Kumpulan Soal-Soal Ujian


Kumpulan Soal-Soal Ujian
Semester Genap 2006/2007
Angk. 2004 Semester 6
Angk. 2005 Semester 4
Angk. 2006 Semester 2
Matakuliah Wajib Semester 6
Kewarganegaraan Matematika Diskrit
Peng. Analisis Real II Peng. Model Matematika
Peng. Statistika Matematika
Matakuliah Wajib Semester 4
Kalkulus Multivariabel II Peng. Analisis Numerik
Aljabar Linear Kalkulus Lanjut
Fungsi Variabel Kompleks Geometri
Matakuliah Wajib Semester 2
Mekanika A Algoritma & Pemrograman
Kalkulus II Ke-Gadjah-Madaan & Etika Math
Peng. Struktur Aljabar I Geometri Analitik A
Matakuliah Pilihan
Peng. Teori Modul Peng. Topologi
Teori Himpunan Peng. Teori Bilangan
Peng. Teori Kendali Masalah Syarat Batas
Peng. Teori Ukuran & Int. Umum
Ujian Tengah Semester
Kewarganegaraan
Letkol Sus Drs. H.Mardoto, M.T
26 Maret 2007, Open Book
1. Apa yang dimaksud dengan negara menurut pandangan anda?
2. Berikan contoh yang dapat menjelaskan tentang “bukan penduduk” dan “warga
negara asing”.
3. Uraikan pendapat anda tentang hal-hal yang dapat dilakukan pemerintah dalam
menggelorakan semangat/wawasan berbangsa dan bernegara di lingkungan perguruan
tinggi.
4. Jelaskan perbedaan pandangan antara John Locke dan J.J. Rosseau dalam Teori
Perjanjian Masyarakat.
5. Genosida dikelompokkan sebagai salah satu kejahatan kemanusiaan. Uraikan pendapat
anda tentang hal tersebut berdasarkan referensi dengan alasan-alasan yang jelas.
Ujian Akhir Semester
Kewarganegaraan
Letkol Sus Drs. H.Mardoto, M.T
15 Juni 2007, Open Book
1. Dari pendapat para pakar, pejabat dan politikus tentang RUU Keamanan Nasional yang
digagas oleh Pemerintah (Departemen Pertahanan), bagaimanakah kecenderungan
pemikiran mereka (setuju, tidak setuju atau yang lainnya). Sebutkan alasan-alasan yang
mendasari pemikiran tersebut.
2. Uraikan pendapat anda tentang bagaimana mewujudkan/merealisasikan hak dan
kewajiban sebagai Warga Negara Indonesia yang masih berstatus sebagai mahasiswa.
3. Tanggal 27 April 2007 di Gianyar Bali, Indonesia – Singapura telah menandatangani tiga
dokumen perjanjian yaitu Perjanjian Ekstradisi, Kerjasama Pertahanan dan Kerangka
Aturan Daerah Latihan Militer. Jelaskan pendapat anda (sebagai WNI) tentang plus
minus bagi negara kita setelah menandatangani ketiga dokumen terebut ditinjau dari sisi
politik maupun pertahanan (boleh mereferensi pendapat pakar atau pengamat
politik/pertahanan).
4. Beberapa waktu lalu Sultan Hamengkubuwono X telah memutuskan tidak ingin lagi
menjabat sebagai Gubernur DIY mulai tahun 2008. Keputusan ini dipandang para
pengamat terkait RUU Keistimewaan DIY yang tidak segera disahkan DPR-Pemerintah,
padahal konsep RUU telah diajukan tahun 2005. Jelaskan pendapat anda tentang
keputusan Sultan HB X tersebut ditinjau dari bentuk negara kita dan status keistimewaan
DIY (Bentuk Negara RI adalah Republik sedangkan Kesultanan jelas berbentuk
Monarki).
5. Berdasarkan referensi/informasi/pengetahuan tentang materi pendidikan
kewarganegaraan pada perguruan tinggi negara lain (luar Indonesia) yang telah anda
miliki, buatlah perbandingan (plus minusnya) dengan materi pendidikan
kewarganegaraan yang telah anda terima.
6. Dalam era reformasi sekarang ini, banyak orang berdalil bahwa pemilihan pemimpin
apapun, entah itu pemerintahan (bupati, walikota, gubernur, presiden) maupun
keorganisasian (Ketua Partai Politik, Rektor Perguruan Tinggi, Ketua KNPI, dan lainnya)
agar demokratis harus dilakukan pemilihan secara langsung dengan satu orang satu
suara. Sebagai salah seorang Warga Negara Indonesia yang telah belajar materi
demokrasi, bagaimanakah pendapat anda tentang hal tersebut.
Ujian Tengah Semester
Peng. Analisis Real II
Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS
26 Maret 2007, Closed Book
1. a. Jika fungsi f :I ⊂􀁜→􀁜 kontinu pada I, buktikan fungsi f :I→ 􀁜 dengan
f (x) = f(x) juga kontinu pada I.
b. Jika fungsi g:I → 􀁜 dengan g(x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ I , kontinu pada I. Buktikan
fungsi g :I → 􀁜 dengan ( g)(x) = g(x) kontinu pada I.
2. Diberikan interval tertutup terbatas I = [a,b] . Jika fungsi f :I → 􀁜 kontinu pada I
buktikan f terbatas pada I.
3. Buktikan fungsi f(x) 1
x
= kontinu seragam pada (1, ∞)
4. Diberikan interval I, titik c∈I bukan titik ujung interval dan fungsi f :I → 􀁜 turun
monoton pada I. Buktikan
lim ( ) inf { ( ) | , }
x c
fx fx x Ix c → −
= ∈
ii. lim ( ) inf { ( ) | , }
x c
fx fx x Ix c → −
= ∈ t+b|X >b) =P(X >t)
c) Cari median X
3. Gunakan metode MLE untuk mencari estimator parameter dalam distribusi Normal,
kemudian turunkan apakah estimator tersebut mempunyai sifat tak bias?
4. Tulis dan buktikan Teorema Limit Sentral!
5. Variabel Random Y berdistribusi Binomial(n,p). Konstruksikan interval konfidensi
untuk p!
Ujian Tengah Semester
Aljabar Linear
Ari Suparwanto
27 Maret 2007, Closed Book
1. Misalkan 2
T:P1 → 􀁜 adalah fungsi yang didefinisikan dengan rumus
2.
T(p(x)) = (p(0),p(1))
a. Tentukan T(1−2x)!
b. Tunjukkan bahwa T adalah Transformasi Linear!
c. Tentukan basis dari range T !
d. Tunjukkan bahwa T injektif !
e. Tentukan T −1(2,3) !
3. Misalkan S basis untuk ruang vektor V berdimensi n. Tunjukkan
a. { } 1 2 , ,…, r v v v bebas linear di V jika dan hanya jika {( ) ( ) ( ) } 1 2 , ,…, s s r s v v v
bebas linear di 􀁜n !
b. { } 1 2 , ,…, r v v v membangun V jika dan hanya jika {( ) ( ) ( ) } 1 2 , ,…, s s r s v v v
membangun 􀁜n !
4. Tentukan basis untuk ruang bagian dari 2 P yang dibangun oleh {1+x,x2,−2+2×2,−3x}.
5. Diberikan V={(1,x)x∈􀁜} dengan operasi :
(1,y)+(1,y’)=(1,y+y’) dan k.(1,y) = (1,ky) dengan k ∈ 􀁜
Selidiki apakah V dengan operasi tersebut merupakan ruang vektor atas 􀁜 !
Ujian Akhir Semester
Aljabar Linear
Ari Suparwanto
5 Juni 2007, Closed Book
1. a. Misalkan A dan B matriks bujursangkar yang berukuran sama.
Buktikan A dan B similar ilar jika dan hanya jika A− I dan B − I similar.
b. Dengan menggunakan pernyataan pada bagian a., selidiki similaritas dari matriks :
1 0 0
1 1 1
1 0 2
A
⎛ ⎞
=⎜⎜− ⎟⎟
⎜⎝− ⎟⎠
dan
1 1 0
0 1 0
0 0 2
B
⎛ ⎞
=⎜⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. Misalkan ( ) 2 2 x M 􀁜 adalah ruang vektor dari semua matriks berukuran 2×2 atas 􀁜 .
Didefiniskan transformasi linear ( ) ( ) 2 2 2 2 : x x T M 􀁜 →M 􀁜 yaitu T(X) = AXB, dengan :
1 2
1 3
A
⎛ ⎞
=⎜⎝− ⎟⎠
dan
2 1
0 4
B
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
Hitunglah trace dan determinan dari T !
3. Misalkan 3 V=P adalah ruang vektor dari semua polinomial berderajat ≤ 3 atas 􀁜 ,
U={a+b(x−x2)a,b∈􀁜} dan W={c(1+x)+dx3c,d∈􀁜}
Selidiki apakah U W ⊕ atau bukan !
4. Ditinjau 􀁜4 sebagai ruang inner produk Euclid. Tentukan basis ortonormal untuk 􀁜4
yang memuat vektor (1 1 1 1)
1 2 2 2 2 v = , , , sebagai salah satu vektor dalam basis
ortonormalnya!
Ujian Tengah Semester
Kalkulus Multivariabel II
Prof. Dr. Soeparna Darmawijaya
28 Maret 2007, Closed Book
1. a. Persamaan umum bidang datar di dalam ruang 􀁜n dengan vektor arah
( ) 1 2 , ,…, n α = α α α adalah α , x = β . Carilah nilai β agar bidang datar tersebut
melalui titik ( ) 1 2 , ,…, n y= y y y
b. Carilah persamaan luasan bola di dalam ruang 􀁜n yang memiliki titik pusat
α =(1,−2,1, 2) dan berjari-jari 4.
2. Buktikan bahwa fungsi ( ) 1 2 , ,…, n f = f f f dari 􀁜 ke 􀁜n mempunyai limit
( ) 1 2 , ,…, n c= c c c untuk x → a . Jadi lim ( )
x a
f x c

= jika dan hanya jika lim ( ) x a k k
f x c

= untuk
k= 1,2,…,n.
3. Jika f (x) sin 2x,ex 1,tanx
x
=⎛⎜ − − ⎞⎟
⎝ ⎠
dengan x∈[−1, 2],
a) Hitung
0
lim ( )
x
f x

!
b) Cari titik-titik diskontinu dan titik-titik kontinu fungsi f (x) tersebut!
4. Jika F(x,y)=(2xy−x2,y2−4x), P=(0,0),Q=(1,2),R=(1,0) , hitung nilai integral
garis . Q
P
c∫ Fdr jika c memiliki persamaan :
a) Poligon yang menghubungkan P ke R ke Q
b) y= 2x
c) y= 2×2
Ujian Akhir Semester
Kalkulus Multivariabel II
Prof Dr. Soeparna Darmawijaya
6 Juni 2007, Closed Book
Kerjakan 5 dari 7 soal dibawah ini !
1. Jika V1= α,x−α =0 dan 2 V= β,x−β =0 dua persamaan bidang datar di dalam
ruang 􀁜n , maka berkas bidang datar yang dibentuk adalah 1 2 V+λV = 0 (λ suatu
parameter) 1 V = 0 dan 2 V = 0 disebut anggota pokok dan garis perpotongannya disebut
garis pokok. Buktikan bahwa :
a) Setiap nilai λ menentukan suatu anggota dan setiap anggota menentukan satu
nilai λ .
b) Setiap y ∈ 􀁜n dilalui oleh tepat satu anggota.
c) Setiap anggota memuat garis pokok.
2. Jika persamaan f :􀁜→􀁜n mempunyai derivatif di titik a ∈ 􀁜 buktikan bahwa setiap
fungsi komponennya mempunyai derivatif di a pula dan sebaliknya. Lebih lanjut
buktikan pula ( ) 1, 2,…, n ( ) d fa df df df a
dt dt dt dt
=⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠
.
3. Jika kurva C mempunyai persaman ( ) ,2, 2 3
3
r=r t =⎛⎜t t t ⎞⎟
⎝ ⎠
carilah kelengkungan, puntiran,
T,N,Bdi suatu titik.
4. Jika R merupakan bagian luasan parabolaida 2z=x2+y2 yang terletak di bawah bidang
datar z = 2 dan F=F(x,y,z)=(2y,−xz,yz2 ) , hitung nilai integral luasan
R
∫∫∇ ×F•ndS.
5. Jika V benda (daerah) dengan batas-batas bidang-bidang datar 0, x= y=0,z=0 dan
2x+2y+z=6, 1 R luasan kulit benda tersebut dan
F=F(x,y,z)=(2xy+z,y2,− (x+3y)) hitung nilai integral luasan
R1
∫∫F•ndS.
6. Jika F=F(x,y,z)=(3xy,−5z,10x) dan C persamaan r=r(t)=(t2+1,2t2,t3 ), hitung
nilai integral garis . Q
P
c∫ Fdr dengan P= (2, 2,1),Q= (5,8,8) .
7. Diketahui F=F(x,y,z)=(3xy+z3,x2,3xz3)
a) Buktikan bahwa integral garis . Q
P
c∫ Fdr, dengan P= (1,−2,1),Q=(3,1,4) , bebas
lintas.
b) Jika F mempunyai fungsi skalar potensial, carilah fungsi tersebut!
c) Hitung nilai integral garis fungsi tersebut!
Ujian Tengah Semester
Kalkulus Lanjut
Yusuf dan Lina Aryati
28 Maret 2007, Closed Book
1. Diberikan fungsi f:[a,b] → 􀁜 terbatas. Jika untuk setiap ε > 0 , terdapat partisi P pada
[a,b] sedemikian sehingga U(f,P) −L(f,P) < ε , maka f terintegral Riemann pada
[a,b]. Buktikan!
2. Diberikan fungsi :
2, 0 1
3, 1
( )
2, 1 2
2, 2 3
x x
x
f x
x x
x
⎧ ≤ <
= ⎪⎪⎨ =
− + < ≤ ⎪⎪
⎩ < ≤
dan partisi P={0,1−h,1+h, 2−h, 2+h,3} .
a) Hitung U(f,P)−L(f,P)
b) Apakah f terintegral Riemann pada [0,3] ? Jelaskan alasannya!
3. Diberikan fungsi f:[a,b] → 􀁜 terbatas. Jika f turun monoton pada [a,b] maka f
terintegral Riemann pada [a,b]. Buktikan !
4. Diberikan fungsi f:[a,b] → 􀁜 terbatas. Fungsi f terintegral pada [a,x] untuk setiap
x ≤ b dan ( ) ( ) , [ , ]
x
a
F x =∫ f t dt x∈ a b .
Jika f kontinu di 0 x , maka 0 F’(x ) ada dan 0 0 F’(x ) = f(x ) . Buktikan!
Ujian Akhir Semester
Kalkulus Lanjut
Yusuf dan Lina Aryati
15 Juni 2007, Closed Book
1. Diberikan fungsi f :[−2,3]→􀁜 dengan rumus :
2 2, 2 1
( ) 3, 1 2
2 1, 2 3
t t
f x t t
t t
⎧ − − ≤ <−
⎪ = + − ≤ ≤ ⎨⎪
⎩ + < ≤
Jika [ ]
2
( ) ( ) , 2,3
x
F x f t dt x

=∫ ∈ − , tentukan :
a) Rumus 0 F(x ) secara eksplisit
b) 0 F’(x )
2. Diberikan deret suku positif
1
n
n
a

= Σ
. Jika lim n 1
n
n
a r
a
+
→∞
= , dengan r 0 sehingga
f (z) =c, untuk setiap z∈D, maka tunjukkan f konstan pada D.
Hint: Karena f (z).f(z) =c2 maka
2
( )
( )
f z c
f z
= .
4. Diketahui 4 2 ( )
f z ez
z z
=
+
. Hitunglah integral garis ( )
C
c∫ f z dz, jika
a) C lintasan positif berbentuk segi empat dengan titik-titik sudut 1±2i dan −1±2i .
b) C: 3
z+i = 2 arah positif.
5. Perderetkan secara Laurent ( )
( ) 2
ln 1
f z z
z

=

pada 0< z
H {A 2 (A P),(Q P) 0} − = ∈􀁜 − − ⊥ <
Buktikan bahwa H− konveks.
Kemudian tentukan bidang H− jika titik P = (−1, 2) dan Q = (3, 4) !
Semua soal harus disertai gambar yang lengkap !
Ujian Tengah Semester
Peng. Analisis Numerik
Lina Aryati
3 April 2007, Closed Book
1. a. Apa yang anda dapat simpulkan tentang fungsi ( ) 1 fx= −sinx dan
( ) cos2
1 sin
g x x
x
=
+
?
b. Fungsi mana yang anda pilih untuk menghitung pendekatan nilai fungsi untuk x
mendekati 2
π ? Mengapa?
c. Fungsi mana yang anda pilih untuk menghitung pendekatan nilai fungsi untuk x
mendekati 3
2
π ? Mengapa?
2. a. Misalkan 1P(x) merupakan interpolasi linear yang melewati dua data ( , ( )) o o x f x dan
( ) 1 1 x, f(x) . Jika f ‘ dan f ” ada dan kontinu pada [ ] 0 1 x , x , maka terdapat β dengan
0 1 x <β < x sehingga
( )( ) 0 1
1 ( ) ( ) ( ) ”( )
2!
x x x x
e x f x P x f β
− −
= − = , untuk setiap
[ ] 0 1 x ∈ x ,x . Buktikan!
b. Diberikan data yang berasal dari f (x) = lnx berikut
Tentukan polinom berderajad dua yang menginterpolasi data diatas. Kemudian
gunakan untuk menghitung nilai pendekatan dari ln (0,3). Dengan menghitung
f ”’(0, 25) , tentukan nilai pendekatan untuk e(0,3) !
3. Dengan menggunakan metode Bisection sebanyak 4 langkah (n = 4), tentukan nilai
pendekatan untuk pembuat nol fungsi f (x) =x3 −4x+1 yang terletak di antara 0 dan 1.
4. Nilai pendekatan ( )
b
a
∫ f x dx dapat dihitung dengan metode Trapezium
[ ] 2( ) ( ) ( )
2
T f b a f a f b

= +
Uraikan dengan lengkap cara mendapatkan rumus 2T (f)
x 0.1 0.2 0.4
f(x) -2.303 -1.609 -0.916
Ujian Akhir Semester
Peng. Analisis Numerik
Lina Aryati
12 Juni 2007, Closed Book
1. a. Buktikan bahwa terdapat tepat satu polinom berderajad n yang menginterpolasi
(n+1) data.
b. Diketahui hasil running program dengan suatu metode sebagai berikut:
h Nilai Mutlak Error
1/4 0.5948
1/16 0.1544
1/64 0.0389
Berapakah perkiraan orde error dari metode yang digunakan? Mengapa?
2. a. Jika f analitik dan nilai f(x – h), f(x + h), dan f(x – 2h) diketahui, tentukan rumus
pendekatan untuk ”( f x) dengan metode koefisien tak tentu. Berapakah error
pendekatannya?
b. Dengan menggunakan hasil a., hitung nilai pendekatan untuk f ”(0.5) jika diketahui
data berikut:
x 0.4 0.5 0.6 0.7
f(x) 0.737 0.794 0.843 0.888
3. a. Diketahui rumus pendekatan differensi berikut :
‘( ) (1) ( ) ( 3 ) 9 ( ) 8 ( )
h 6
f x D f x f x h f x h f x
h
− + + + −
= = ,
dengan error (1) ( ) 1 2 ”( )
h 2 e f x ≈ h f x . Lakukan analisis sensitivitas nilai fungsi terhadap
error dari rumus pendekatan tersebut.
b. Diketahui f (x)=ln(1−x) . Jika nilai pendekatan untuk 1
f ‘( 2) dihitung dengan rumus
pendekatan pada a., dan nilai f dihitung sampai dua angka di belakang koma, tentukan
nilai h􀀄 * sehingga untuk h 1 ? Beri alasan secara jelas.
b) Kenapa 1+1 = 2?
2. Diberikan sistem bilangan asli (􀁠,+,⋅). Jika m,n∈ 􀁠 dan m≤n,
buktikan n|m atau (∃p,q∈􀁠).(n=pm+q ∧ 1≤q<n)
3. Di dalam sistem bilangan asli (􀁠,+,⋅) dibentuk himpunan
P={p∈􀁠|(∀n∈􀁠)(n|p⇒ n= p∨n=1)}
Tunjukkan :
a) P bukan himpunan kosong
b) 1∉ P dan (∀n∈􀁠).1+1≤n
c) ( )( ( ) ) 1 12 1 ,…, . … k k ∀n∈􀁠 n≠ ⇒ ∃p p∈Pn=pp p
Ujian Akhir Semester
Peng. Teori Bilangan
Budi Surodjo
12 Juni 2007, Open Book
1. Diberikan S himpunan tidak kosong dilengkapi dengan operasi biner *:S×S→S yang
memenuhi :
a. ( )( )( ) 1 1 1 ∃e∈S ∀s∈S s*e ≠e
b. ( )( )( ) 2 2 2 ∃e ∈S ∀r,s∈S r*e =s*e ⇒r=s
c. ( )( )( ) 3 3 3 ∃e∈S ∀r,s∈S (s*r)*e =s*(r*e)
d. ( )( ( ) ) 1 2 3 1,2,3 ∀G⊆S ∃e,e,e ∈G∧ s∈G⇒s*e ∈G ⇒G=S
Apakah S dapat membentuk sistem bilangan asli? Jelaskan jawaban anda!
2. Diketahui S×S ={(n,m) n,m∈S} dengan ( , , ) S S S + × sistem bilangan asli dan
(,) {(,) } S S n m = k l ∈S×S k+ m=n+ l
2.1. Tunjukkan bahwa ada sistem ( , , ) S S S S S S × × × + × yang membentuk perluasan
( , , ) S S S + × !
2.2. Ada berapa banyak pasangan ((n,m),(k,l)) yang memenuhi
(n,m).(k,l)=(n,m).(11,1)+(13,1).(k,l)+(m+1,m).(l +1,l)
Catatan: Notasi × disingkat dengan .
3. Diketahui P×(P−{(m,m)})={(n,l) n∈P,l∈P−{(m,m)}} dengan P=S×S.
3.1. Tunjukkan bahwa ada sistem ( , , ) P P P P P P × × × + × yang membentuk perluasan
( , , ) S S S S S S × × × + × .
3.2. Jika dan (( , ),( , )) ((1 1,1),( 1, )) Q Q=⎛⎜P×P mk pq ⎞⎟≥ + q+ q
⎝ ⎠
, buktikan
bahwa (( , ),( , )) (( , ),( , )) ((3,1),( 1, )) Q m k p q + p q m k ≥ k + k
3.3. Buatlah suatu sistem yang merupakan perluasan dari sistem ( , , ) P P P P P P × × × + × .
Jelaskan prosesnya!
Ujian Tengah Semester
Masalah Syarat Batas
Moch. Tari M.Si
29 Maret 2007, Open Book
1. Tentukan Integral Fourier Sinus dan Cosinus untuk fungsi
( ) 4 2
fx x ex − =
2. Fungsi f didefinisikan :
4sin ,
( )
0 , dan
x x
f x
x x
π π
π π
⎧ − < <
= ⎨⎩
Ditanyakan :
a. Integral Fourier Fungsi itu
b. Dengan menggunakan hasil pada a. dan kovergensinya di x =π , perlihatkan
bahwa 2
2
0
1 sin 0
1
πα dα
α

=
− ∫
3. Tentukan penyelesaian masalah syarat batas semi infinit berikut:
i. 1
t 4 xx U= U , 0 < x 0
ii. U(0,t) = 0 , t > 0
iii. U(x,0)= 0,004 , 0 < x < ∞
Ujian Akhir Semester
Masalah Syarat Batas
Moch. Tari M.Si
7 Juni 2007, Open Book
1. Selesaikan BVP untuk vibrasi membran berikut:
tt xx yy U =U +U ; 0<x<π, 0<y0
U(0,y,t)=U(π,y,t)=U(x, 0,t)=U(x,π,t) = 0 ; t ≥ 0
( , ,0) 0 t U x y = ; 0 <x<π , 0 <y<π
U(x,y,0)=0,25xy ; 0<x<π, 0<y<π
2. Diketahui BVP berikut:
1
tt 4 xx Y= Y ; 0< x 0
Y(0,t) = 0 ; t ≥ 0
( ,0) 0 t Y x = ; 0 < x < ∞
( ) 3
2 ,0 ( ) 1
32
Y x f x xe− = = ; 0 < x < ∞
Tentukan penyelesaiannya, kemudian tentukan Y(x,t) jika syarat terakhir diganti dengan
( ) 1(1 )
2
fx= −e− x ; 0 < x < ∞
Ujian Tengah Semester
Peng. Teori Kendali
Dr. Salmah M.Si
2 April 2007, Open Book
1. Diberikan sistem dengan persamaan
􀀅s􀀅 =u
Diambil state 1 x = s dan 2 x = s􀀅
a. Tentukan persamaan bentuk state space sistem!
b. Desain observer sedemikian sehingga pole observer terletak di −1± i !
c. Berikan persamaan sistem observer!
2. Pandang sistem
6 28 3
2 2 1
x x u
⎛− ⎞ ⎛ ⎞
=⎜⎝− ⎟⎠ +⎜⎝ ⎟⎠
􀀅
y=(1 −14)x
a. Buatlah desain umpan balik dengan pole system terletak di -1 dan -2!
b. Buatlah desain observer dengan pole observer terletak di −1± i !
c. Buatlah gabungan desain umpan balik dan observer dengan pole terletak seperti pada
soal a. dan b.!
d. Berikan persamaan sistem setelah diberi umpan balik dan dibangun observer!
3. Diberikan sistem dalam bentuk state space
1 1 2
0 2 0
x x u
⎛− ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
􀀅
a. Tunjukkan bahwa sistem tidak teramati!
b. Selidiki sub ruang teramati sistem tersebut!
c. Apakah sistem dapat distabilkan?
4. Diberikan sistem
1 0 2 1
0 3 0 1
1 0 0 0
x x u
⎛− ⎞ ⎛ ⎞
=⎜⎜ − ⎟⎟ +⎜⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
􀀅
a. Tunjukkan bahwa sistem tidak stabil!
b. Tunjukkan bahwa sistem dapat distabilkan!
c. Hitunglah kendali umpan balik u=Fx sedemikian sehingga pole sistem terletak
di -1, -2, dan -3!
d. Tunjukkan bahwa sistem tidak teramati!
e. Apakah sistem detectable? Jelaskan jawaban anda!
Ujian Akhir Semester
Peng. Teori Kendali
Dr. Salmah M.Si
11 Juni 2007, Closed Book
1. Diberikan sistem yang memenuhi
x 􀀅 = Ax+Bu dengan
0 1 0
,
0,16 1 1
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜⎝− − ⎟⎠ =⎜⎝ ⎟⎠
a. Selidiki apakah sistem terkendali!
b. Jika sistem dapat dikendalikan carilah umpan balik sedemikian sehingga pole sistem
terletak di 1,2 μ = −1± i !
c. Diberikan y=(1 0)x. Apakah sistem teramati?
d. Jika dapat buatlah desain observer yang menempatkan pole sistem di 1,2 λ = −1± i !
2. Diberikan sistem yang memenuhi
x􀀅 = Ax+Bu dengan
1 0 2 1
0 3 0 , 1 ,
1 0 0 0
A B y Cx
⎛− ⎞ ⎛ ⎞
=⎜⎜ − ⎟⎟ =⎜⎜ ⎟⎟ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dengan C =(1 0 0)
a. Apakah sistem stabil?
b. Apakah sistem dapat distabilkan?
c. Dapatkah menempatkan pole sistem di -1, -2, dan -3? Jika dapat hitunglah kendali
umpan baliknya!
3. Selidikilah masalah kendali optimal berikut apakah mempunyai penyelesaian. Jika
mempunyai penyelesaian optimal tentukan penyelesaian optimal tersebut.
Minimalkan :
a.
1
2 2
0
2 () 1 ( )
2
⎧⎨− x t− u t⎫⎬dt
⎩ ⎭ ∫ yang memenuhi 0 x􀀅(t) =−2x(t)+u(t), x(0)=x
b. { } 1
2 2
0
∫ 2x (t)−u (t) dt yang memenuhi 0
( ) 1 ( ) ( ), (0)
2
x􀀅t= xt+ut x =x
4. Diberikan sistem yang memenuhi
x 􀀅 = Ax+Bu dengan
0 1 0
,
0 0 1
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Akan diminimalkan fungsi objektif ( ) 2
0
J xTQx u dt

=∫ + , dengan
1 0
0 2
Q
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
a. Tentukan persamaan aljabar Riccatinya!
b. Carilah solusi persamaan aljabar Riccati!
c. Carilah kendali optimal steady state!
d. Tentukan sistem lingkar tertutupnya dan selidiki kestabilannya.
e. Jika 0
1
1
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, tentukan rumus x(t) untuk respon sistem lingkar tertutupnya.
Kemudian tentukan x(5)!
Ujian Tengah Semester
Teori Himpunan
Budi Surodjo
27 Maret 2007, Closed Book
Catatan: Kalau berani kerjakan dahulu soal yang sulit
1. Diberikan dua himpunan A dan B.
1.1 Benarkah A∪B∼A jika dan hanya jika B ⊆ A ? Jelaskan!
1.2 Jika AB ={f | f :B→A} himpunan denumerabel, apakah yang anda ketahui tentang
A dan B? jelaskan!
2. Ceritakan dan beri penjelasan:
2.1 Manfaat teori himpunan pada bidang statistika ?!
2.2 Manfaat teori himpunan pada bidang ilmu komputer ?!
3. Untuk sebarang himpunan H didefinisikan
P(H)={X|X⊆H}
3.1 Apa yang anda ketahui tentang P(∅) ? Jelaskan!
3.2 Jika K himpunan, apakah P(H×K) ∼P(H)× P(K) ? Jelaskan!
4. Diketahui 􀁠 ={1,2,3,…}. Himpunan A hingga, jika A = ∅ atau
(∃n∈􀁠).A∼{1, 2,3,…,n} . Himpunan A tak hingga jika
(∃B ⊆A)(A≠B∧B∼A)
Buktikan:
1. Jika (∀n∈􀁠).A􀁘{1, 2,…,n} , maka A = ∅ atau A tak hingga.
2. A hingga jika dan hanya jika tak benar A tak hingga!
Ujian Akhir Semester
Teori Himpunan
Budi Surodjo
5 Juni 2007, Closed Book
1. Diberikan fungsi f :A→B dan fungsi g:B→C.
a. Tentukan syarat agar f 􀁄 g terdefinisi!
b. Jika g􀁄 f injektif, apakah selalu g dan f keduanya injektif? Beri alasan!
2. Diketahui A ≠ ∅ dan 􀁜 adalah himpunan semua bilangan real. Notasi C(B)
menyatakan kardinalitas himpunan B.
2.1. Apakah selalu berlaku C([0,1]) =C(􀁜)? Jelaskan!
2.2. Definisikan C(A)−C(B)!
2.3. Apakah C(D)(C(A)−C(B))=C(D)C(A)−C(D)C(B)? Jelaskan!
3. Sekelompok anak akan bermain kelereng. Mereka meletakkan 27 kelereng ke dalam atau
pada suatu segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 meter. Jari-jari setiap kelereng 1 cm.
Setiap kelereng paling luar terletak pada segitiga dengan pusat kelereng tepat pada sisi
segitiga. Buktikan bahwa terdapat paling sedikit dua kelereng yang berjarak paling jauh
18 cm!
4. Diketahui { 1,2,3,…, } i Ai= n adalah koleksi himpunan-himpunan hingga. Apakah benar
1 2 1 2 3
1 2 1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 , 1 , , 1
, , , 1
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) …
( 1) ( … )
n n n n
i i i i i i i
i i ii i i i
n
i i i i
i i i i
n
n
A A A A A A A
A A A A
A A A
= = ≥ ≥

= − ∩ + ∩ ∩
− ∩ ∩ ∩ + +
− ∩ ∩
Σ Σ Σ
Σ
C ∪ C C C
C
C
dengan j k i ≠i untuk setiap i≠k? Jika ya, buktikan!
Ujian Tengah Semester
Peng. Teori Modul
Sri Wahyuni, M.S, DR, Prof.
27 Maret 2007, Closed Book
1. Misalkan M adalah modul atas Ring R, dan 1 S serta 2 S adalah submodul-submodul
dalam M.
a) Tunjukkan 1 2 S S ∩ juga submodul di M
b) Tunjukkan 1 2 S S + juga submodul di M
c) Tunjukkan 1 2 S S ∪ belum tentu submodul di M
d) Tunjukkan 1 2 1 2 S +S = S ∪S
e) Sudah diketahui bahwa akan terbentuk 4 modul faktor
( ) ( )
( ) ( ) 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
S S , S S , S , S
S S S S S S
+ +
∩ ∩
Terangkan hubungan-hubungan yang mungkin diantara keempat Modul Faktor
tersebut. Jelaskan!
(Nilai: 50)
2. Misalkan V adalah ruang vektor atas F. Sudah kita ketahui bahwa akan terbentuk Ring
Suku Banyak F[x]. Misalkan juga T adalah Transformasi Linear dari V ke V.
a) Tunjukkan bahwa V merupakan modul atas F[x] terhadap operasi sebagai berikut:
p(x)􀁄v=p(T)(v)
∀p(x)∈F[x] dan ∀v∈V
b) Jika diambil V = 􀁜3 dan T :􀁜3→􀁜3 dengan definisi
1 1
3
2 1 2
3 2 3
0
,
x x
T x x x
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟=⎜⎜ ⎟⎟ ∀⎜⎜ ⎟⎟∈
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
􀁜
Deskripsikan Modul V atas F[x] melalui Transformasi Linear T seperti pada soal
a) di atas!
(Nilai: 50)
Ujian Akhir Semester
Peng. Teori Modul
Sri Wahyuni, M.S, DR, Prof.
5 Juni 2007, Closed Book
1. Misalkan M1 dan M2 masing-masing adalah Modul atas Ring Komutatif R dengan elemen
satuan 1R. Selanjutnya dibentuk himpunan
{( ) } 1 2 1 2 1 1 2 2 M ×M= m,m m∈M,m∈M
dan operasi jumlahan + pada 1 2 M ×M ,yaitu untuk setiap ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 m,m , m’,m ‘ ∈M ×M
didefinisikan :
( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 m,m + m’,m ‘ = m +m ‘,m +m ‘
Perintah a.)
Tunjukkan secara singkat bahwa 1 2 M ×M merupakan Grup Abelian!
Selanjutnya, jika r∈R dan ( ) 1 2 1 2 m,m ∈M ×M didefinisikan operasi 􀁄 (pergandaan
skalar) sebagai berikut :
( ) ( ) 1 2 1 2 r􀁄 m,m = rm,rm
Perintah b.)
Tunjukkan 1 2 M ×M merupakan Modul atas Ring R terhadap operasi 􀁄 diatas!
2. Diketahui Modul M atas Ring Komutatif R dengan elemen satuan 1R. Selanjutnya
dibentuk himpunan
( ) { : homomorfisma modul} R End M = f M→M f
Pada ( ) R End M didefinisikan operasi + dan 􀁄 sebagai berikut.
Untuk setiap , ( ) R f g∈End M dan untuk setiap m∈M
i. f + g adalah fungsi dari M ke M dengan definisi ( f+g)(m)=f(m)+g(m)
ii. f 􀁄 g adalah fungsi dari M ke M dengan definisi ( f 􀁄g)(m)= f(g(m))
Perintah a.)
Tunjukkan secara singkat bahwa ( ) R End M adalah Ring dengan elemen satuan!
Selanjutnya didefinisikan operasi pergandaan skalar antara ( ) R f ∈ End M dan m∈M
sebagai berikut :
f 􀁄m=f(m)
Perintah b.)
Tunjukkan bahwa M merupakan Modul atas Ring ( ) R End M terhadap operasi
pergandaan skalar 􀁄 diatas!
3. 􀁝8 dapat dipandang sebagai 􀁝 -Modul dan juga dapat dipandang sebagai 􀁝8 -Modul.
Hitunglah :
a) ( ) 8 T 􀁝 jika 􀁝8 = 􀁝 -Modul
b) ( ) 8 T 􀁝 jika 􀁝8 = 􀁝8 -Modul
c) Annihilator {2} jika 􀁝8 = 􀁝 -Modul
d) Annihilator {2} jika 􀁝8 = 􀁝8 -Modul
Ujian Tengah Semester
Peng. Topologi
Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS
29 Maret 2007, Closed Book
1. Diberikan 􀁠 = {1, 2,3,…} dan didefinisikan
{, 1, 2,…} n E = nn+ n+ , untuk n ∈ 􀁠
Dibentuk keluarga himpunan bagian 􀁠 sebagai berikut :
{ } { | } n τ = Ø ∪ E n∈􀁠
Buktikan τ topologi pada 􀁠 !
2. Jika (X ,τ ) ruang topologi, A⊂X dan A􀁄 himpunan semua titik interior A, buktikan:
a. A􀁄 terbuka
b. A􀁄 himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A
3. Untuk setiap ruang topologi ( X ,τ ) dan A,B⊂X buktikan :
a. A∪B=A∪B
b. A∩B⊂A∩B dan tidak berlaku sebaliknya
4. Jika X ={a,b,c,d,e} buktikan
S= {{a,b},{b,c},{e,d},{d,e}}
Merupakan subbasis untuk suatu topologi pada X. Tentukan juga topologinya.
5. Dalam ruang topologi biasa (􀁜,τ ) buatlah liput terbuka untuk interval [−2,1) yang tidak
memuat liput terbuka berhingga.
Ujian Akhir Semester
Peng. Topologi
Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS
7 Juni 2007, Closed Book
1. Jika 1 2 , ,..., n τ τ τ topologi pada himpunan tak kosong X, buktikan
1
n
i
i
τ
= ∩
topologi pada X !
2. Diberikan ruang topologi biasa (􀁜,τ ) dan himpunan
A 1n 3 1n
n n
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
=⎨ ∈ ⎬∪⎨ − ∈ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
􀁠 􀁠
Tentukan A􀁄, A', A, b(A), dan ext(A)
3. Diberikan ruang topologi (X ,τ ), himpunan K kompak di dalamnya dan F⊂K dengan
F tertutup. Buktikan F kompak!
4. Jika (X ,τ ) ruang topologi terhubung dan fungsi f :X→Y kontinu pada X, buktikan
f(x) terhubung.
5. Buktikan setiap ruang T4 pasti ruang T3 dan setiap ruang T3 pasti ruang Hausdorff.
Ujian Tengah Semester
Peng. Teori Ukuran & Integral Umum
Ch. Rini Indrati
3 April 2007, Closed Book
I. JAWABAN SINGKAT
1. Berikan pengertian himpunan E ⊆ 􀁜 terukur Lebesgue!
2. Diketahui X himpunan tidak kosong dan A Aljabar −σ pada X
i. Kapan A⊆X terukur?
ii. Berikan pengertian ukuran μ pada ruang terukur ( X , A ) !
iii. Berikan pengertian fungsi f :X → 􀁜 terukur −μ !
iv. Berikan pengertian fungsi sederhana pada X!
v. Berikan pengertian SIFAT P berlaku hampir dimana-mana pada E⊆X!
3. Diberikan ruang ukuran (X,A,μ) dan f fungsi terukur non negatif pada X. Berikan
pengertian
X
∫ f dμ !
II. ESSAY
1. Diketahui X = {1, 2,3, 4} , { { } { }} 1 A = ∅,X, 1 , 2,3,4 , dan { { } { }} 2 A = ∅,X, 2 , 1,3,4 .
a. Berikan 1 2 A ∪A !
b. Selidiki apakah 1 2 A , A , maupun 1 2 A ∪A aljabar pada X ?
2. Tunjukkan bahwa koleksi semua himpunan terukur Lebesgue di 􀁜 membentuk aljabar!
3. Tunjukkan bahwa jika { } n f barisan fungsi terukur −μ pada ruang terukur (X , A), maka
inf n n
f terukur −μ pada ruang terukur ( X , A ) !
4. Diberikan fungsi ( )
3, 1 4
1, 4 5
4, 5 7
x
f x x
x
− ≤ < ⎧⎪
= ≤ ≤ ⎨⎪
⎩ < ≤
. Hitunglah ( ) ( )
E
∫ f x dμ x , dengan E = [−1,7]
dan μ ukuran Lebesgue pada 􀁜 !
5. Diberikan ruang ukuran (X,A,μ) dan f fungsi terukur non-negatif pada X. Jika f = 0
hampir di mana-mana pada X, tunjukkan bahwa 0
X
∫ f dμ = !

