan
pemenggalan dari deret ini Sehingga deret ini sendiri juga merupakan model
aproksimasi terhadap suatu fungsi fx sebagaimana digambarkan dalam contoh
berikut ini
Contoh  Diketahui fx  ln x tentukan fungsi aproksimasi linear px dan
kuadratik px pada x   dan gunakan px px untuk menghitung ln 
Solusi  fx  ln x maka fx  ln    fx  
x maka fx   Dengan
menggunakan teori Taylor kita dapatkan
px  ln 
x    x  
px  ln 
x  



x      x   


x  
BAB  KONSEP DASAR

Dengan demikian ln  dapat ditentukan dengan cara
ln   p      
ln   p     


    

Secara gras aproksimasi dari px dan px terhadap fx  ln x dapat
ditunjukkan sebagai berikut
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
f(x)
p1(x)
Gambar  approksimasi oleh px
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
f(x)
p2(x)
Gambar   approksimasi oleh px
 Representasi bilangan dalam komputer
Komputer dapat melakukan operasi pada bilangan dengan mudah misal

    
 dengan pasti komputer dapat menjawab dengan benar Namun
BAB  KONSEP DASAR 
demikian bila komputer mengoperasikan p
 maka operasi ini tidak dilakukan
dengan cara 


 

akan tetapi dengan cara melakukan pengakaran bilangan
tiga dua kali kemudian keduanya dikalikan Dapat dipahami bahwa untuk p


     mempunyai jumlah desimal digit yang tidak terbatas sehingga
nilai tersebut hanya merupakan nilai pendekatan
Dalam hal melakukan pendekatan ini komputer melakukan pemotongan Chop
ping atau pembulatan Rounding dan selanjutnya dimungkinkan muncul bebe
rapa kesalahan yang secara umum dikenal dengan nama kesalahan pembulatan
Rounding error dan kesalahan pemotongan Chopping error
Selanjutnya untuk merepresentasikan bilangan real komputer pada umum
nya menggunakan sistem oatingpoint dengan basis bilangan biner oc
tal dan hexadecimal Sedangkan format penyimpanannya dalam memori
komputer digambarkan sebagai berikut 
x    aa    at  e 
dimana
 a   dan  ai     a kemudian disebut titik radik
  adalah tanda dengan nilai  
 atau  dan  adalah basis
 e adalah bilangan bulat dengan L  e  U dimana LU masingmasing
nilai terkecil dan terbesar
 aa    at adalah mantisa
Bila bilangan real x dinyatakan dalam
x    aa    atat      e 
BAB  KONSEP DASAR 
maka representasi pemotongan desimal dapat dinyatakan dalam bentuk oating
point flx sebagai berikut
flx    aa    at  e 
Sedangkan representasi pembulatan dapat ditampilkan sebagai
flx 

  aa    at  e  at  

  aa    at
      e 
  at  
Dalam hal ini flx  x oleh karena itu kesalahan dapat dimunculkan dalam
bentuk   x  flx dan kesalahan relatifnya
x  flx
x
 R
dengan demikian
flx    Rx 
Jika simbolsimbol operasi mesin komputer dinyatakan dalam 
 dan
maka operasi jumlah kurang kali dan bagi untuk x dan y dalam komputer
dinyatakan sebagai berikut
x y  flflx
fly
x
y  flflx  fly
x y  flflx
fly
x y  flflx  fly
Dengan demikian komputer melakukan oating point terhadap masingmasing
komponen bilangan sebelum dan sesudah melakukan operasi Hal ini bertujuan
untuk meminimalkan kesalahan yang dihasilkannya
BAB  KONSEP DASAR 
Secara umum formulasi nilai kesalahannya dari perhitungan aproksimasi ter
hadap xA niali eksak oleh xT nilai aproksimasi dapat dinyatakan sebagai
ExA  xT  xA 
dan kesalahan relatifnya adalah
RelxA 
xT  xA
xT
 
 Algoritma
Teorema  Algoritma Algoritma adalah suatu prosedur yang menggam
barkan uruturutan rapi dan logis dengan tujuan memudahkan pengimplemen
tasian suatu masalah Selanjutnya sebagai prosedur logis algoritma harus dapat
dengan mudah diinterpretasikan dalam fungsifungsi khusus pada komputer prog
ramming
Dua simbol yang digunakan dalam algoritma adalah Period  dan menun
jukan akhir prosedur dan titik koma  memisahkan tugas dalam beberapa
langkah Teknik loop pengulangan dalam algoritma dapat dinyatakan dengan
kontrol penyanggah
For i        n
Set xi  ai
i  h
ataupun kontrol bersyarat
While i  N do Steps
 
BAB  KONSEP DASAR 
if    then if    then    else
Misal suatu algoritma untuk menghitung
N
Xi

xi  x
x
  
xN
dapat diuraikan adalah sebagai berikut
INPUT N x x     xn
OUTPUT SUMPN
i xi
Step  Set SUM 
Step For i   
    N do
set SUM  SUM
xi
Step
OUTPUT SUM
STOP
 Software Komputer
Banyak software programming baik compiler ataupun semi compiler yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik diantaranya adalah
 Fortran LINPACK EISPACK LAPACK BLAS NAG
 Matlab yang librarynya berdasarkan EISPACK dan LINPACK
beberapa
Matlab Toolbox

 Maple
 Pascal
 Turbo C
dan Turbo Basic dll
BAB  KONSEP DASAR 
Latihan Tutorial 
 Fungsi aproksimasi sebagian besar didasari oleh pengembangan deret Tay
lor sebutkan teorema Taylor ini Bila diketahui fx  sin x terapkan
deret Taylor ini untuk menentukan fungsi aproksimasi kuadratik terhadap
f pada x   Kemudian tentukan nilai aproksimasi dari sin  Disadari
bahwa dalam menghitung nilai sin  anda akan mendapatkan kesalahan
numeris sebutkan penyebab kesalahan itu Selanjutnya untuk mengantisi
pasi kesalahan ini diperlukan format penyimpanan yang baik dalam mem
ori komputer tentukan format tersebut Dan bila diberikan nilai eksak
xA dan nilai aproksimasi xT  formulasikan kesalahan ExA serta relatif
kesalahan RelxA
 Tentukan konversi dari masingmasing bilangan dibawah ini kedalam ben
tuk desimal biasa
a     
b  A
FF
c         

 Tentukan fungsi aproksimasi px px dan p x dari fungsi dibawah ini
pada x  
a fx  ln x
x
b gx  x
x

dan tentukan nilai dari ln
 melalui fungsi aproksimasi fx
BAB  KONSEP DASAR 
 Gunakan deret Taylor untuk menemukan rumusan dari ex sin x cos x ex
dan 
x pada x 
 Lakukan pembulatan dan pemotongan terhadap bilangan dibawah ini sam
pai empat desimal dibelakang koma
a 


b 
c    
d  


dan tentukan nilai kesalahan dan kesalahan relatifnya
 Gunakan metoda biseksi untuk menyelesaikan persmaan dibawah ini pada
interval yang diberikan
a px  cos x  pada interval   
b x  x
x    pada interval  

c x cos x  x
  pada interval 
 
dengan toleransi   e 

Tinggalkan Balasan

Please log in using one of these methods to post your comment:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s