Jawaban soal UTS PJJ PBO @Tessy Badriyah, 21 April 2007 PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER PEMROGRAMAN BERBASIS OBYEK


Jawaban soal UTS PJJ PBO @Tessy Badriyah, 21 April 2007
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER
PEMROGRAMAN BERBASIS OBYEK
Dosen : Tim Dosen PBO
1. Buat program untuk menampilkan bilangan ganjil yang lebih kecil dari 20
menggunakan :
a. For
b. While atau do while (pilih salah satu)
Jawaban :
public class Ganjil {
public static void main(String [] args) {
int i;
for (i=0; i0)
System.out.print(i + ” “);
}
}
}
public class Ganjil {
public static void main(String [] args) {
int i=0;
while (i0)
System.out.print(i + ” “);
i++;
}
}
}
public class Ganjil {
public static void main(String [] args) {
int i=0;
do {
if ((i%2)>0)
System.out.print(i + ” “);
i++;
} while (i<20);
}
}
2. Dengan menggunakan array 2 dimensi, buatlah program yang menghitung nilai
akhir dari 3 mahasiswa dengan aturan : Na = 0.35*UTS + 0.45*UAS + 0.2*Tugas;
Nama UTS UAS Tugas
Amin 67 78 89
Budi 78 90 87
Candra 56 67 70
Jawaban soal UTS PJJ PBO @Tessy Badriyah, 21 April 2007
Jawaban :
public class Nilai {
public static void main(String [] args) {
String nama[]={“Amin”, “Budi”, “Candra”};
double uts[]={67,78,56}, uas[]={78,90,67}, tugas[]={89,87,70}, NA;
for (int i=0; i bilangan desimal
10 => bilangan octal karena dimulai dengan 0
18 => bilangan hexa karena dimulai dengan 0x
4. Apa yang terjadi jika program ini dijalankan ? Jika terjadi error betulkan !
public class Test {
public static void main(String args []) {
short s = 9;
int i=10;
float f=11.1f;
double d=12.2;
s = i;
d = f;
i = d;
}
}
Jawaban :
Prinsip : widening (tipe data variabel di sebelah kiri harus memiliki range
(jangkauan) yang lebih luas daripada tipe data variabel di sebelah kanannya.
Jawaban soal UTS PJJ PBO @Tessy Badriyah, 21 April 2007
Pembetulan :
public class Test {
public static void main(String args []) {
short s = 9;
int i=10;
float f=11.1f;
double d=12.2;
s = (short) i;
d = f;
i = (int) d;
}
}
5. Apa hasil compile dan eksekusi program dibawah ini ?
public class Test {
public static void main(String args []) {
int bil=1, j=0, temp, i;
for (i=0; i<5; i++) {
temp = i % 2;
switch (temp) {
case 0 : j=j+bil++;
break;
case 1 : j=j+ (++bil);
break;
}
}
System.out.println(j);
}
}
Jawaban :
17
6. Untuk program-program di bawah ini, berikan penjelasan dan tebaklah
outputnya !
a. public class ShortAnd {
public static void main(String args[] ) {
int a=5, b=7;
if ((a<2) && (b++<10)) b+=2;
System.out.println(b);
}
}
b. public class ShortOr {
public static void main(String args[] ) {
int a=5, b=7;
if ((a<2) || (b++<10)) b+=2;
System.out.println(b);
}
}
c. public class Complement {
public static void main(String args[] ) {
int i;
i=~7;
System.out.println(i);
}
}
d. public class LeftShift {
public static void main(String args[] ) {
int i=3;
i = i <80)
NH=”A”;
else if (NA>70)
NH=”AB”;
else if (NA>65)
NH=”B”;
else if (NA>60)
NH=”BC”;
else if (NA>55)
NH=”C”;
else if (NA>40)
NH=”D”;
else
NH=”E”;
System.out.println(“Nilai angka = “+NA);
System.out.println(“Nilai huruf = “+NH);
}
}
8. Buat program dengan menggunakan array untuk menghitung bilangan Fibonacci
tentukan n=9 (Bilangan Fibonacci adalah bilangan yang menjumlahkan 2
bilangan sebelumnya !
Jawaban :
public class Fibonacci {
public static void main(String args []) {
int n = 9;
// Program Fibonacci
int i;
int fibo[];
fibo=new int [10];
Jawaban soal UTS PJJ PBO @Tessy Badriyah, 21 April 2007
fibo[1]=1; fibo[2]=1;
for (i=3; i<10; i++)
fibo[i]=fibo[i-1]+fibo[i-2];
System.out.println(“Bilangan Fibonacci suku ke-1 sampai 9 :”);
for (i=1; i<10; i++)
System.out.print(fibo[i]+” “);
}
}
9. Jelaskan perbedaan 2 program di bawah ini dan tebaklah masing-masing
outputnya !
public class Switch1 {
public static void main(String
args[]) {
int i = 2;
switch (i) {
case 1 : i+=3;
break;
case 2 : i+=5;
break;
default : i+=10;
}
System.out.println(i);
}
}
public class Switch2 {
public static void main(String args[]) {
int i = 2;
switch (i) {
case 1 : i+=3;
case 2 : i+=5;
default : i+=10;
}
System.out.println(i);
}
}
Jawaban :
Pada program sebelah kiri, setelah mengerjakan statement yang ada di case 2, dan karena
diakhiri dengan perintah break maka keluar dari switch dan langsung mencetak nilai
variabel i. outputnya 7.
Pada program sebelah kanan, karena setelah mengerjakan statement yang ada di case 2,
di dalamnya tidak diberi perintah break maka akan melanjutkan ke statement berikutnya
(yaitu default) sehingga outputnya 17.
10. Implementasikan UML class diagram di bawah ini ke dalam program untuk class
Mahasiswa
Mahasiswa
-nrp : int
-nama : String
+ Mahasiswa(i : int, String n)
+ getNRP() : int
+ getNama() : String
Jawaban soal UTS PJJ PBO @Tessy Badriyah, 21 April 2007
Jawaban :
public class Mahasiswa {
public int nrp;
public String nama;
public Mahasiswa(int i, String n) {
this.nrp=i;
this.nama=n;
}
public int getNRP() {
return nrp;
}
public String getNama() {
return nama;
}
}
class TesMahasiswa {
public static void main(String [] args) {
Mahasiswa siswa = new Mahasiswa(123,”SAYA”);
System.out.println(“NRP = “+siswa.getNRP());
System.out.println(“Nama = “+siswa.getNama());
}
}

IKI-20230 Sistem Operasi Kumpulan Soal Ujian 2002 – 2005


IKI-20230 Sistem Operasi
Kumpulan Soal Ujian 2002 – 2005
© 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim (vLSM.org)
PDF: http://rms46.vLSM.org/1/94.pdf
OpenOffice.org: http://rms46.vLSM.org/1/94.odt Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini.
Pasangan Konsep I (2002-2005)
Terangkan dengan singkat, pasangan konsep berikut ini. Terangkan pula perbedaan atau/dan
persamaan pasangan konsep tersebut.
a) OS View: ”Resource Allocator” vs. ”Control Program”
b) ”Graceful Degradation” –- ”Fault Tolerant”.
c) Dual Mode Operation : ”User mode” vs. ”Monitor mode”.
d) Operating System Goal: ”Convenient” vs. ”Efficient”
e) ”System Components” vs. ”System Calls”.
f) ”Operating System Components” vs. ”Operating System Services”
g) ”Symetric Multiprocessing” vs. ”Asymetric Multiprocessing”
h) ”Distributed Systems” vs. ”Clustered Systems”.
i) ”Client Server System” vs.”Peer-to-peer system”.
j) ”Microkernels” vs. ”Virtual Machines”
k) ”Random Access Memory” vs. ”Magnetic Disk”.
l) ”Hard Real-time” vs ”Soft Real-time”
m)Job: “Batch system” vs. “Time-Sharing System”
n) System Design: “Mechanism” vs. “Policy”
o) Burst Cycle: “I/O Burst” vs. “CPU Burst”
p) Process Bound: “I/O Bound” vs. “CPU Bound”
q) ”Process State” vs. ”Process Control Block”.
r) ”Waiting Time” vs. ”Response Time”
s) Process Type: “Lightweight” vs. “Heavyweight”
t) Multithread Model: ”One to One” vs. ”Many to Many”
u) Scheduling Process: “Short Term” vs. “Long Term”
v) Scheduling Algorithm: “FCFS (First Come First Serve)” vs. “SJF (Shortest Job First)”
w) Preemptive Shortest Job First vs. Non-preemptive Shortest Job First.
x) Inter Process Communication: “Direct Communication” vs. “Indirect Communication”
y) ”Critical Section” vs. ”Race Condition”.
z) Process Synchronization: “Monitor” vs. “Semaphore”
aa)”Deadlock Avoidance” vs. ”Deadlock Detection”.
ab)”Deadlock” vs. ”Starvation”.
ac)Address Space: ”Logical” vs. ”Physical”
ad)Dynamic Storage Allocation Strategy: ”Best Fit” vs. ”Worse Fit”
ae)Virtual Memory Allocation Strategy: ”Global” vs. ”Local Replacement”
af)File Operations: ”Deleting” vs. ”Truncating”
ag)Storage System: ”Volatile” vs. ”Non-volatile”
ah)File Allocation Methods: ”Contiguous” vs. ”Linked”
ai)Disk Management: ”Boot Block” vs. ”Bad Block”
aj)I/O Data-Transfer Mode: ”Character” vs. ”Block”
ak)I/O Access Mode: ”Sequential” vs. ”Random”
al)I/O Transfer Schedulle: ”Synchronous” vs. ”Asynchronous”
am)I/O Sharing: ”Dedicated” vs. ”Sharable”
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 1 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
Pasangan Konsep II (2002-2005)
Terangkan dengan singkat, pasangan konsep berikut ini. Terangkan pula perbedaan atau/dan
persamaan pasangan konsep tersebut.
a) I/O direction: ”Read only” vs. ”Write only”
b) ”I/O Structure” vs. ”Storage Structure”
c) Software License: ”Free Software” vs. ”Copyleft”
Konsep Sistem Operasi (2005)
a) Terangkan/jabarkan sekurangnya empat komponen utama dari sebuah Sistem Operasi.
b) Terangkan/jabarkan peranan/pengaruh dari keempat komponen di atas terhadap sebuah
Sistem Operasi Waktu Nyata (Real Time System).
c) Terangkan/jabarkan peranan/pengaruh dari keempat komponen di atas terhadap sebuah
Sistem Prosesor Jamak (Multi Processors System).
d) Terangkan/jabarkan peranan/pengaruh dari keempat komponen di atas terhadap sebuah
Sistem Operasi Terdistribusi (Distributed System).
e) Terangkan/jabarkan peranan/pengaruh dari keempat komponen di atas terhadap sebuah
Sistem Operasi Telepon Seluler (Cellular Phone).
Tabel Proses I (2003)
Berikut merupakan sebagian dari keluaran hasil eksekusi perintah “top b n 1” pada sebuah
sistem GNU/Linux yaitu ”bunga.mhs.cs.ui.ac.id” beberapa saat yang lalu.
15:34:14 up 28 days, 14:40, 53 users, load average: 0.28, 0.31, 0.26
265 processes: 264 sleeping, 1 running, 0 zombie, 0 stopped
CPU states: 5.9% user, 1.8% system, 0.1% nice, 92.2% idle
Mem: 126624K total, 113548K used, 13076K free, 680K buffers
Swap: 263160K total, 58136K used, 205024K free, 41220K cached
PID USER PRI NI SIZE RSS SHARE STAT %CPU %MEM TIME COMMAND
1 root 8 0 460 420 408 S 0.0 0.3 0:56 init
2 root 9 0 0 0 0 SW 0.0 0.0 0:02 keventd
3 root 19 19 0 0 0 SWN 0.0 0.0 0:02 ksoftirqd_CPU0
…..
17353 user1 9 0 2500 2004 2004 S 0.0 1.5 0:00 sshd
17354 user1 9 0 1716 1392 1392 S 0.0 1.0 0:00 bash
17355 user1 9 0 2840 2416 2332 S 0.0 1.9 0:00 pine
12851 user2 9 0 2500 2004 2004 S 0.0 1.5 0:00 sshd
12852 user2 9 0 1776 1436 1436 S 0.0 1.1 0:00 bash
13184 user2 9 0 1792 1076 1076 S 0.0 0.8 0:00 vi
13185 user2 9 0 392 316 316 S 0.0 0.2 0:00 grep
22272 user3 9 0 2604 2592 2292 S 0.0 2.0 0:00 sshd
22273 user3 9 0 1724 1724 1396 S 0.0 1.3 0:00 bash
22283 user3 14 0 980 980 660 R 20.4 0.7 0:00 top
19855 user4 9 0 2476 2048 1996 S 0.0 1.6 0:00 sshd
19856 user4 9 0 1700 1392 1392 S 0.0 1.0 0:00 bash
19858 user4 9 0 2780 2488 2352 S 0.0 1.9 0:00 pine
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 2 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
(sambungan Tabel Proses)
a) Berapakah nomer Process Identification dari program ”top” tersebut?
b) Siapakah yang mengeksekusi program ”top” tersebut?
c) Sekitar jam berapakah, program tersebut dieksekusi?
d) Sudah berapa lama sistem GNU/Linux tersebut hidup/menyala?
e) Berapa pengguna yang sedang berada pada sistem tersebut?
f) Apakah yang dimaksud dengan ”load average”?
g) Apakah yang dimaksud dengan proses ”zombie” ?
Tabel Proses II (2004)
Berikut merupakan sebagian dari keluaran hasil eksekusi perintah “top b n 1” pada sebuah
sistem GNU/Linux yaitu ”rmsbase.vlsm.org” beberapa saat yang lalu.
top – 17:31:56 up 10:14 min, 1 user, load average: 8.64, 5.37, 2.57
Tasks: 95 total, 2 running, 93 sleeping, 0 stopped, 0 zombie
Cpu(s): 14.1% user, 35.7% system, 3.6% nice, 46.6% idle
Mem: 256712k total, 252540k used, 4172k free, 13772k buffers
Swap: 257032k total, 7024k used, 250008k free, 133132k cached
PID USER PR NI VIRT RES SHR S %CPU %MEM TIME+ COMMAND
809 root 19 19 6780 6776 6400 S 42.2 2.6 1:02.47 rsync
709 root 20 19 6952 6952 660 R 29.3 2.7 1:46.72 rsync
710 root 19 19 6492 6484 6392 S 0.0 2.5 0:02.12 rsync
818 rms46 13 0 880 880 668 R 7.3 0.3 0:00.10 top

660 rms46 9 0 1220 1220 996 S 0.0 0.5 0:00.00 bash
661 rms46 9 0 1220 1220 996 S 0.0 0.5 0:00.01 bash

712 rms46 9 0 9256 9256 6068 S 0.0 3.6 0:06.82 evolution
781 rms46 9 0 16172 15m 7128 S 0.0 6.3 0:02.59 evolution-mail
803 rms46 9 0 16172 15m 7128 S 0.0 6.3 0:00.41 evolution-mail
804 rms46 9 0 16172 15m 7128 S 0.0 6.3 0:00.00 evolution-mail
805 rms46 9 0 16172 15m 7128 S 0.0 6.3 0:07.76 evolution-mail
806 rms46 9 0 16172 15m 7128 S 0.0 6.3 0:00.02 evolution-mail
766 rms46 9 0 5624 5624 4572 S 0.0 2.2 0:01.01 evolution-calen
771 rms46 9 0 4848 4848 3932 S 0.0 1.9 0:00.24 evolution-alarm
788 rms46 9 0 5544 5544 4516 S 0.0 2.2 0:00.55 evolution-addre
792 rms46 9 0 4608 4608 3740 S 0.0 1.8 0:01.08 evolution-execu

713 rms46 9 0 23580 23m 13m S 0.0 9.2 0:04.33 firefox-bin
763 rms46 9 0 23580 23m 13m S 0.0 9.2 0:00.57 firefox-bin
764 rms46 9 0 23580 23m 13m S 0.0 9.2 0:00.00 firefox-bin
796 rms46 9 0 23580 23m 13m S 0.0 9.2 0:00.18 firefox-bin
a) Berapakah nomor Process Identification dari program ”top” tersebut?
b) Sekitar jam berapakah, program tersebut dieksekusi?
c) Apakah yang dimaksud dengan proses ”nice” ?
d) Dalam sistem Linux, “process” dan “thread “ berbagi “process table” yang sama. Identifikasi/
tunjukkan (nomor Process Identification) dari salah satu thread. Terangkan alasannya!
e) Terangkan, mengapa sistem yang 46.6% idle dapat memiliki ”load average” yang tinggi!
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 3 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
GNU/Linux (2003)
a) Sebutkan perbedaan utama antara kernel linux versi 1.X dan versi 2.X !
b) Terangkan, apa yang disebut dengan ”Distribusi (distro) Linux”? Berikan empat contoh
distro!
c) Berikut merupakan sebagian dari keluaran menjalankan perintah ”top b n 1” pada server
”bunga.mhs.cs.ui.ac.id” pada tanggal 10 Juni 2003 yang lalu.
d) Jam berapakah program tersebut di atas dijalankan?
e) Berapa waktu yang lalu (perkirakan/hitung dari tanggal 10 Juni tersebut), server
”bunga.mhs.cs.ui.ac.id” terakhir kali (re)boot?
f) Apakah yang dimaksud dengan ”load average” ?
g) Sebutkan nama dari sebuah proses di atas yang statusnya ”running”!
h) Sebutkan nama dari sebuah proses di atas yang statusnya ”waiting”!
16:22:04 up 71 days, 23:40, 8 users, load average: 0.06, 0.02, 0.00
58 processes: 57 sleeping, 1 running, 0 zombie, 0 stopped
CPU states: 15.1% user, 2.4% system, 0.0% nice, 82.5% idle
Mem: 127236K total, 122624K used, 4612K free, 2700K buffers
Swap: 263160K total, 5648K used, 257512K free, 53792K cached
PID USER PRI NI SIZE RSS SHARE STAT %CPU %MEM TIME COMMAND
1 root 0 0 112 72 56 S 0.0 0.0 0:11 init
2 root 0 0 0 0 0 SW 0.0 0.0 0:03 kflushd
4 root 0 0 0 0 0 SW 0.0 0.0 156:14 kswapd

14953 root 0 0 596 308 236 S 0.0 0.2 19:12 sshd
31563 daemon 0 0 272 256 220 S 0.0 0.2 0:02 portmap
1133 user1 18 0 2176 2176 1752 R 8.1 1.7 0:00 top
1112 user1 0 0 2540 2492 2144 S 0.0 1.9 0:00 sshd
1113 user1 7 0 2480 2480 2028 S 0.0 1.9 0:00 bash
30740 user2 0 0 2500 2440 2048 S 0.0 1.9 0:00 sshd
30741 user2 0 0 2456 2456 2024 S 0.0 1.9 0:00 bash
30953 user3 0 0 2500 2440 2072 S 0.0 1.9 0:00 sshd
30954 user3 0 0 2492 2492 2032 S 0.0 1.9 0:00 bash
1109 user3 0 0 3840 3840 3132 S 0.0 3.0 0:01 pine

1103 user8 0 0 2684 2684 1944 S 0.0 2.1 0:00 tin
Kernel Linux 2.6.X (=KL26) (2004)
a) Terangkan, apa yang dimaksud dengan Perangkat Lunak Bebas (PLB) yang berbasis lisensi
GNU GPL (General Public Licence)!
b) KL26 diluncurkan Desember 2003. Terangkan mengapa hingga kini (Januari 2005), belum juga
dibuka cabang pengembangan Kernel Linux versi 2.7.X!
c) KL26 lebih mendukung sistem berskala kecil seperti Mesin Cuci, Kamera, Ponsel, mau pun
PDA. Terangkan, bagaimana kemampuan (feature) opsi tanpa MMU (Memory Management
Unit) dapat mendukung sistem berskala kecil.
d) KL26 lebih mendukung sistem berskala sangat besar seperti ”Enterprise System”. Terangkan
sekurangnya dua kemampuan (feature) agar dapat mendukung sistem berskala sangat besar.
e) KL26 lebih mendukung sistem interaktif seperti ”Work Station”. Terangkan sekurangnya satu
kemampuan (feature) agar dapat mendukung sistem interaktif.
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 4 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
Rancangan Sistem (2002)
Rancang sebuah sistem yang secara rata-rata:
- sanggup melayani secara bersamaan (concurrent) hingga 1000 pengguna (users).
- hanya 1% dari pengguna yang aktif mengetik pada suatu saat, sedangkan sisanya (99%) tidak
mengerjakan apa-apa (idle).
- kecepatan mengetik 10 karakter per detik.
- setiap ketukan (ketik) menghasilkan “response” CPU burst dengan ukuran 10000 instruksi
mesin.
- setiap instruksi mesin dijalankan dalam 2 (dua) buah siklus mesin (machine cycle).
- utilisasi CPU 100%.
a) Gambarkan GANTT chart dari proses-proses tersebut di atas. Lengkapi gambar dengan yang
dimaksud dengan burst time dan response time!
b) Berapa lama, durasi sebuah CPU burst tersebut?
c) Berapa lama, kasus terbaik (best case) response time dari ketikan tersebut?
d) Berapa lama, kasus terburuk (worse case) response time dari ketikan tersebut?
e) Berapa MHz. clock-rate CPU pada kasus butir tersebut di atas?
Penjadualan Proses I (2004)
Diketahui tiga (3) proses preemptive dengan nama berturut-turut P1 (0), P2 (2), dan P3 (4). Angka
dalam kurung menunjukkan waktu tiba (”arrival time”). Ketiga proses tersebut memiliki burst time
yang sama yaitu 4 satuan waktu (unit time). Setiap memulai/peralihan proses, selalu diperlukan
waktu-alih (switch time) sebesar satu (1) satuan waktu.
Berapakah rata-rata turn-around time dan waiting time dari ketiga proses tersebut, jika
diimplementasikan dengan algoritma penjadualan:
Shortest Waiting First: mendahulukan proses dengan waiting time terendah.
Longest Waiting First: mendahulukan proses dengan waiting time tertinggi.
Jika kriteria penjadualan seri, dahulukan proses dengan nomor urut yang lebih kecil (umpama: P1
akan didahulukan dari P2). Jangan lupa membuat Gantt Chart-nya!
Penjadualan Proses II (2002)
Lima proses tiba secara bersamaan pada saat “t0” (awal) dengan urutan P1, P2, P3, P4, dan P5.
Bandingkan (rata-rata) turn-around time dan waiting time dari ke lima proses tersebut di atas; jika
mengimplementasikan algoritma penjadualan seperti FCFS, SJF, dan RR (Round Robin) dengan
kuantum 2 (dua) satuan waktu. Context switch diabaikan.
a) Burst time kelima proses tersebut berturut-turut (10, 8, 6, 4, 2) satuan waktu.
b) Burst time kelima proses tersebut berturut-turut (2, 4, 6, 8, 10) satuan waktu.
Penjadualan Proses III (2001)
Diketahui lima (5) PROSES dengan nama berturut-turut:
● P1 (0, 9)
● P2 (2, 7)
● P3 (4, 1)
● P4 (6, 3)
● P5 (8, 2)
Angka dalam kurung menunjukkan: (”arrival time”, ”burst time”). Setiap peralihan proses, selalu
akan diperlukan waktu-alih (switch time) sebesar satu (1) satuan waktu (unit time).
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 5 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
(Penjadualan Proses III)
a) Berapakah rata-rata turnaround time dan waiting time dari kelima proses tersebut, jika
diimplementasikan dengan algoritma penjadualan FCFS (First Come, First Serve)?
b) Bandingkan turnaround time dan waiting time tersebut, dengan sebuah algoritma penjadualan
dengan ketentuan sebagai berikut:
➔ Pre-emptive: pergantian proses dapat dilakukan kapan saja, jika ada proses lain yang
memenuhi syarat. Namun durasi setiap proses dijamin minimum dua (2) satuan waktu,
sebelum boleh diganti.
➔ Waktu alih (switch-time) sama dengan diatas, yaitu sebesar satu (1) satuan waktu (unit
time).
➔ Jika proses telah menunggu >= 15 satuan waktu:
• dahulukan proses yang telah menunggu paling lama
➔ lainnya:
• dahulukan proses yang menunggu paling sebentar.
➔ Jika kriteria yang terjadi seri:
• dahulukan proses dengan nomor urut yang lebih kecil (umpama: P1 akan didahulukan
dari P2).
Status Proses (2003)
a) Gambarkan sebuah model bagan status proses (process state diagram) dengan minimum lima
(5) status.
b) Sebutkan serta terangkan semua nama status proses (process states) tersebut.
c) Sebutkan serta terangkan semua nama kejadian (event) yang menyebabkan perubahan status
proses.
d) Terangkan perbedaan antara proses ”I/O Bound” dengan proses ”CPU Bound” berdasarkan
bagan status proses tersebut.
Proses (2005)
Silakan menelusuri program C berikut ini. Diasumsikan bahwa PID dari program tersebut (baris
17) ialah 5000, serta tidak ada proses lain yang terbentuk kecuali dari “fork()” program ini.
a) Tuliskan keluaran dari program tersebut.
b) Ubahlah MAXLEVEL (baris 04) menjadi “5”; lalu kompail ulang dan jalankan kembali! Tuliskan
bagian keluaran dari modifikasi program tersebut.
c) Jelaskan asumsi pemilihan PID pada butir “b” di atas!
01 #include
02 #include
03 #include
04 #define MAXLEVEL 4
06 char* turunan[]= {“”, “pertama”,”kedua”,”ketiga”,”keempat”,”kelima”};
07
08 main()
09 {
10 int idx = 1;
11 int putaran = 0;
12 int deret0 = 0;
13 int deret1 = 1;
14 int tmp;
15 pid_t pid;
16
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 6 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
17 printf(“PID INDUK %d\n”, (int) getpid());
18 printf(“START deret Fibonacci… %d… %d…\n”, deret0, deret1);
20 while (putaran 0) /* Induk? */
29 {
30 wait(NULL);
31 printf(“INDUK %s selesai menunggu “, turunan[idx]);
32 printf(“PID %d…\n”, (int) pid);
33 putaran++;
34 } else if (pid==0) { /* Turunan? */
35 printf(“Deret Fibonacci selanjutnya… %d…\n”, deret1);
36 idx++;
37 exit (0);
38 } else { /* Error? */
39 printf(“Error…\n”);
40 exit (1);
41 }
42 };
43 exit (0);
44 }
Deadlock I (2005)
a) Terangkan/jabarkan secara singkat, keempat kondisi yang harus dipenuhi agar terjadi
Deadlock! Gunakan graf untuk menggambarkan keempat kondisi tersebut!
b) Terangkan/jabarkan secara singkat, apakah akan selalu terjadi Deadlock jika keempat kondisi
tersebut dipenuhi?!
Deadlock II (2003)
Diketahui:
a) set P yang terdiri dari dua (2) proses; P = { P1, P2 }.
b) set R yang terdiri dari dua (2) sumber-daya (resources); dengan berturut-turut lima (5) dan dua
(2) instances; R = { R1, R2 } = { {r11, r12, r13, r14, r15 }, {r21, r22 } }.
c) Plafon (jatah maksimum) sumber-daya untuk masing-masing proses ialah:
R1 R2
P1 5 1
P2 3 1
d) Pencegahan deadlock dilakukan dengan Banker’s Algorithm.
e) Alokasi sumber-daya yang memenuhi kriteria Banker’s Algorithm di atas, akan diprioritaskan
pada proses dengan indeks yang lebih kecil.
f) Setelah mendapatkan semua sumber-daya yang diminta, proses akan mengembalikan
SELURUH sumber-daya tersebut.
g) Pada saat T0, ”Teralokasi” serta ”Permintaan” sumber-daya proses ditentukan sebagai
berikut:
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 7 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
TERALOKASI PERMINTAAN
R1 R2 R1 R2
P1 2 0 2 1
P2 2 0 1 1
Gambarkan graph pada urutan T0, T1,… dan seterusnya, hingga semua permintaan sumber-daya
terpenuhi dan dikembalikan. Sebutkan, jika terjadi kondisi ”unsafe”!
Deadlock III (2003)
Diketahui:
a) set P yang terdiri dari tiga (3) proses; P = { P1, P2, P3 }.
b) set R yang terdiri dari tiga (3) resources; masing-masing terdiri dari dua (2) instances; R = { R1,
R2, R3 } = { {r11, r12 }, {r21, r22 }, {r31, r32 } }.
c) Prioritas alokasi sumber daya (resource) akan diberikan pada proses dengan indeks yang lebih
kecil.
d) Jika tersedia: permintaan alokasi sumber daya pada TN akan dipenuhi pada urutan berikutnya
(TN + 1 ).
e) Proses yang telah dipenuhi semua permintaan sumber daya (resources) pada TM ; akan
melepaskan semua sumber daya tersebut pada urutan berikutnya (TM + 1 ).
f) Pencegahan deadlock dilakukan dengan menghindari circular wait.
g) Pada saat T0 , set E0 = { } (atau kosong), sehingga gambar graph-nya sebagai berikut:
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 8 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
P
1
R1
r11
r12
r13
r14
r15
r21
r22
R2
P
2
P
3
P
1 P
2
r
12
R1r
11 r22
R2r
21 r32
R3r
31
Jika set E pada saat T1 menjadi:
E1 = { P1 –> R1, P1 –> R2, P2 –> R1, P2 –> R2, P3 –> R1, P3 –> R2, P3 –> R3 },
gambarkan graph pada urutan T1, T2,… serta (E2, E3, …) berikutnya hingga semua
permintaan sumberdaya terpenuhi dan dikembalikan.
Problem Reader/Writer I (2001)
Perhatikan berkas ”ReaderWriterServer.java” berikut ini (source-code terlampir):
a) Ada berapa object class ”Reader” yang terbentuk? Sebutkan nama-namanya!
b) Ada berapa object class ”Writer” yang terbentuk? Sebutkan nama-namanya!
c) Modifikasi kode program tersebut (cukup baris terkait), sehingga akan terdapat 6 (enam)
”Reader” dan 4 (empat) ”Writer”.
d) Modifikasi kode program tersebut, dengan menambahkan sebuah (satu!) object thread baru
yaitu ”janitor”. Sang ”janitor” berfungsi untuk membersihkan (cleaning). Setelah
membersihkan, ”janitor” akan tidur (sleeping). Pada saat bangun, ”janitor” kembali akan
membersihkan. Dan seterusnya… Pada saat ”janitor” akan membersihkan, tidak boleh ada
”reader” atau ”writer” yang aktif. Jika ada, ”janitor” harus menunggu. Demikian pula, ”reader”
atau ”writer” harus menunggu ”janitor” hingga selesai membersihkan.
Problem Reader/Writer II (2002)
Perhatikan berkas “ReaderWriterServer.java” berikut ini, yang merupakan gabungan
“ReaderWriterServer.java”, “Reader.java”, “Writer.java”, “Semaphore.java”, “Database.java”, oleh
Gagne, Galvin, dan Silberschatz. Terangkan berdasarkan berkas tersebut:
a) akan terbentuk berapa thread, jika menjalankan program class “ReaderWriterServer” ini? Apa
yang membedakan antara sebuah thread dengan thread lainnya?
b) mengapa: jika ada “Reader” yang sedang membaca, tidak ada “Writer” yang dapat menulis;
dan mengapa: jika ada “Writer” yang sedang menulis, tidak ada “Reader” yang dapat
membaca?
c) mengapa: jika ada “Reader” yang sedang membaca, boleh ada “Reader” lainnya yang turut
membaca?
d) modifikasi kode program tersebut (cukup mengubah baris terkait), sehingga akan terdapat 5
(lima) “Reader “dan 4 (empat) “Writer”!
Modifikasi kode program tersebut (cukup mengubah method terkait), sehingga pada saat RAJA
(Reader 0) ingin membaca, tidak boleh ada RAKYAT (Reader lainnya) yang sedang/akan
membaca. JANGAN MEMPERSULIT DIRI SENDIRI: jika RAJA sedang membaca, RAKYAT
boleh turut membaca.
001 // Gabungan ReaderWriterServer.java Reader.java Writer.java
002 // Semaphore.java Database.java
003 // (c) 2000 Gagne, Galvin, Silberschatz
004
005 public class ReaderWriterServer {
006 public static void main(String args[]) {
007 Database server = new Database();
008 Reader[] readerArray = new Reader[NUM_OF_READERS];
009 Writer[] writerArray = new Writer[NUM_OF_WRITERS];
010 for (int i = 0; i < NUM_OF_READERS; i++) {
011 readerArray[i] = new Reader(i, server);
012 readerArray[i].start();
013 }
014 for (int i = 0; i < NUM_OF_WRITERS; i++) {
015 writerArray[i] = new Writer(i, server);
016 writerArray[i].start();
017 }
018 }
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 9 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
019 private static final int NUM_OF_READERS = 3;
020 private static final int NUM_OF_WRITERS = 2;
021 }
022
023 class Reader extends Thread {
024 public Reader(int r, Database db) {
025 readerNum = r;
026 server = db;
027 }
028 public void run() {
029 int c;
030 while (true) {
031 Database.napping();
032 System.out.println(“reader ” + readerNum + ” wants to read.”);
033 c = server.startRead();
034 System.out.println(“reader ” + readerNum +
035 ” is reading. Reader Count = ” + c);
036 Database.napping();
037 System.out.print(“reader ” + readerNum + ” is done reading. “);
038 c = server.endRead();
039 }
040 }
041 private Database server;
042 private int readerNum;
043 }
045 class Writer extends Thread {
046 public Writer(int w, Database db) {
047 writerNum = w;
048 server = db;
049 }
050 public void run() {
051 while (true) {
052 System.out.println(“writer ” + writerNum + ” is sleeping.”);
053 Database.napping();
054 System.out.println(“writer ” + writerNum + ” wants to write.”);
055 server.startWrite();
056 System.out.println(“writer ” + writerNum + ” is writing.”);
057 Database.napping();
058 System.out.println(“writer ” + writerNum + ” is done writing.”);
059 server.endWrite();
060 }
061 }
062 private Database server;
063 private int writerNum;
064 }
065
066 final class Semaphore {
067 public Semaphore() {
068 value = 0;
069 }
070 public Semaphore(int v) {
071 value = v;
072 }
073 public synchronized void P() {
074 while (value 0)
029 {
030 SleepUtilities.nap();
031 System.out.println(“readerX: wants to read.”);
032 server.acquireReadLock();
033 System.out.println(“readerX: is reading.”);
034 SleepUtilities.nap();
035 server.releaseReadLock();
036 System.out.println(“readerX: done…”);
037 }
038 }
039
040 private Database server;
041 private int readercounter = 3;
042 }
043
044 // Writer // ********************************************************
045 class Writer implements Runnable
046 {
047 public Writer(Database db) { server = db; }
048
049 public void run() {
050 while (writercounter– > 0)
051 {
052 SleepUtilities.nap();
053 System.out.println(“writerX: wants to write.”);
054 server.acquireWriteLock();
055 System.out.println(“writerX: is writing.”);
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 12 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
056 SleepUtilities.nap();
057 server.releaseWriteLock();
058 System.out.println(“writerX: done…”);
059 }
060 }
061
062 private Database server;
063 private int writercounter = 3;
064 }
065 // Semaphore // ******************************************************
066 class Semaphore
067 {
068 public Semaphore() { value = 0; }
069 public Semaphore(int val) { value = val; }
070 public synchronized void acquire() {
071 while (value == 0) {
072 try { wait(); }
073 catch (InterruptedException e) { }
074 }
075 value–;
076 }
077
078 public synchronized void release() {
079 ++value;
080 notifyAll();
081 }
082 private int value;
083 }
084
085 // SleepUtilities // *************************************************
086 class SleepUtilities
087 {
088 public static void nap() { nap(NAP_TIME); }
089
090 public static void nap(int duration) {
091 int sleeptime = (int) (duration * Math.random() );
092 try { Thread.sleep(sleeptime*1000); }
093 catch (InterruptedException e) {}
094 }
095 private static final int NAP_TIME = 3;
096 }
097
098 // Database // *******************************************************
099 class Database implements RWLock
100 {
101 public Database() { db = new Semaphore(1); }
102 public void acquireReadLock() { db.acquire(); }
103 public void releaseReadLock() { db.release(); }
104 public void acquireWriteLock() { db.acquire(); }
105 public void releaseWriteLock() { db.release(); }
106 Semaphore db;
107 }
108 // An interface for reader-writer locks. // **************************
109 interface RWLock
110 {
111 public abstract void acquireReadLock();
112 public abstract void releaseReadLock();
113 public abstract void acquireWriteLock();
114 public abstract void releaseWriteLock();
115 }
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 13 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
Bounded Buffer (2003)
Perhatikan berkas ”BoundedBufferServer.java” pada halaman berikut:
a) Berapakah ukuran penyangga (buffer) ?
b) Modifikasi program (sebutkan nomor barisnya) agar ukuran penyangga (buffer) menjadi 6.
c) Tuliskan/perkirakan keluaran (output) 10 baris pertama, jika menjalankan program ini.
d) Jelaskan fungsi dari ketiga semaphore (mutex, full, empty) pada program tersebut.
e) Tambahkan (sebutkan nomor barisnya) sebuah thread dari class Supervisor yang berfungsi:
i. pada awal dijalankan, melaporkan ukuran penyangga (buffer).
ii. secara berkala (acak), melaporkan jumlah pesan (message) yang berada dalam penyangga
(buffer).
f) Semaphore mana yang paling relevan untuk modifikasi butir “e” di atas?
001 // Authors: Greg Gagne, Peter Galvin, Avi Silberschatz
002 // Slightly Modified by: Rahmat M. Samik-Ibrahim
003 // Copyright (c) 2000 by Greg Gagne, Peter Galvin, Avi Silberschatz
004 // Applied Operating Systems Concepts – John Wiley and Sons, Inc.
005 //
006 // Class “Date”:
007 // Allocates a Date object and initializes it so that it represents
008 // the time at which it was allocated,
009 // (E.g.): “Wed Apr 09 11:12:34 JAVT 2003″
010 // Class “Object”/ method “notify”:
011 // Wakes up a single thread that is waiting on this object’s monitor.
012 // Class “Thread”/ method “start”:
013 // Begins the thread execution and calls the run method of the thread.
014 // Class “Thread”/ method “run”:
015 // The Runnable object’s run method is called.
016
017 import java.util.*;
018 // main ***********************************************************
019 public class BoundedBufferServer
020 {
021 public static void main(String args[])
022 {
023 BoundedBuffer server = new BoundedBuffer();
024 Producer producerThread = new Producer(server);
025 Consumer consumerThread = new Consumer(server);
026 producerThread.start();
027 consumerThread.start();
028 }
029 }
030
031 // Producer *******************************************************
032 class Producer extends Thread
033 {
034 public Producer(BoundedBuffer b)
035 {
036 buffer = b;
037 }
038
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 14 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
039 public void run()
040 {
041 Date message;
042 while (true)
043 {
044 BoundedBuffer.napping();
045
046 message = new Date();
047 System.out.println(“P: PRODUCE ” + message);
048 buffer.enter(message);
049 }
050 }
051 private BoundedBuffer buffer;
052 }
053
054 // Consumer *******************************************************
055 class Consumer extends Thread
056 {
057 public Consumer(BoundedBuffer b)
058 {
059 buffer = b;
060 }
061 public void run()
062 {
063 Date message;
064 while (true)
065 {
066 BoundedBuffer.napping();
067 System.out.println(“C: CONSUME START”);
068 message = (Date)buffer.remove();
069 }
070 }
071 private BoundedBuffer buffer;
072 }
074 // BoundedBuffer.java *********************************************
075 class BoundedBuffer
076 {
077 public BoundedBuffer()
078 {
079 count = 0;
080 in = 0;
081 out = 0;
082 buffer = new Object[BUFFER_SIZE];
083 mutex = new Semaphore(1);
084 empty = new Semaphore(BUFFER_SIZE);
085 full = new Semaphore(0);
086 }
087 public static void napping()
088 {
089 int sleepTime = (int) (NAP_TIME * Math.random() );
090 try { Thread.sleep(sleepTime*1000); }
091 catch(InterruptedException e) { }
092 }
093 public void enter(Object item)
094 {
095 empty.P();
096 mutex.P();
097 ++count;
098 buffer[in] = item;
099 in = (in + 1) % BUFFER_SIZE;
100 System.out.println(“P: ENTER ” + item);
101 mutex.V();
102 full.V();
103 }
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 15 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
104 public Object remove()
105 {
106 Object item;
107 full.P();
108 mutex.P();
109 –count;
110 item = buffer[out];
111 out = (out + 1) % BUFFER_SIZE;
112 System.out.println(“C: CONSUMED ” + item);
113 mutex.V();
114 empty.V();
115 return item;
116 }
117 public static final int NAP_TIME = 5;
118 private static final int BUFFER_SIZE = 3;
119 private Semaphore mutex;
120 private Semaphore empty;
121 private Semaphore full;
122 private int count, in, out;
123 private Object[] buffer;
124 }
125
126 // Semaphore.java *************************************************
128 final class Semaphore
129 {
130 public Semaphore()
131 {
132 value = 0;
133 }
134 public Semaphore(int v)
135 {
136 value = v;
137 }
138 public synchronized void P()
139 {
140 while (value <= 0)
141 {
142 try { wait(); }
143 catch (InterruptedException e) { }
144 }
145 value –;
146 }
147 public synchronized void V()
148 {
149 ++value;
150 notify();
151 }
152 private int value;
153 }
Sinkronisasi (2005)
a) Terangkan peranan/fungsi dari semafor-semafor pada program Java berikut ini!
b) Tuliskan keluaran dari program tersebut!
c) Modifikasi program (baris mana?), agar object “proses” dengan index tinggi mendapat prioritas
didahulukan dibandingkan “proses” dengan index rendah.
d) Terangkan kelemahan dari program ini! Kondisi bagaimana yang mengakibatkan semafor tidak
berperan seperti yang diinginkan!
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 16 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
0 /************************************************************
1 * SuperProses (c) 2005 Rahmat M. Samik-Ibrahim, GPL-like */
2
3 // ********* SuperProses *
4 public class SuperProses {
5 public static void main(String args[]) {
6 Semafor[] semafor1 = new Semafor[JUMLAH_PROSES];
7 Semafor[] semafor2 = new Semafor[JUMLAH_PROSES];
8 for (int ii = 0; ii < JUMLAH_PROSES; ii++) {
9 semafor1[ii] = new Semafor();
10 semafor2[ii] = new Semafor();
11 }
12
13 Thread superp=new Thread(new SuperP(semafor1,semafor2,JUMLAH_PROSES));
14 superp.start();
15
16 Thread[] proses= new Thread[JUMLAH_PROSES];
17 for (int ii = 0; ii < JUMLAH_PROSES; ii++) {
18 proses[ii]=new Thread(new Proses(semafor1,semafor2,ii));
19 proses[ii].start();
20 }
21 }
22
23 private static final int JUMLAH_PROSES = 5;
24 }
25
26 // ** SuperP *********************
27 class SuperP implements Runnable {
28 SuperP(Semafor[] sem1, Semafor[] sem2, int jmlh) {
29 semafor1 = sem1;
30 semafor2 = sem2;
31 jumlah_proses = jmlh;
32 }
33
34 public void run() {
35 for (int ii = 0; ii < jumlah_proses; ii++) {
36 semafor1[ii].kunci();
37 }
38 System.out.println(“SUPER PROSES siap…”);
39 for (int ii = 0; ii memulai thread yang akan memanggil Threat.run().
009 * Threat.sleep(xxx) –> thread akan tidur selama xxx milidetik.
010 * try {…} catch (InterruptedException e) {} –> sarana terminasi program.
011 */
012
013 public class FirstSemaphore
014 {
015 public static void main(String args[]) {
016 Semaphore sem = new Semaphore(1);
017 Worker[] bees = new Worker[NN];
018 for (int ii = 0; ii < NN; ii++)
019 bees[ii] = new Worker(sem, ii);
020 for (int ii = 0; ii < NN; ii++)
021 bees[ii].start();
022 }
023 private final static int NN=4;
024 }
025
026 // Worker ===============================================================
027 class Worker extends Thread
028 {
029 public Worker(Semaphore sss, int nnn) {
030 sem = sss;
031 wnumber = nnn;
032 wstring = WORKER + (new Integer(nnn)).toString();
033 }
034
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 18 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
035 public void run() {
036 while (true) {
037 System.out.println(wstring + PESAN1);
038 sem.P();
039 System.out.println(wstring + PESAN2);
040 Runner.criticalSection();
041 System.out.println(wstring + PESAN3);
042 sem.V();
043 Runner.nonCriticalSection();
044 }
045 }
046 private Semaphore sem;
047 private String wstring;
048 private int wnumber;
049 private final static String PESAN1=” akan masuk ke Critical Section.”;
050 private final static String PESAN2=” berada di dalam Critical Section.”;
051 private final static String PESAN3=” telah keluar dari Critical Section.”;
052 private final static String WORKER=”PEKERJA “;
053 }
054
055 // Runner ===============================================================
056 class Runner
057 {
058 public static void criticalSection() {
059 try {
060 Thread.sleep( (int) (Math.random() * CS_TIME * 1000) );
061 }
062 catch (InterruptedException e) { }
063 }
064
065 public static void nonCriticalSection() {
066 try {
067 Thread.sleep( (int) (Math.random() * NON_CS_TIME * 1000) );
068 }
069 catch (InterruptedException e) { }
070 }
071 private final static int CS_TIME = 2;
072 private final static int NON_CS_TIME = 2;
073 }
074
075 // Semaphore ===============================================================
076 final class Semaphore
077 {
078 public Semaphore() {
079 value = 0;
080 }
081
082 public Semaphore(int v) {
083 value = v;
084 }
085
086 public synchronized void P() {
087 while (value <= 0) {
088 try {
089 wait();
090 }
091 catch (InterruptedException e) { }
092 }
093 value –;
094 }
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 19 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
095
096 public synchronized void V() {
097 ++value;
098 notify();
099 }
100
101 private int value;
102 }
103
104 // END ===============================================================
a) Berapakah jumlah object dari ”Worker Class” yang akan terbentuk?
b) Sebutkan nama-nama object dari ”Worker Class” tersebut!
c) Tuliskan/perkirakan keluaran (output) 10 baris pertama, jika menjalankan program ini!
d) Apakah keluaran pada butir ”c” di atas akan berubah, jika parameter CS_TIME diubah menjadi
dua kali NON_CS_TIME? Terangkan!
e) Apakah keluaran pada butir ”c” di atas akan berubah, jika selain parameter CS_TIME diubah
menjadi dua kali NON_CS_TIME, dilakukan modifikasi NN menjadi 10? Terangkan!
Status Memori (2004)
Berikut merupakan sebagian dari keluaran hasil eksekusi perintah “top b n 1” pada sebuah
sistem GNU/Linux yaitu ”rmsbase.vlsm.org” beberapa saat yang lalu.
top – 10:59:25 up 3:11, 1 user, load average: 9.18, 9.01, 7.02
Tasks: 122 total, 3 running, 119 sleeping, 0 stopped, 0 zombie
Cpu(s): 14.5% user, 35.0% system, 1.4% nice, 49.1% idle
Mem: 256712k total, 253148k used, 3564k free, 20148k buffers
Swap: 257032k total, 47172k used, 209860k free, 95508k cached
PID USER VIRT RES SHR %MEM PPID SWAP CODE DATA nDRT COMMAND
1 root 472 432 412 0.2 0 40 24 408 5 init
4 root 0 0 0 0.0 1 0 0 0 0 kswapd
85 root 0 0 0 0.0 1 0 0 0 0 kjournald
334 root 596 556 480 0.2 1 40 32 524 19 syslogd
348 root 524 444 424 0.2 1 80 20 424 5 gpm
765 rms46 1928 944 928 0.4 1 984 32 912 23 kdeinit
797 rms46 6932 5480 3576 2.1 765 1452 16 5464 580 kdeinit
817 rms46 1216 1144 1052 0.4 797 72 408 736 31 bash
5441 rms46 932 932 696 0.4 817 0 44 888 59 top
819 rms46 1212 1136 1072 0.4 797 76 404 732 32 bash
27506 rms46 908 908 760 0.4 819 0 308 600 37 shsh
27507 rms46 920 920 808 0.4 27506 0 316 604 38 sh
5433 rms46 1764 1764 660 0.7 27507 0 132 1632 282 rsync
5434 rms46 1632 1628 1512 0.6 5433 4 124 1504 250 rsync
5435 rms46 1832 1832 1524 0.7 5434 0 140 1692 298 rsync
27286 rms46 24244 23m 14m 9.4 765 0 52 23m 2591 firefox-bin
27400 rms46 24244 23m 14m 9.4 27286 0 52 23m 2591 firefox-bin
27401 rms46 24244 23m 14m 9.4 27400 0 52 23m 2591 firefox-bin
27354 rms46 17748 17m 7948 6.9 1 0 496 16m 2546 evolution-mail
27520 rms46 17748 17m 7948 6.9 27354 0 496 16m 2546 evolution-mail
27521 rms46 17748 17m 7948 6.9 27520 0 496 16m 2546 evolution-mail
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 20 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
(Status Memori)
a) Berapakah ukuran total, memori fisik dari sistem tersebut di atas?
b) Terangkan, apa yang dimaksud dengan: ”VIRT”, ”RES”, ”SHR”, ”PPID”, ”SWAP”, ”CODE”,
”DATA”, ”nDRT”.
c) Bagaimanakah, hubungan (rumus) antara ”RES” dengan parameter lainnya?
d) Bagaimanakah, hubungan (rumus) antara ”VIRT”, dengan parameter lainnya?
Managemen Memori dan Utilisasi CPU (2004)
a) Terangkan bagaimana pengaruh derajat ”multiprogramming” (MP) terhadap utilisasi CPU.
Apakah peningkatan MP akan selalu meningkatkan utilisasi CPU? Mengapa?
b) Terangkan bagaimana pengaruh dari ”page-fault” memori terhadap utilisasi CPU!
c) Terangkan bagaimana pengaruh ukuran memori (RAM size) terhadap utilisasi CPU!
d) Terangkan bagaimana pengaruh memori virtual (VM) terhadap utilisasi CPU!
e) Terangkan bagaimana pengaruh teknologi ”copy on write” terhadap utilisasi CPU!
f) Sebutkan Sistem Operasi berikut mana saja yang telah mengimplementasi teknologi ”copy on
write”: Linux 2.4, Solaris 2, Windows 2000.
Memori I (2002)
Diketahui spesifikasi sistem memori virtual sebuah proses sebagai berikut:
- page replacement menggunakan algoritma LRU (Least Recently Used).
- alokasi memori fisik dibatasi hingga 1000 bytes (per proses).
- ukuran halaman (page size) harus tetap (fixed, minimum 100 bytes).
- usahakan, agar terjadi “page fault” sesedikit mungkin.
- proses akan mengakses alamat berturut-turut sebagai berikut:
1001, 1002, 1003, 2001, 1003, 2002, 1004, 1005, 2101, 1101,
2099, 1001, 1115, 3002, 1006, 1007, 1008, 1009, 1101, 1102
a. Tentukan ukuran halaman yang akan digunakan.
b. Berapakah jumlah frame yang dialokasikan?
c. Tentukan reference string berdasarkan ukuran halaman tersebut di atas!
d. Buatlah bagan untuk algoritma LRU!
e. Tentukan jumlah page-fault yang terjadi!
Memori II (2003)
Sebuah proses secara berturut-turut mengakses alamat memori berikut:
1001, 1002, 1003, 2001, 2002, 2003, 2601, 2602, 1004, 1005,
1507, 1510, 2003, 2008, 3501, 3603, 4001, 4002, 1020, 1021.
Ukuran setiap halaman (page) ialah 500 bytes.
a) Tentukan ”reference string” dari urutan pengaksesan memori tersebut.
b) Gunakan algoritma ”Optimal Page Replacement”.
Tentukan jumlah ”frame” minimum yang diperlukan agar terjadi ”page fault” minimum!
Berapakah jumlah ”page fault ” yang terjadi? Gambarkan dengan sebuah bagan!
c) Gunakan algoritma ”Least Recently Used (LRU)”.
Tentukan jumlah ”frame” minimum yang diperlukan agar terjadi ”page fault” minimum!
Berapakah jumlah ”page fault ” yang terjadi? Gambarkan dengan sebuah bagan!
d) Gunakan jumlah ”frame” hasil perhitungan butir ”b” di atas serta alrgoritma LRU.
Berapakah jumlah ”page fault ” yang terjadi? Gambarkan dengan sebuah bagan!
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 21 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
Memori III (2002)
a) Terangkan, apa yang dimaksud dengan algoritma penggantian halaman Least Recently Used
(LRU)!
b) Diketahui sebuah reference string berikut: ” 1 2 1 7 6 7 3 4 3 5 6 7 ”. Jika proses
mendapat alokasi tiga frame; gambarkan pemanfaatan frame tersebut menggunakan
reference string tersebut di atas menggunakan algoritma LRU.
c) Berapa page fault yang terjadi?
d) Salah satu implementasi LRU ialah dengan menggunakan stack; yaitu setiap kali sebuah
halaman memori dirujuk, halaman tersebut diambil dari stack serta diletakkan ke atas (TOP of)
stack. Gambarkan urutan penggunaan stack menggunakan reference string tersebut.
Multilevel Paging Memory I (2003)
Diketahui sekeping memori berukuran 32 byte dengan alamat fisik ”00” – ”1F” (Heksadesimal) -
yang digunakan secara ”multilevel paging” – serta dialokasikan untuk keperluan berikut:
”Outer Page Table” ditempatkan secara permanen (non-swappable) pada alamat ”00” – ”07”
(Heks).
Terdapat alokasi untuk dua (2) ”Page Table”, yaitu berturut-turut pada alamat ”08” – ”0B”
dan ”0C” – ”0F” (Heks). Alokasi tersebut dimanfaatkan oleh semua ”Page Table” secara
bergantian (swappable) dengan algoritma ”LRU”.
Sisa memori ”10” – ”1F” (Heks) dimanfaatkan untuk menempatkan sejumlah ”memory
frame”.
Keterangan tambahan perihal memori sebagai berikut:
Ukuran ”Logical Address Space” ialah tujuh (7) bit.
Ukuran data ialah satu byte (8 bit) per alamat.
”Page Replacement” menggunakan algoritma ”LRU”.
”Invalid Page” ditandai dengan bit pertama (MSB) pada ”Outer Page Table”/”Page Table”
diset menjadi ”1”.
sebaliknya, ”Valid Page” ditandai dengan bit pertama (MSB) pada ”Outer Page
Table”/”Page Table” diset menjadi ”0”, serta berisi alamat awal (pointer) dari ”Page Table”
terkait.
Pada suatu saat, isi keping memori tersebut sebagai berikut:
address isi address isi address isi address isi
00H 08H 08H 10H 10H 10H 18H 18H
01H 0CH 09H 80H 11H 11H 19H 19H
02H 80H 0AH 80H 12H 12H 1AH 1AH
03H 80H 0BH 18H 13H 13H 1BH 1BH
04H 80H 0CH 14H 14H 14H 1CH 1CH
05H 80H 0DH 1CH 15H 15H 1DH 1DH
06H 80H 0EH 80H 16H 16H 1EH 1EH
07H 80H 0FH 80H 17H 17H 1FH 1FH
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 22 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
a) Berapa byte, kapasitas maksimum dari ”Virtual Memory” dengan ”Logical Address Space”
tersebut?
b) Gambarkan pembagian ”Logical Address Space” tersebut: berapa bit untuk P1/”Outer Page
Table”, berapa bit untuk P2/”Page Table”, serta berapa bit untuk alokasi offset?
c) Berapa byte, ukuran dari sebuah ”memory frame” ?
d) Berapa jumlah total dari ”memory frame” pada keping tersebut?
e) Petunjuk: Jika terjadi ”page fault”, terangkan juga apakah terjadi pada ”Outer Page Table”
atau pada ”Page Table”. Jika tidak terjadi ”page fault”, sebutkan isi dari Virtual Memory
Address berikut ini:
i. Virtual Memory Address: 00H
ii. Virtual Memory Address: 3FH
iii. Virtual Memory Address: 1AH
Multilevel Paging Memory II (2004)
Diketahui sekeping memori berukuran 32 byte dengan alamat fisik ”00” – ”1F” (Heksadesimal) -
yang digunakan secara ”multilevel paging” – serta dialokasikan dengan ketentuan berikut:
• ”Outer Page Table” ditempatkan secara permanen (non-swappable) pada alamat ”00” – ”03”
(Heks).
• Terdapat alokasi untuk tiga (3) ”Page Table”, yaitu berturut-turut pada alamat ”04” – ”07”,
”08-0B”, dan ”0C” – ”0F” (Heks).
• Sisa memori ”10” – ”1F” (Heks) dimanfaatkan untuk menempatkan sejumlah ”memory
frame”.
a) Ukuran ”Logical Address Space” ialah tujuh (7) bit.
b) Ukuran data ialah satu byte (8 bit) per alamat.
c) ”Page Replacement” menggunakan alrorithma ”LRU”.
d) ”Invalid Page” ditandai dengan bit pertama (MSB) pada ”Outer Page Table”/”Page Table”
diset menjadi ”1”.
e) sebaliknya, ”Valid Page” ditandai dengan bit pertama (MSB) pada ”Outer Page
Table”/”Page Table” diset menjadi ”0”, serta berisi alamat awal (pointer) dari ”Page Table”
terkait.
Pada suatu saat, isi keping memori tersebut sebagai berikut:
address isi address isi address isi address isi
00H 80H 08H 80H 10H 10H 18H 18H
01H 04H 09H 80H 11H 11H 19H 19H
02H 08H 0AH 80H 12H 12H 1AH 1AH
03H 0CH 0BH 80H 13H 13H 1BH 1BH
04H 80H 0CH 80H 14H 14H 1CH 1CH
05H 10H 0DH 80H 15H 15H 1DH 1DH
06H 80H 0EH 80H 16H 16H 1EH 1EH
07H 80H 0FH 18H 17H 17H 1FH 1FH
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 23 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
a) Berapa byte, kapasitas maksimum dari ”Virtual Memory” dengan ”Logical Address Space”
tersebut?
b) Gambarkan pembagian ”Logical Address Space” tersebut: berapa bit untuk P1/”Outer Page
Table”, berapa bit untuk P2/”Page Table”, serta berapa bit untuk alokasi offset?
c) Berapa byte, ukuran dari sebuah ”memory frame” ?
d) Berapa jumlah total dari ”memory frame” pada keping tersebut?
e) Petunjuk: Jika terjadi ”page fault”, terangkan juga apakah terjadi pada ”Outer Page Table”
atau pada ”Page Table”. Jika tidak terjadi ”page fault”, sebutkan isi dari Virtual Memory
Address berikut ini:
a) Virtual Memory Address: 00H
b) Virtual Memory Address: 28H
c) Virtual Memory Address: 55H
d) Virtual Memory Address: 7BH
Multilevel Paging Memory III (2005)
[ 1 k = 210; 1 M = 220; 1 G = 230 ]
a) Sebuah sistem komputer menggunakan ruang alamat logika (logical address space) 32 bit
dengan ukuran halaman (page size) 4 kbyte. Jika sistem menggunakan skema tabel halaman
satu tingkat (single level page table); perkirakan ukuran memori yang diperlukan untuk tabel
halaman tersebut! Jangan lupa: setiap masukan tabel halaman memerlukan satu bit ekstra
sebagai flag!
b) Jika sistem menggunakan skema tabel halaman dua tingkat (two level page table) dengan
ukuran outer-page 10 bit; tentukan bagaimana konfigurasi minimum tabel yang diperlukan
(minimum berapa outer-page table dan minimum berapa page table)? Perkirakan ukuran
memori yang diperlukan untuk konfigurasi minimum tersebut?
c) Terangkan keuntungan dan kerugian skema tabel halaman satu tingkat tersebut!
d) Terangkan keuntungan dan kerugian skema tabel halaman dua tingkat tersebut!
e) Terangkan mengapa skema table halaman bertingkat kurang cocok untuk ruang alamat yang
lebih besar dari 32 bit? Bagaimana cara mengatasi hal tersebut?
FHS (File Hierarchy Standards) (2002)
a. Sebutkan tujuan dari FHS.
b. Terangkan perbedaan antara “shareable” dan “unshareable”
c. Terangkan perbedaan antara “static” dan “variable”
d. Terangkan/berikan ilustrasi sebuah direktori yang “shareable” dan “static”.
e. Terangkan/berikan ilustrasi sebuah direktori yang “shareable” dan “variable”.
f. Terangkan/berikan ilustrasi sebuah direktori yang “unshareable” dan “static”.
g. Terangkan/berikan ilustrasi sebuah direktori yang “unshareable” dan “variable”.
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 24 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
Sistem Berkas I (2003)
Pada saat merancang sebuah situs web, terdapat pilihan untuk membuat link berkas yang
absolut atau pun relatif.
a) Berikan sebuah contoh, link berkas yang absolut.
b) Berikan sebuah contoh, link berkas yang relatif.
c) Terangkan keunggulan dan/atau kekurangan jika menggunakan link absolut.
d) Terangkan keunggulan dan/atau kekurangan jika menggunakan link relatif.
Sistem Berkas II (2002)
Sebuah sistem berkas menggunakan metoda alokasi serupa i-node (unix). Ukuran pointer berkas
(file pointer) ditentukan 10 bytes. Inode dapat mengakomodir 10 direct blocks, serta masingmasing
sebuah single indirect block dan sebuah double indirect block.
a. Jika ukuran blok = 100 bytes, berapakah ukuran maksimum sebuah berkas?
b. Jika ukuran blok = 1000 bytes, berapakah ukuran maksimum sebuah berkas?
c. Jika ukuran blok = N bytes, berapakah ukuran maksimum sebuah berkas?
Sistem Berkas III (2004)
a) Terangkan persamaan dan perbedaan antara operasi dari sebuah sistem direktori dengan
operasi dari sebuah sistem sistem berkas (filesystem).
b) Silberschatz et. al. mengilustrasikan sebuah model sistem berkas berlapis enam (6 layers),
yaitu ”application programs”, ”logical file system”, ”file-organization module”, ”basic file
system”, ”I/O control”, ”devices”. Terangkan lebih rinci serta berikan contoh dari ke-enam
lapisan tersebut!
c) Terangkan mengapa pengalokasian blok pada sistem berkas berbasis FAT (MS DOS)
dikatakan efisien! Terangkan pula kelemahan dari sistem berkas berbasis FAT tersebut!
d) Sebutkan dua fungsi utama dari sebuah Virtual File Sistem (secara umum atau khusus Linux).
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 25 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
direct blocks
single indirect
double indirect
data
data

data
data

data
data

data
data

Sistem Berkas IV (2005)
a) Terangkan kedua fungsi dari sebuah VFS (Virtual File System).
b) Bandingkan implementasi sistem direktori antara “Linier List” dan “Hash Table”. Terangkan
kelebihan/kekurangan masing-masing!
RAID (Redudant Array of I* Disks) (2004)
a) Terangkan dan ilustrasikan: apa yang dimaksud dengan RAID level 0
b) Terangkan dan ilustrasikan: apa yang dimaksud dengan RAID level 1
c) Terangkan dan ilustrasikan: apa yang dimaksud dengan RAID level 0 + 1
d) Terangkan dan ilustrasikan: apa yang dimaksud dengan RAID level 1 + 0
Mass Storage System I (2002)
Bandingkan jarak tempuh (dalam satuan silinder) antara penjadualan FCFS (First Come First
Served), SSTF (Shortest-Seek-Time-First), dan LOOK. Isi antrian permintaan akses berturut-turut
untuk silinder:
100, 200, 300, 101, 201, 301.
Posisi awal disk head pada silinder 0.
Mass Storage System II (2003)
Posisi awal sebuah ”disk head ” pada silinder 0. Antrian permintaan akses berturut-turut untuk
silinder:
100, 200, 101, 201.
a) Hitunglah jarak tempuh (dalam satuan silinder) untuk algoritma penjadualan ”First Come First
Served ” (FCFS).
b) Hitunglah jarak tempuh (dalam satuan silinder) untuk algoritma penjadualan ”Shortest Seek
Time First ” (STTF).
Mass Storage System III (2003)
Pada sebuah PC terpasang sebuah disk IDE/ATA yang berisi dua sistem operasi: MS Windows
98 SE dan Debian GNU/Linux Woody 3.0 r1.
Informasi ”fdisk” dari perangkat disk tersebut sebagai berikut:
# fdisk /dev/hda
=================================================================
Device Boot Start End Blocks Id System
(cylinders) (kbytes)
———————————————————
/dev/hda1 * 1 500 4000000 0B Win95 FAT32
/dev/hda2 501 532 256000 82 Linux swap
/dev/hda3 533 2157 13000000 83 Linux
/dev/hda4 2158 2500 2744000 83 Linux
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 26 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
Sedangkan informasi berkas ”fstab” sebagai berikut:
# cat /etc/fstab
#
# ————————————————————————–
/dev/hda1 /win98 vfat defaults 0 2
/dev/hda2 none swap sw 0 0
/dev/hda3 / ext2 defaults 0 0
/dev/hda4 /home ext2 defaults 0 2
Gunakan pembulatan 1 Gbyte = 1000 Mbytes = 1000000 kbytes dalam perhitungan berikut ini:
a) Berapa Gbytes kapasitas disk tersebut di atas?
b) Berapa jumlah silinder disk tersebut di atas?
c) Berapa Mbytes terdapat dalam satu silinder?
d) Berapa Mbytes ukuran partisi dari direktori ”/home”?
Tambahkan disk ke dua (/dev/hdc) dengan spesifikasi teknis serupa dengan disk tersebut di atas
(/dev/hda). Bagilah disk kedua menjadi tiga partisi:
– 4 Gbytes untuk partisi Windows FAT32 (Id: 0B)
– 256 Mbytes untuk partisi Linux Swap (Id: 82)
– Sisa disk untuk partisi ”/home” yang baru (Id: 83).
Partisi ”/home” yang lama (disk pertama) dialihkan menjadi ”/var”.
e) Bagaimana bentuk infomasi ”fdisk” untuk ”/dev/hdc” ini?
f) Bagaimana seharusnya isi berkas ”/etc/fstab” setelah penambahan disk tersebut?
Sistem Berkas ”ReiserFS” (2003)
a) Terangkan secara singkat, titik fokus dari pengembangan sistem berkas “reiserfs”: apakah
berkas berukuran besar atau kecil, serta terangkan alasannya!
b) Sebutkan secara singkat, dua hal yang menyebabkan ruangan (space) sistem berkas
“reiserfs” lebih efisien!
c) Sebutkan secara singkat, manfaat dari “balanced tree” dalam sistem berkas “reiserfs”!
d) Sebutkan secara singkat, manfaat dari “journaling” pada sebuah sistem berkas!
e) Sistem berkas “ext2fs” dilaporkan 20% lebih cepat jika menggunakan blok berukuran 4
kbyte dibandingkan 1 kbyte. Terangkan mengapa penggunaan ukuran blok yang besar
dapat
meningkatkan kinerja sistem berkas!
f) Para pengembang sistem berkas “ext2fs” merekomendasikan blok berukuran 1 kbyte dari
pada yang berukuran 4 kbyte. Terangkan, mengapa perlu menghindari penggunaan blok
berukuran besar tersebut!
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 27 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
I/O Interface (2003)
Bandingkan perangkat disk yang berbasis IDE/ATA dengan yang berbasis SCSI:
a) Sebutkan kepanjangan dari IDE/ATA.
b) Sebutkan kepanjangan dari SCSI.
c) Berapakah kisaran harga kapasitas disk IDE/ATA per satuan Gbytes?
d) Berapakah kisaran harga kapasitas disk SCSI per satuan Gbytes?
e) Bandingkan beberapa parameter lainnya seperti unjuk kerja, jumlah perangkat, penggunaan
CPU, dst.
I/O dan USB (2004)
a) Sebutkan sedikitnya sepuluh (10) kategori perangkat yang telah berbasis USB!
b) Standar IEEE 1394b (FireWire800) memiliki kinerja tinggi, seperti kecepatan alih data 800 MBit
per detik, bentangan/jarak antar perangkat hingga 100 meter, serta dapat menyalurkan catu
daya hingga 45 Watt. Bandingkan spesifikasi tersebut dengan USB 1.1 dan USB 2.0.
c) Sebutkan beberapa keunggulan perangkat USB dibandingkan yang berbasis standar IEEE
1394b tersebut di atas!
d) Sebutkan dua trend perkembangan teknologi perangkat I/O yang saling bertentangan (konflik).
e) Sebutkan dua aspek dari sub-sistem I/O kernel yang menjadi perhatian utama para perancang
Sistem Operasi!
f) Bagaimana USB dapat mengatasi trend dan aspek tersebut di atas?
Struktur Keluaran/Masukan Kernel (I/O) (2004)
a) Buatlah sebuah bagan yang menggambarkan hubungan/relasi antara lapisan-lapisan (layers)
kernel, subsistem M/K (I/O), device driver, device controller, dan devices.
b) Dalam bagan tersebut, tunjukkan dengan jelas, bagian mana yang termasuk perangkat keras,
serta bagian mana yang termasuk perangkat lunak.
c) Dalam bagan tersebut, berikan contoh sekurangnya dua devices!
d) Terangkan apa yang dimaksud dengan devices!
e) Terangkan apa yang dimaksud dengan device controller!
f) Terangkan apa yang dimaksud dengan device driver!
g) Terangkan apa yang dimaksud dengan subsistem M/K (I/O)!
h) Terangkan apa yang dimaksud dengan kernel!
Masukan/Keluaran (2005)
a) Terangkan secara singkat, sekurangnya enam prinsip/cara untuk meningkatkan efisiensi M/K
(Masukan/Keluaran)!
b) Diketahui sebuah model M/K yang terdiri dari lapisan-lapisan berikut: Aplikasi, Kernel, Device-
Driver, Device-Controller, Device. Terangkan pengaruh pemilihan lapisan tersebut untuk
pengembangan sebuah aplikasi baru. Diskusikan aspek-aspek berikut ini: Jumlah waktu
pengembangan, Efisiensi, Biaya Pengembangan, Abstraksi, dan Fleksibilitas.
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 28 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
HardDisk I (2001)
Diketahui sebuah perangkat DISK dengan spesifikasi:
Kapasitas 100 Gbytes (asumsi 1Gbytes = 1000 Mbytes).
Jumlah lempengan (plate) ada dua (2) dengan masing-masing dua (2) sisi permukaan
(surface).
Jumlah silinder = 2500 (Revolusi: 6000 RPM)
Pada suatu saat, hanya satu HEAD (pada satu sisi) yang dapat aktif.
a) Berapakah waktu latensi maksimum dari perangkat DISK tersebut?
b) Berapakah rata-rata latensi dari perangkat DISK tersebut?
c) Berapakah waktu minimum (tanpa latensi dan seek) yang diperlukan untuk mentransfer satu
juta (1 000 000) byte data?
HardDisk II (2003)
Diketahui sebuah disk dengan spesifikasi berikut ini:
Dua (2) permukaan (surface #0, #1).
Jumlah silinder: 5000 (cyl. #0 – #4999).
Kecepatan Rotasi: 6000 rpm.
Kapasitas Penyimpanan: 100 Gbyte.
Jumlah sektor dalam satu trak: 1000 (sec. #0 – #999).
Waktu tempuh seek dari cyl. #0 hingga #4999 ialah 10 mS.
Pada T=0, head berada pada posisi cyl #0, sec. #0.
Satuan I/O terkecil untuk baca/tulis ialah satu (1) sektor.
Akan menulis data sebanyak 5010 byte pada cyl. #500, surface #0, sec. #500.
Untuk memudahkan, 1 kbyte = 1000 byte; 1 Mbyte = 1000 kbyte; 1 Gbyte = 1000 Mbyte.
a) Berapakah kecepatan seek dalam satuan cyl/ms ?
b) Berapakah rotational latency (max.) dalam satuan ms ?
c) Berapakah jumlah (byte) dalam satu sektor ?
d) Berapa lama (ms) diperlukan head untuk mencapai cyl. #500 dari cyl. #0, sec. #0 ?
e) Berapa lama (ms) diperlukan head untuk mencapai cyl. #500, sec. #500 dari cyl. #0, sec.
#0?
f) Berapa lama (ms) diperlukan untuk menulis kedalam satu sektor ?
g) Berdasarkan butir (e) dan (f) di atas, berapa kecepatan transfer efektif untuk menulis data
sebanyak 5010 byte ke dalam disk tersebut dalam satuan Mbytes/detik?
HardDisk III (2004)
Diketahui sebuah disk dengan spesifikasi berikut ini:
Dua (2) permukaan (muka #0 dan #1).
Jumlah silinder: 5000 (silinder #0 – #4999).
Kecepatan Rotasi: 6000 rpm.
Kapasitas Penyimpanan: 100 Gbytes.
Jumlah sektor dalam satu trak: 1000 (sektor #0 – #999).
Waktu tempuh hingga stabil antar trak yang berurutan: 1 mS (umpama dari trak #1 ke trak #2).
Pada setiap saat, hanya satu muka yang head-nya aktif (baca/tulis). Waktu alih antar muka
(dari muka #0 ke muka #1) dianggap 0 mS.
Algoritma pergerakan head: First Come First Served.
Satuan I/O terkecil untuk baca/tulis ialah satu (1) sektor.
Pada T=0, head berada pada posisi silinder #0, sektor #0.
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 29 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html
Untuk memudahkan, 1 kbyte = 1000 byte; 1 Mbyte = 1000 kbyte; 1 Gbyte = 1000 Mbyte.
a) Berapa kapasitas (Mbyte) dalam satu trak?
b) Berapa kapasitas (kbyte) dalam satu sektor?
c) Berapakah rotational latency maksimum (mS) ?
d) Berapakah waktu tempuh (mS) dari muka #0, trak #0, sektor #0 ke muka #0, trak #0, sektor
#999 ([0,0,0] → [0,0,999])?
e) Berapakah waktu tempuh (mS) dari [0,0,0] → [0,0,999] → [0,1,500] → [0,1,999] → [0,1,0]
→ [0,1,499]?
f) Berapakah waktu tempuh (mS) dari [0,0,0] → [0,0,999] → [0,1,0] → [0,1,999]?
Waktu Nyata/Multimedia (2005)
a) Sebutkan sekurangnya empat ciri/karakteristik dari sebuah sistem waktu nyata. Terangkan
secara singkat, maksud masing-masing ciri tersebut!
b) Sebutkan sekurangnya tiga ciri/karakteristik dari sebuah sistem multimedia. Terangkan secara
singkat, maksud masing-masing ciri tersebut!
c) Terangkan perbedaan prinsip kompresi antara berkas dengan format “JPEG” dan berkas
dengan format “GIF”.
d) Terangkan lebih rinci, makna keempat faktor QoS berikut ini: throughput, delay, jitter, reliabilty!
Tugas Kelompok/Buku Sistem Operasi (2004)
Bandingkan buku Sistem Operasi versi 1.3 (terbitan awal 2003) dengan versi 1.9 (terbitan akhir
2003):
a) Sebutkan beberapa perbaikan/kemajuan umum buku versi 1.9 ini, dibandingkan dengan versi
sebelumnya.
b) Sebutkan hal-hal yang masih perlu mendapatkan perhatian/perbaikan.
c) Penulisan Pokok Bahasan mana yang terbaik untuk versi 1.9 ini? Sebutkan alasannya!
d) Sebutkan sebuah Sub-Pokok Bahasan (SPB) yang anda ingat/kuasai (tidak harus yang anda
kerjakan). SPB tersebut merupakan bagian dari Pokok Bahasan yang mana?
e) Bandingkan SPB tersebut di butir ”d” dengan SPB setara yang ada di buku-buku Silberschatz
et. al.; Tanenbaum, dan Stalling. Dimana perbedaan/persamaannya?
IKI-20230 Sistem Operasi — Kumpulan Soal Ujian 2002–2005 — © 2002-2006 Rahmat M. Samik-Ibrahim — rev. 2006.03.22.00 — 30 / 30
Silakan menggandakan dan mengedarkan berkas ini, tanpa mengubah nota hak cipta ini
REVISI BERKAS INI BERADA DI http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/SistemOperasi/BUKU/SistemOperasi/apb.html

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN JURUSAN TEKNIK SIPIL SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS), SEMESTER GANJIL TA. 2007/2008 MATA UJIAN : METODE NUMERIK DOSEN PENGUJI : IR. M. TEGUH, MSCE., Ph.D HARI/TANGGAL : SELASA, 15 JANUARI 2008 WAKTU : 90 MENIT


UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
JURUSAN TEKNIK SIPIL
SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS), SEMESTER GANJIL TA. 2007/2008
MATA UJIAN : METODE NUMERIK
DOSEN PENGUJI : IR. M. TEGUH, MSCE., Ph.D
HARI/TANGGAL : SELASA, 15 JANUARI 2008
WAKTU : 90 MENIT
SIFAT UJIAN : TUTUP BUKU

http://hmtsuii.wordpress.com

PERHATIAN:
1. BERDOALAH SEBELUM DAN SESUDAH ANDA MENGERJAKAN SOAL-SOAL
2. SEGALA BENTUK KECURANGAN AKAN DICATAT OLEH PENGAWAS TANPA PEMBERITAHUAN TERLEBIH DAHULU, DAN UJIAN DIANGGAP GUGUR
1. Selesaikan persamaan aljabar linear simultan berikut ini dengan menggunakan dua
metode yaitu Metode Corner dan Metode Gauss-Jordan:
10×1 + x2 + 2×3 = 44
2×1 + 10×2 + x3 = 51
x1 + 2×2 + 10×3 = 61
2. Tabel dibawah ini menunjukan data hubungan tegangan dan regangan yang diperoleh
dari hasil pegujian silinder beton. Data tegangan dan regangan beton ini akan
membentuk fungsi polynomial bepangkat dua. Selesaikan Curve fitting data peneliatian
tersebut dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian yaitu : Least Square
Method. Gunakan Metode Eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan aljabar
linear simultannya. Gambarkan curva terkoreksi dari hasil perhtungan tersebut.
No. Tegangan (σ),psi Regangan (ε)
1 0.0 0.0
2 2250 500 x 10-6
3 3575 1000 x 10-6
4 4250 1500 x 10-6
5 4400 2000 x 10-6
6 4200 2375 x 10-6
UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
JURUSAN TEKNIK SIPIL
SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS), SEMESTER GANJIL TA. 2007/2008
MATA UJIAN : METODE NUMERIK
DOSEN PENGUJI : IR. M. TEGUH, MSCE., Ph.D
HARI/TANGGAL : SELASA, 15 JANUARI 2008
WAKTU : 90 MENIT
SIFAT UJIAN : TUTUP BUKU

http://hmtsuii.wordpress.com

PERHATIAN:
1. BERDOALAH SEBELUM DAN SESUDAH ANDA MENGERJAKAN SOAL-SOAL
2. SEGALA BENTUK KECURANGAN AKAN DICATAT OLEH PENGAWAS TANPA PEMBERITAHUAN TERLEBIH DAHULU, DAN UJIAN DIANGGAP GUGUR
Catatan :
1. Bobot nilai: (1) 40 % dan (2) 60 %
2. Penilaian didasarkan pada kebenaran proses perhitungan dengan metode yang
ditentukan dan hasil akhir.
3. Kejujuran salama ujian dan keteliatian dalam perhitungan merupakan kunci pada
penilaian ujian.
4. Selamat ujian semoga berhasil.

SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP


Copyleft 2007

Mata Kuliah : Administrasi Sistem
Program Studi : Teknik Komputer dan Jaringan
Dosen : Eko Priyo Triasmoro, S.T.
Jawablah Pertanyaan berikut ini dengan benar :
1. Apa yang dimaksudkan dengan class, class objek!
2. Jelaskan perbedaan class dan class objek!
3. Jelaskan apa yang dimaksud dengan class turunan.
4. Buatkan sebuah listing method untuk menghitung rata rata berat badan berikut ini
10kg, 32 kg, 50 kb, 80 kg, 54 kg, 66 kg.
5. Buatkan contoh listing program java yang mengandung konstruktor dan destructor.
- Jawaban diketik dan dikumpulkan paling akhir tanggal 2 Agustus 2007
— Selamat Mengerjakan — Sukses untuk Anda —
– Viva D3 TKJ –
- eptCopyleft
2007
SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP
Mata Kuliah : Administrasi Sistem
Program Studi : Teknik Komputer dan Jaringan
Dosen : Eko Priyo Triasmoro, S.T.
Jawablah Pertanyaan berikut ini dengan benar :
1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan Administrasi Sistem.
2. Jelaskan tipe partisi yang dipergunakan untuk Sistem Operasi Windows Server 2003
dan Linux!
3. Jelaskan apa yang dimaksud dengan :
a. SUDO
b. Linux Single
c. ssh
d. Kernel
e. Kompilasi Kernel
4. Jelaskan apa yang dimaksud dengan hak akses terhadap suatu file
a. Jika diketahui suatu file atau folder dengan hak akses 755, apa yang dimaksud
dengan 755 ?
b. Jelaskan cara mengubah hak akses dari 755 menjadi 555?
.
5. Sebut dan jelaskan program untuk melakukan remote terminal ke system linux.
6. Aspek apa saja yang menjadi basic keamanan suatu server?
7. Partis harddisk yang digunakan pada dual operating system adalah sebagai berikut :
Win_c Win_D Win_E Swap /redhat
Primary ekstended
a. Bagaimana cara mounting(mengaitkan) WIN_C?
b. Bagaimana cara mounting(mengaitkan) WIN_D?
c. Bagaimana cara mounting(mengaitkan) WIN_E?
d. Bagaimana cara mounting(mengaitkan) flashdisk?
e. Bagaimana cara supaya aman, sebelum flashdisk dicabut??
f. Kita pinginnya otomatis termount, tidak pertu mounting ulang setiap kita reboot
komputer gimana caranya?
8. Jelaskan masing-masing baris dari konfifurasi boot loader linux berikut ini :
boot=/dev/hda
prompt
timeout=50
vga=normal
image=/boot/vmlinuz
root=/dev/hda7
label=redhat ku
initrd=/boot/initrd.img
read-only
other=/dev/hda1
label=windows_original
table=/dev/hda
- Jawaban diketik dan dikumpulkan paling akhir tanggal 2 Agustus 2007
— Selamat Mengerjakan — Sukses untuk Anda —
– Viva D3 TKJ –
- ept

I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008


Pedoman
Ujian dan Sertifikasi CFP®
http://www.fpsbindonesia.org
I. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
1
DAFTAR ISI
I. PERSYARATAN SERTIFIKASI CFP® 3
1. PROSES SERTIFIKASI AWAL : 3
2. PROSES RE-SERTIFIKASI: 3
II. UJIAN SERTIFIKASI CFP 4
1. Liputan Materi Pendidikan 4
2. Jenis Ujian dan Persyaratan 4
3. Materi Ujian yang Seimbang 5
4. Tingkat Pemahaman 5
5. Pembaharuan dan Perubahan Peraturan dan Ketetapan yang Berlaku 5
6. Data Yang Tersedia Pada Soal-Soal Ujian 5
7. Format Pertanyaan 5
8. Bahasa Yang Dipergunakan 6
9. Waktu Ujian 6
10. Frekuensi 6
11. Contoh Pertanyaan-Pertanyaan Ujian 6
III. PERSIAPAN UJIAN 7
1. Belajar Sendiri 7
2. Kursus Penyegaran 7
IV. PROSEDUR PENDAFTARAN UJIAN 8
1. Pendaftaran 8
1.1. Formulir Pendaftaran 8
1.2. Batas Waktu Penyerahan Formulir Pendaftaran 8
1.3. Penyerahan Formulir Pendaftaran 8
2. Pembayaran (berlaku tahun 2008) 8
2.1. Biaya Ujian 8
2.2. Biaya Formulir Pendaftaran 8
2.3. Metode Pembayaran 8
2.4. Ketentuan Mengenai Pengembalian Biaya 9
2.5. Masalah Kesehatan atau Hal Serius Lainnya 9
3. Pemberitahuan 9
4. Perubahan Data Pribadi 10
I. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
2
DAFTAR ISI
V. HASIL UJIAN 11
1. Hasil Ujian 11
2. Pernyataan Tanda Lulus (Statement of Result) 11
3. Kehilangan Atau Kerusakan 11
VI. KEBIJAKAN UJIAN 12
1. Pelanggaran Dalam Ujian 12
2. Penilaian Ujian 12
3. Kriteria Penetapan Nilai Ujian 13
4. Ujian Ulangan 13
5. Tinjau Ulang Hasil Ujian 13
6. Pemberitahuan Terkait Dengan Data Pribadi 13
7. Amandemen/Perubahan 14
8. Sumber Informasi 14
Lampiran 1 – Silabus Ujian Sertifikasi CFP 15
Lampiran 2 – Distribusi Pertanyaan Ujian Berdasarkan Modul 20
Lampiran 3 – Contoh Pertanyaan-Pertanyaan Ujian 21
Lampiran 4 – Tata Tertib Ujian 26
Lampiran 5 – Pemberitahuan Terkait Dengan Data Pribadi 29
Lampiran 6 – Jadwal Ujian CFP 2008 30
Formulir Pendaftaran
II. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
3
I. PERSYARATAN SERTIFIKASI CFP®
I. PERSYARATAN SERTIFIKASI CFP®
FPSB Indonesia adalah penyelenggara eksklusif sertifikasi CFPÒ, CERTIFIED
FINANCIAL PLANNERÒ dan di Indonesia, FPSB Indonesia menetapkan
persyaratan yang ketat bagi individu yang ingin mengambil program sertifikasi CFP
sebagai berikut:
1. PROSES SERTIFIKASI AWAL :
Meliputi standar 4E yaitu: Education (Pendidikan), Examination (Ujian),
Experience (Pengalaman) dan Ethics (Etika) dibawah ini:
PENDIDIKAN UJIAN PENGALAMAN ETIKA
SERTIFIKASI
CFP
Menyelesaikan
Modul
pendidikan
yang
diselenggarakan
Penyelenggara
pendidikan
yang terdaftar
di FPSB
Indonesia.
Lulus
seluruh
ujian
sertifikasi
CFP
Memiliki
pengalaman
kerja di bidang
yang berkaitan
dengan
Perencanaan
Keuangan
minimal 3 tahun.
Tunduk pada
Kode Etik dan
Pertanggungan
Jawab
Profesional
yang
ditetapkan
FPSB
Indonesia.
Memenuhi
persyaratan
adminsistrasi
yang
ditetapkan oleh
FPSB
Indonesia
Bagi calon yang mengambil program sertifikasi awal di tahun 2010 harus mempunyai
latar belakang pendidikan Sarjana (S1).
Pengecualian: Peserta dengan latar belakang CFA atau CPA atau ChFC atau CLU atau
Wakil Manajer Investasi atau seseorang dengan gelar akademis minimum Paska
Sarjana (S2) di bidang terkait perencanaan keuangan dari Universitas yang terdaftar di
FPSB Indonesia, serta memenuhi persyaratan administrasi yang ditentukan oleh FPSB
Indonesia dapat dibebaskan dari ketentuan Pendidikan dan langsung mengikuti Ujian.
2. PROSES RE-SERTIFIKASI:
Sertifikasi CFP hanya berlaku 2 tahun dan CFP profesional wajib memperbaharui
sertifikasinya. CFP profesional dapat mengajukan pembaharuan apabila dapat
memenuhi ketentuan 40 CE credit selama 2 tahun, ketentuan Etika dan biaya
administrasi sebanyak US$ 100.00 per tahun.
III.
I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
4
II. UJIAN SERTIFIKASI CFPÒ
II. UJIAN SERTIFIKASI CFP
Ujian sertifikasi CFP didesain sedemikian rupa untuk menilai kemampuan para calon
dalam mengaplikasikan ilmu yang diperoleh dari pendidikan perencanaan keuangan ke
dalam praktek nyata dalam bentuk format yang terpadu. Dengan cara ini masyarakat
akan terlindungi, yaitu dengan memastikan bahwa semua pemegang sertifikat CFP
berada pada tingkat kompetensi yang memadai untuk menjalankan tugasnya.
1. Liputan Materi Pendidikan
Persyaratan kompetensi Pendidikan bagi para calon terdiri dari 89 topik dengan
pembobotan. Seluruh topik mencakup Pengenalan Perencanaan Keuangan,
Perencanaan Investasi, Manajemen Risiko dan Perencanaan Asuransi, Perencanaan
Perpajakan, Program Hari Tua, Program Kesejahteraan Karyawan dan Perencanaan
Distribusi Kekayaan serta Praktek Perencanaan Keuangan yang di desain khusus
untuk memadukan seluruh topik-topik diatas.
Daftar seluruh topik dan bacaan wajib dilihat pada Lampiran 1 halaman 15-19.
2. Jenis Ujian dan Persyaratan
Jenis ujian CFP berikut persyaratan yang harus dipenuhi :
Jenis Ujian Persyaratan
CFP 1 :
Manajemen Risiko dan
Perencanaan Asuransi
Lulus :
• Modul 1 : Dasar-dasar Perencanaan Keuangan
• Modul 3 : Manajemen Risiko & Perencanaan Asuransi
CFP 2 :
Perencanaan Investasi
Lulus :
• Modul 1 : Dasar-dasar Perencanaan Keuangan
• Modul 2 : Perencanaan Investasi
CFP 3 :
Perencanaan Hari Tua,
Pajak dan Distribusi
Kekayaan
Lulus :
• Modul 1 : Dasar-dasar Perencanaan Keuangan
• Modul 2 : Perencanaan Investasi
• Modul 3 : Manajemen Risiko & Perencanaan Asuransi
• Modul 4 : Perencanaan Hari Tua, Pajak dan Distribusi
Kekayaan
CFP 4 :
Praktek Perencanaan
Keuangan – Studi
Kasus
Lulus :
• Modul 1 : Dasar-dasar Perencanaan Keuangan
• Modul 2 : Perencanaan Investasi
• Modul 3 : Manajemen Risiko & Perencanaan Asuransi
• Modul 4 : Perencanaan Hari Tua, Pajak dan Distribusi
Kekayaan
IV. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
5
3. Materi Ujian yang Seimbang
Ujian sertifikasi CFP akan menguji kemampuan para calon dalam memadukan ilmu
pengetahuan dari pelbagai segi/bidang yang ditetapkan oleh FPSB Indonesia.
Pertanyaan-pertanyaan dapat saja difokuskan pada topik-topik yang berbeda atau
sebaliknya di butuhkan penguasaan pengetahuan atas pelbagai topik terpadu.
Distribusi atau pengelompokan pertanyaan-pertanyaan yang di dasarkan pada
modul-modul pokok dapat dilihat pada Lampiran 2 halaman 20.
4. Tingkat Pemahaman
4 (empat) tingkat pemahaman yang akan diuji pada ujian sertifikasi CFP meliputi :
(1) Pengetahuan
(2) Komprehensif/Aplikasi
(3) Analisa/Sintesa
(4) Evaluasi
Ujian sertifikasi CFP akan menilai kemampuan calon dalam berpikir secara kritis
dan menyelesaikan permasalahan dengan tidak terlalu menekankan tingkat
pemahaman pertama, yaitu pengetahuan.
5. Pembaharuan dan Perubahan Peraturan dan Ketetapan yang Berlaku
Dari waktu ke waktu akan ada pembaharuan dan perubahan pada peraturan dan
ketetapan-ketetapan dalam industri keuangan, demikian juga dengan peraturan pada
pedoman ini akan mengacu pada perubahan tersebut.
6. Data Yang Tersedia Pada Soal-Soal Ujian
Tabel Tarip Pajak akan dilampirkan pada soal-soal ujian sebagai referensi.
7. Format Pertanyaan
Semua pertanyaan dalam ujian sertifikasi CFP akan disajikan dalam format pilihan
ganda (multiple-choice).
Pada dasarnya ada 2 macam bentuk pertanyaan pokok. Pertama, dalam bentuk
keterangan singkat atau skenario. Keterangan secukupnya akan diberikan agar calon
dapat menjawab seluruh pertanyaan dengan baik. Setiap pertanyaan akan
memperoleh nilai 1.
Kedua, dalam bentuk pertanyaan yang mengikuti sebuah skenario kasus ekstensif.
Setelah membaca setiap skenario, para calon diminta untuk menjawab 10-20
pertanyaan pilihan ganda. Biasanya ada 4-5 skenario kasus berikut pertanyaanpertanyaannya
pada setiap ujian. Setiap pertanyaan bernilai 1. Semua pertanyaan
ujian bersifat wajib.
IV. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
6
8. Bahasa Yang Dipergunakan
Bahasa yang dipergunakan dalam soal-soal ujian adalah Bahasa Indonesia.
9. Waktu Ujian
Ujian berlangsung selama 10 jam, yang diselenggarakan dalam 2 hari berturut-turut
(Sabtu dan Minggu).
10. Frekuensi
Ujian diadakan 3 kali setahun, April, Juli dan Oktober. Jadwal ujian dapat dilihat di
Lampiran 6 halaman 30.
11. Contoh Pertanyaan-Pertanyaan Ujian
Soal-soal ujian yang lalu tidak tersedia. 10 contoh pertanyaan sebagaimana
tercantum dalam Lampiran 3 dalam Buku Pedoman ini, merupakan pertanyaanpertanyaan
yang sebelumnya dipergunakan dalam ujian sertifikasi CFP di Amerika
Serikat dan dirilis oleh Certified Planner Board of Standards Inc, Amerika Serikat
terhitung mulai tahun 1999. Contoh-contoh ini hanya merupakan indikasi dari jenis
pertanyaan dalam ujian sertifikasi CFP yang diselenggarakan oleh FPSB Indonesia
dan disertakan disini untuk memberikan gambaran kepada Anda mengenai tingkat
kesulitan dan format pertanyaan pada ujian sertifikasi tersebut. Namun, ini hanya
merupakan contoh pilihan semata dan tidak dimaksudkan untuk mencerminkan
soal-soal ujian yang sesungguhnya, dalam arti baik secara keseluruhan maupun
penekanan pada hal-hal tertentu.
Untuk melihat semua kasus dan pertanyaan-pertanyaan yang dirilis oleh Certified
Financial Planner Board of Standards, Inc, Anda dapat men-download file yang
bersangkutan dari website :
http://www.cfp.net/downloads/1999%20released %20questions.pdf
V. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 III. PERSIAPAN UJIAN
7
III. PERSIAPAN UJIAN
1. Belajar Sendiri
Untuk mengetahui liputan topik serta bacaan wajib yang diminta, para calon diminta
untuk membaca Lampiran 1 dan Lampiran 2 untuk distribusi pertanyaanpertanyaan.
Harap dimaklumi bahwa daftar referensi ini sama sekali tidak diberikan
secara mendalam.
2. Kursus Penyegaran
Bila diperlukan, para calon dapat mengikuti kursus-kursus penyegaran secara
ekstensif yang dapat diselenggarakan oleh provider pendidikan CFP yang terdaftar,
dalam rangka membantu mereka mempersiapkan diri menghadapi ujian sertifikasi.
Calon yang berminat dapat menghubungi provider pendidikan untuk memperoleh
informasi pendaftaran selanjutnya.
VI. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 IV. PROSEDUR PENDAFTARAN UJIAN
8
IV. PROSEDUR PENDAFTARAN UJIAN
1. Pendaftaran
1.1. Formulir Pendaftaran
Calon dapat memperoleh formulir pendaftaran :
 Dari website FPSB Indonesia (http://www.fpsbindonesia.org), atau
 Di kantor FPSB Indonesia selama jam kerja
1.2. Batas Waktu Penyerahan Formulir Pendaftaran
Batas waktu penyerahan formulir pendaftaran untuk setiap ujian kurang lebih
LIMA MINGGU sebelum tanggal ujian.
1.3. Penyerahan Formulir Pendaftaran
Formulir yang telah diisi lengkap beserta dengan dokumen pendukungnya
sudah harus diterima selambat-lambatnya pada tanggal batas waktu yang
ditentukan.
FPSB Indonesia TIDAK bertanggung jawab atas kemungkinan hilangnya
formulir maupun setiap dokumen yang dikirim via pos.
2. Pembayaran (berlaku tahun 2008)
2.1. Biaya Ujian
Jenis Ujian Biaya Waktu
CFP 1 : Manajemen Risiko dan
Perencanaan Asuransi
Rp. 400.000 2 Jam
CFP 2 : Perencanaan Investasi Rp. 400.000 2 Jam
CFP 3 : Perencanaan Hari Tua, Pajak
dan Distribusi Kekayaan
Rp. 400.000 2 Jam
CFP 4 : Praktek Perencanaan Keuangan
- Studi Kasus.
Rp. 1.000.000 4 Jam
2.2. Biaya Formulir Pendaftaran
Formulir dapat diperoleh dari http://www.fpsbindonesia.org tanpa biaya.
2.3. Metode Pembayaran
Biaya pendaftaran dan ujian harus disampaikan dalam bentuk : Cek atau
transfer ke rekening FPSB Indonesia: Bank Panin Cabang Palmerah
140.501.9891 a.n. Yayasan Standarisasi Perencana Keuangan Indonesia.
VII. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
9
2.4. Ketentuan Mengenai Pengembalian Biaya
 Semua biaya tidak dapat dialihkan.
 Tidak akan ada pengembalian untuk calon yang tidak hadir pada suatu
sesi ujian.
 Pengunduran diri dari suatu ujian yang diterima diatas 30 hari kalender
sebelum ujian dilaksanakan akan menerima pengembalian biaya ujian
sebesar 60% dari total biaya. Semua pemberitahuan pengunduran diri
harus diajukan secara tertulis.
 Tidak akan ada pengembalian untuk biaya ujian, apabila surat
pengunduran diri diterima dalam waktu 30 hari kalender sebelum ujian
dilaksanakan atau setelah ujian dilaksanakan,
 Semua pendaftaran mengikuti ujian CFP yang tidak memenuhi
persyaratan akan memperoleh pengembalian biaya ujian sepenuhnya.
2.5. Masalah Kesehatan atau Hal Serius Lainnya
Dalam hal menghadapi masalah kesehatan atau hal serius lainnya yang tidak
terduga, calon dapat mengajukan permohonan untuk dibebaskan dari sanksi
yang berlaku, dengan syarat :
 Permohonan harus diajukan secara tertulis dan didukung dengan
dokumentasi yang memadai, misalnya surat keterangan dokter dan
 Surat permohonan sudah harus diterima dalam waktu DUA MINGGU
sebelum tanggal ujian dan
 Penangguhan untuk mengikuti ujian berikutnya telah disetujui dan
 Membayar biaya administrasi sebesar Rp. 150.000,- (seratus lima puluh
ribu Rupiah).
3. Pemberitahuan
 Surat Pemberitahuan diterima atau tidaknya suatu pendaftaran akan dikirim
kepada para calon setidaknya TIGA MINGGU sebelum tanggal ujian.
 Surat Pemberitahuan yang dikeluarkan oleh FPSB Indonesia merupakan bukti
resmi bahwa yang bersangkutan adalah calon peserta ujian. Surat ini harus
disimpan baik-baik, agar calon tidak perlu lagi membayar biaya pendaftaran
dalam hal yang bersangkutan harus mengulang ujian yang sama.
 Apabila pendaftaran ditolak oleh karena calon tidak memenuhi persyaratan,
pemohon harus mengajukan pendaftaran baru.
 Apabila calon yang menenuhi persyaratan tidak menerima surat
pemberitahuan tersebut setidaknya TIGA HARI sebelum ujian dilaksanakan,
VII. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
10
atau yang bersangkutan mendapati adanya kesalahan-kesalahan data pada
surat tersebut, mereka harus segera menghubungi FPSB Indonesia.
4. Perubahan Data Pribadi
 Calon harus memberitahukan FPSB Indonesia melalui fax, pos atau email
apabila ada perubahan data pribadi (misalnya : nama, alamat, nomor telepon,
dsb).
 Keterlambatan untuk memberitahukan FPSB Indonesia pada waktunya akan
menyebabkan tertundanya atau terhambatnya penerimaan informasi
sehubungan dengan ujian-ujian yang akan diikuti.
VIII. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 V. HASIL UJIAN
11
V. HASIL UJIAN
1. Hasil Ujian
 Hasil ujian biasanya sudah tersedia dalam waktu DUA BULAN setelah ujian
dilaksanakan. Calon dapat melihat hasil ujian tersebut pada website FPSB
Indonesia.
 Nilai yang diberikan dalam ujian sertifikasi CFP adalah LULUS atau GAGAL.
Sama sekali tidak ada penilaian dalam bentuk angka, tingkatan atau persentase.
 Calon yang tidak dapat mengikuti ujian akan dianggap ABSEN.
 Untuk melindungi privasi calon dan menjaga kerahasiaan hasil ujian, maka
tidak ada informasi hasil ujian yang dirilis melalui telepon dan fax.
2. Pernyataan Tanda Lulus (Statement of Result)
Pernyataan Tanda Lulus akan diterbitkan bagi calon yang lulus dalam waktu DUA
BULAN sejak keluarnya hasil ujian. Calon akan segera diberitahukan untuk
mengambil Pernyataan tanda Lulus mereka di kantor FPSB Indonesia. Apabila
dalam waktu TIGA BULAN terhitung sejak diterbitkannya surat pemberitahuan
belum diambil, maka FPSB Indonesia akan menyimpan namun tidak bertanggung
jawab atas kehilangan atau kerusakan.
3. Kehilangan Atau Kerusakan
Apabila Pernyataan Tanda Lulus hilang atau mengalami kerusakan, maka calon
dapat mengajukan pendaftaran tertulis untuk memperoleh pernyataan tanda lulus
(statement of results) dan untuk itu dikenakan biaya administrasi sebesar
Rp. 150.000,- (seratus lima puluh ribu rupiah).
IX. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 VI. KEBIJAKAN UJIAN
12
VI. KEBIJAKAN UJIAN
1. Pelanggaran Dalam Ujian
Calon harus membaca dengan teliti tata tertib ujian sebagaimana tercantum dalam
Lampiran 4, sebelum mengerjakan soal-soal ujian. Kelalaian dalam memperhatikan
tata tertib tersebut akan mengakibatkan calon didiskualifikasi dari ujian.
Apabila ada laporan bahwa terdapat calon yang mencontek, FPSB Indonesia akan
melakukan investigasi. Apabila seorang calon terbukti mencontek dan/atau
membantu atau bekerja sama dengan orang yang mencontek, atau melakukan
pelanggaran lainnya, maka hasil ujian yang bersangkutan tidak akan dirilis dan
selanjutnya yang bersangkutan akan dikenakan tindakan disipliner yang
diberlakukan oleh FPSB Indonesia.
Tergantung dari seberapa seriusnya pelanggaran tersebut, yang bersangkutan tidak
diperkenankan mengikuti ujian sertifikasi CFP yang diselenggarakan oleh FPSB
Indonesia selama 3 sampai 7 tahun, terhitung sejak tanggal terjadinya pelanggaran
tersebut. Pelanggaran kedua kalinya yang dilakukan oleh calon yang sama akan
secara otomatis mengakibatkan yang bersangkutan untuk selanjutnya tidak dapat
mengikuti ujian sama sekali. Panel disipliner yang ditunjuk berhak melaporkan
pelanggaran tersebut kepada pihak berwenang dan lembaga profesional terkait bila
dianggap perlu.
2. Penilaian Ujian
 Semua jawaban atas pertanyaan harus dibuat pada lembar jawaban yang
tersedia. Kredit tidak akan diberikan untuk jawaban yang ditulis atau dicatat
dalam soal-soal ujian (exam booklet).
 Untuk setiap pertanyaan, pilihlah satu jawaban saja. Jawaban yang lebih dari
satu akan dinilai salah.
 Nilai Anda didasarkan pada jumlah pertanyaan yang dijawab dengan benar.
Tidak ada angka yang dikurangi atau jawaban yang salah. Sekalipun Anda
ragu-ragu akan suatu pertanyaan, usahakanlah untuk menjawab semua
pertanyaan.
 Hanya jawaban yang benar yang akan memperoleh angka. Tidak ada kredit
yang diperhitungkan sebagian.
 Anda harus hadir dalam setiap sesi ujian. Bila tidak, hasil ujian Anda tidak akan
dinilai.
X. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
13
3. Kriteria Penetapan Nilai Ujian
Ada banyak ragam versi ujian sertifikasi. Walaupun semua pertanyaan
dikembangkan dari topik-topik yang sama sebagaimana tercantum dalam
Lampiran 1, tingkat kesulitan dari setiap pelaksanaan ujian akan berbeda satu sama
lainnya oleh karena adanya pertanyaan-pertanyaan berbeda yang muncul dalam
setiap ujian. Prosedur statistik yang dipergunakan oleh FPSB Indonesia konsisten
dengan prosedur yang diadopsi dari CFP Board dan hasil konsultasi dengan
psychometricians untuk memastikan bahwa semua calon mendapat perlakukan yang
sama pada setiap pelaksaan ujian.
Nilai lulus untuk ujian sertifikasi akan ditetapkan sesuai dengan prosedur standar
kelulusan ujian sertifikasi.
4. Ujian Ulangan
Apabila Anda gagal dalam salah satu ujian, Anda harus mengulang ujian tersebut.
5. Tinjau Ulang Hasil Ujian
Demi keamanan, materi ujian tidak tersedia untuk ditinjau ulang. Calon dapat
mengajukan pendaftaran untuk dilakukan penilaian manual pada lembar jawaban
ujian sertifikasi, apabila diduga adanya suatu penilaian yang keliru. Surat
pendaftaran tertulis harus dikirim dan dilengkapi dengan nama, nomor calon,
tanggal ujian, biaya proses sejumlah Rp. 500.000,- (lima ratus ribu Rupiah), dan
disertai dengan alasan pendaftaran penilaian manual tersebut kepada FPSB
Indonesia dalam waktu 30 hari kalender terhitung dari tanggal yang tercantum pada
stempel pos pada surat pemberitahuan hasil ujian. Pendaftaran yang diajukan setelah
ketentuan 30 hari tersebut tidak akan dilayani.
Laporan tinjau ulang hasil ujian sudah akan tersedia dalam waktu 4-6 minggu sejak
pendaftaran diterima. Harap dicatat bahwa laporan tersebut hanya akan
mengidentifikasikan apabila ada perbedaan antara penilaian manual dan penilaian
komputer dalam pencantuman tanda (mark) sebagaimana jawaban yang benar.
Informasi mengenai nilai ataupun tingkatan ujian tidak ada dalam lampiran tinjau
ulang hasil ujian. Apabila ada ketidaksesuaian antara hasil penilaian manual dan
penilaian komputer, maka hasil penilaian manual akan dinyatakan benar dan
selanjutnya biaya proses akan dibayarkan kembali.
6. Pemberitahuan Terkait Dengan Data Pribadi
Calon diminta untuk membaca “pemberitahuan terkait dengan data pribadi”
sebagaimana tercantum pada Lampiran 5 untuk memahami hak dan kewajiban
mereka sehubungan dengan penyampaian data pribadi kepada FPSB Indonesia, dan
X. I. PI. ERSYARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
14
juga untuk mengetahui bagaimana caranya FPSB Indonesia mempergunakan dan
menangani data tersebut.
7. Amandemen/Perubahan
FPSB Indonesia berhak untuk mengadakan perubahan pada ketentuan ujian, silabus
ujian, liputan topik dan informasi lainnya yang ada dalam buku pedoman ujian, bila
dianggap perlu.
8. Sumber Informasi
FPSB Indonesia akan menyajikan informasi terkini mengenai program pendidikan,
kursus persiapan ujian dan ujian sertifikasi kepada masyarakat. Anda dapat
mengetahuinya melalui pengumuman-pengumuman yang ada di website kami.
Untuk informasi selanjutnya, Anda dapat menghubungi FPSB Indonesia :
Telepon : +62 21 70872149-50
Fax : +62 21 527 1305
E-mail : exam@fpsbindonesia.org
Website : http://www.fpsbindonesia.org
Alamat : Gedung S Widjojo lantai 4.
Jl. Jenderal Sudirman 71, Jakarta Pusat 12190, Indonesia
Jam kerja : Senin – Jumat
09.30 – 16.00 wib
Tutup pada hari Sabtu, Minggu dan hari libur nasional.
XI. I. PI. ERSERSYLLLARATAN SERTIFIKASI CFP L Lampiran 1
15
Lampiran 1 – Silabus Ujian Sertifikasi CFP
Proses Perencanaan Keuangan (6%)
1. Membangun hubungan kerjasama klien – planner
2. Mengumpulkan data klien dan menetapkan tujuan hidup serta ekspektasi yang
bersangkutan
3. Menetapkan status keuangan klien dengan menganalisa dan mengevaluasi data yang
bersangkutan
4. Membuat dan mempresentasikan rencana keuangan
5. Mengimplementasikan rencana keuangan
6. Memonitor rencana keuangan
Referensi
Louis Cheng, Fundamentals of Financial Planning, McGraw-Hill Education (Asia),
2006.
Financial Planning Practice Standards, Financial Planning Standards Board.
Prinsip-Prinsip Umum (13%)
7. Pertimbangan etika dan profesional dalam perencanaan keuangan
8. Penilaian risiko dan perilaku klien
9. Lingkungan dan konsep ekonomis
10. Konsep dan perhitungan nilai waktu untuk uang
11. Perencanaan keuangan untuk kebutuhan khusus
12. Bentuk kepemilikan bisnis/hubungan entitas
13. Cara memperoleh hak milik atas property
14. Laporan Keuangan Perorangan
15. Anggaran Belanja
16. Manajemen Kredit dan Hutang
17. Persyaratan Regulasi Industri Jasa Keuangan
 Pendaftaran dan Perizinan
 Pelaporan
 Pemenuhan Kewajiban
18. Hukum Sekuritas dan Asuransi
19. Pendahuluan Prinsip-Prinsip Keuangan Syariah
20. Prinsip-prinsip Asuransi Syariah
Referensi
Louis Cheng, Fundamentals of Financial Planning, McGraw-Hill Education (Asia),
2006.
XII. I. PI. ERSERSYLLLARATAN SERTIFIKASI CFP L
16
Code of Ethics and Professional Responsibility, FPSB Indonesia
Bodie, Kane and Marcus, Essentials of Investment, McGraw Hill, edisi terakhir
Perencanaan Asuransi (14%)
21. Prinsip-Prinsip Asuransi
22. Analisa dan Evaluasi Terhadap Paparan Risiko
23. Aspek Hukum Asuransi
24. Asuransi Properti dan Kecelakaan Diri (perorangan dan perusahaan)
25. Analisa Kebijakan Asuransi Kesehatan
26. Asuransi Jiwa
27. Analisa Kebutuhan Asuransi dan Dasar Pertimbangan Rasionalnya
28. Pajak Atas Produk Asuransi
29. Seleksi Terhadap Perusahaan Asuransi dan Agensi
30. Regulasi Perasuransian di Indonesia
Referensi
Institute of Financial Planners of Hong Kong, Fundamentals of Risk and Insurance,
John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd, 2006.
Manajemen Risiko (6%)
31. Penilaian terhadap klien
32. Marketabilitas/likuiditas
33. Jenis-jenis risiko investasi
34. Ukuran terhadap risiko
35. Pengaruh waktu terhadap risiko investasi
Referensi
Bodie, Kane and Marcus, Essentials of Investment, McGraw Hill, edisi terakhir
Sarana Investasi (6%)
36. Regulasi pemerintah terhadap sekuritas dan pasar
37. Sarana investasi
38. Jenis dan ukuran terhadap hasil investasi
39. Metode valuasi terhadap obligasi dan saham
Referensi
Bodie, Kane and Marcus, Essentials of Investment, McGraw Hill, edisi terakhir
XII. I. PI. ERSERSYLLLARATAN SERTIFIKASI CFP L
17
Teori dan Strategi Investasi (14%)
40. Ukuran performa portofolio
41. Formula berinvestasi
42. Strategi “Aktif” dan “Pasif”
43. Leverage dan penggunaan dana pinjaman untuk berinvestasi
44. Strategi hedging dan opsi
45. Alokasi asset : Aktif dan Pasif
46. Teori pasar yang efisien
47. Sarana investasi yang sesuai dengan kebutuhan klien
48. Dampak pajak terhadap analisa nilai waktu investasi
49. Keuangan internasional dan devisa
Referensi
Baker, International Finance : Management, Markets and Institutions, Prentice Hall,
edisi terakhir
Bodie, Kane and Marcus, Essentials of Investment, McGraw Hill, edisi terakhir
Perencanaan Pajak Penghasilan (10%)
50. Pertimbangan etis dalam perencaan pajak
51. Fundamentalis hukum pajak penghasilan
52. Masalah penyelesaian pajak
53. Fundamental dan perhitungan pajak penghasilan
54. Metode pembukuan pajak
55. Karakteristik pajak pada entitas
56. Konsep pemulihan biaya
57. Amortisasi/Depresiasi
58. Konsekuensi pajak terhadap perubahan sejenis
59. Transaksi antar kelompok terkait
60. Konsekuensi pajak terhadap untung rugi penjualan asset
61. Teknik manajemen pajak
62. Implikasi pajak terhadap kondisi perubahan
63. Pajak atas bunga dan penalty serta beban biaya lainnya
Referensi
Muhammad Mansur, BAP : Teguh Hadi Wardoyo, SE., Ak, Pajak Terapan, Brevet
A&B, TaxSys, Jakarta 2006
Dr. Gunadi, M.Sc., Ak, Panduan Komprehensif Pajak Penghasilan, PT Multi Utama
Consultindo, Jakarta 2001
http://www.pajak.co.id
XII. I. PI. ERSERSYLLLARATAN SERTIFIKASI CFP L
18
Perencanaan Program Kesejahteraan Karyawan (9%)
64. Asuransi jiwa, kesehatan dan cacat dalam program kesejahteraan karyawan
65. Program kesejahteraan karyawan berdasarkan undang-undang
66. Penerapan bisnis dalam asuransi jiwa dan cacat perorangan
Referensi
Institute of Financial Planners of Hongkong, Employee Benefits and Estate Planning,
John Wiley & Sons (Asia) Pte. Ltd., 2007.
Perencanaan Pensiun (10%)
67. Pertimbangan etis dalam perencanaan pensiun dan kesejahteraan karyawan
68. Jenis-jenis produk pensiun
69. Karakteristik produk pensiun yang berkualitas
70. Distribusi beserta opsi pendistribusiannya
71. Analisa kebutuhan pensiun
72. Rekomendasi atas jenis produk pensiun yang paling tepat
73. Portofolio investasi yang sesuai untuk kondisi suatu produk pensiun yang berkualitas
74. Regulasi Pensiun di Indonesia
Referensi
Institute of Financial Planners of Hongkong, Employee Benefits and Estate Planning,
John Wiley & Sons (Asia) Pte. Ltd., 2007.
Perencanaan Estate (12%)
75. Ikhtisar mengenai perencanaan estate
76. Undang-undang Pemerintah mengenai warisan
77. Hukum Islam – Al Faraidl
78. Undang-undang perkawinan dan undang-undang keluarga
79. Pajak atas hadiah dan warisan serta penyelesaiannya
80. Jenis-jenis properti
81. Metode pengalihan properti pada peristiwa kematian
82. Dokumentasi perencanaan estate
83. Perencanaan likuiditas
84. Penunjukan seseorang sebagai wali
85. Pemberian sumbangan
86. Pemanfaatan asuransi jiwa dalam perencanaan estate
87. Penundaan dan meminimalkan pajak estate
XII. I. PI. ERSERSYLLLARATAN SERTIFIKASI CFP L
19
88. Teknik pengalihan bisnis intra-keluarga dan lainnya
89. Disposisi estate
Referensi
Libertus Jehani, Atanasius Harpen, Undang-undang Kewarganegaraan Indonesia,
Praninta Offset, Jakarta 2006
J. Satrio, SH, Hukum Waris, Penerbitan Alumni Bandung 1992
Drs. Sudarsono, SH, M.Si, Hukum Perkawinan Nasional, Rineka Cipta, Jakarta 2005
Anisitus Amanat, SH, CN, Membagi Warisan Berdasarkan Pasal-Pasal Hukum
Perdata BW, Rajawali Pers, Jakarta 2003
XIII. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 Lampiran 2
20
Lampiran 2 – Distribusi Pertanyaan Ujian Berdasarkan Modul
(Soal Ujian IFP Hongkong bulan Juni 2004 )
Modul
Jumlah
Pertanyaan
%
Prinsip-prinsip Umum Perencanaan Keuangan 59 15,48
Manajemen Risiko dan Perencanaan Asuransi 63 16,54
Perencanaan Investasi 100 26,25
Perencanaan Pajak 47 12,34
Program Kesejahteraan Karyawan dan Perencanaan
Estate
59 15,48
Kasus-kasus (pertanyaan gabungan) 53 13,91
Total 381 100
Catatan :
Informasi di atas sekedar sebagai referensi saja. Walaupun distribusi pertanyaan akan
secara konsisten berlaku untuk semua ujian, akan tetapi tetap akan ada sedikit variasi
atau perbedaan antara ujian yang satu dengan ujian berikutnya.
XIV. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 Lampiran 3
21
Lampiran 3 – Contoh Pertanyaan-Pertanyaan Ujian
10 contoh pertanyaan ujian berikut ini merupakan pertanyaan-pertanyaan yang sebelumnya
dipergunakan dalam ujian sertifikasi CFP di Amerika Serikat dan dirilis oleh Certified
Financial Planner Board of Standards, Inc, Amerika Serikat terhitung sejak tahun 1999.
Contoh-contoh ini merupakan indikasi dari jenis pertanyaan yang akan muncul dalam ujian
sertifikasi CFP yang akan diselenggarakan oleh FPSB Indonesia. Namun, ini hanya
merupakan contoh semata dan tidak dimaksudkan untuk mencerminkan soal-soal ujian yang
sesungguhnya, dalam arti baik secara keseluruhan maupun penekanan pada hal-hal tertentu.
Jawaban atas pertanyaan dapat dilihat pada halaman terakhir lampiran ini.
Untuk melihat semua kasus dan pertanyaan-pertanyaan yang dirilis oleh Certified Financial
Planner Board of Standards, Inc, Anda dapat men-download file yang bersangkutan dari
website :

http://www.cfp.net/downloads/1999%20released%20questions.pdf

Pertanyaan 1
Seorang Certified Financial Planner berlisensi memperoleh seorang klien baru. Dalam proses
pencarian fakta (fact-finding process), CFP tersebut mendapati bahwa konsultan si klien
sebelumnya, yang juga seorang CFP berlisensi, telah keliru mengisi beberapa formulir pajak
dengan perhitungan-perhitungan yang salah. Menurut Anda apa yang pertama harus
disampaikan oleh CFP tersebut kepada si klien ?
A. Hubungi CFP yang telah membuat kekeliruan tersebut
B. Hubungi CFP Board
C. Hubungi IRS
D. Beritahukan klien kejadian yang sebenarnya
Pertanyaan 2
Seorang pengusaha lokal meminta bantuan seorang CFP berlisensi untuk suatu permasalahan
pajak yang terkait dengan investasi (an investment-related tax problem). Konsultan pajak
(tax preparer) si klien sebelumnya, telah menyarankannya untuk membeli beberapa jenis
investasi yang menguntungkan dari segi pajak (tax-advantaged investments) yang dapat
mengurangi beban pajak klien disaat itu dan dimasa mendatang. Waktu telah berlalu dan
klien sendiri TIDAK merasa bahwa konsultan pajak tersebut menyampaikan hal-hal yang
keliru, namun ia ingin mengetahui sumber apa yang tersedia berkenaan dengan usul
konsultan pajak tersebut.
XV. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
22
Dalam kasus ini yang harus dilakukan oleh CFP tersebut adalah:
I. Jelaskan kepada klien bahwa masalah ini tidak termasuk dalam bidang keahlian
profesional seorang CFP berlisensi
II. Jelaskan kepada klien bahwa sumber yang dimaksud tidak ada
III. Sarankan klien untuk menghubungi seorang pengacara
IV. Menghubungi konsultan pajak tersebut
A. IV saja
B. I & III
C. II & IV
D. I, II &III
Pertanyaan 3
John dan Mary Meyers memiliki kekayaan sejumlah US$ 900.000, termasuk polis asuransi
jiwa senilai US$ 250.000 dengan John sebagai tertanggung. Keluarga Meyers memiliki 2
orang anak. John menghendaki Mary sebagai yang ditunjuk untuk menerima penghasilan dari
polis tersebut apabila ia meninggal, akan tetapi ia juga menghendaki agar kedua anaknya
kelak menerima penghasilan tersebut apabila sang istri meninggal dikemudian hari. John dan
Mary telah membuat surat wasiat yang berisikan unified credit trusts.
Bagaimana penunjukan ahliwaris yang terbaik untuk polis asuransi jiwa tersebut diatas ?
A. Istrinya, Mary
B. Kedua anaknya
C. A Charitable remainder trust
D. His testamentary trust
Pertanyaan 4
Pertanyaan berikut ini mana yang SALAH dalam hal pemilihan suatu entitas versus
perjanjian jual beli suatu pembelian silang kemitraan (a cross-purchase partnership buy-sell
agreement) yang didanai oleh asuransi?
A. Penggunaan asuransi yang ada untuk mendanai perjanjian dimaksud akan
menimbulkan suatu transfer-for-value problem, apabila perjanjian entitas dilakukan,
akan tetapi hal ini tidak akan terjadi, apabila dipergunakan suatu cross-purchase
approach.
B. Suatu pembelian silang harus dilakukan apabila para mitra bisnis yang masih hidup
berniat menjual seluruh kepentingannya selama mereka masih hidup.
XV. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
23
C. Suatu pendekatan entitas (entity approach) dapat mengatasi affordability problem
yang timbul, apabila salah satu mitra bisnis jauh lebih tua dari mitra-mitra lainnya.
D. Suatu perjanjian entitas (entity agreement) akan lebih diminati, apabila mitra bisnis
dalam perjanjian tersebut terus bertambah jumlahnya.
Pertanyaan 5
Faktor dibawah ini mana yang akan merupakan indikasi terkuat menunjukkan bahwa tingkat
bunga akan meningkat ?
A. Penjualan asset dalam mata uang US Dollar oleh investor asing
B. Berkurangnya defisit pemerintah Amerika Serikat
C. Menurunnya tingkat inflasi
D. Melemahnya permintaan kredit oleh sektor swasta ekonomi di Amerika Serikat
Pertanyaan 6
Jasmine memiliki saham-saham Amalgamated Corporation yang sangat menguntungkan
baginya dan saat ini nilainya US$ 46 per saham. Ia merasa puas dengan saham-sahamnya
tersebut, akan tetapi menyadari pula bahwa segala sesuatu yang baik TIDAK akan selamanya
demikian. Apabila Jasmine bermaksud menjual sahamnya pada harga US$ 50, strategi mana
yang akan Anda sarankan kepadanya ?
A. Beli US$ 50 call option
B. Jual US$ 50 call option
C. Beli US$ 50 put option
D. Jual US$ 50 put option
Pertanyaan 7
Berdasarkan data performa beragam jenis mutual fund dibawah ini, menurut Anda fund mana
yang memiliki risk–adjusted performance yang terbaik apabila risk-free of return 5,7% ?
Fund
Average Annual
Return
Standard Deviationof
Annual Return Beta
A .0782 .0760 .950
B .1287 .1575 1.250
C .1034 .1874 0.857
D .0750 .0810 0.300
A. Fund B, oleh karena annual return paling tinggi
XV. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
24
B. Fund A, oleh karena standard deviation paling rendah
C. Fund C, oleh karena rasio Sharpe paling rendah
D. Fund D, oleh karena rasio Treynor paling tinggi
E. Fund A, oleh karena rasio Treynor paling rendah
Pertanyaan 8
Sam, usia 95 tahun, mengalihkan saham kepemilikannya senilai US$ 600.000 ke produk
irrevocable trust. Sam menetapkan bahwa penghasilan dari trust tersebut dibayarkan
kepadanya selama ia masih hidup dan selanjutnya apabila ia meninggal, penghasilan tersebut
dibayarkan kepada saudara perempuannya. Ketentuan yang berlaku dalam trust tidak
memungkinkan Sam untuk mengubah ahli waris yang ditunjuk. Apabila Sam meninggal
setahun kemudian dari sekarang, dan pada waktu itu nilai asset trust mencapai US$ 650.000,
berapa jumlah trust yang akan masuk dalam kekayaan bruto Sam ?
A. US$ 0, oleh karena Sam tidak dapat merubah ahli waris yang ditunjuk
B. US$ 25.000, oleh karena unified credit yang dimiliki Sam
C. US$ 650.000, oleh karena Sam berhak menerima penghasilan dari trust selama
hidupnya
D. US$ 600.000, oleh karena Sam memiliki irrevocable trust
Pertanyaan 9
Besarnya manfaat pensiun maksimum yang akan diterima oleh seorang peserta dengan
manfaat pasti tergantung dari :
A. Perhitungan actuarial awal berdasarkan formula plan yang bersangkutan
B. Jumlah iuran yang telah ditetapkan sesuai dengan manfaat pasti yang dituju
C. Adanya tambahan tahunan maksimum sejumlah tertentu
D. Jumlah uang yang akan diterima peserta pada usia pensiun
E. Nilai sekarang dari target benefit yang ditentukan secara aktuarial
Pertanyaan 10
Jenis asuransi jiwa terbaik bagi sepasang suami istri usia 50 tahun dengan asset non-likuid
yang dimaksud untuk pembayaran federal estate taxes adalah :
A. Asuransi seumur hidup perorangan yang dimiliki oleh masing-masing pasangan atas
dasar kepemilikan silang (an individual whole-life policy on each spouse on crossownership
basis)
XV. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
25
B. Asuransi bersama atas kedua pasangan, dimana manfaat asuransi akan dibayarkan
segera pada saat salah satu tertanggung meninggal (a joint first-to-die life insurance
policy owned jointly).
C. Asuransi bersama atas kedua pasangan yang dimiliki oleh pasangan dengan kekayaan
lebih besar, dimana manfaat asuransi akan dibayarkan pada saat tertanggung terakhir
meninggal (a joint last-to-die life insurance policy owned by the spouse with the
larger estate)
D. Asuransi bersama atas kedua pasangan yang dimiliki oleh pasangan dengan kekayaan
lebih sedikit, dimana manfaat asuransi akan dibayarkan pada saat tertanggung
terakhir meninggal (a joint and last-to-die life insurance policy owned by the spouse
with the smaller estate)
E. Asuransi bersama atas kedua pasangan yang dimiliki oleh suatu irrevocable trust,
dimana manfaat asuransi akan dibayarkan pada saat tertanggung terakhir meninggal
(a joint and last-to-die life insurance policy owned by an irrevocable trust)
Jawaban
1. D
2. B
3. D
4. A
5. A
6. B
7. D
8. C
9. D
10. E
XVII. I. PI. ERSERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 Lampiran 4
26
Lampiran 4 – Tata Tertib Ujian
Ketentuan Umum
1. Calon diwajibkan hadir tepat pada waktu dan tempat ujian yang telah dijadwalkan.
2. Kalkulator yang dibawa masuk kedalam ruang ujian akan diperiksa oleh pengawas ujian
dan harus sesuai dengan persyaratan yang ditetapkan oleh FPSB Indonesia.
3. Calon tidak diperkenankan membawa kertas buram, untuk coretan gunakan lembar Soal
Ujian.
4. Sebelum memasuki ruang ujian, calon diminta untuk menonaktifkan segala bunyi yang
ada pada jam tangan, pager dan/atau handphone. Dan selama berada dalam ruang ujian,
calon juga tidak diperkenankan mempergunakan alat komunikasi dalam bentuk apapun.
5. Calon harus mempergunakan pensil 2B dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan pilihan
ganda (multiple choice questions).
6. Tidak seorang calonpun diperkenankan masuk ke dalam ruang ujian, 30 menit setelah
ujian berlangsung.
7. Setelah ujian berlangsung lebih dari 60 menit, calon dapat meninggalkan ruang ujian
dengan seizin pengawas ujian. Namun, calon tidak diperkenankan meninggalkan ruang
ujian pada waktu 15 menit menjelang ujian berakhir.
8. Barang-barang berupa tas, buku pelajaran (textbook), catatan, kamus, agenda elektronik
maupun bahan pendidikan lainnya diletakkan didepan kelas.
9. Panitia ujian tidak bertanggung jawab atas segala kehilangan, kecurian ataupun
kerusakan yang terjadi pada barang milik perorangan selama ujian berlangsung.
10. Hanya alat tulis-menulis seperlunya, kalkulator (terbuka), formulir penerimaan serta
bukti identitas diri yang boleh ditaruh di atas meja dan barang-barang tersebut harus
terlihat dengan jelas. Barang-barang lainnya harus diletakan didepan ruang kelas.
11. Selama ujian berlangsung tidak dibenarkan untuk makan, minum ataupun merokok.
12. Setiap calon harus duduk sesuai dengan nomor kursi yang tercantum pada formulir
penerimaan, kecuali ditetapkan lain oleh pengawas ujian.
13. Selama berada dalam ruang ujian dan selama ujian berlangsung, calon harus tenang dan
duduk sepanjang waktu serta mematuhi instruksi yang diberikan oleh pengawas ujian
dengan sebaik-baiknya sampai ujian berakhir.
14. Buku pertanyaan ujian (examination question book) adalah milik FPSB Indonesia. Calon
tidak dibenarkan merobek lembar halaman buku tersebut. Dan diserahkan kembali
bersama dengan Lembar Jawaban kepada Panitia Ujian setelah selesai mengerjakan
Ujian.
XVIII. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
27
Diskualifikasi
Seorang calon dapat didiskualifikasi dari ujian, apabila yang bersangkutan ternyata memiliki
hal-hal berikut di bawah ini:
1. Memperoleh masukan bahan ujian secara tidak semestinya sebelum pelaksanaan ujian;
2. Menghubungi atau berusaha menghubungi seseorang baik di dalam maupun di luar ruang
ujian selama ujian berlangsung;
3. Menyalin dari catatan, buku atau perangkat elektronik yang dibawa ke dalam ruang ujian
atau dari hasil kerja rekan calon lainnya selama ujian berlangsung;
4. Mengambil atau berusaha mengambil dari ruang ujian : bahan-bahan ujian, seperti buku
pertanyaan ujian, lembar jawaban atau halaman tertentu dari buku pertanyaan ujian;
5. Meninggalkan ruang ujian tanpa seizin pengawas ujian;
6. Membuka buku pertanyaan ujian atau sudah mulai mengerjakan soal-soal ujian sebelum
diinstruksikan, atau tetap mengerjakan soal-soal ujian atau lembar jawaban walaupun
telah diperingatkan bahwa waktu ujian telah berakhir;
7. Melakukan hal-hal yang dapat mengganggu konsentrasi calon lainnya maupun
ketenangan dalam ruang ujian;
8. Mengikuti ujian untuk dan atas nama orang lain;
9. Tidak berhasil mengikuti ketentuan umum yang berlaku dan/atau instruksi yang diberikan
oleh pengawas ujian berlangsung; atau
10. Terbukti melakukan kecurangan dalam bentuk apapun.
Bukti Identitas Diri
Pada hari berlangsungnya ujian (Sabtu dan Minggu), calon harus membawa :
 Formulir Penerimaan; dan
 KTP (Kartu Tanda Penduduk) atau
 Paspor yang masih berlaku
Calon yang tidak dapat memenuhi persyaratan identifikasi di atas dan/atau identitasnya
diragukan, tidak diperkenankan mengikuti ujian.
XVIII. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008
28
Kalkulator
Kalkulator yang dibawa ke dalam ruang ujian akan diperiksa oleh pengawas ujian.
Hanya kalkulator berikut di bawah ini yang dapat dipergunakan untuk mengikuti ujian
sertifikasi CFP :
Merk Model No.
Casio FC 100 / FC 200 / FC 100V / FC 200V
Hewlett-Packard 10 B II / 12C / 12C Platinum
Texas Instrument BA II Plus / BA II Plus Professional
XIX. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 Lampiran 5
29
Lampiran 5 – Pemberitahuan Terkait Dengan Data Pribadi
Informasi ini dimaksudkan untuk membantu calon memahami akan hak dan kewajiban
mereka sehubungan dengan data pribadi yang disampaikannya kepada FPSB Indonesia dan
juga untuk mengetahui bagaimana caranya FPSB Indonesia mempergunakan serta
menangani data tersebut.
1. Segera setelah terdaftar sebagai calon untuk suatu ujian, calon diminta untuk
memberitahukan adanya setiap perubahan data pribadi kepada FPSB Indonesia sampai
pada waktu mereka telah menyelesaikan ujian tersebut.
2. FPSB Indonesia akan mempergunakan data pribadi tersebut untuk kepentingan di bawah
ini :
a. Mengatur pelaksanaan ujian;
b. Menyampaikan informasi mengenai ujian;
c. Memelihara data calon;
d. Menyampaikan hasil ujian kepada calon yang bersangkutan;
e. Menyampaikan informasi yang selayaknya diketahui oleh calon, menyangkut
masalah kursus, ujian, produk, maupun pelayanan yang diberikan oleh FPSB
Indonesia;
f. Analisa penelitian atau statistik; dan
g. Kepentingan lainnya yang terkait
3. FPSB Indonesia akan menjaga kerahasiaan data pribadi setiap calon, namun dalam
melaksanakan tugasnya FPSB Indonesia dapat—sepanjang tidak bertentangan dengan
hukum—melakukan perbandingan, penyesuaian, pengalihan atau perubahan data calon
dengan data yang telah dimilikinya atau yang diperoleh sesudah itu oleh FPSB Indonesia
baik untuk kepentingan pendataan maupun kepentingan lainnya.
4. Calon berhak untuk meminta akses atau koreksi atas setiap data pribadi yang pernah
disampaikannya, sesuai dengan ketentuan dan batasan yang berlaku. Namun perlu dicatat
bahwa lembar jawaban yang dipergunakan calon pada waktu ujian (yang kemungkinan
mencantumkan data pribadi) akan dimusnahkan 6 bulan kemudian setelah tanggal
pelaksanaan ujian yang bersangkutan.
5. FPSB Indonesia berhak untuk membebankan biaya proses yang wajar bagi setiap
permintaan akses data.
6. Calon yang menghendaki akses atau koreksi data dapat mengajukan pendaftaran tertulis
kepada FPSB Indonesia.
7. Calon yang tidak menghendaki informasi apapun mengenai kursus atau ujian yang
diselenggarakan oleh FPSB Indonesia diminta untuk menyampaikan secara tertulis
kepada FPSB Indonesia.
*******
XX. I. PI. ERSYLARATAERSYLARATAN SERTIFIKASI CFP 2008 Lampiran 6
30
Lampiran 6 – Jadwal Ujian CFP 2008
Jadwal Ujian CFP April 2008
Hari I, Sabtu 26 April 2008:
09.00 – 11.00 : CFP 1 (Manajemen Risiko dan Perencanaan Asuransi)
12.30 – 14.30 : CFP 2 (Perencanaan Investasi)
15.00 – 17.00 : CFP 3 (Perencanaan Hari Tua, Pajak dan Distribusi Kekayaan)
Hari II, Minggu 27 April 2008:
09.00 – 13.00 : CFP 4 (Praktek Perencanaan Keuangan – Studi Kasus)
Jadwal Ujian CFP Juli 2008
Hari Sabtu 26 Juli 2008:
09.00 – 11.00 : CFP 1 (Manajemen Risiko dan Perencanaan Asuransi)
12.30 – 14.30 : CFP 2 (Perencanaan Investasi)
15.00 – 17.00 : CFP 3 (Perencanaan Hari Tua, Pajak dan Distribusi Kekayaan)
Jadwal Ujian CFP Oktober 2008
Hari I, Sabtu 25 Oktober 2008:
09.00 – 11.00 : CFP 1 (Manajemen Risiko dan Perencanaan Asuransi)
12.30 – 14.30 : CFP 2 (Perencanaan Investasi)
15.00 – 17.00 : CFP 3 (Perencanaan Hari Tua, Pajak dan Distribusi Kekayaan)
Hari II, Minggu 26 Oktober 2008:
09.00 – 13.00 : CFP 4 (Praktek Perencanaan Keuangan – Studi Kasus)
1 of 2
Gedung S Wijoyo, 4th floor
Jl. Jend. Sudirman no. 71, Jakarta 12190, Indonesia
Phone : (62-21) 7087 2149, 7087 2150 Fax.: (62-21) 527 1305
Email : exam@fpsbindonesia.org Website : http://www.fpsbindonesia.org
FORMULIR PENDAFTARAN – UJIAN SERTIFIKASI CFP
Harap tulis dengan HURUF CETAK dan tandai dengan ‘’ atau coret bila tidak sesuai.
Lampiran 7 – Formulir Pendaftaran
Data pribadi :
Nama : (L / P)
Tempat & Tgl. Lahir : /
KTP No.: /Passport No.:
Warganegara : Indonesia Lainnya, yaitu :
Perusahaan:
Jabatan:____________________________________ Dept: ________________________________
Alamat Kantor :
________________________________________________email : _______________________________
Tel.: ____________________________________________Fax: __________________________________
Alamat Rumah :
________________________________________________email : _______________________________
Tel. dan HP: ____________________/________________________Fax: _________________________
Latar belakang pendidikan :
* Pendidikan akademis:
S1 Universitas /Fakultas: __________________/_________________ Lulus Tahun : _____
S2 Universitas /Fakultas: __________________/__________________ Lulus Tahun : _____
S3 Universitas /Fakultas: _________________/___________________ Lulus Tahun : _____
Lainnya, : ___________ , jelaskan _________________________________________________
* Gelar professional :
ChFC CLU CFA CPA Lainnya, jelaskan : ____________________
Tahun :________________
2 of 2
Gedung S Wijoyo, 4th floor
Jl. Jend. Sudirman no. 71, Jakarta 12190, Indonesia
Phone : (62-21) 7087 2149, 7087 2150 Fax.: (62-21) 527 1305
Email : exam@fpsbindonesia.org Website : http://www.fpsbindonesia.org
Harap tandai dengan ‘’ bila telah mengikuti modul pendidikan sebagai berikut :
Fundamental of Financial Planning, di _________________________________ tahun : ____
Investment Planning, di _______________________________________________ tahun : ____
Risk Management & Insurance Planning, di ____________________________ tahun : ____
Retirement, Tax & Estate Planning, di __________________________________ tahun : ____
Pengalaman kerja 5 tahun terakhir :
Nama Perusahaan: Jabatan Terakhir : Periode Kerja:
Total pengalaman kerja: _______tahun.
Bersama ini saya mendaftarkan diri untuk mengikuti ujian:
Saya menyatakan bahwa saya telah membaca dan mengerti persyaratan dan
deskripsi Ujian Sertifikasi CFP. Saya menyatakan bahwa data yang saya sampaikan
adalah yang sebenar-benarnya.
Saya lampirkan 2 pasphoto ukuran 3 x 4, foto kopi identitas, ijasah pendidikan
terakhir/sertifikat, bukti telah menyelesaikan pendidikan financial planning dari
lembaga pendidikan yang bekerjasama dengan FPSB Indonesia dan kartu
nama.
Saya mengijinkan FPSB Indonesia untuk melakukan upaya pengecekan atas
dokumen yang saya kirimkan.
Saya setuju bahwa FPSB Indonesia berhak untuk tidak menyetujui pendaftaran ujian
sertifikasi CFP saya apabila saya tidak dapat memenuhi seluruh persyaratan ujian yang
ditentukan oleh FPSB Indonesia.
_____________________________ _________________________
Tandatangan Pendaftar Tanggal
• Biaya pendaftaran dan ujian harus disampaikan dalam bentuk Cek atau Transfer ke:
Bank Panin Cab. Palmerah,
No. Rekening: 140.5.0198.91
a.n. Yayasan Standarisasi Perencana Keuangan Indonesia.
Jenis Ujian Biaya
CFP 1: Manajemen Risiko dan Perencanaan Asuransi
CFP 2: Perencanaan Investasi
CFP 3: Perencanaan Hari Tua, Pajak dan Distribusi Kekayaan
CFP 4: Praktek Perencanaan Keuangan – Ujian Studi Kasus
Rp. 400.000
Rp. 400.000
Rp. 400.000
Rp. 1.000.000
Total Rp.

pengantar ke algoritma


Bab 1_Pengantar ke Algoritma 1
1
Pengantar ke Algoritma
1.1 Pendahuluan
omputer (hardware) dibuat sebagai alat bantu untuk menyelesaikan masalah.
Permasalahan apa pun dapat diselesaikan oleh komputer asalkan langkahlangkah
penyelesaiannya disediakan oleh oleh manusia (brainware). Dengan
kata lain, manusia menulis program (software) yang berisi urutan langkah-langkah
penyelesaian masalah, lalu proram tersebut “dimasukkan” ke dalam komputer. Dalam
hal ini, komputer hanya bertindak menjalankan perintah-perintah yang tertulis di dalam
program tersebut. Sebenarnya manusia sendiri mampu melaksanakan perintah- perintah
tersebut, tetapi komputer mempunyai kelebihan dibandingkan manusia. Komputer
adalah benda mati, jadi ia tidak mengenal lelah dan bosan. Komputer mampu
mengerjakan perintah yang banyak sekalipun, selain itu ia juga mampu mengerjakan
suatu perintah yang sama berulang kali, 100 kali, sejuta kali, atau berapa kalipun yang
manusia perintahkan. Manusia suka pelupa, sedangkan komputer tidak. Komputer
memiliki memori yang besar sehingga ia mampu menyimpan data dan informasi dalam
volume yang banyak.
Perhatikan paragraf di at as kembali. Ketiga kata yang disebutkan: hardware, software,
dan brainware, adalah tiga komponen utama sistem komputer. Komputer baru
bermanfaat jika ia diprogram. Sebagai ilustrasi sederhana saja, misalkan anda ingin
menggunakan komputer untuk mengurutkan sekumpulan nilai. Permasalahan pengurutan (sorting)
banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Kita lebih mudah membaca data yang terurut
daripada data yang tersusun secara acak. Data yang terurut memudahkan kita mencari data tertentu
(misalnya mencari nama di dalam katalog buku telepon). Data yang terurut juga memudahkan kita
menentukan ranking (misalnya dalam menyeleksi siswa baru berdasarkan nilai tes masuk). Jika
data yang diurutkan hanya sedikit (misalnya hanya 10 buah data), tentu komputer tidak terlalu
diperlukan. Manusia sendiri mampu mengurutkannya secara manual. Bagiamana jika data yang
diurutkan jumlahnya sangat banyak (misalnya 10.000 sampai satu juta data)? Tentu manusia
K
2 Algoritma dan Pemrograman
mampu juga melakukannya, tetapi mungkin dibutuhkan waktu yang cukup lama, ketelitian,
kesabaran, dan sebagainya. Disinilah peran komputer membantu manusia untuk melakukan
pengurutan tersebut. Seperti yang disebutkan di paragraf pertama, komputer mampu melakukan
perintah yang diberikan tanpa mengenal lelah dan bosan namun tetap memberikan hasil pekerjaan
yang teliti dalam waktu yang relatif sangat cepat.
Coba anda pikirkan, bagaimana cara anda mengurutkan sejumlah data? Taruhlah anda punya
setumpuk kartu yang diberi nomor 1 sampai 50. Kartu tersebut semula tersusun acak, dan
sekarang anda perlu mengurutkannya kembali dari nomor kecil ke nomor besar (nomor kecil di
atas dan nomor besar di bawah). Secara tradisional, langkah-langkah yang anda lakukan adalah
mencari kartu dengan nomor terbesar (50), lalu meletakkannya paling bawah. Selanjutnya, cari
kartu dengan nomor terbesar kedua (49), lalu letakkan di atas kartu pertama. Begitu seterusnya,
anda mencari kartu dengan nomor terbesar ketiga, terbesar keempat, sampai akhirnya seluruh
kartu sudah terurut dengan nomor kecil di atas dan nomor besar di bawah. Sebagai catatan, anda
juga melakukan cara yang berkebalikan, yaitu cari kartu dengan nomor terkecil (1), lalu letakkan
pada posisi pertama. Selanjutnya kartu dengan nomor terkecil kedua (2), lalu letakkan di bawah
kartu pertama. Begitu seterusnya, anda mencari kartu dengan nomor terkecil ketiga, terkecil
keempat, sampai akhirnya seluruh kartu sudah terurut dengan nomor kecil di atas dan nomor besar
di bawah.
Sekarang, mari kita tuliskan langkah-langkah pengurutan 50 buah kartu tersebut sebagai berikut:
Langkah 1: Cari kartu dengan nomor terbesar
Langkah 2: Tempatkan kartu tersebut pada posisi paling bawah (posisi 50)
Langkah 3: Cari kartu dengan nomor terbesar kedua
Langkah 4: Tempatkan kartu tersebut pada posisi 49
Langkah 5: Cari katu dengan nomor terbesar ketiga
Langkah 6: Tempatkan kartu tersebut pada posisi 48
Langkah 8: Cari katu dengan nomor terbesar keempat
Langkah 9: Tempatkan kartu tersebut pada posisi 47
… (dst)
Perhatikanlah bahwa sebenarnya di dalam langkah-langkah penyelesaian di atas hanya ada dua
perintah, yaitu mencari kartu dengan nomor terbesar dan menempatkan kartu tesrebut pada posisi
yang benar. Kedua perintah ini diulang berkali-kali tetapi dengan acuan yang berbeda (kedua,
ketiga, dan seterusnya). Langkah-langkah penyelesaian di atas dapat kita tulis lebih sederhana
sebagai berikut:
Langkah 1: Cari kartu dengan nomor terbesar
Langkah 2: Tempatkan nilai terbesar tersebut pada posisi yang tepat
Langkah 3: Ulangi Langkah 1 untuk 49 buah kartu yang lain
Secara umum, jika kita mempunyai N buah kartu, maka langkah-langkah pengurutannya dapat
dibuat lebih umum sebagai berikut:
Langkah 1: Cari kartu dengan nomor terbesar
Langkah 2: Tempatkan nilai terbesar tersebut pada posisi yang tepat
Langkah 3: Ulangi Langkah 1 untuk N – 1 buah kartu yang lain
Perhatikan bahwa Langkah 1 masih perlu dirinci lagi menjadi langkah-langkah yang lebih
primitif. Hal ini akan dibahas di dalam Bab 2 nanti.
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 3
Ide pengurutan tumpukan kartu dengan cara di atas mengilahmi orang untuk menulis
program pengurutan sekumpulan data dengan bantuan komputer. Data yang akan diurutkan
harus dimasukkan dulu ke dalam memori komputer dengan cara “pembacaan”, selanjutnya
data tersebut diurut dengan langkah-langkah yang sudah dijelaskan di atas. Agar program
dapat dilaksanakan oleh komputer, maka program tersebut harus ditulis dalam bahasa
komputer khusus. Bahasa komputer yang digunakan dalam menulis program dinamakan
bahasa pemrograman. Orang yang membuat program komputer disebut pemrogram, dan
kegiatan merancang dan menulis program disebut pemrograman.
Salah satu dari sekian banyak bahasa pemrograman yang tersedia saat ini adalah Bahasa
Pascal. Algoritma 1.1 di bawah ini adalah program yang ditulis dalam Bahasa Pascal untuk
melakukan pengurutan sekumpulan nilai ujian mahasiswa. Data nilai ujian mahasiswa
dibaca dari papan ketik (keyboard), lalu diurutkan, dan hasil pengurutan dicetak ke layar
peraga (monitor). Untuk sementara ini anda tidak perlu memikirkan kenapa programnya
demikian, karena inilah materi yang akan anda pelajari di dalam buku algoritma ini. Jadi,
bersabar dululah, yang penting saat ini adalah anda mengetahui contoh rupa sebuah
program komputer.
program PENGURUTAN;
{ Program untuk mengurutkan nilai ujian sejumlah mahasiswa }
const
Nmaks = 1000; { jumlah maksimum data }
var
Nilai : array[1..Nmaks] of integer; { tempat menyimpan data }
j,k,temp, N, Imaks : integer;
begin
{baca data nilai ujian N orang mahasiswa}
read(N);
for j:=1 to N do
readln(Nilai[j]);
{endfor}
{urutkan data dengan langkah-langkah berikut:}
for j:=1 to N-1 do { ulangi sebanyak N – 1 kali }
begin
{cari nilai terbesar }
Imaks:=j;
for k:=j+1 to N do
if Nilai[k] > Nilai[j] then
Imaks:=k;
{endif}
{endfor}
{tempatkan nilai terbesar pada posisi yang tepat }
temp:=Nilai[j];
Nilai[j]:=Nilai[Imaks];
Nilai[Imaks]:=temp;
end; {for}
{ tuliskan nilai yang sudah terurut!}
for j:=1 to N do
writeln(Nilai[j]);
{endfor}
end.
Algoritma 1.1 Program pengurutan nilai ujian N orang mahasiswa
4 Algoritma dan Pemrograman
1.2 Program Komputer dan Algoritma
Anda sudah melihat contoh sebuah program komputer untuk menyelesaikan masalah
pengurutan. Program komputer berisi urutan langkah-langkah penyelesaian masalah secara
sistematis dan ditulis dalam bahasa pemrograman tertentu (pada contoh di atas Bahasa
Pascal). Urutan langkah-langkah penyelesaian masalah inilah yang dinamakan algoritma.
Ada banyak definisi algoritma yang dijumpai di berbagai literatur, namun definisi yang
umum adalah sebagai berikut:
Definisi:
Algoritma adalah urutan logis langkah-langkah penyelesaian masalah.
Jadi, program komputer pada hakikatnya adalah realisasi teknis dari sebuah algoritma.
Disebut realisasi teknis karena algoritma dikodekan ke dalam bahasa pemroraman tertentu.
Kita dapat menuliskan kembali algoritma dari program pengurutan di atas sebagai berikut
ini (tidak termasuk pembacaan data dan penulisan hasi pengurutan):
PROGRAM Pengurutan
Program untuk mengurutkan nilai ujian sejumlah mahasiswa
ALGORITMA:
1. Cari nilai terbesar di antara N buah data
2. Tempatkan nilai terbesar tersebut pada posisi yang tepat
3. Ulangi dari langkah 1 untuk N – 1 buah data yang lain
Sejarah kata “algoritma”
Ditinjau dari asal usul kata, kata algoritma sendiri mempunyai sejarah yang aneh. Kata ini
tidak muncul di dalam kamus Webster sampai akhir tahun 1957. Orang hanya menemukan
kata algorism yang berarti proses menghitung dengan angka Arab [KNU73]. Anda
dikatakan algorist jika anda menggunakan angka Arab. Para ahli bahasa berusaha
menemukan asal kata algorism ini namun hasilnya kurang memuaskan. Akhirnya para ahli
sejarah matematika menemukan asal mula kata tersebut. Kata algorism berasal dari nama
penulis buku Arab yang terkenal, yaitu Abu Ja’far Muhammad ibnu Musa al-Khuwarizmi
(al-Khuwarizmi dibaca orang Barat menjadi algorism). Al-Khuwarizmi menulis buku yang
berjudul Kitab al jabar wal-muqabala, yang artinya “Buku pemugaran dan pengurangan” (The
book of restoration and reduction). Dari judul buku itu kita juga memperoleh akar kata
“aljabar” (algebra). Perubahan dari kata algorism menjadi algorithm muncul karena kata
algorism sering dikelirukan dengan arithmetic, sehingga akhiran -sm berubah menjadi -
thm. Karena perhitungan dengan angka Arab sudah menjadi hal yang sudah biasa/ lumrah,
maka lambat laun kata algorithm berangsur-angsur dipakai sebagai metode perhitungan
(komputasi) secara umum, sehingga kehilangan makna aslinya [PAR95]. Dalam bahasa
Indonesia, kata algorithm diserap menjadi algoritma.
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 5
(a)
(b)
Gambar 1.1
(a) Sketsa wajah al-Khuwarizmi, (b) al-Khuwarizmi dalam sebuah perangko (?).
Pada tahun 1950, kata algoritma sering dihubungkan dengan “algoritma Euclidean”
(Euclid’s algorithm), yaitu proses untuk menemukan pembagi bersama terbesar (common
greatest divisor atau gcd), dari dua buah bilangan bulat, m dan n [KNU73]. Pembagi
bersama terbesar dari dua buah bilangan bulat tak-negatif adalah bilangan bulat positif
terbesar yang habis membagi kedua bilangan tersebut. Misalnya, m = 80 dan n = 12. Faktor
pembagi 80 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80, dan faktor pembagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6,
12, maka gcd(80,12) = 4. Langkah-langkah mencari gcd(80, 12) dengan algoritma
Euclidean adalah sebagai berikut:
80/12 = 6, sisa 8
12/8 = 1, sisa 4
8/4 = 2 sisa 0
Karena pembagian yang terakhir menghasilkan 0, maka sisa pembagian terakhir sebelum 0,
yaitu 4, menjadi gcd(80,12). Jadi, gcd(80,12) = gcd(12,8) = gcd(8,4) = gcd(4,0)= 4. Proses
mencari gcd dari 80 dan 12 juga dapat diilustrasikan dalam diagram berikut:
80 = 6×12+ 8
12 =1×8+ 4
8 = 2 ×4 + 0
6 Algoritma dan Pemrograman
Ada beberapa versi algoritma Euclidean, salah satu versinya dituliskan di bawah ini.
PROGRAM Euclidean
Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m ³ n). Algoritma
Euclidean mencari pembagi bersama terbesar, gcd, dari kedua bilangan
tersebut, yaitu bilangan bulat positif terbesar yang habis membagi m dan n.
ALGORITMA:
1. Jika n = 0 maka
m adalah jawabannya;
stop.
tetapi jika n ¹ 0,
lanjutkan ke langkah 2.
2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya.
3. Ganti nilai m dengan nilai n dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang
kembali ke langkah 1.
Algoritma 1.2 Algoritma Euclidean untuk menentukan gcd dari dua buah bilangan bulat
Dengan menggunakan m = 80 dan n = 12, maka eksekusi algoritma Euclidean untuk
mencari gcd(80,12) adalah sebagai berikut:
1(i) Karena n = 12 ¹ 0, maka lanjutkan ke langkah 2(1)
2(i) Hitung m/n = 80/12 = 6, sisanya r = 8
3(i) Nilai mbaru= nlama= 12 dan nbaru= r = 8. Lanjut ke langkah 1(2).
1(ii) Karena n = 8 ¹ 0, maka lanjutkan ke langkah 2(2)
2(ii) Hitung m/n = 12/8 = 1, sisanya r = 4.
3(ii) Nilai mbaru= nlama= 8 dan nbaru=r = 4. Lanjut ke langkah 1(3).
1(iii) Karena n = 4 ¹ 0, maka lanjutkan ke langkah 2(3)
2(iii) Hitung m/n = 8/4 = 2, sisanya r = 0.
3(iii) Nilai mbaru= nlama= 4 dan nbaru= r = 0. Lanjut ke langkah 1(4).
1(iv) Karena r = 0, maka n = 4 adalah jawabannya. Stop.
Jadi, pbt(80,12) = 4.
Keterangan: angka romawi di dalam kurung, yaitu (i), (ii), (iii) dan iv), masing-masing
menyatakan perulangan yang ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4 dari instruksi yang dijalankan.
Satu hal yang perlu dicatat, langkah-langkah penyelesaian masalah di dalam algoritma haruslah
menyatakan urutan yang logis. Langkah-langkah yang logis berarti bahwa hasil dari urutan
langkah-langkah tersebut menghasilkan penyelesaian yang benar. Langkah-langkah yang
tidak logis dapat memberikan hasil yang salah. Contoh 1.1 dan Contoh 1.2 berikut ini
memperlihatkan bahwa urutan langkah yang logis menentukan kebenaran algoritma.
Contoh 1.1 (Mempertukarkan isi dua buah ember) MokMkkem
Tinjau sebuah persoalan sederhana yaitu persoalan mempertukarkan isi dari dua buah
ember, sebut ember A dan B. Ember A berisi air yang berwarna merah, sedangkan ember B
berisi air berwarna biru (Gambar 1.2). Kita ingin mempertukarkan isi kedua ember itu
sedemikian sehingga ember A akan berisi air berwarna biru dan ember B berisi air
berwarna merah.
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 7
Ember A Ember B
Gambar 1.2
Dua buah ember berisi air yang berbeda warna.
Ember A berisi air berwarna merah, ember B berisi air berwarna biru.
Penyelesaian:
Misalkan seseorang menuliskan langkah-langkah pertukaran isi kedua ember tersebut ke
dalam program Tukar_Isi dengan algoritma sebagai berikut:
PROGRAM Tukar_Isi
Diberikan dua buah ember, A dan B; ember A berisi air berwarna merah,
ember B berisi air berwarna biru. Pertukarkan isi kedua ember itu
sedemikian sehingga ember A akan berisi air berwarna biru dan ember B
berisi air berwarna merah.
ALGORITMA:
1. Tuangkan air dari ember A ke dalam ember B.
2. Tuangkan air dari ember B ke dalam ember A.
Perhatikan bahwa algoritma Tukar_Isi di atas tidak akan menghasilkan pertukaran yang
benar. Langkah-langkahnya tidak logis. Alih-alih mempertukarkan, yang terjadi adalah
percampuran keduanya. Dengan kata lain, algoritma Tukar_Isi tersebut salah!
Agar dapat melakukan pertukaran yang benar, kita memerlukan sebuah ember tambahan
yang diperlukan sebagai tempat penampungan sementara. Namakan ember tambahan
tersebut ember C. Dengan menggunakan ember C ini, algoritma mempertukarkan isi dua
buah ember yang benar adalah seperti Algoritma 1.3 berikut ini:
PROGRAM Tukar_Isi
Diberikan dua buah ember, A dan B; ember A berisi air berwarna merah,
ember B berisi air berwarna biru. Pertukarkan isi kedua ember itu
sedemikian sehingga ember A berisi air berwarna biru dan ember B berisi
air berwarna merah.
ALGORITMA:
1. Tuangkan air dari ember A ke dalam ember C.
2. Tuangkan air dari ember B ke dalam ember A.
3. Tuangkan air dari ember C ke dalam ember B.
Algoritma 1.3 Mempertukarkan isi dari dua buah ember
8 Algoritma dan Pemrograman
Sekarang, dengan algoritma Tukar_Isi yang sudah diperbaiki ini, isi ember A dan ember
B dapat dipertukarkan dengan benar. Pada akhir algoritma, ember A berisi ai berwarna biru dan
ember B berisi air berwarna merah. Proses pertukaran tersebut diilustrasikan pada Gambar 1.3.
Keadaan awal sebelum pertukaran:
Ember A Ember B Ember C
Proses Pertukaran:
1. Tuangkan air dari ember A ke dalam ember C
Ember A Ember B Ember C
2. Tuangkan air dari ember B ke dalam ember A
Ember A Ember B Ember C
3. Tuangkan air dari ember C ke dalam ember B
Ember A Ember B Ember C
Keadaan Akhir Setelah Pertukaran:
Ember A Ember B Ember C
Gambar 1.2
Proses pertukaran isi ember A dan ember B, menggunakan ember bantu C.
Setelah pertukaran, ember A berisi air dari ember B semula, demikian pula sebaliknya.
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 9
Sisi A: P, S, K, Y
Sisi B:
Keadaan Awal
Sisi A:
Keadaan Akhir
Sisi B: P, S, K, Y
Contoh 1.2 (Menyeberangkan barang bawaan) MokMkkem
Misalkan seorang pemuda tiba di tepi sebuah sungai. Pemuda tersebut membawa seekor
kambing, seekor srigala, dan sekeranjang sayur. Mereka bermaksud hendak menyeberangi
sungai. Pemuda itu menemukan sebuah perahu kecil yang hanya dapat memuat satu
bawaannya setiap kali menyeberang. Situasinya dipersulit dengan kenyataan bahwa srigala
tidak dapat ditinggal berdua dengan kambing (karena srigala akan memangsa kambing)
atau kambing tidak dapat ditinggal berdua dengan sekeranjang sayur (karena kambing akan
memakan sayur). Buatlah algoritma untuk menyeberangkan pemuda dan seluruh bawaannya
itu sehingga mereka sampai ke seberang sungai dengan selamat.
Penyelesaian:
Misalkan sisi sungai kita namakan A dan sisi sungai seberangnya kita namakan B. Keadaan
awalnya, di sisi A ada pemuda (P), srigala (S), kambing (K), dan sayur (Y). Keadaan akhir
yang kita inginkan adalah di sisi B ada pemuda (P), srigala (S), kambing (K), dan sayur (Y).
Gambar 1.3 memperlihatkan keadaan yang dimaksud.
Gambar 1.3
Keadaan awal dan keadaan akhir proses penyeberangan pemuda (P) dan bawaannya yang terdiri dari
srigala (S), kambing (K), dan sekeranjang sayur (Y). Perahu hanya dapat memuat satu bawaan saja
pada setiap kali menyeberang. Srigala tidak dapat ditinggalkan bersama kambing, begitu pula kambing
tidak dapat ditinggalkan bersama sayur.
Algoritma menyeberangkan seluruh bawaan tersebut adalah berupa runtunan langkah
seperti dirunjukkan pada Algoritma 1.4.
10 Algoritma dan Pemrograman
PROGRAM Menyeberangi_Sungai
Program untuk menyeberangkan pemuda (P) dan tiga barang bawaannya: srigala
(S), kambing (K), dan sekeranjang sayur (Y) dengan sebuah perahu kecil
yang hanya dapat memuat 2 item (pemuda dan salah satu bawaannya). Srigala
tidak dapat ditinggal berdua dengan kambing (karena srigala akan memangsa
kambing) atau kambing tidak dapat ditinggal berdua dengan sekeranjang
sayur (karena kambing akan memakan sayur).
ALGORITMA:
{ sisi A: (P,S,K,Y) sisi B: (-,-,-,-) }
1. Pemuda menyeberangkan kambing dari sisi A ke sisi B.
{ sisi A: (-,S,K,Y) sisi B: (P,-,K,-) }
2. Pemuda menyeberang sendiri dari B ke A.
{ sisi A: (P,S,-,Y) sisi B: (-,-,K,-) }
3. Pemuda menyeberangkan srigala dari sisi A ke sisi B.
{ sisi A: (-,-,-,Y) sisi B: (P,S,K,-) }
4. Pemuda menyeberangkan kambing dari sisi B ke sisi A.
{ sisi A: (P,-,K,Y) sisi B: (-,S,-,-) }
5. Pemuda menyeberangkan sayur dari sisi A ke sisi B.
{ sisi A: (-,-,K,-) sisi B: (P,S,-,Y) }
6. Pemuda menyeberang sendiri dari B ke A.
{ sisi A: (P,-,K,-) sisi B: (-,S,-,Y) }
3. Pemuda menyeberangkan kambing dari sisi A ke sisi B.
{ sisi A: (-,-,-,-) sisi B: (P,S,K,Y) }
Algoritma 1.4 Menyeberangkan tiga barang bawaan dengan perahu kecil
Keterangan:
Kalimat di dalam pasangan kurung kurawal { dan } disebut komentar (comment).
Komentar bukan bagian dari langkah penyelesaian di dalam algoritma. Namun, komentar
diperlukan untuk mempermudah membaca dan memahami algoritma. Komentar berisi
penjelasan tambahan tentang segala sesuatu di dalam algoritma.
Ketiga contoh algoritma yang sudah kita bicarakan: algoritma Euclidean, algoritma
mempertukarkan isi dua buah ember, dan algoritma menyeberangkan barang bawaan
memberikan dua pesan penting. Pertama, sebuah algoritma harus benar. Kedua, algoritma harus
berhenti, dan setelah berhenti, algoritma memberi hasil yang benar.
Menurut Donald E. Knuth dalam bukunya yang berjudul The Art of Computer Programming
[KNU73], algoritma harus mempunyai lima ciri penting:
1. Algoritma harus berhenti setelah mengerjakan sejumlah langkah terbatas. Sebagai
contoh, tinjau kembali algoritma Euclidean. Pada langkah 1, jika n = 0, algoritma
berhenti. Jika n ¹ 0, maka nilai n selalu berkurang sebagai akibat langkah 2 dan 3, dan
pada akhirnya nilai n = 0. Program yang tidak pernah berhenti mengindikasikan bahwa
program tesrebut berisi algoritma yang salah.
2. Setiap langkah harus didefinisikan dengan tepat dan tidak berarti-dua (ambiguous).
Pembaca harus mengerti apa yang dimaksud dengan “m dan n adalah bilangan bulat
tak-negatif”. Contoh lainnya, pernyataan “bagilah p dengan sejumlah beberapa buah
bilangan bulat positif” dapat bermakna ganda. Berapakah yang dimaksud dengan
“berapa”? Algoritma menjadi jelas jika langkah tersebut ditulis “bagilah p dengan 10
buah bilangan bulat positif”.
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 11
3. Algoritma memiliki nol atau lebih masukan (input). Masukan ialah besaran yang
diberikan kepada algoritma sebelum algoritma mulai bekerja. Algoritma Euclidean
mempunyai dua buah masukan, m dan n, sedangkan algoritma Tukar_Isi memiliki
masukan berupa air di dalam ember A dan air di dalam ember B.
4. Algoritma mempunyai nol atau lebih keluaran (output). Keluaran ialah besaran yang
memiliki hubungan dengan masukan. Algoritma Euclidean mempunyai satu
keluaran, yaitu n pada langkah 2, yang merupakan pembagi bersama terbesar dari
kedua masukannya. Algoritma Tukar_Isi tidak memiliki keluaran sama sekali.
5. Algoritma harus sangkil (effective). Setiap langkah harus sederhana sehingga dapat
dikerjakan dalam sejumlah waktu yang masuk akal.
1.3 Algoritma Merupakan Jantung Informatika
Algoritma adalah jantung ilmu komputer atau informatika. Banyak cabang ilmu komputer
yang diacu dalam terminologi algoritma. Dalam kehidupan sehari-haripun banyak terdapat
proses yang digambarkan dalam suatu algoritma. Cara-cara membuat kue atau masakan,
misalnya dinyatakan dalam suatu resep. Resep masakan adalah suatu algoritma, misalnya
resep membuat Otak-otak Ikan Bandeng (dikutip dari Tabloid Nova 25 Agustus 1996)
seperti dapat anda baca pada Gambar 1.4.
Pada setiap resep selalu ada urutan langkah-langkah membuat masakan. Ibu-ibu yang
mencoba resep suatu masakan akan membaca satu per satu langkah pembuatannya, lalu ia
mengerjakan proses sesuai yang ia baca. Secara umum, pihak (benda) yang mengerjakan
proses disebut pemroses (processor). Pemroses tersebut dapat berupa manusia, komputer, robot,
atau alat-alat mekanik/elektronik lainnya. Pemroses melakukan suatu proses dengan
melaksanakan atau mengeksekusi algoritma yang menjabarkan proses tersebut.
Melaksanakan algoritma berarti mengerjakan langkah- langkah di dalam algoritma tersebut.
Resep Otak-otak Ikan Bandeng
Bahan:
§ 2 ekor ikan bandeng ukuran kecil
§ 2 buah kentang kukus
§ 2 butir telur
§ 2 tangkai daun bawang, dirajang halus
§ 75 cc santan kental
§ 3 butir kemiri sangrai
§ 1 sendok teh ketumbar halus
§ 2 siung bawang putih
§ 3 butir bawang merah
§ 2 cabe merah tanpa biji
§ garam dan merica secukupnya
§ minyak goreng secukupnya
Cara membuat:
1. Haluskan kemiri, ketumbar, bawang putih, bawang merah, cabe merah,
garam, dan merica. Sisihkan.
2. Ambil ikan bandeng yang telah dibersihkan. Pukul-pukul dengan anak
lumpang hingga daging ikan hancur di dalam.
12 Algoritma dan Pemrograman
3. Tekuk ekor ikan ke arah atas hingga terdengar bunyi “klik” sebagai
tanda tulang telah patah.
4. Tarik tulang ke arah atas melalui bagian kepala. Keluarkan pula isi
dagingnya. Sisihkan tulang-tulang halus yang masih tersisa.
5. Giling daging ikan bersama bumbu halus. Tuangkan santan. Campur
dengan kentang kukus. Aduk rata.
6. Isikan adonan ikan ke dalam kulit bandeng. Kukus selama 20 menit.
7. Goreng hingga matang
Gambar 1.4
Resep membuat Otak -otak Ikan Bandeng adalah contoh sebuah algoritma.
Urutan langkah-langkah membuat masakan diberi nomor 1 sampai 7.
Contoh-contoh lain algoritma dalam kehidupan sehari-hari misalnya pola pakaian, panduan
praktikum, papan not balok, dan pengisian voucher pada telepon seluler ditunjukkan pada
Tabel 1.1.
Pemroses mengerjakan proses sesuai dengan algoritma yang diberikan kepadanya. Juru
masak membuat kue berdasarkan resep yang diberikan kepadanya, pianis memainkan lagu
berdasarkan papan not balok, teknisi merakit mobil berdasarkan panduan merakit. Karena itu
suatu algoritma harus dinyatakan dalam bentuk yang dapat dimengerti oleh pemroses. Seorang
pianis tidak dapat memainkan musik bila ia tidak mengerti not balok. Menurut [GOL88],
suatu pemroses harus:
1. Mengerti setiap langkah dalam algoritma,
2. Mengerjakan operasi yang bersesuaian dengan langkah tersebut.
Tabel 1.1
Contoh-contoh Algoritma dalam Kehidupan Sehari-hari.
Proses Algoritma Contoh Langkah dalam Algoritma
1. Membuat kue resep kue masukkan telur ke dalam
wajan,kocok sampai mengembang
2. Membuat pakaian pola pakaian gunting kain dari pinggir kiri bawah
ke arah kanan sejauh 5 cm
3. Praktikum reaksi kimia panduan
praktikum
campurkan 10 ml H2SO4 ke dalam
15 ml NaOH
4. Merakit mobil panduan
merakit
sambungkan komponen A dengan
komponen B
5. Kegiatan sehari-hari jadwal harian pukul 15.00 : tidur siang pukul
16.00 : membuat PR
6. Memainkan musik papan not
balok
not balok
7. Mengisi voucher telepon
genggam (HP)
panduan
pengisian
tekan nomor 888
masukkan nomor voucher 14 digit
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 13
Piranti
Masukan
Unit Pemroses
Utama (CPU
Piranti
Keluaran
Memori
1.4 Mekanisme Pelaksanaan Program oleh Komputer
Secara garis besar komputer tersusun atas empat komponen utama: piranti masukan, piranti
keluaran, unit pemroses utama, dan memori (Gambar 1.5). Unit pemroses utama (Central
Processing Unit – CPU) adalah “otak” komputer, yang berfungsi mengerjakan operasioperasi
dasar seperi operasi perbandingan, operasi perhitungan, operasi membaca, dan
operasi menulis. Memori adalah komponen yang berfungsi menyimpan atau mengingatingat.
Yang disimpan di dalam memori adalah program (berisi operasi-operasi yang akan
dikerjakan oleh CPU) dan data atau informasi (sesuatu yang diolah oleh operasi-operasi).
Piranti masukan dan keluaran (I/O devices) adalah alat yang memasukkan data atau
program ke dalam memori, dan alat yang digunakan komputer untuk mengkomunikasikan
hasil-hasil aktivitasnya. Contoh piranti masukan antara lain papan ketik (keyboard),
pemindai (scanner), tetikus (mouse), joystick, dan cakram (disk). Contoh piranti keluaran
adalah layar peraga (monitor), pencetak (printer), perajah (plotter), dan cakram.
Mekanisme kerja keempat komponen di atas dapat dijelaskan sebagai berikut. Mula-mula
program dimasukkan ke dalam memori komputer. Ketika program dieksekusi (execute),
setiap perintah di dalam program yang telah tersimpan di dalam memori dikirim ke CPU.
CPU mengerjakan operasi-operasi yang bersesuaian dengan perintah tersebut. Bila suatu
perintah di dalam program meminta data masukan, maka data dibaca dari piranti masukan,
lalu dikirim ke CPU untuk operasi yang memerlukannya. Bila program menghasilkan
keluaran, maka keluaran tersebut ditulis ke piranti keluaran (misalkan dengan mencetaknya
ke layar peraga).
Gambar 1.5
Komponen-komponen utama komputer.
Komputer terdiri atas Unit Pemroses Utama ,
Memori, Piranti Masukan, dan Piranti Keluaran.
14 Algoritma dan Pemrograman
1.5 Belajar Memprogram dan Belajar Bahasa
Pemrograman
Belajar memprogram tidak sama dengan belajar bahasa pemrograman [LIE96]. Belajar
memprogram adalah belajar tentang metodologi pemecahan masalah, kemudian
menuangkan algoritma pemecahan masalah dalam suatu notasi tertentu. Sedangkan
belajar bahasa pemrograman berarti belajar memakai suatu bahasa, aturan tata bahasanya,
instruksi-instruksinya, tata cara pengoperasian compiler-nya, dan memanfaatkan instruksiinstruksi
tersebut untuk membuat program yang ditulis hanya dalam bahasa itu saja
[LIE96].
Dalam pelajaran pemrograman, kita lebih memikirkan pada cara penyelesaian masalah
yang akan diprogram dengan menekankan pada desain atau rancangan yang mewakili
pemecahan masalah tersebut. Desain ini dibuat sedemikian sehingga independen dari
bahasa pemrograman yang kelak digunakan dan komputer yang akan menjalankan program
tesrebut. Desain berisi urutan langkah-langkah pencapaian solusi yang ditulis dalam notasinotasi
deskriptif (notasi ini kelak kita sebut notasi algoritmik). Setiap orang yang berbeda
mungkin menghasilkan rancangan program yang berbeda pula. Karena belajar memprogram
bukan belajar membuat program yang asal jadi, perlu dipikirkan membuat program dengan
menggunakan skema yang benar. Inilah titik berat dari pelajaran pemrograman.
Bila desain program sudah dibuat dengan skema yang benar, maka desain tersebut siap
dikodekan dengan notasi bahasa pemrograman agar program bisa dieksekusi oleh
komputer. Disinilah perlunya kita belajar bahasa pemrograman. Ada banyak bahasa
pemrograman yang tersedia, namun desain program dapat diterjemahkan ke bahasa apapun.
Sampai saat ini terdapat puluhan bahasa pemrograman. Kita dapat menyebutkan antara lain
bahasa rakitan (assembly), Fortran, Cobol, Ada, PL/I, Algol, Pascal, C, C++, Basic, Prolog,
LISP, PRG, bahasa-bahasa simulasi seperti CSMP, Simscript, GPSS, Dinamo, dan banyak
lagi. Belakangan juga muncul bahasa pemrograman baru seperti Perl dan Java. Berdasarkan
aplikasi kegunaanya, bahasa pemrograman dapat digolongkan menajdi dua kelompok:
1. Bahasa pemrograman bertujuan khusus (specific purpose programming
language). Yang termasuk kelompok ini adalah Cobol (untuk terapan bisnis dan
administrasi), Fortran (aplikasi komputasi ilmiah), bahasa assembly (aplikasi
pemrograman mesin), Prolog (aplikasi kecerdasan buatan), bahasa-bahasa simulasi,
dan sebagainya.
2. Bahasa pemrograman bertujuan umum (general purpose programming language)
yang dapat digunakan untuk berbagai aplikasi. Yang termasuk kelompok ini adalah
bahasa Pascal, Basic, dan C, C++.
Tentu saja pembagian ini tidak kaku. Bahasa-bahasa bertujuan khusus tidak berarti tidak
bisa digunakan untuk aplikasi lain. Cobol misalnya, dapat juga digunakan untuk terapan
ilmiah, hanya saja kemampuannya tentu saja terbatas. Yang jelas, bahasa-bahasa
pemrograman yang berbeda dikembangkan untuk bermacam-macam kegunaan yang
berbeda pula.
Berdasarkan “kedekatan” bahasa pemrograman apakah lebih condong ke bahasa mesin atau
ke bahasa manusia, maka bahasa pemrograman juga dapat dikelompokkan atas dua macam:
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 15
1. Bahasa tingkat rendah. Bahasa jenis ini dirancang agar setiap instruksinya langsung
dikerjakan oleh komputer, tanpa harus melalui penerjemah (translator). Contohnya
adalah bahasa mesin (machine language). Bahasa mesin adalah sekumpulan kode
biner (0 dan 1). Setiap perintah dalam bahasa mesin langsung “dimengerti” oleh mesin
dan langsung dikerjakan. Bahasa tingkat rendah bersifat primitif, sangat sederhana,
dan relatif sulit dipahami manusia. Bahasa assembly dimasukkan ke dalam kelompok
ini karena notasi yang dipakai dalam bahasa ini merupakan bentuk “manusiawi” dari
bahasa mesin, dan untuk melaksanakan instruksinya masih diperlukan penerjemahan
(oleh assembler) ke dalam bahasa mesin. Bahasa tingkat rendah merupakan bahasa
pemrograman generasi pertama yang pernah ditulis orang.
2. Bahasa tingkat tinggi. Bahasa jenis ini membuat program menjadi lebih mudah
dipahami, lebih “manusiawi”, dan lebih dekat ke bahasa manusia (bahasa Inggris
terutama). Kelemahannya, program dalam bahasa tingkat tinggi tidak dapat langsung
dilaksanakan oleh komputer. Ia perlu diterjemahkan terlebih dahulu oleh sebuah
translator bahasa (yang disebut kompilator atau compiler) ke dalam bahasa mesin
sebelum akhirnya dieksekusi oleh CPU. Tahapan pemrograman dan pelaksanaan
program oleh komputer digambarkan pada Gambar 1.6. Contoh bahasa tingkat tinggi
adalah Pascal, PL/I, Ada, Cobol, Basic, Fortran, C, C++, dan sebagainya.
Gambar 1.6
Tahapan pelaksanaan program oleh komputer.
Catatlah bahwa batas-batas penggolongan bahasa pemrograman itu tidak selalu jelas.
Pengertian tentang apa yang dimaksud dengan bahasa tingkat tinggi seringkali berbeda
pada beberapa buku. Ada buku yang mendefinisikan bahasa tingkat tinggi dari sudut
pandang kemudahan pemakaiannya serta orientasinya yang lebih dekat ke bahasa manusia.
Les Goldschlager [GOL88] menuliskan spektrum bahasa mulai dari bahasa tingkat tinggi
(Pascal, Ada, PL/I, Cobol), bahasa tingkat menengah (Bahasa Assembly, Basic, Fortran),
Program dalam Bahasa
Tingkat Tinggi
Algoritma
Program dalam Bahasa
Mesin
Translasi
Kompilasi + linking
Interpretasi oleh CPU
Operasi
( baca, tulis, hitung, perbandingan, dsb.)
16 Algoritma dan Pemrograman
sampai bahasa tingkat rendah (bahasa mesin). Kita tidak mendebatkan perbedaan cara
pengelompokan bahasa pemrograman itu di sini, karena topik buku ini bukanlah
mempelajari bahasa pemrograman tetapi belajar memprogram.
1.6 Notasi Algoritmik
Di dalam upabab 1.5 sudah dinyatakan bahwa notasi algoritmik dibuat independen dari
spesifikasi bahasa pemrograman dan komputer yang mengeksekusinya. Notasi algoritmik
ini dapat diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa pemrograman. Analoginya sama dengan
resep membuat kue. Sebuah resep dapat ditulis dalam bahasa manapun, bahasa Inggris,
Perancis, Indonesia, Jepang, dan sebagainya. Apapun bahasanya, kue yang dihasilkan tetap
sama, sebab algoritmanya sama (dengan catatan semua aturan pada resep diikuti). Mengapa
bisa demikian? Karena setiap juru masak (yang merupakan pemroses) mampu melakukan
operasi dasar yang sama, seperti mengocok telur, menimbang berat gula, dan sebagainya.
Jadi, resep membuat kue tidak terikat pada bahasa dan juru masak yang mengerjakannya.
Demikian pula halnya komputer. Meskipun setiap komputer berbeda teknologinya, tetapi
secara umum semua komputer dapat melakukan operasi-operasi dasar dalam
pemrograman seperti operasi pembacaan data, operasi perbandingan, operasi aritmetika,
dan sebagainya. Perkembangan teknologi komputer tidak mengubah operasi-operasi dasar
itu, yang berubah hanyalah kecepatan, biaya, atau tingkat ketelitian. Pada sisi lain, setiap
program dalam bahasa tingkat tinggi selalu diterjemahkan kedalam bahasa mesin sebelum
akhirnya dikerjakan oleh CPU. Setiap instruksi dalam bahasa mesin menyajikan operasi
dasar yang sesuai, dan menghasilkan efek netto yang sama pada setiap komputer.
Yang perlu dicatat adalah bahwa notasi algoritmik bukan notasi bahasa pemrograman,
sehingga siapa pun dapat membuat notasi algoritmik yang berbeda. Hal yang penting
mengenai notasi tersebut adalah ia mudah dibaca dan dimengerti. Selain itu, meskipun notasi
algoritmik bukan notasi baku sebagaimana pada notasi bahasa pemrograman, namun
ketaatasasan terhadap notasi perlu diperhatikan untuk menghindari kekeliruan.
Di bawah ini saya kemukakan beberapa notasi yang digunakan untuk menulis algoritma.
Masalah yang dijadikan contoh adalah menghitung pembagi bersama terbesar dengan
algoritma Euclidean (lihat bab 1.2).
1. Notasi I: menyatakan langkah-langkah algoritma dengan untaian kalimat deskriptif.
PROGRAM Euclidean
Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m ³ n). Algoritma
Euclidean mencari pembagi bersama terbesar, gcd, dari kedua bilangan
tersebut, yaitu bilangan bulat positif terbesar yang habis membagi m dan n.
ALGORITMA:
1. Jika n = 0 maka
m adalah jawabannya;
stop.
tetapi jika n ¹ 0,
lanjutkan ke langkah 2.
2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya.
3. Ganti nilai m dengan nilai n dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang
kembali ke langkah 1.
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 17
Mulai
Baca m dan n
n = 0
r = m MOD n
m = n
n = r
Tulis m
Selesai
Ya
Tidak
Dengan notasi bergaya kalimat ini, deskripsi setiap langkah dijelaskan dengan bahasa yang
gamblang. Proses diawali dengan kata kerja seperti ‘baca’, ‘hitung’, ‘bagi’, ‘ganti’, dan
sebagainya, sedangkan pernyataan kondisional dinyatakan dengan ‘jika … maka …’.
Secara umum, notasi ini ini relatif sukar diterjemahkan langsung ke dalam notasi bahasa
pemrograman.
2. Notasi II: menggunakan diagram alir (flow chart)
Keterangan:
1. MOD adalah operator pembagian bilangan bulat yang menghasilkan sisa hasil
pembagian. Contohnya, 9 MOD 2 = 1 karena 9 dibagi 2 = 4 dan memberikan sisa = 1.
2. Di dalam diagram alir di atas ditambahkan instruksi pembacaan nilai m dan n.
Diagram alir populer pada awal era pemrograman dengan komputer (terutama dengan
bahasa Basic, Fortran, dan Cobol). Sampai saat ini diagram alir masih banyak digunakan
orang untuk menjelaskan proses. Namun, diagram alir lebih mengambarkan aliran instruksi
di dalam program secara visual ketimbang memperlihatkan struktur program. Kotak empat
persegi panjang menyatakan proses, sedangkan pernyataan kondisional dinyatakan dengan
bentuk intan (diamond). Notasi algoritmik dengan diagram alir cocok untuk masalah yang
kecil, namun tidak cocok untuk masalah yang besar karena membutuhkan berlembar
halaman kertas. Selain itu, pengkonversian notasi algoritma ke notasi bahasa pemrograman
juga cenderung relatif sukar.
18 Algoritma dan Pemrograman
3. Notasi III: menggunakan pseudo-code
Pseudocode (pseudo artinya semu atau tidak sebenarnya) adalah notasi yang menyerupai
notasi bahasa pemrograman tingkat tinggi, khususnya Bahasa Pascal dan C. Hasil
pengamatan memperlihatkan bahwa bahasa pemrograman umumnya mempunyai notasi
yang hampir mirip untuk beberapa instruksi, seperti notasi if-then-else, while-do, repeatuntil,
read, write, dan sebagainya. Berdasarkan pengamatan tersebut, maka beberapa
penulis buku algoritma, termasuk penulis buku ini, mendefinisikan notasi algoritma yang
disebut pseudo-code itu. Tidak seperti bahasa pemrograman yang direpotkan dengan tanda
titik koma (semicolon), indeks, format keluaran, kata-kata khusus, dan sebagainya,
sembarang versi pseudocode dapat diterima asalkan perintahnya tidak membingungkan
pembaca. Keuntungan menggunakan notasi pseudo-code adalah kemudahan
mengkonversinya (lebih tepat disebut mentranslasi) ke notasi bahasa pemrograman,
karena terdapat korespondensi antara setiap pseudo-code dengan notasi bahasa
pemrograman. Korespondensi ini dapat diwujudkan dengan tabel translasi dari notasi
algoritma ke notasi bahasa pemrograman apa pun.
Algoritma Euclidean kita tulis kembali dengan menggunakan notasi pseudo-code yang
didefinisikan oleh penulis buku ini.
PROGRAM Euclidean
Program untuk mencari gcd dari dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m
³ n). gcd dari m dan n adalah bilangan bulat positif terbesar yang habis
membagi m dan n.
DEKLARASI:
m, n : integer { bilangan bulat yang akan dicari pbt-nya}
r : integer { sisa hasil bagi }
ALGORITMA:
read(m,n) { m ³ n}
while n ¹ 0 do
r ¬ m MOD n { hitung sisa hasil pembagian }
m ¬ n
n ¬ r
endwhile
{ kondisi selesai pengulangan: n = 0, maka gcd(m,n) = m }
write(m)
Kata-kata yang digarisbawahi menyatakan kata-kata kunci untuk setiap notasi pseudo-code
yang digunakan. Arti dari setiap notasi pseudo-code di atas akan anda temukan pada babbab
selanjutnya di dalam buku ini.
1.7 Pemrograman Prosedural
Algoritma berisi urutan langkah-langkah penyelesaian masalah. Ini berarti algoritma adalah
menggambarkan proses yang prosedural.
Bab 1_Pengantar ke Algoritma 19
Definisi prosedur menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) :
prosedur: 1. tahap tahap kegiatan untuk menyelesaikan suatu aktivitas;
2. metode langkah demi langkah secara eksak dalam memecahkan
suatu masalah (KBB1 1988).
Pada pemrograman prosedural, program dibedakan antara bagian data dengan bagian instruksi.
Bagian instruksi terdiri atas runtunan (sequence) instruksi yang dilaksanakan satu per satu secara
berurutan oleh sebuah pemroses. Alur pelaksanaan instruksi dapat berubah karena adanya
pencabangan/kondisional. Data yang disimpan di dalam memori dimanipulasi oleh instruksi
secara beruntun. Kita katakan bahwa tahapan pelaksanaan program mengikuti pola beruntun atau
prosedural. Paradigma pemrograman seperti ini dianamakan pemrograman prosedural.
Bahasa-bahasa tingkat tinggi seperti Cobol, Basic, Pascal, Fortran, dan C mendukung
kegiatan pemrograman prosedural, karena itu mereka dinamakan juga bahasa prosedural.
Selain paradigma pemrograman prosedural, ada lagi paradigma yang lain yaitu pemrograman
berorientasi objek (Object Oriented Programming atau OOP). Paradigma pemrograman yang
disebutkan terakhir ini merupakan trend baru dan sangat populer akhir-akhir ini. Pada
paradigma OOP, data dan instruksi dibungkus (encapsulation) menjadi satu. Kesatuan ini
disebut kelas (class) dan instansiasi kelas pada saat run-time disebut objek (object). Data di
dalam objek hanya dapat diakses oleh instruksi yang ada didalam objek itu saja.
Paradigma pemrograman yang lain adalah pemrograman fungsional , pemrograman
deklaratif, dan pemrograman konkuren. Buku ini hanya menyajikan paradigma pemrograman
prosedural saja. Paradigma pemrograman yang lain di luar cakupan buku.
Soal Latihan Bab 1
1. Tuliskan beberapa contoh algoritma yang lain dalam kehidupan sehari-hari. Tuliskan
juga beberapa contoh langkah di dalam algoritmanya.
2. Tiga pasang suami istri yang sedang menempuh perjalanan sampai ke sebuah sungai.
Di situ mereka menemukan sebuah perahu kecil yang hanya bisa membawa tidak lebih
dari dua orang setiap kali menyeberang. Penyeberangan sungai dirumitkan oleh
kenyataan bahwa para suami sangat pencemburu dan tidak mau meninggalkan istriistri
mereka jika ada lelaki lain. Tulislah algoritma untuk menunjukkan bagaimana
penyeberangan itu bisa dilakukan.
3. Misalkan terdapat dua buah ember, masing-masing mempunyai volume 5 liter dan 3
liter. Tuliskan algoritma untuk memperoleh air sebanyak 1 liter dengan hanya
menggunakan kedua ember tersebut.
4. Tiga buah cakram yang masing-masing berdiameter berbeda mempunyai lubang di
titik pusatnya. Ketiga cakram tersebut dimasukkan pada sebuah batang besi A
sedemikan sehingga cakram yang berdiameter lebih besar selalu terletak di bawah
cakram yang berdiameter lebih kecil (Gambar 1.5). Tulislah algoritma untuk
memindahkan seluruh cakram tersebut batang besi B; setiap kali hanya satu cakram
yang boleh dipindahkan, tetapi pada setiap perpindahan tidak boleh ada cakram yang
lebih besar berada di atas cakram kecil. Batang besi C dapat dipakai sebagai tempat
peralihan dengan tetap memegang aturan yang telah disebutkan.
20 Algoritma dan Pemrograman
A B C
5. Pada peristiwa pemilihan kepala desa (kades), setiap warga yang mempunyai hak pilih
memilih satu di antara 4 calon kades. Kartu suara memuat foto dan nomor urut kades.
Warga mencoblos calon kades yang dipilihnya, lalu memasukkan kartu suara ke dalam
sebuah kotak. Setelah pemungutan suara usai, kegiatan selanjutnya adalah menghitung
jumlah suara untuk masing-masing calon. Untuk menghitungnya, panitia tidak
menggunakan tabel cayley seperti yang biasa dilakukan orang, tetapi menyediakan
empat buah kotak kosong (yang merepresentasikan 4 calon kades). Satu per satu kartu
suara diambil dan dibaca. Setiap kali kartu suara berisi coblosan nomor satu, maka
sebutir batu kecil dimasukkan ke dalam kotak 1. Begitu pula setiap kali kartu suara
berisi coblosan nomor dua, maka sebutir batu kecil dimasukkan ke dalam kotak 2. Hal
yang sama juga dilakukan untuk kartu yang berisi coblosan nomor 3 dan empat.
Demikian seterusnya sampai semua kartu suara habis dibaca. Akhirnya, jumlah batu di
dalam setiap kotak menyatakan jumlah suara yang diraih oleh setiap calon kades.
Tulislah algoritma untuk menghitung jumlah suara untuk masing-masing calon kades
dengan metode perhitungan yang unik ini. Asumsikan bahwa semua suara adalah sah
(tidak ada golput).
6. Di manakah letak kesalahan lojik algoritma memutar kaset tape recorder di bawah ini:
PROGRAM Memutar Kaset Tape Recorder
Program memutar jaset dengan tape recorder.
ALGORITMA:
1. Pastikan tape recorder berada dalam keadaan POWER ON.
2. Tekan tombol PLAY.
3. Masukkan kaset ke dalam tape recorder.

Kumpulan soal-soal ujian tengah dan akhir semester genap, 2005/2006


Kumpulan soal-soal ujian tengah dan akhir semester genap, 2005/2006
Saat Angkatan 2005 semester II
Wajib
Kalkulus II
Pengantar Struktur Aljabar I
Geometri Analitik A
Mekanika A
Algoritma & Pemrograman
Pilihan
Aljabar Linear Terapan
Disadur dari kumpulan soal milik Ricky Aditya
KALKULUS II
UJIAN TENGAH SEMESTER, 3-April-2006
Tim Kalkulus
1. Hitung integral tak tentu berikut:
a. 2 ∫ x ln x dx
b.
x(x 1)
dx
e e − ∫
2. Tentukan integral tertentu berikut langsung dari definisi
3
1
x 1 dx

∫ +
Petunjuk: Ambil partisi pada [-1, 3], { } 0 1 , ,…, n P= x x x dengan
2
2
4 1, 0,1,2,…, i
x i i n
n
= − =
3. Hitunglah:
a.
2
2 2
4
0
arcsin( )
1
x x dx
− x ∫
b. 2 2
1 3( 3 1)
dx
x x

− +

KALKULUS II
UJIAN AKHIR SEMESTER, 12-Juni-2006
Tim Kalkulus
1. Hitung integral tak tentu berikut:
a.
3cot 2sin
dx
x + x ∫ b. 1
1
x
x
e dx
e
+
− ∫
2. Hitung luasan putar jika kurva y= ln 2x, 1≤x≤ 2 diputar mengelilingi sumbu Y
3. D adalah daerah di bawah kurva y=x(2 −x) dan berada di antara garis 3y=x dan sumbu X.
Tentukan:
a. Luas D,
b. Titik berat D,
c. Volume benda yang terjadi jika D diputar sekeliling:
(i) Sumbu X (ii) Sumbu Y (iii) garis 3y=x
4. Tentukan panjang kurva dengan persamaan
ln(1 2 )
0 1
2arctan
x t
t
y t
⎧ = +
⎨ ≤ ≤
⎩ =
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR I
UJIAN TENGAH SEMESTER, 4-April-2006
Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.Si
1. Diberikan grup G dan H himpunan bagian G
a. Tulis tiga teorema yang dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa H subgrup G
b. Buktikan ketiga teorema tersebut ekuivalen
2. Diberikan himpunan {1, 2,3A = }
a. Tulis semua permutasi ρ pada A
b. Tunjukkan himpunan semua permutasi tersebut adalah GRUP yang BUKAN ABELIAN
3. Diberikan grup G dan H subgrup G
a. Tunjukkan relasi RL pada G yang didefinisikan sebagai , , L ∀x y∈G xR y jika dan
hanya jika xy−1 ∈H adalah RELASI EKUIVALENSI
b. Diketahui grup G dan H subgrup G. Banyaknya koset kiri (atau koset kanan) dari H
dalam G disebut Indeks H dalam G.
Tentukan indeks H dalam G jika 12 G = 􀁝 dan H = 2
4. Teorema mengatakan :
Diketahui G grup siklik yang dibangun oleh a dan berorder n maka suatu anggota b=as dalam
G membangun subgrup siklik H berorder n
d
dengan d=gcd(n, s)
Jika G adalah 􀁝12 dibangun oleh 1 dan dipilih b anggota 􀁝12 adalah 3, 5, 8, aplikasikan
teorema tersebut diatas kepada 􀁝12 ini
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR I
UJIAN AKHIR SEMESTER, 13-Juni-2006
Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.Si
1. Diberikan grup 􀁝 dan 􀁝10 . Jika θ adalah homomorfisma dari 􀁝 ke 􀁝10 sedemikian sehingga
θ (1) = 6 maka tentukan Kernel(θ) dan θ (20).
2. a) Tulis dan buktikan Teorema Homomorfisma (grup) Dasar/Fundamental.
(Sajikan 2 teorema yang ada)
b) Implementasikan teorema yang saudara buktikan pada 2-a) untuk grup 􀁝 dan subgrup
H = 5􀁝 . Konstruksikan grup Kuosen yang ada.
3. a) Tulis dan buktikan Teorema Cayley (selengkap-lengkapnya)
b) Implementasikan teorema yang saudara buktikan pada 3-a) untuk grup 4 G = 􀁝
GEOMETRI ANALITIK A
UJIAN TENGAH SEMESTER, 7-April-2006
Imam Solekhudin
1.
2. Diberikan persamaan derajat dua
2 Ax2 + Bxy+Cy2+Dx+Ey+F =0
Buktikan jika nilai B2−4AC 0
BINGUNG (m,n) = BINGUNG(m-1,BINGUNG(m,n-1)) , m,n > 0
a. Tuliskan fungsi rekursif untuk menghitung nilai fungsi BINGUNG tersebut
b. Hitung nilai BINGUNG (2,2)
3. Dalam kalkulus dibahas integral tertentu ( )
b
a
∫ f x dx yang merepresentasikan luas area yang
dibatasi oleh fungsi y = f(x), Sumbu Y, garis x = a dan x = b. Dengan menggunakan metode
Trapezoid, buatlah program untuk menghitung pendekatan luas area dari bentuk integral
3
b 3
a
dx
x − x ∫ , dengan membagi batas integral menjadi N bagian/pias! Jelaskan jawaban anda
(Catatan: a, b, dan N sebagai masukan)
4. Buatlah prosedur dan fungsi untuk menghitung banyaknya simpul dalam sebuah senarai berantai
(Linked List)!
ALJABAR LINEAR TERAPAN
UJIAN TENGAH SEMESTER, 11-April-2006
Yenni Susanti
1. Carilah persamaan Sphere di ruang dimensi 3 yang melalui titik (0, 1, -2), (1, 3, 1), (2, -1, 0) dan
(3, 1, -1) !
2. Carilah strategi optimal dan nilai permainan dari permainan dua pemain dengan matriks
permainan sebagai berikut:
7 3
5 2
⎡ − ⎤
⎢⎣− − ⎥⎦
3. Diketahui permainan 2 pemain dengan masing-masing pemain berkesempatan melakukan 4
moves dengan peraturan : jika pemain R moves i dan pemain C moves j sehingga i+j genap
maka R mendapatkan 1 poin dan jika i+j ganjil maka C mendapatkan 1 poin.
a. Tentukan matriks permainannya!
b. Jika kedua pemain mempunyai strategi p dan q yang sama (p = qT) tentukan E(p,q)
c. Dari hasil bagian b), hitunglah E(p,q) jika
P = qT = [ 1/3 1/4 1/6 1/4 ]
4. Tiga orang kakak beradik, A, B, dan C masing-masing mempunyai kebun yang ditanami 3 pohon
buah yang berbeda. Si A menanami kebunnya pohon mangga, kebun si B ditanami pohon pisang,
dan kebun si C ditanami pohon jambu. Mereka sepakat hasil yang diperoleh dari tiga kebun akan
dibagi. Supaya pembagiannya adil, mereka memperhatikan harga yang berlaku di pasar
kemudian menetapkan perbandingan pembagian sebagai berikut:
A B C
Mangga 1/2 1/4 1/4
Pisang 1/3 1/3 1/3
Jambu 1/2 1/3 1/6
Berdasarkan perbandingan pembagian diatas, tentukan perbandingan harga pasar seluruh hasil
panen ketiga kakak beradik tersebut.
5. Suatu hutan pinus, pohon-pohonnya dibagi dalam tiga kelas tinggi yang berbeda dan matriks
pertumbuhannya diberikan sebagai berikut:
12 0 0
12 13 0
0 231
G
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
Jika perbandingan harga kelas kedua dan ketiga adalah 3/5, tentukan kelas yang mana yang
harus dipanen total sehingga tercapai pemanenan optimal yang sustainable!
ALJABAR LINEAR TERAPAN
UJIAN AKHIR SEMESTER, 21-Juni-2006
Yenni Susanti
1. a. Tunjukkan jika matriks P berukuran k x k merupakan matriks transisi yang regular dengan
jumlah entri dalam satu baris sama dengan 1, maka entri-entri dari “steady-state vector”-nya
sama dengan 1
k .
b. Tunjukkan bahwa matriks transisi
0 12 12
12 12 0
12 0 12
P
⎡ ⎤
⎢ ⎥
=⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
regular dan dengan hasil pada soal 1.a tentukan “steady state vector” untuk P.
2. Suatu hutan homogen, pohon-pohonnya dibagi dalam n kelas tinggi yang berbeda dan diketahui
untuk i=1,2,…,n−1
1
i g
i
=
Jika nilai ekonomis sebuah pohon pada kelas ke-k adalah
( 1)2 k P =ak−
dengan a konstan (dalam rupiah), tunjukkan bahwa
2 ( 1)
k
Yld a k S
k

=
dengan S menyatakan banyaknya pohon dalam hutan tersebut.
3. Suatu populasi tanaman tertentu mempunyai distribusi genotipe AA, Aa, aa. Jika pada populasi
tanaman tersebut dilakukan program penyilangan sebagai berikut :
Setiap tanaman pada populasi induk disilangkan dengan individu bergenotipe AA; setiap
individu pada generasi pertama disilangkan dengan individu bergenotipe Aa; setiap individu
pada generasi kedua disilangkan dengan individu bergenotipe AA dan seterusnya (Secara
umum, generasi ke-(2i-1) disilangkan dengan individu bergenotipe Aa dan generasi ke-(2i)
disilangkan dengan individu bergenotipe AA, i=1,2,…)
Tentukan rumus perbandingan banyaknya individu bergenotipe AA, Aa, dan aa pada generasi
ke-n.
4. Dalam “X-linked Inheritance”, jika tidak ada betina yang bergenotipe Aa yang hidup sampai
dewasa sehingga “sibling pairs” yang mungkin adalah
(A, AA), (A, aa), (a, AA), dan (a, aa)
Maka tentukan matriks transisi M yang mendeskripsikan perubahan distribusi genotipe dalam
satu generasi.

UJIAN TENGAH SEMESTER II TH. AJARAN 2002/2003 STRUKTUR DATA & ALGORITMA (IKI10100) FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA


UJIAN TENGAH SEMESTER II TH. AJARAN 2002/2003
STRUKTUR DATA & ALGORITMA (IKI10100)
FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA
SELASA, 15 APRIL 2003 (90 menit)
Closed Book
Sorting
1. (25 point) Kita tahu bahwa algoritma sorting melibatkan banyak proses swapping.
Seandainya cost terbesar adalah pada space (misalnya karena keterbatasan jumlah
register), maka performance bisa ditingkatkan jika proses swapping tidak melibatkan
variable tambahan. Tunjukkan bahwa untuk menukar nilai integer dalam dua variable
tidak perlu memanfaatkan variable ketiga sebagai temporary storage. Hint: gunakan
operasi penjumlahan dan/atau pengurangan!
2. Perhatikan code fungsi XSort berikut ini!
public void XSort (int data[], int n) {
// pre: 0 <= n 0 ) {
max = 0;
for (index = 1; index < numUnsorted; index++) {
if (data[max] < data[index]) max = index;
}
swap(data, max, numUnsorted-1); // elemen di [index max]
// ditukar dgn elemen
// di index [numUnsorted-1]
numUnsorted–;
}
a) (10 point) Berdasar algoritma yang sudah anda kenal, code ini menggambarkan
proses sorting apa? (BubbleSort, SelectionSort, InsertionSort, QuickSort atau
MergeSort)
b) (30 point) Sebuah algoritma sorting yang bekerja terhadap elemen-elemen integer
dikatakan stable jika memenuhi syarat berikut:
“Beberapa item yang sama nilanya, urutan posisi satu relatif terhadap yang
lain akan tetap selama proses sorting”.
Misalnya ada dua buah item dengan nilai 5, satu disebut a dan satunya disebut b,
dengan posisi awal index a < index b. Jika selama proses sorting selalu terpenuhi
index a 0!
BinaryTree & Recursion
4. (30 point) Sebuah node dalam binary tree dikatakan full jika memiliki degree 2 (dua
anak). Sebuah binary tree dengan height h dikatakan full jika hanya punya leaves pada
level h dan setiap internal node-nya adalah full. Penambahan sebuah node saja pada
sebuah binary tree yang sudah full akan menyebabkan peningkatan height pada tree
tersebut. Hanya tiga tree pertama di bawah ini yang full:
t
x
Implementasikan secara recursive method boolean isFull(BinaryTreeNode n) yang
me-return true jika tree yang root-nya n adalah full, dan false jika tidak. Dalam contoh
tree di atas, isFull(t) = false, sedangkan isFull(x) = true.
Linked-List
5. (30 point) Implementasikan sebuah method Split() yang dipakai untuk membagi list
source menjadi dua list yang panjangnya berimbang. List paruh pertama ditunjuk oleh
front, dan list paruh kedua ditunjuk oleh back. Jika jumlah elemen dalam source
genap, maka front dan back memiliki length yang sama. Jika jumlah elemen dalam
souce ganjil, maka elemen front selisih satu lebih banyak daripada back. Return false
jika gagal, misal jumlah elemen hanya 1.
Contoh: Split( ) pada source = {2,3,5,7,11} menghasilkan dua list: front = {2,3,5} dan
back = {7,11}.
boolean Split(List source, List front, List back) {
……………… code anda di sini …………………
}
Catatan: full-mark untuk implementasi Split tanpa menghitung terlebih dahulu jumlah
elemen dalam list. Asumsikan method length() cost-nya sangat besar.
-oOo-
Soal selesai di sini. Selamat bekerja!
PM – 150403

Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika


i
ii
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika
untuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI
Program Ilmu Pengetahuan Alam
Penulis : Wahyudin Djumanta
R. Sudrajat
Penyunting : Tim Setia Purna Inves
Pewajah Isi : Tim Setia Purna Inves
Pewajah Sampul : Tim Setia Purna Inves
Pereka Ilustrasi : Tim Setia Purna Inves
Ukuran Buku : 17,6 × 25 cm
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang
Hak cipta buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional
dari Penerbit PT Setia Purna Inves
510.71
DJU DJUMANTA, Wahyudin
m Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas /
Madrasah Aliyah / Wahyudin Djumanta; R. Sudrajat;
editor Tim Setia Purna Inves, — Jakarta: Pusat Perbukuan,
Departemen Pendidikan Nasional, 2008.
vi, 250 hlm.: tab., ilus., 25 cm
Bibliografi: hal. 245
Indeks.
ISBN 979-462-978-2
1. Matematika – Studi dan Pengajaran I. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika
II. Sudrajat, R
Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Tahun 2008
Diperbanyak oleh …
iii
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah,
dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku
teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs
internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah
ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam
proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit
yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional
untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departe¬men Pendidikan
Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih¬mediakan, atau difotokopi
oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus
memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran
ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah
Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan
selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih
perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.
Jakarta, Juli 2008
Kepala Pusat Perbukuan
Kata Sambutan
iv
Matematika adalah ilmu dasar yang dapat digunakan sebagai alat bantu memecahkan masalah
dalam berbagai bidang ilmu, seperti: Ekonomi, Akuntansi, Astronomi, Geografi, dan Antropologi.
Oleh karena itu, matematika patut mendapat sebutan “Mathematics is Queen and Servant of Science”
yang artinya Matematika adalah ratu dan pelayan ilmu pengetahuan.
Sesuai dengan misi penerbit untuk memberikan kontribusi yang nyata bagi kemajuan
ilmu pengetahuan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggung jawab tersebut dengan
menyediakan buku bahan ajar matematika yang berkualitas, sesuai dengan tuntutan kurikulum
yang berlaku.
Buku ini disusun berdasarkan kurikulum yang berlaku dan disajikan secara sistematis,
komunikatif, dan integratif, serta adanya keruntutan antar bab. Pada awal setiap bab, disajikan pula
Tes Kompetensi Awal sebagai materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan.
Di akhir setiap bab, terdapat Rangkuman dan Refleksi yang bertujuan untuk lebih meningkatkan
pemahaman siswa tentang materi yang telah siswa pelajari. Buku ini dilengkapi juga
dengan beberapa materi dan soal pengayaan, yaitu Informasi untuk Anda (Information for You),
Tantangan untuk Anda, Hal Penting,Tugas dan Situs Matematika.
Untuk menguji pemahaman siswa terhadap suatu konsep, pada setiap subbab diberikan
Tes Kompentensi Subbab dan beberapa Soal Terbuka. Pada akhir setiap bab, juga diberikan
Tes Kompetensi Bab. Pada akhir semester siswa diberikan Tes Kompetensi Semester. Di dalam
buku ini juga dilengkapi dengan Kunci Jawaban soal terpilih sebagai sarana menguji pemahaman
siswa atas materi yang telah dipelajari.
Kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah
membantu pembuatan buku ini.
Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan.
Bandung, Juli 2008
Penulis
Kata Pengantar
v
Bab 4
Lingkaran􀀁 􀁴 95
A. Persamaan Lingkaran􀀁 􀁴 97
B. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran􀀁 􀁴 104
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 112
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 112
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀕􀀁 􀁴 112
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀴􀁆􀁎􀁆􀁔􀁕􀁆􀁓􀀁􀀒􀀁 􀁴 115
Bab 1
Statistika􀀁 􀁴􀀁 1
A. Penyajian Data􀀁 􀁴􀀁 3
B. Penyajian Data Statistik 􀁴 11
C. Penyajian Data Ukuran menjadi
Data Statistik Deskriptif􀀁 􀁴 20
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴􀀁 36
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴􀀁 36
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀒􀀁 􀁴 37
Bab 2
Peluang􀀁 􀁴 41
A. Kaidah Pencacahan􀀁 􀁴 43
B. Peluang Suatu Kejadian􀀁 􀁴 57
C. Kejadian Majemuk􀀁 􀁴 63
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 71
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 71
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀓􀀁 􀁴 72
Bab 3
Trigonometri􀀁 􀁴 75
A. Rumus Trigonometri untuk
Jumlah dan Selisih Dua
Sudut􀀁 􀁴 77
B. Rumus Trigonometri untuk Sudut
Ganda􀀁 􀁴 82
C. Perkalian, Penjumlahan,
serta Pengurangan Sinus dan
Kosinus􀀁 􀁴 86
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 91
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 91
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀔􀀁 􀁴 92
Daftar Isi
􀀬􀁂􀁕􀁂􀀁􀀴􀁂􀁎􀁃􀁖􀁕􀁂􀁏􀀁 􀁴􀀁 􀁊􀁊􀁊
􀀬􀁂􀁕􀁂􀀁􀀱􀁆􀁏􀁈􀁂􀁏􀁕􀁂􀁓􀀁 􀁴􀀁 􀁊􀁗
vi
Bab 8
Turunan Fungsi dan
Aplikasinya􀀁 􀁴 193
􀀢􀀏􀀁 􀀬􀁐􀁏􀁔􀁆􀁑􀀁􀀵􀁖􀁓􀁖􀁏􀁂􀁏􀀁 􀁴 195
B. Menentukan Turunan
􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁 􀁴 202
C. Persamaan Garis Singgung pada
􀀬􀁖􀁓􀁗􀁂􀀁􀁴 213
D. Fungsi Naik dan Fungsi
􀀵􀁖􀁓􀁖􀁏􀀁 􀁴 215
E. Maksimum dan Minimum
􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁 􀁴 218
F􀀏􀀁 􀀵􀁖􀁓􀁖􀁏􀁂􀁏􀀁􀀬􀁆􀁅􀁖􀁂􀀁 􀁴 224
G􀀏􀀁 􀀯􀁊􀁍􀁂􀁊􀀁􀀴􀁕􀁂􀁔􀁊􀁐􀁏􀁆􀁓􀀁 􀁴 228
H. Menggambar Grafik Fungsi
􀀢􀁍􀁋􀁂􀁃􀁂􀁓􀀁 􀁴 232
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 235
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 235
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀙􀀁 􀁴 236
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀴􀁆􀁎􀁆􀁔􀁕􀁆􀁓􀀁􀀓􀀁 􀁴 239
Tes Kompetensi Ujian Akhir
􀀵􀁂􀁉􀁖􀁏􀀁􀀁 􀁴 243
􀀥􀁂􀁇􀁕􀁂􀁓􀀁􀀱􀁖􀁔􀁕􀁂􀁌􀁂􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀕􀀖
􀀥􀁂􀁇􀁕􀁂􀁓􀀁􀀴􀁊􀁎􀁃􀁐􀁍􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀕􀀗
􀀪􀁏􀁅􀁆􀁌􀁔􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀕􀀘
􀀴􀁆􀁏􀁂􀁓􀁂􀁊􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀕􀀙
􀀬􀁖􀁏􀁄􀁊􀀁􀀫􀁂􀁘􀁂􀁃􀁂􀁏􀀁 􀁴􀀁 􀀓􀀖􀀑
Bab 6
Fungsi Komposisi dan
Fungsi Invers􀀁 􀁴 145
􀀢􀀏􀀁 􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁􀁅􀁂􀁏􀀁􀀴􀁊􀁇􀁂􀁕􀁏􀁚􀁂􀀁 􀁴 147
􀀣􀀏􀀁 􀀢􀁍􀁋􀁂􀁃􀁂􀁓􀀁􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁 􀁴 152
􀀤􀀏􀀁 􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁐􀁔􀁊􀁔􀁊􀀁 􀁴 154
D􀀏􀀁 􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁􀀪􀁏􀁗􀁆􀁓􀁔􀀁 􀁴 160
E. Invers dari Fungsi
􀀬􀁐􀁎􀁑􀁐􀁔􀁊􀁔􀁊􀀁 􀁴 164
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 166
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 167
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀗􀀁 􀁴 167
Bab 7
Limit􀀁 􀁴 171
􀀢􀀏􀀁 􀀭􀁊􀁎􀁊􀁕􀀁􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁 􀁴 173
􀀣􀀏􀀁 􀀭􀁊􀁎􀁊􀁕􀀁􀀧􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊􀀁􀀵􀁓􀁊􀁈􀁐􀁏􀁐􀁎􀁆􀁕􀁓􀁊􀀁 􀁴 184
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 189
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 189
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀘􀀁 􀁴 190
Bab 5
Suku Banyak􀀁 􀁴 119
􀀢􀀏􀀁 􀀱􀁆􀁏􀁈􀁆􀁓􀁕􀁊􀁂􀁏􀀁􀀴􀁖􀁌􀁖􀀁􀀣􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌􀀁 􀁴 121
B. Menentukan Nilai Suku
􀀣􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌􀀁 􀁴 123
C􀀏􀀁 􀀱􀁆􀁎􀁃􀁂􀁈􀁊􀁂􀁏􀀁􀀴􀁖􀁌􀁖􀀁􀀣􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌􀀁 􀁴 127
D􀀏􀀁 􀀵􀁆􀁐􀁓􀁆􀁎􀁂􀀁􀀴􀁊􀁔􀁂􀀁 􀁴 133
E􀀏􀀁 􀀵􀁆􀁐􀁓􀁆􀁎􀁂􀀁􀀧􀁂􀁌􀁕􀁐􀁓􀀁 􀁴 138
􀀳􀁂􀁏􀁈􀁌􀁖􀁎􀁂􀁏􀀁 􀁴 141
􀀳􀁆􀃸􀁆􀁌􀁔􀁊􀀁 􀁴 141
􀀵􀁆􀁔􀀁􀀬􀁐􀁎􀁑􀁆􀁕􀁆􀁏􀁔􀁊􀀁􀀣􀁂􀁃􀀁􀀖􀀁 􀁴 142
Bab1
1
Statistika Sumber: farm2.static.fl ickr.com
dengan konsep statistika, seperti permasalahan berikut.
Selama dua tahun berturut-turut, supermarket Amencatat
keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai
berikut.
43, 35, 57, 60, 51, 45, 60, 43, 48, 55, 57, 45, 43, 35, 48,
45, 55, 65, 51, 43, 55, 45, 65, 55.
Dalam jangka waktu yang sama, supermarket B mencatat
keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai
berikut.
67, 78, 70, 83, 80, 56, 70, 81, 45, 50, 81, 56, 70, 55, 70,
61, 51, 75, 55, 83, 67, 54, 68, 54.
Pada Maret tahun berikutnya, pengusaha supermarket A
memperoleh keuntungan 75 juta. Sedangkan supermarket
B memperoleh keuntungan 84 juta. Pengusaha mana yang
berhasil?
Untuk mengetahui jawabannya, Anda harus mempelajari
bab ini dengan baik.
A. Penyajian Data
B. Penyajian Data
Statistik
C. Penyajian Data Ukuran
menjadi Data Statistik
Deskriptif
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu melakukan
pengolahan, penyajian dan penafsiran data dengan cara membaca
dan menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang,
garis, lingkaran, dan ogive serta pemaknaannya, dan menghitung
ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data,
serta menafsirkannya.
2 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Jelaskan langkah-langkah yang Anda
lakukan untuk membuat diagram garis.
2. Urutkan data berikut dari yang terkecil.
Kemudian, urutkan lagi dari yang terbesar.
Jelaskan pula cara mengurutkan data
tersebut.
78, 23, 45, 58, 41, 89, 45, 12, 12, 13, 54,
85, 74, 41, 41.
3. Tentukan mean, median, kuartil bawah,
dan kuartil atas dari data berikut.
a. 8, 7, 7, 9, 8, 6, 7, 8, 9, 6, 7
b. 4, 3, 8, 5, 11, 9, 3, 16, 5, 15, 9, 11, 12,
9, 10, 8, 7, 5, 4, 8
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Statistika
Pengumpulan Pengolahan
Tabel Diagram
berhubungan dengan
Ukuran Statistika
Penyajian
berhubungan dengan
mempelajari
Data
Garis Lingkaran Batang terdiri atas
Ukuran Pemusatan Ukuran Penyebaran Ukuran Letak
Mean Median Modus Pencilan Desil
Simpangan
Rataan
Hitung
Ragam Simpangan
Baku
Jangkauan Simpangan
Kuartil
Jangkauan
Antarkuartil
disajikan dalam bentuk
dapat berupa
terdiri atas
terdiri atas terdiri atas
Statistika 3
A. Penyajian Data
Statistika berkaitan erat dengan data. Oleh karena itu,
sebelum dijelaskan mengenai pengertian statistika, terlebih
dahulu akan dijelaskan mengenai data.
1. Pengertian Datum dan Data
Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum
dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.
Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43
kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari
kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk.
Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55
kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil
pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta
dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan
datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.
2. Pengertian Populasi dan Sampel
Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan ratarata
siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau. Kemudian, ia
kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di
Kabupaten Lubuklinggau. Data tinggi badan seluruh siswa
SMA di Kabupaten Lubuklinggau disebut populasi.
Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan
waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa
SMA di Kabupaten Lubuklinggau akan sulit diperoleh.
Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan
dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau
yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten
Lubuklinggau.
Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan,
sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek
penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku
secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan
agar sampel dapat mewakili populasi.
Berikut ini skema pengambilan sampel dari populasi.
Populasi mencakup seluruh siswa SMA yang ada di Kabupaten Lubuklinggau.
SMA 1
SMA 7
SMA 13
SMA 2
SMA 8
SMA 14
SMA 3
SMA 9
SMA 15
SMA 4
SMA 10
SMA 16
SMA 5
SMA 11
SMA 17
SMA 6
SMA 12
SMA 18
4 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
3. Pengumpulan Data
Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu
sebagai berikut.
1) Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau
bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu
data cacahan dan data ukuran.
a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh
dengan cara membilang. Misalnya, data tentang
banyak anak dalam keluarga.
b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh
dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang
ukuran tinggi badan murid.
2) Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan.
Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas
objek. Data seperti ini disebut atribut. Sebagai contoh, data
mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dan
kurang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan
wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery),
melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data
yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.
4. Datum Terkecil, Datum Terbesar, Kuartil
Bawah, Median, dan Kuartil Atas
Data berikut adalah tinggi badan 12 anak (dalam cm).
164 166 170 167 171 172
162 164 168 165 163 160
Dari data tersebut Anda dapat mengetahui hal-hal
berikut.
a) Anak yang paling pendek tingginya 160 cm.
b) 50% dari kedua belas anak itu tingginya tidak lebih dari
165,5 cm.
c) 25% dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.
Kerapkali data yang Anda
peroleh merupakan bilangan
desimal. Agar perhitungan
mudah dilakukan, bilangan
tersebut dibulatkan. Adapun
aturan pembulatan sebagai
berikut.
1) Jika angka yang
dibulatkan lebih dari
atau sama dengan 5,
pembulatan dilakukan
dengan menambah 1
angka di depannya.
2) Jika angka yang akan
dibulatkan kurang dari 5,
angka tersebut dianggap
tidak ada atau nol.
Sekarang, coba cari di buku
petunjuk penggunaan atau
tanya ke kakak kelas cara
membulatkan bilangan
dengan menggunakan
kalkulator ilmiah.
Ingatlah
SMA 2
SMA 10
SMA 5
SMA 14
SMA 7
SMA 17
Sampel dapat diambil dari beberapa siswa SMA yang ada di Kabupaten
Lubuklinggau yang mewakili.
Statistika 5
Untuk mengetahui hal-hal tersebut diperlukan statistik
lima serangkai, yaitu data statistik x1, Q1, Q2, Q3, dan xn
dengan x1 datum terkecil, Q1= kuartil bawah, Q2 = median,
Q3 = kuartil atas, dan xn datum terbesar (x1 dan xn dapat
diketahui).
Untuk menentukan datum terkecil dan datum terbesar
Anda perlu menyusun data tersebut dalam suatu urutan
berdasarkan nilainya, yaitu sebagai berikut.
160 162 163 164 164 165
166 167 168 170 171 172
Amati bahwa setelah data diurutkan Anda dapat menemukan
datum terkecil dan datum terbesar dengan mudah,
yaitu datum terkecil = 160 cm dan datum terbesar = 172 cm.
Jika data yang telah diurutkan itu dibagi menjadi 2
bagian yang sama, diperoleh urutan berikut:
160 162 163 164 164 165 166 167 168 170 171 172
Q2
Tampak bahwa median membagi data ini menjadi dua
bagian yang sama, yaitu enam datum kurang dari median dan
enam datum lebih dari median. Median untuk data tersebut
adalah Q2 =
165 166
2
􀀋
= 165,5. Dengan demikian, Anda
dapat mengatakan bahwa 50% dari data itu tingginya tidak
lebih dari 165,5 cm. Bagaimana menentukan median jika
banyak data ganjil?
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus menentukan
median? Cobalah nyatakan rumus tersebut dengan
kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari
tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.
Misalkan diketahui data terurut
x1, x2, x3, …, xn
dengan n = banyak datum.
1) Untuk n genap maka mediannya adalah Q x x n n 2
2 2
+1
1
2
+
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂶
2) Untuk n ganjil maka mediannya adalahQ x2 n+ n 1
2
Jika data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian
yang sama, diperoleh
160 162 163 164 164 165 166 167 168 170 171 172
Q1 Q2 Q3
6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tampak bahwa kuartil membagi data menjadi empat
bagian yang sama, yaitu tiga datum kurang dari kuartil bawah
(Q1), tiga datum antara Q1 dan Q2, tiga datum antara Q2 dan
kuartil atas (Q3), dan tiga datum lebih dari Q3. Kuartil bawah
dan kuartil atas dapat ditentukan, yaitu
Q1 = 163 164
2
􀀋 = 163,5 dan Q3 =
168 170
2
􀀋
= 169.
Dengan demikian, Anda dapat mengatakan bahwa 25%
dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menemukan
langkah-langkah cara menentukan kuartil? Cobalah tentukan
langkah-langkahnya dengan menggunakan kata-kata Anda
sendiri.
Berikut ini adalah langkah-langkah menentukan kuartil.
1. Data diurutkan dari datum terkecil ke datum terbesar.
x1, x2, x3, …, xn.
2. Tentukan kuartil kedua atau median (Q2) dengan
membagi data menjadi dua bagian sama banyak.
3. Tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data di
bawah Q2 menjadi dua bagian sama banyak.
4. Tentukan kuartil atas (Q3) dengan membagi data di atas
Q2 menjadi dua bagian sama banyak.
Statistik lima serangkai, yaitu
􀁴 􀁅􀁂􀁕􀁖􀁎􀀁􀁕􀁆􀁓􀁌􀁆􀁄􀁊􀁍􀀁x1
􀁴 kuartil bawah Q1
􀁴 􀁎􀁆􀁅􀁊􀁂􀁏􀀁Q2
􀁴 kuartil atas Q3
􀁴 􀁅􀁂􀁕􀁖􀁎􀀁􀁕􀁆􀁓􀁃􀁆􀁔􀁂􀁓􀀁xn
Ingatlah
Tentukan datum terkecil, datum terbesar, median, kuartil bawah,
dan kuartil atas dari data berikut:
a. 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4
b. 9, 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4
Jawab:
a. Banyak data (n) sama dengan 7. Jika data ini diurutkan dari
yang terkecil, diperoleh
No. Urut Data x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Nilai Data 4 4 5 6 7 8 9
• Datum terkecil adalah x1 = 4.
• Datum terbesar adalah x7 = 9.
• Median merupakan datum tengah setelah data diurutkan.
Jadi, median (Q2) = x4 = 6. Jika menggunakan rumus
Q2 = xn􀀋1
2
=x x n􀀋1
2
4
= 6
Contoh 1.1
Statistika 7
Pembahasan Soal
Hasil dari suatu pengamatan
adalah sebagai berikut.
12 11 9 8 9 10 9 12
Median dari pengamatan
tersebut adalah ….
Jawab:
Data diurutkan dari yang
terkecil.
8 9 9 9 10 11 12 12
Mediannya adalah
9 10
2
􀀋
= 9,5
Soal PPI 1982
• Kuartil bawah (Q1)
Q1 = median dari 4 4 5
Jadi, Q1 = 4 (nilai paling tengah)
• Kuartil atas (Q3)
Q3 = median dari 7 8 9
Jadi, Q2 = 8 (nilai paling tengah)
b. Banyak datum (n) sama dengan 8. Jika data diurutkan,
diperoleh
No. Urut Data x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
Nilai Data 4 4 5 6 7 8 9 9
• Datum terkecil adalah x1 = 4.
• Datum terbesar adalah x8 = 9.
Median tidak dapat ditentukan dengan cara seperti soal
(a). Median untuk data genap (n = 8) ditentukan dengan
menggunakan rumus sebagai berikut.
Q2 =
1
2 2
1
2
x x
n n􀀋 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂶
􀀋
= 1
2 8
2
8 1
2
x x 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂶
􀀋
=
1
2
(x4 + x5) =
1
2
(6 + 7) = 6,5
Dengan cara yang sama, coba Anda tentukan Q1 dan Q2. Jika
Anda menyelesaikannya dengan benar, diperoleh Q1 = 4,5 dan
Q3 = 8,5.
5. Jangkauan Data, Jangkauan
Antarkuartil, dan Simpangan Kuartil
a. Jangkauan Data
Jangkauan data atau disebut juga rentang data adalah
selisih antara datum terbesar dan datum terkecil. Jika jangkauan
data dinotasikan J, datum terbesar xn, dan datum terkecil x1
maka
J = xn – x1
Jangkauan antarkuartil atau disebut juga rentang interkuartil
adalah selisih kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1).
Jika jangkauan antarkuartil dinotasikan JK maka
JK = Q3 – Q1
8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Perbedaan antara jangkauan data dan jangkauan antarkuartil
diperlihatkan pada Gambar 1.1. Dari gambar tersebut
tampak bahwa jangkauan antarkuartil merupakan ukuran
penyebaran data yang lebih baik daripada rentang sebab JK
mengukur rentang dari 50% data yang di tengah.
Selain jangkauan dan jangkauan antarkuartil, dikenal pula
simpangan kuartil atau rentang semi-interkuartil. Simpangan
kuartil (SK) adalah setengah dari jangkauan antarkuartil
(JK).
SK =
1
2
JK =
1
2
(Q3 – Q1)
Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungai
yang berbeda untuk diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalam
mg) adalah
193 282 243 243 282 214 185 128 243 159
218 161 112 131 201 132 194 221 141 136
Dari data tersebut tentukan:
a. jangkauan data;
b. jangkauan antarkuartil;
c. simpangan kuartil.
Jawab:
Data diurutkan hasilnya sebagai berikut:
No. Urut Data x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Datum 112 128 131 132 136 141 159 161 185 193
No. Urut Data x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
Datum 194 201 214 218 221 243 243 243 282 282
• Datum terkecil (x1) adalah 112.
• Datum terbesar (xn) adalah 282.
• Median (Q2) =
1
2
(x10 + x11) = (193 + 194) = 193,5.
• Kuartil bawah (Q1)
= median dari
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
112 128 131 132 136 141 159 161 185 193
=
1
2
(x5 + x6) =
1
2
(136 + 141) = 138,5.
Contoh 1.2
Gambar 1.1
Q1
QJK 2
50% data
J
Statistika 9
• Kuartil atas (Q3)
= median dari
x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
194 201 214 218 221 243 243 243 282 282
=
1
2
(x15 + x16) =
1
2
(221 + 243) = 232
a. Jangkauan data (J)
J = xn – x1 = 282 – 112 = 170
b. Jangkauan antarkuartil (JK)
JK = Q3 – Q1 = 232 – 138,5 = 93,5
c. SK =
1
2
JK =
1
2
(93,5) = 46,75.
b. Pencilan (Outlier)
Nilai statistik jangkauan (J) dan jangkauan antarkuartil
(JK) dapat digunakan untuk memperoleh gambaran tentang
penyebaran data dengan cepat. Untuk keperluan tersebut
didefinisikan satu langkah sebagai berikut.
Definisi 1.1
Satu langkah (L) adalah satu setengah kali panjang jangkauan
antarkuartil (JK). Secara matematis, ditulis L = 1
1
2
JK.
Nilai yang letaknya satu langkah di bawah Q1 dinamakan
pagar dalam (PD). Adapun nilai yang letaknya satu langkah
di atas Q3 dinamakan pagar luar (PL)
PD = Q1 – L dan PL = Q3 + L
Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau
lebih dari pagar luar disebut pencilan. Pencilan adalah datum
yang memiliki karakteristik berbeda dari datum lainnya.
Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yang
tidak konsisten dalam kumpulan data.
Hasil tes matematika dari 20 siswa tercatat sebagai berikut.
70, 68, 71, 68, 66, 73, 65, 74, 65, 64, 78, 79, 61, 81, 60, 97, 44,
64, 83, 56.
Jika ada data pencilan, tentukan datum tersebut.
Contoh 1.3
10 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jawab:
Data setelah diurutkan menjadi
44, 56, 60, 61, 64, 64, 65, 65, 66, 68, 68, 70, 71, 73, 74, 78, 79,
81, 83, 97
Q1 Q2 Q3
• Q1 =
64 + 64
2
= 64 • JK = Q3 – Q1 = 76 – 64 = 12
• Q2 =
68 + 68
2
= 68 • L = 1
1
2
JK = 1
1
2
. 12 = 18
• Q3 =
74 + 78
2
= 76
PD = Q1– L = 64 – 18 = 46
PL = Q3 + L = 76 + 18 = 94
Dengan demikian, ada dua pencilan dalam data ini, yaitu 44 dan
97.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Ali ingin membeli sebotol minyak
wangi. Sebelum transaksi dilakukan,
ia meneteskan dua tetes minyak wangi
itu pada pakaiannya untuk mengetes
keharumannya. Tentukan populasi dan
sampelnya.
2. Menurut BPS, banyak sekolah di setiap
provinsi di Indonesia pada tahun 2004/2005
tercatat sebagai berikut.
48, 476, 91, 43, 39, 119, 33, 139, 493, 398,
547, 128, 708, 61, 25, 55, 16, 55, 30, 34,
56, 51, 39, 134, 21, 26, 24.
Dari data itu, tentukan
a. datum terkecil dan datum terbesar;
b. kuartil bawah, median, dan kuartil
atas;
c. jangkauan data jangkauan antarkuartil,
dan simpangan kuartil;
d. apakah ada data outlier? Jika ada,
tentukan data tersebut.
3. Jelaskan apa yang dimaksud dengan data
kualitatif dan data kuantitatif.
4. Data ulangan nilai matematika siswa kelas
XI B sebagai berikut.
75, 55, 52, 50, 78, 80, 85, 86, 80, 55, 75,
80, 48.
Selain data tersebut, masih terdapat tujuh
data lagi yang belum tercatat akibat datanya
terhapus. Akan tetapi, berdasarkan catatan
kecil yang sempat terbaca, diketahui
bahwa median data setelah ditambah data
yang hilang adalah 70,5, dan kuartil bawah
data yang hilang adalah 60. Tentukan tujuh
data yang hilang itu jika pada tujuh data
yang hilang terdapat tiga kelompok data
yang setiap kelompok bernilai sama.
5. Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,
cara mengecek apakah dalam data ada
pencilan atau tidak.
Statistika 11
B. Penyajian Data Statistik
Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu
a) daftar atau tabel,
b) grafik atau diagram.
1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas
XI SMA 3 disajikan dalam tabel di samping.
Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penyajian data
sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat menentukan banyak
siswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa
orang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang
paling banyak diperoleh siswa?
Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu disajikan
dengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh
tabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel
1.2 dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.
2. Penyajian Data dalam Bentuk
Diagram
Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit
untuk dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam
bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami
data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara
visual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat.
Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan,
yaitu pada umumnya diagram tidak dapat memberikan
gambaran yang lebih detail.
a. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan
data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah
bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yang
dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius.
Ada dua jenis diagram batang, yaitu
1) diagram batang vertikal, dan
2) diagram batang horizontal.
Nilai Frekuensi
2 7
4 3
5 5
6 4
7 10
9 7
10 1
Jumlah 37
Tabel 1.1
Tabel 1.2. Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas Turus Frekuensi
1–2 7
3–4 3
5–6 8
7–8 10
9–10 8
Jumlah 37
12 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Diagram Garis
Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap
rupiah atau pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu
disebut diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk
menggambarkan data tentang keadaan yanm g berkesinambungan
(sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiap
tahun, perkembangan berat badan bayi setiap bulan, dan suhu
badan pasien setiap jam.
Selama 1 tahun, toko “Anggo” mencatat keuntungan setiap bulan
sebagai berikut.
Keuntungan Toko “Anggo” per Bulan (dalam jutaan rupiah)
Bulan ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Keuntungan 2,5 1,8 2,6 4,2 3,5 3,3 4,0 5,0 2,0 4,2 6,2 6,2
a. Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut.
b. Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Toko “Anggo”
selama 1 tahun?
c. Kapan Toko “Anggo” memperoleh keuntungan yang sama
selama dua bulan berturut-turut?
Jawab:
a. Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak pada
gambar berikut.
b. Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan terbesar
yang diperoleh Toko “Anggo” selama 1 tahun adalah sebesar
Rp6.200.000,00.
c. Toko “Anggo” memperoleh keuntungan yang sama selama
dua bulan beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.
Tabel 1.3
1
1 2 3 4 5 6
Bulan ke
Keuntungan
7 8 9 10 11 12
2
3
4
5
6
Sumber: Koran Tempo, 2005
Gambar 1.2
Grafik nilai tukar dolar
terhadap rupiah pada
26 Januari 2005 sampai
dengan 1 Februari 2005.
Contoh 1.4
Statistika 13
Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan
sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak
(vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar
biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan
berat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data.
Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat
diagram garis adalah sebagai berikut.
1) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan
sumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak
menunjukkan data pengamatan.
2) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data
pengamatan pada waktu t.
3) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titiktitik
koordinat tersebut dengan garis lurus.
Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau
sejak lahir sampai berusia 9 bulan.
Usia (bulan) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Berat Badan
(kg)
3,5 4 5,2 6,4 6,8 7,5 7,5 8 8,8 8,6
a. Buatlah diagram garisnya.
b. Pada usia berapa bulan berat badannya menurun?
c. Pada usia berapa bulan berat badannya tetap?
Jawab:
a. Langkah ke-1
Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalam
bulan) dan sumbu tegak yang menunjukkan berat badan anak
(dalam kg).
Langkah ke-2
Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan
pada waktu t bulan.
Langkah ke-3
Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik
koordinat tersebut dengan garis lurus.
Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh diagram garis dari
data tersebut tampak pada Gambar 1.3.
b. Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayi
menurun pada usai 8 sampai 9 bulan.
c. Berat badan bayi tetap pada usia 5 sampai 6 bulan. Darimana
Anda memperoleh hasil ini? Jelaskan.
Contoh 1.5
Gambar 1.3
Berat badan bayi sejak usia
0 bulan–9 bulan
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Keadaan gizi bayi dapat dipantau
dari kartu KMS.
Gambar 1.4
Usia (Bulan)
Berat (kg)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Contoh 1.6
Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten
menurut tingkat sekolah pada tahun 2007.
Tingkat Pendidikan Banyaknya Siswa
SD
SMP
SMA
175
600
225
Observasi: Interpolasi dan Ekstrapolasi Data
Anda dapat melakukan observasi terhadap kecenderungan
data yang disajikan pada suatu diagram garis. Dari observasi
ini, Anda dapat membuat perkiraan-perkiraan dengan cara
interpolasi dan ekstrapolasi. Hal ini ditempuh dengan mengganti
garis patah pada diagram garis menjadi garis lurus.
Interpolasi data adalah menaksir data atau memperkirakan
data di antara dua keadaan (misalnya waktu) yang berurutan.
Misalkan, dari gambar grafik Contoh 1.7 dapat diperkirakan
berat badan bayi pada usia 5,5 bulan. Coba Anda amati grafik
tersebut, kemudian tentukan berat badan bayi pada usia 5,5
bulan.
Ekstrapolasi data adalah menaksir atau memperkirakan
data untuk keadaan (waktu) mendatang. Cara yang dapat
dilakukan untuk ekstrapolasi adalah dengan memperpanjang
ruas garis terujung ke arah kanan. Misalkan, dari gambar
grafik Contoh 1.7 dapat diperkirakan berat badan bayi pada
usia 10 bulan. Jika garis lurus sudah ditentukan, Anda dapat
menentukan interpolasi data. Untuk ekstrapolasi data, Anda
harus berhati-hati. Menurut diagram garis, berapa kira-kira
berat badan bayi pada usia 10 bulan? Berikan alasan Anda.
c. Diagram Lingkaran
Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap
keseluruhan, suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk
diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk
penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi
menjadi beberapa juring lingkaran.
Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran
adalah sebagai berikut.
1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring
lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya
telah diubah ke dalam derajat.
Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut.
Tugas
1. Bersama tiga orang
teman, catatlah nilai
tukar dolar terhadap
rupiah selama seminggu.
Kemudian, buatlah
diagram garis serta
analisisnya. Dari diagram
garis tersebut, dapatkah
Anda memprediksi
nilai tukar untuk hari
berikutnya? Hasilnya
laporkan dan bacakan di
depan kelas.
2. Buatlah kelompok yang
terdiri atas 5 orang. Cari
informasi ke posyandu
atau dokter spesialis anak,
bagaimana cara membaca
KMS (kartu menuju
sehat). KMS dijadikan
acuan untuk memantau
apakah gizi seorang
balita baik atau tidak.
Kamu pun dapat mencari
informasi tersebut di buku
atau majalah. Tulis dan
kumpulkan. Beberapa
perwakilan kelompok
membacakan hasilnya di
depan kelas.
Statistika 15
a. Buatlah diagram lingkaran untuk data tersebut.
b. Berapa persen siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada
tingkat SMP?
c. Berapa persen siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada
tingkat SMA?
Jawab:
a. Jumlah seluruh siswa adalah 1.000 orang. Seluruh siswa
diklasifikasikan menjadi 5 katagori: SD = 175 orang,
SMP = 600 orang, dan SMA = 225 orang.
• Siswa SD =
175
1.000
× 100% = 17,5%
Besar sudut sektor lingkaran = 17,5% × 360° = 63°
• Siswa SMP =
600
1.000
× 100% = 60%
Besar sudut sektor lingkaran = 60% × 360° = 216°
• Siswa SMA=
225
1.000
× 100% = 22,5%
Besar sudut sektor lingkaran = 22,5% × 360° = 81°
Diagram lingkaran ditunjukkan pada Gambar 1.5.
b. Persentase siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada
tingkat SMP adalah 60%.
c. Persentase siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada
tingkat SMAadalah 22,5%.
SMA
22,5%
SD
17,5%
SMP
60%
Gambar 1.5
3. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi
Relatif dan Kumulatif, Histogram,
Poligon Frekuensi, dan Ogive
a. Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan
dalam tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data
yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi
adalah sebagai berikut.
• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan
rumus “Sturgess” yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah
banyak data.
Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil
pembulatan.
• Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan
menggunakan rumus:
I =
J
K
Menentukan banyak kelas
interval dengan aturan
Sturges dimaksudkan
agar interval tidak terlalu
besar sebab hasilnya
akan menyimpang dari
keadaan sesungguhnya.
Sebaiknya, jika interval
terlalu kecil, hasilnya tidak
menggambarkan keadaan
yang diharapkan.
Ingatlah
16 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Interval Kelas Turus Frekuensi
16–25 5
26–35 3
36–45 9
46–55 10
56–65 6
66–75 2
35
Tabel 1.6
Interval Kelas Turus Frekuensi
15–24 3
25–34 5
35–44 9
45–54 8
55–64 8
65–74 2
35
Tabel 1.7
Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari
35 orang.
Data hasil penelitian itu (dalam kg) diberikan berikut ini:
48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36
21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56
50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39
Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.
Jawab:
1. Jangkauan (J) = Xm- Xn = 74 – 16 = 58.
2. Banyak kelas (K) = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 35 = 6,095.
Banyak kelas dibulatkan menjadi “6″.
3. Panjang interval kelas (I) adalah I
J
K
􀀝 􀀝 􀀝
58
6
9,67.
Panjang interval kelas dibulatkan menjadi “10″. Dengan
panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas = 6, diperoleh tabel
distribusi frekuensi seperti pada Tabel 1.6 atau Tabel 1.7
Cara I: Batas bawah kelas pertama diambil datum terkecil.
Amati Tabel 1.6. Dari tabel tersebut tampak bahwa frekuensi
paling banyak dalam interval 46–55. Artinya, berat badan
kebanyakan berkisar antara 46 kg dan 55 kg.
Cara II: Batas atas kelas terakhir diambil datum terbesar.
Amati Tabel 1.7.
Dari tabel tampak frekuensi paling sedikit dalam interval
65–74. Artinya, berat badan antara 65 kg dan 74 kg ada 2
orang. Perhatikan interval kelas yang pertama, yaitu 15–24.
15 disebut batas bawah dan 24 disebut batas atas. Ukuran 15–24
adalah hasil pembulatan, ukuran yang sebenarnya terletak pada
14,5–24,5. 14,5 disebut tepi bawah kelas (batas bawah nyata)
dan 24,5 disebut tepi atas kelas (batas atas nyata) pada interval
kelas 15–24.
Dalam menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas
pada setiap interval kelas, harus diketahui satuan yang dipakai.
Dengan demikian, untuk tepi bawah kelas adalah batas bawah
kelas dikurangi
1
2
satuan ukuran. Jadi, tepi kelas dari interval
kelas 15–24 menjadi 14,5–24,5.
Contoh 1.7
• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil
harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau
data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.
• Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas
yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas
dengan sistem turus.
• Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian
dengan banyak turus.
Statistika 17
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi
frekuensi bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari
suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada
interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam
persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total
data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas
ini adalah 20
80
1
4
􀀝 , sedangkan frekuensi relatifnya adalah
1
4
× 100% = 25%.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan rumus
frekuensi relatif? Cobalah nyatakan rumus frekuensi relatif
dengan kata-kata Anda sendiri.
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi relatif kelas ke-k =
frekuensi kelas ke
banyak data
-k
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi
pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas
sebelumnya.
Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu
1) frekuensi kumulatif “kurang dari” (“kurang dari” diambil
terhadap tepi atas kelas);
2) frekuensi kumulatif “lebih dari” (“lebih dari” diambil
terhadap tepi bawah kelas).
Tepi atas = batas atas +
1
2
satuan pengukuran
Tepi bawah = batas bawah –
1
2
satuan pengukuran
Dari Tabel 1.6 untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah
a. frekuensi relatif;
b. frekuensi kumulatif “kurang dari”;
c. frekuensi kumulatif “lebih dari”.
Jawab:
a. Frekuensi relatif kelas ke-4
= frekuensi kelas ke-4
banyak datum
􀁲100
10
35
%􀀝 􀁲1
100% 28,57%
b. Frekuensi kumulatif “kurang dari” untuk interval kelas 46 – 55
= 5 + 3 + 9 + 10 = 27 (kurang dari tepi atas kelas 55,5)
c. Frekuensi kumulatif “lebih dari” untuk interval kelas 46 – 55
= 10 + 6 + 2 = 18 (lebih dari tepi bawah kelas 45,5).
Contoh 1.8
Kata histogram berasal dari
bahasa Yunani, yaitu histo
yang berarti kertas dan gram
yang berarti menulis atau
menggambar.
The root of “histogram” is from
the Greek, histo which means
tissue, gram which means write
or draw.
Sumber:www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Informations
for You
18 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Kelas Interval Frekuensi
21–30 2
31–40 3
41–50 11
51–60 20
61–70 33
71–80 24
81–90 7
100
Tabel 1.8 Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMA
Cendekia di Kalimantan Barat diberikan pada Tabel 1.8. Buatlah
histogram dan poligon frekuensinya.
Jawab:
Contoh 1.9
Dari histogram tersebut tampak bahwa kebanyakan siswa
memperoleh nilai antara 60,5 dan 70,5. Coba Anda ceritakan hal
lain dari histogram tersebut.
c. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang
bentuknya seperti diagram batang. Batang yang berdekatan
harus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap
interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini
digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang dapat
ditulis sebagai berikut.
Titik tengah kelas =
1
2
(tepi atas kelas + tepi bawah kelas)
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan
titik-titik tengah setiap puncak persegipanjang dari histogram
secara berurutan. Agar poligon “tertutup” maka sebelum kelas
paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing
ditambah satu kelas.
Poligon
Frekuensi
10,5 20,5 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
10
Jumlah Siswa
Hasil Ujian
30
20
0
Histogram
Statistika 19
d. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang
dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon
kumulatif.
Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak
ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi
kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif.
Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif
positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif
negatif.
Tabel 1.9 dan 1.10 berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi
kumulatif “kurang dari” dan “lebih dari” tentang nilai ulangan
Biologi Kelas XI SMA 3.
a. Buatlah ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut.
b. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang
dari 85?
c. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai berat badan lebih
dari 40?
Jawab:
a. Ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut tampak pada
gambar 1.6.
b. Dari kurva ogif positif, tampak siswa yang mempunyai nilai
kurang dari 85 adalah sebanyak 93 orang.
c. Dari kurva ogif negatif, tampak siswa yang mempunyai nilai
lebih dari 40 adalah sebanyak 96 orang.
Contoh 1.10
Nilai Frekuensi
< 20,5 0
< 30,5 2
< 40,5 5
< 50,5 16
< 60,5 36
< 70,5 69
< 80,5 93
20,5 100
> 30,5 98
> 40,5 95
> 50,5 84
> 60,5 64
> 70,5 31
> 80,5 7
> 90,5 0
Tabel 1.10
10
10 20 30 40 4550 60 70 808590 100
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Jumlah siswa
Lebih dari
(ogif negatif)
Kurang dari
(ogif positif)
Nilai
ujian
Gambar 1.6
20 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab B
1. Buatlah daftar distribusi frekuensi dari
data berikut.
79, 15, 90, 84, 48, 84, 76, 89, 78, 60, 43,
74, 62, 88, 72, 64, 54, 83, 71, 41, 67, 81,
98, 80, 25, 78, 75, 64, 10, 52, 76, 55, 85,
92, 65, 41, 95, 81, 77, 80, 23, 60, 79, 32,
57, 74, 52, 70, 82, 36.
2. Misalkan, berat badan seorang bayi yang
dipantau sejak lahir sampai berusia 9 bulan,
menunjukkan data sebagai berikut.
Umur
(Bulan)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Berat
(kg)
3,2 3,8 4,2 4,0 4,6 4,6 5,8 5,6 7,1 8,2
a. Buatlah diagram garis.
b. Pada usia berapa bulankah berat
badannya menurun?
c. Pada usia berapa bulankah berat
badannya tetap?
3. Data berikut adalah data tinggi badan dari
40 siswa SMA HEBAT, diukur sampai
sentimeter terdekat.
168 165 176 159 163 175 158 170 170 155
156 169 170 160 160 164 153 154 150 158
147 151 150 167 168 160 150 148 161 174
176 163 149 166 175 158 166 164 167 159
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya.
b. Buatlah histogram poligonnya.
4. Data berikut adalah berat badan dari 16
anak (dalam kg).
36 30 28 33 42 32 37 35
32 34 41 32 30 40 32 42
Buatlah diagram batang dari data ter sebut.
Tentukan pula kecenderungan penyebaran
data.
5. Diagram berikut menunjukan data produksi
padi di setiap desa di kecamatan
Sukajaya
Desa A
151,2°
Desa B
90°
Desa C
36°
Desa D
72°
Desa E
a. Tentukan persentase produksi padi
yang dihasilkan desa E.
b. Jika produksi padi yang dihasilkan
kecamatan Sukajaya 180 ton, tentukan
produksi padi pada setiap desa.
C. Penyajian Data Ukuran menjadi
Data Statistik Deskriptif
1. Rataan Hitung (Mean)
Masih ingatkah Anda cara menghitung rataan hitung?
Misalnya, seorang guru mencatat hasil ulangan 10 orang
siswanya, sebagai berikut.
6 5 5 7 7,5 8 6,5 5,5 6 9
Dari data tersebut, ia dapat menentukan nilai rataan
hitung, yaitu
6 5 5 7 75 8 65 55 6 9
10
6 55
􀀋􀀋􀀋 􀀋 7 5 6 5 􀀋 􀀋􀀋
􀀝
,5 􀀋 􀀋 6, ,
,
Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,55.
Statistika 21
Secara umum, apabila nilai data kuantitatif tidak dikelompokkan
dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn (terdapat n
buah datum), nilai rataan hitung (mean) x ditentukan oleh
rumus berikut.
x
x x
n
􀀝 1 2 n 􀀋x 􀀋… 􀀋 atau x
x
n
i
i
n
􀀝􀂣 =1
Perhitungan nilai rataan hitung akan menjadi lain jika
guru tersebut mencatat hasil ulangan 40 orang siswanya
sebagai berikut:
3 orang mendapat nilai 4
4 orang mendapat nilai 5
6 orang mendapat nilai 5,5
8 orang mendapat nilai 6
7 orang mendapat nilai 7
10 orang mendapat nilai 8
2 orang mendapat nilai 9
Nilai rataan hitung siswa dapat dicari sebagai berikut:
3 4 6 8 7 10 2
40
􀀈4􀀉􀀋 􀀈5􀀉􀀋 􀀈5 5􀀉􀀋 􀀈6􀀉􀀋 􀀈7􀀉􀀋 􀀈8􀀉􀀋 􀀈9􀀉 260
􀀝
40
􀀝 6,5
Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,5.
Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif
dinyatakan dengan x1, x2, …, xn (terdapat n buah datum)
dengan setiap nilai datum mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , …, f
n maka rataan hitung ( x ) ditentukan oleh rumus berikut.
x
x f + x f
+…+ x f
f + f + f
+…f
n n n = 1 1 2 2 1 2 3 atau x
x f
f
i i i=
n
i i=
n = 1
1
􀂣
􀂣
x = rataan hitung dari suatu
sampel
Ingatlah
1. Seorang peneliti mencatat banyak bayi yang lahir selama setahun
di 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut.
136 140 220193 130 158 242 127 184 213
200 131 111 160 217 281 242 242 281 192
a. Hitunglah rataan hitung (mean) data tersebut.
b. Tentukan jangkauan datanya.
c. Tentukanlah jangkauan antarkuartil.
2. Nilai rataan hitung (rata-rata) ujian matematika dari 38 orang
siswa adalah 51. Jika nilai dari seorang siswa lain yang bernama
Rahman digabungkan dengan kelompok itu maka nilai rataan
hitung ujian matematika dari 39 orang siswa sekarang menjadi
52. Tentukanlah nilai yang diperoleh Rahman.
Contoh 1.11
22 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sumber: http://www.upload.wikimedia.org
Gambar 1.8
Untuk data yang banyak, Anda
dapat menggunakan kalkulator
ilmiah untuk menghitung mean
data.
Jawab:
1. a. Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan dua
cara, yaitu tanpa menggunakan kalkulator dan dengan
menggunakan kalkulator.
• Tanpa kalkulator (dengan rumus):
x 􀀝
􀀋 􀀋 􀀋
􀀝 􀀝
136 140 192
20
3 800
20
190
… .
.
• Dengan kalkulator (fx–3600 Pv), tahapan perhitungan
sebagai berikut:
1) kalkulator “ON”
2) MODE 3 x program SD
3) masukkan data
136 data
140 data



192 data
4) tekan tombol x
x = 190
Untuk kalkulator jenis lainnya, coba Anda cari informasi
cara menghitung mean dengan kalkulator tersebut.
b. Jangkauan datanya adalah: J = xn – x1 = 281 – 111 = 170.
c. Setelah data diurutkan, diperoleh Q1 = 138 dan Q3 = 231.
Jangkauan antarkuartil adalah JK= Q3 – Q1= 93.
2. Diketahui:
Nilai rataan hitung 38 siswa adalah 51. Nilai rataan hitung 39
siswa adalah 52.
Ditanyakan:
Nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman.
Pengerjaan:
Misalkan,
x i = nilai ujian matematika dari siswa ke-i dengan i = 1, 2, …, 38
x39 = nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman
Dengan menggunakan rumus rataan hitung, berlaku:
x x 1 2 38
38
51
􀀋x 􀀋 􀀋
􀀝

…. (1)
x x 1 2 39
39
52
􀀋x 􀀋 􀀋
􀀝
… …. (2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh
51
39
39 52 􀀈38􀀉􀀋
􀀝
x 􀂙 x39 = 52(39) – 51(38) = 90
Jadi, nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman adalah 90.
Pembahasan Soal
Jika 30 siswa kelas XI A1 mempunyai
nilai rata-rata 6,5; 25
siswa kelas XI A2 mempunyai
nilai rata-rata 7; dan 20 siswa
kelas XI A3 mempunyai nilai
rata-rata 8, tentukan rata-rata
nilai tujuh puluh lima siswa
kelas XI tersebut.
Jawab:
x
n x n x
n n
􀀝
􀀋n x 􀀋
􀀋n 􀀋
1 1 2 2 3 3 1 2 3
=
30 6 5 25 7 20 8
75
􀁲6,5􀀋 􀁲􀀋
=
530
75
= 7,067 7,07
Soal UMPTN 1997
Statistika 23
2. Menghitung Rataan Hitung dengan
Menggunakan Rataan Hitung Sementara
Selain menggunakan rumus di Subbab C.1, rataan hitung
dapat pula ditentukan dengan menggunakan rataan hitung
sementara (xs). Untuk kumpulan data berukuran besar,
biasanya rataan hitung ditentukan dengan menggunakan
rataan hitung sementara sebab apabila dihitung dengan rumus
di Subbab C.1, perhitungannya akan rumit.
Langkah pertama dalam menentukan rataan hitung
dengan menggunakan rataan hitung sementara adalah menentukan
rataan sementara dari nilai tengah salah satu kelas
interval. Kemudian, semua nilai tengah pada setiap kelas
interval dikurangi rataan hitung sementara tersebut.
Setiap hasil pengurangan tersebut disebut simpangan
terhadap rataan hitung sementara itu (di). Adapun rumus untuk
mencari rataan hitung sementara adalah sebagai berikut.
x = x
f d
f
s
i i i + 􀂣
􀂣
Dalam hal ini f i = frekuensi kelas ke-i
xs = rataan hitung sementara
di = simpangan dari titik tengah kelas ke-i
dengan rataan hitung sementara.
Contoh 1.12
Tabel 1.11 menunjukkan hasil ulangan Fisika dari 71 siswa Kelas
XI SMA Merdeka. Tentukanlah rataan hitung dengan menggunakan
rataan hitung sementara.
Jawab:
Lengkapilah Tabel 1.11 dengan langkah-langkah sebagai
berikut.
1. Tentukan nilai tengah dari setiap kelas seperti berikut.
batas bawah kelas + batas atas kelas
2
2. Pilih nilai tengah dari suatu kelas sebagai rataan sementara.
Misalnya, kita pilih rataan sementara adalah nilai tengah ke-6.
Jadi, xs 􀀝
􀀋
􀀝
65 69
2
67 .
3. Untuk setiap kelas, tentukan simpangan nilai tengahnya
terhadap xs , yaitu di = xi – xs .
Interval Kelas Frekuensi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
3
4
6
8
10
11
15
6
4
2
2
Tabel 1.11
Pembahasan Soal
Perhatikan data berikut.
nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9
frekuensi 3 5 12 17 14 6 3
Seorang siswa dinyatakan
lulus jika nilai ujiannya lebih
tinggi dari nilai rata-rata
dikurangi 1. Dari data di atas,
yang lulus adalah
Jawab:
x
f x
f
i i i
k
i i
k 􀀝 􀀝
􀀝
􀂣
􀂣
1
1
=9 20 60 102 98 48 27
60
􀀋􀀋 􀀋􀀋 􀀋􀀋
= 6,07
Siswa dinyatakan lulus jika
nilainya lebih dari
6,07 – 1 = 5,07.
Jadi, jumlah yang lulus adalah
= 17 + 14 + 6 + 3 = 40 orang.
Soal Sipenmaru 1985
24 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Hasilnya tampak pada tabel berikut.
Kelas
Interval
f
i Nilai
Tengah (xi) di f i di
40–44 3 42 –25 –75
45–49 4 47 –20 –80
50–54 6 52 –15 –90
55–59 8 57 –10 –80
60–64 10 62 –5 –50
65–69 11 67 0 0
70–74 15 72 5 75
75–79 6 77 10 60
80–84 4 82 15 60
85–89 2 87 20 40
90–94 2 92 25 50
Σf = 71 Σ f i di = –90
4. Tentukan hasil kali f i di dan f d i i 􀂣 .
5. Hitung x dengan rumus x x
f d
f
s
i i i 􀂣
􀂣
x
f d
f
s
i i i 􀀝x 􀀋 􀀝 􀀋
􀀍
􀀝 􀂣
􀂣 67
90
71
65, 73
3. Modus, Median, Kuartil, dan Desil
a. Modus (Mo)
Seorang guru ingin mengetahui nilai manakah yang
paling banyak diperoleh siswanya dari data hasil ulangan
matematika. Tentunya, ia akan menentukan datum yang paling
sering muncul. Misalnya, data hasil ulangan 10 orang siswa
sebagai berikut
7 4 6 5 7 8 5,5 7 6 7
Data yang paling sering muncul disebut modus. Modus
dari data itu adalah 7 sebab nilai yang paling sering muncul
adalah 7. Modus mungkin tidak ada atau jika ada modus
tidak tunggal (lihat Contoh 1.16).
Jika data yang diperoleh berukuran besar, data perlu
dikelompokkan agar penentuan modus mudah dilakukan.
Modus dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan
menggunakan rumus berikut.
Mo =L i
d
d +d
+ 1 1 2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
Statistika 25
dengan L = batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelas
modus
d1 = selisih antara frekuensi dari kelas yang
mengandung modus dan frekuensi dari kelas
yang mendahuluinya (sebelumnya).
d 2 = selisih antara frekuensi dari kelas yang
mengandung modus dan frekuensi dari kelas
berikutnya
i = interval kelas/panjang kelas.
Telah Anda ketahui modus adalah datum yang paling
sering muncul. Prinsip ini digunakan untuk menentukan kelas
modus pada data yang dikelompokkan. Kelas modus adalah
kelas yang frekuensinya paling banyak.
1. Tentukan modus dari data berikut ini.
a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80
b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90
c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60
2. Tabel 1.2 menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71
siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari data
ter sebut.
Jawab:
1. a. Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga
kali muncul), modusnya adalah 70.
b. Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu
dua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidak
tunggal).
c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus
(mengapa?).
2. Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar
(frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.
i = 44,5 – 39,5 = 5
L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)
d1
= 15 – 11 = 4
d2 = 15 – 6 = 9
Jadi, Mo L i
d
d d
􀀝 􀀋
􀀋
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂵 􀂵 􀂵 1 1 2
= 69,5 + (5)
4
4􀀋9
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
= 69,5 + 1,54 = 71,04
Cobalah tentukan nilai modus tersebut dengan menggunakan
kalkulator. Apakah hasilnya sama?
Contoh 1.13
Interval Kelas Frekuensi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
2
2
6
8
10
11
15
6
4
4
3
Tabel 1.12
26 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Median dan Kuartil
Dari data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan
dinyatakan oleh x1, x2, …, xn, (dengan x1 < x2 < … < xn)
untuk n yang berukuran besar (yang dimaksud n berukuran
besar yaitu n ≥ 30) maka nilai ketiga kuartil, yaitu Q1 (kuartil
bawah),Q2 (median), danQ3 (kuartil atas) ditentukan dengan
rumus berikut.
• Q = x
1 1 4
􀀈n+1􀀉 • Q = x
3 3 4
􀀈n+1􀀉 • Q = x
2 1 2
􀀈n+1􀀉
Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data
berikut.
67 86 77 92 75 70
63 79 89 72 83 74
75 103 81 95 72 63
66 78 88 87 85 67
72 96 78 93 82 71
Jawab:
Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut.
No. Urut Data (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nilai Data 63 63 66 67 67 70 71 72 72 72
No. Urut Data (xi) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nilai Data 74 75 75 77 78 78 79 81 82 83
No. Urut Data (xi) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nilai Data 85 86 87 88 89 92 93 95 96 103
• Kuartil bawah (Q1) = x x x
n
1
4
1
1
4
30 1 7
3
4
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉
􀀝 􀀝 = x x x 7 8 7
3
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 71
3
4
72 71 71
3
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉􀀝
• Median (Q2) = x x x x x x
n
1
2
1
1
2
30 1 15
1
2
15 24 15
1
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉 2
􀀝 􀀝 􀀝 􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 78
1
2
􀀋 􀀈78􀀍78􀀉􀀝 78
• Kuartil atas (Q3) =x x x x x x
n
3
4
1
3
4
30 1 23
1
4
23 24 23
1
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉 4
􀀝 􀀝 􀀝 􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 87
1
4
88 87 87
1
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉􀀝
Contoh 1.14
Statistika 27
Untuk data yang dikelompokkan, nilai median (Me) dan
kuartil (Q) ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
• Q L
i
n F
f
1 1 1 1 1
􀀋 4 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
• Q L
i
n F
f
2 2 2 2 1
􀀋 2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
• Q L
i
n F
f
3 3 3 3 3
􀀋 4 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
dengan: Li = batas bawah nyata dari kelas Qi
Fi = jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas
kuartil ke-i
f i = frekuensi kelas kuartil ke-i
n = banyak data
i = panjang kelas/interval kelas
1. Q2= median
2. i pada F i dan f i
adalah sebagai indeks.
i yang berdiri sendiri
adalah sebagai panjang
kelas.
Ingatlah
Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada
Tabel.1.12.
Jawab:
Q1 =x x x 1
4
1
4
18 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q1 ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)
Q2 = x x x 1
2
1
2
36 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q2 ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)
Contoh 1.15
40 – 44 2 2
45 – 49 2 4
50 – 54 6 10
55 – 59 8 18
60 – 64 10 28
65 – 69 11 39
70 – 74 15 54
75 – 79 6 60
80 – 84 4 64
85 – 89 4 68
90 – 94 3 71
Kelas Interval Frekuensi Frekuensi Kumulatif
Q1
􀁬
Q2
􀁬
Q3
􀁬
Interval Kelas
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
2
2
6
8
10
11
15
6
4
4
3
Frekuensi
Tabel 1.12
28 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Q3 =x x x 3
4
3
4
􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉 54
􀀝 .
Jadi, kelas Q3 ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74)
Dengan demikian, Q1, Q2, Q3 dapat ditentukan sebagai berikut.
Q L
i
n F
f
1 1 1 1 1
􀀋 4 54 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀋 􀀋
􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
1
4
8
= 54 5
5
8
, 59 34
􀀋 􀀈7,75􀀉 ,
Q L
i
n F
f
2 2 2 2 1
􀀋 2 64 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀉 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
1
2
11
= 64 5
7 5
11
,
,
􀀋 􀀈5􀀉= 64,5 + 3,4 = 67,9
Q L
i
n F
f
3 3 3 3 3
􀀋 4 69 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀉 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
3
4
15
= 69 5
14 25
15
,
,
􀀋 􀀈5􀀉= 69,5 + 4,75 = 74,25
c. Desil
Untuk data sebanyak n dengan n ≥ 10, Anda dapat
membagi data tersebut menjadi 10 kelompok yang memuat
data sama banyak. Ukuran statistik yang membagi data
(setelah diurutkan dari terkecil) menjadi 10 kelompok sama
banyak disebut desil. Sebelum data dibagi oleh desil, data
harus diurutkan dari yang terkecil.
Oleh karena data dibagi menjadi 10 kelompok sama
banyak maka didapat 9 desil. Amati pembagian berikut.
xmin D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 xmak
Terdapat 9 buah desil, yaitu desil pertama(D1), desil
kedua (D2), …, desil kesembilan (D9).
Letak desil ditentukan dengan rumus berikut.
Letak ( D i) = data kei
10
􀀈n + 1􀀉
atau Di =
xi
10
􀀈n+1􀀉
Dalam hal ini i = 1, 2, 3, …, 9 dan n = banyak data.
Tugas
Coba bersama kelompok
belajar Anda selidiki,
mengapa untuk menentukan
desil, banyak data (n) harus
lebih besar dari atau sama
dengan 10 (n ≥ 10). Tuliskan
hasil penyelidikan, kemudian
kumpulkan kepada guru
Anda.
Statistika 29
Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut.
47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45
Jawab:
Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42,
43, 45, 46, 47.
Banyak data adalah n = 13.
D1 = data ke-
1 13 1
10
􀀈 􀀋 􀀉
= data ke–1, 4
= x1 + 0,4(x2 – x1)
= 33 + 0,4 (35–33)
= 33 + 0,8 = 33,8.
D5 = data ke-
5 13 1
10
􀀈 􀀋 􀀉
= data ke–7
= x7 = 40.
Jadi, desil ke -1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.
Contoh 1.16
1 + 1 + 5 + 7 dapat dilihat
pada kolom frekuensi
kumulatif (kelas 45 – 49)
Ingatlah
Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi
frekuensi, nilai desil ditentukan sebagai berikut.
Di = ( t b )Di +
i n
10
F
f
p
1 1 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
Dalam hal ini i = 1, 2, 3, …, 9
(t b )Di = tepi bawah kelas Di
Fi = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di
f i = frekuensi kelas Di
p = panjang kelas
Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel 1.13.
Jawab:
Diketahui i = 3 maka
i􀁲n
􀀝
􀁲
􀀝
10
3 40
10
12.
Desil ketiga (D3) terletak di kelas: 51–60 (karena kelas 51–60
memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).
D3 = 50,5 +
12 8
5
􀀍
.10 = 50,5 + 8 = 58, 5.
Contoh 1.17
Nilai f
i Frekuensi
Kumulatif
31–40
41–50
51–60
61–70
71–80
81–90
91–100
5
3
5
6
9
8
4
5
8
13
19
28
36
40
Tabel 1.13
30 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut:
12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11
Jawab:
x
n
􀀝 􀀈 x 􀀉
n x 􀀋 􀀋 􀀝
1 1 8
(12 + 3 + 11 + 3 + 4 + 7 + 5 + 11) = 7
S R 􀀝
12􀀍7􀀋3􀀍7􀀋11􀀍7􀀋3􀀍7􀀋4􀀍7􀀋7􀀍7􀀋5􀀍7􀀋 11􀀍 7
8
􀀝
􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋
􀀝
5 4443 02 4
8
3,25
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.
Coba Anda tentukan simpangan rata-rata tersebut dengan
menggunakan kalkulator. Apakah hasilnya sama?
Contoh 1.18
4. Simpangan Rata-Rata, Ragam,
dan Simpangan Baku
a. Simpangan Rata-Rata
Sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan
dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data tersebut dapat
ditentukan simpangan rata-rata (S R ) dengan menggunakan
rumus:
S =
n
x
x R i i=
1 n
1 􀂣
Simpangan rataan hitung
menunjukkan rataan hitung
jauhnya datum dari rataan
hitung.
Ingatlah
Untuk sekumpulan data yang dinyatakan oleh x1, x2, …,
xn dan masing-masing nilai data tersebut mempunyai frekuensi
f 1 , f 2 , …, f n diperoleh nilai simpangan rata-rata (S R ) dengan
menggunakan rumus:
S
=
f x
x
f
R i i i=
n
i 􀂣 􀀍
􀂣
1
Contoh 1.19
Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas
XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.11 Contoh 1.11.
Jawab:
Dari Contoh 1.15, diperoleh x = 65,7 (dibulatkan).
Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)
Seorang ahli matematika
Jerman, Carl Friedrich Gauss,
mempelajari penyebaran
dari berbagai macam data. Ia
menemukan istilah “Standar
deviasi” untuk menjelaskan
penye baran yang terjadi.
Para ilmuwan sekarang,
menggu na kan standar deviasi
untuk mengestimasi akurasi
pengukuran data.
Sumber: Ensiklopedi Matematika, 2002
Tokoh
Matematika
Statistika 31
Kelas
Interval
Nilai
Tengah
(xi)
f i x x i f i x x i
40 – 44 42 3 23,7 71,1
45 – 49 47 4 18,7 74,8
50 – 54 52 6 13,7 82,2
55 – 59 57 8 8,7 69,6
60 – 64 62 10 3,7 37
65 – 69 67 11 1,3 14,3
70 – 74 72 15 6,3 94,5
75 – 79 77 6 11,3 67,8
80 – 84 82 4 16,3 65,2
85 – 89 87 2 21,3 42,6
90 – 94 92 2 26,3 52,6
f i 􀂣 􀀝 71 f i x x i 􀂣 􀀝 671, 7
Jadi, simpangan rata-rata (S R ) = 671 7
71
, = 9,46.
Untuk menghitung
simpangan baku dari data
kuantitatif: 2, 5, 7, 4, 3, 11, 3
dengan kalkulator ilmiah
(fx–3600Pv) adalah sebagai
berikut.
1) Kalkulator “ON”
2) MODE 3 􀁬 Program SD
3) Masukkan data
2 data
5 data
………3
data
4) Tekan tombol x 􀁓n􀀍1.
􀁓 = 2,878491669 = 2,88
Coba Anda hitung simpangan
baku untuk Contoh Soal 1.26
dengan kalkulator. Apakah
hasilnya sama?
Ingatlah
Contoh 1.20
Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi
badannya, diperoleh data berikut:
165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.
Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.
Jawab:
x = 166
S
n
i
n
􀀝
􀀈x x􀀉 i
􀀝 􀂣
2
1
b. Simpangan Baku
Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan
dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data
tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang
ditentukan oleh rumus berikut.
S =
n
i=
n
􀀈x x􀀉 i
􀀍
􀂣 2
1
1
􀁓 􀀝
􀀈 􀀍 􀁍􀀉
􀀝 􀂣
n
i
n
2
1
untuk sampel untuk populasi
dan
32 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan,
dapat dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing data
mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , …, f n . Simpangan baku (S) dari
data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus
untuk sampel untuk populasi
dan
S =
f
n
i 2
i=
n
􀀈x x􀀉 i 􀀍
􀀍
􀂣1
1
􀁓 =
f
n
i 2
i=1
n
􀀈x 􀁍􀀉 i 􀂣 􀀍
Pada Contoh 1.20, dengan
x = 166.
1. Hitunglah
i
􀀈x x􀀉 i
􀀝 􀂣
2
1
9
.
2. Hitunglah
i
􀀈x 􀀉 i 􀀍
􀀝 􀂣
2
1
9
.
3. Hitunglah
i
􀀈x 􀀉 i 􀀍
􀀝 􀂣
2
1
9
.
4. Hitunglah
i
􀀈x 􀀉 i 􀀍
􀀝 􀂣
2
1
9
.
5. Amatilah hasil-hasil
perhitungan 1 sampai
dengan 4. Buatlah
suatu dugaan umum
(kesimpulan).
6. Uji kesimpulan Anda
dengan menghitung
i
􀀈x 􀀉 i 􀀍
􀀝 􀂣
2
1
9
.
Tantangan
untuk Anda
Hitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswa
kelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel 1.11.
Jawab:
Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh 􀁍 = 65,7.
xi f i xi 􀀍􀁍 􀀈x 􀀉 i 􀀍 2 fi 􀀈x 􀀉 i 􀂣 􀀍 2
42 3 –23,7 561,69 1.685,07
47 4 –18,7 349,69 1.398,76
52 6 –13,7 187,69 1.126,14
57 8 – 8,7 75,69 605,52
62 10 –3,7 13,69 136,9
67 11 1,3 1,69 18,59
72 15 6,3 39,69 595,35
77 6 11,3 127,69 766,14
82 4 16,3 265,69 1.062,76
87 2 21,3 453,69 907,38
92 2 26,3 691,69 1.383,38
f i 􀂣 􀀝 60 fi 􀂣 􀀈x 􀀉 i 􀀍 􀀝 2 9.685,99
Jadi, simpangan bakunya 􀁓􀀝 􀀝
9 685 99
71
11 68
.685,
, .
Contoh 1.21
􀀝
􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋 􀀋
􀀝
1169 100 36 81 16 9
9􀀍1
272
8
􀀝5,83
Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.
Statistika 33
c. Variansi (Ragam)
Untuk data yang tidak dikelompokkan ataupun data
yang dikelompokkan, diperoleh nilai variansi (v) dengan
menggunakan rumus:
untuk sampel untuk populasi
v = S2 dan v = 􀁓2
Hitunglah variansi dari data Contoh 1.26.
Jawab:
Dari hasil perhitungan Contoh 1.23 diperoleh S = 5,83 maka
v = S2 = (5,83)2 = 33,99.
Contoh 1.22
d. Koefisien Keragaman (KK)
Rumus koefisien keragaman (KK) dari sekumpulan data
x1, x2, x3, …, xn adalah
KK
S
x
􀀝 􀁲100
Dalam hal ini S = simpangan baku
x = rataan
Pak Murtono seorang pengusaha. Bidang usaha yang ia jalani
adalah penerbitan, tekstil, dan angkutan. Dalam 5 bulan terakhir,
ia mencatat keuntungan bersih ketiga bidang usahanya. Hasilnya
tampak pada Tabel 1.14.
Bidang Usaha
Penerbitan
Tekstil
Angkutan
60 116 100 132 72
144 132 108 192 204
80 260 280 72 116
Keuntungan Bersih (dalam puluhan juta rupiah)
Tabel 1.14 Keuntungan Bersih Usaha Pak Murtono Selama 5 Bulan Terakhir.
Jika Pak Murtono berpendapat bahwa bidang usaha yang akan
dipertahankan hanya dua bidang usaha dengan kriteria bidang
usaha dengan keuntungan bersih yang stabil, tentukanlah bidang
usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Jawab:
Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal
tersebut.
Diketahui : • keuntungan bersih selama 5 bulan terakhir yang
disajikan pada Tabel 1.14.
Contoh 1.22
Situs Matematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang
Statistika melalui internet
dengan mengunjungi situs
berikut.
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁆􀁍􀁆􀁂􀁓􀁏􀁊􀁏􀁈􀀏􀁈􀁖􀁏􀁂􀁅􀁂􀁓􀁎􀁂􀀏
ac.id
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁘􀁘􀁘􀀏􀁔􀁕􀁂􀁕􀁄􀁂􀁏􀀏􀁄􀁂
34 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
• bidang usaha yang dipertahankan adalah yang
memiliki keuntungan bersih yang stabil.
Ditanyakan: bidang usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalammenyelesaikan soal.
Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rataan, simpangan baku,
dan koefisien keragaman.
Langkah ke-3
Menghitung rataan, simpangan baku, dan koefisien keragaman
dari setiap bidang usaha.
􀂜 Bidang usaha penerbitan
x
x
n
􀀝 􀀝
􀀋 􀀋 􀀋 􀀋
􀀝 􀂣 60 116 100 132 72
5
96
S
n
􀀝
􀀈x x􀀉 i
􀀍
􀂣 2
1
􀀝
􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉
􀀋 2 2 2 2 5 1
2 􀀈72 􀀍 96􀀉
􀀝 􀀝
3584
4
29, 93
KK
S
x
􀀝 􀀝 􀀝
29 93
96
0 31
,
,
􀂜 Bidang usaha tekstil
x 􀀝156
S = 40,69
KK
S
x
􀀝 􀀝 􀀝
40 69
156
0 26
,
,
􀂜 Bidang usaha angkutan
x 􀀝161,6
S = 100.58
KK
S
x
􀀝 􀀝 􀀝
100 58
161 6
0 62
,
,
,
Jadi, sebaiknya Pak Murtono tidak melanjutkan usaha angkutan
karena keuntungannya tidak stabil (nilai KK paling besar).
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁎􀁆􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁎􀁐􀁅􀁖􀁔
􀁴􀀁 􀁎􀁆􀁅􀁊􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁔􀁊􀁎􀁑􀁂􀁏􀁈􀁂􀁏 􀁓􀁂􀁕􀁂􀀎􀁓􀁂􀁕􀁂
􀁴􀀁 􀁔􀁊􀁎􀁑􀁂􀁏􀁈􀁂􀁏 􀁃􀁂􀁌􀁖
􀁴􀀁 􀁅􀁆􀁔􀁊􀁍
􀁴􀀁 􀁌􀁖􀁂􀁓􀁕􀁊􀁍
􀁴􀀁 􀁅􀁊􀁂􀁈􀁓􀁂􀁎
Statistika 35
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Dari data berikut ini, tentukanlah
a. modus, median, kuartil bawah, dan
kuartil atas;
b. rataan hitung, simpangan rataan hitung,
simpangan baku, dan variansinya.
1) 5, 8, 10, 4, 8, 7, 5, 6, 3, 4
2) 55, 62, 70, 50, 75, 55, 62, 50, 70,
55, 75, 80, 48, 62
3) 165, 155, 160, 156, 168, 174, 180, 160,
165, 155, 166, 170, 156, 178, 175, 172
4) 203, 235, 224, 207, 205, 215, 230,
220, 225, 224, 230, 207, 215, 235,
225, 220, 215, 203, 220, 205
2. Tabel berikut memperlihatkan data hasil
ulangan bahasa Indonesia Kelas XI SMA
Hebat.
Interval Kelas
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
1
2
1
3
5
8
26
18
18
10
5
Frekuensi
Tentukanlah rataan hitungnya menggunakan
rataan hitung sementara.
3. Kelas XI A, XI B, dan XI C masingmasing
terdiri atas 40 orang, 39 orang,
dan 38 orang. Jika nilai rataan hitung ujian
Biologi kelas XI A, XI B, XI C masingmasing
50, 65, dan 68, hitunglah nilai
rataan hitung ujian Biologi dari seluruh
siswa kelas XI itu.
4. Nilai rataan hitung ujian Matematika
dari sekelompok siswa yang berjumlah
42 orang adalah 62,5. Jika siswa dari
kelompok itu yang bernilai 70 dan 75
tidak dimasukkan dalam perhitungan nilai
rataan hitung, berapa nilai rataan hitung
ujian matematika yang baru?
5. Nilai rataan hitung ujian Fisika Kelas XI A
yang terdiri atas 39 orang adalah 60. Jika
seorang siswa mengikuti ujian susulan,
berapakah nilai yang harus diperoleh siswa
itu agar nilai rataan hitungnya naik 0,25?
6. Hitunglah simpangan rataan hitung dari
data nilai Bahasa Indonesia kelas XI SMA
Megah pada soal nomor 2.
7. Hitunglah simpangan baku dan variansi
dari data tinggi badan siswa Kelas XI SMA
Megah pada soal nomor 7.
8. Selama dua tahun supermarket A mencatat
keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan
rupiah) sebagai berikut.
43, 35, 57, 60, 51, 45, 60, 43, 48, 55, 57, 45,
43, 35, 48, 45, 55, 65, 51, 43, 55, 45, 65, 55
Dalam jangka waktu yang sama supermarket
B mencatat keuntungan setiap
bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai
berikut.
67, 78, 70, 83, 80, 56, 70, 81, 45, 50, 81, 56,
70, 55, 70, 61, 51, 75, 55, 83, 67, 54, 68, 54
Jika pada bulan tertentu pengusaha supermarket
A memperoleh keuntungan 75 juta,
sedangkan supermarket B memperoleh
keuntungan 84 juta, pengusaha mana yang
berhasil? Jelaskan.
9. Dari 50 orang siswa diambil sampel secara
acak 15 orang untuk diukur tinggi badannya,
diperoleh data sebagai berikut.
157 172 165 148 173 166 165 160
155 172 157 162 164 165 170
Hitunglah:
a. rataan hitung,
b. simpangan baku, dan
c. variansinya.
10. Pak Amran dan Pak Kadi masing-masing
memiliki lima ekor kambing. Berat
rataan hitung kambing Pak Amran 36 kg,
sedangkan berat rataan hitung kambing
Pak Kadi hanya 34 kg. Seekor kambing
36 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Pak Kadi ditukarkan dengan seekor
kambing Pak Amran sehingga berat rataan
hitung kambing Pak Kadi sama dengan
berat rataan hitung kambing Pak Amran.
Tentukan selisih berat kambing yang
ditukarkan itu.
11. Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,
apa yang dimaksud modus, mean, median,
kuartil, dan desil. Jelaskan pula perbedaan
dan manfaatnya.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 1,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda amat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Refleksi
• Rataan dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi
oleh banyak data.
Rumus rataan sebagai berikut.
- Untuk data tunggal
x
x
n
= i
Sx , dengan xi = data ke-i
x = rataan
n = banyak data
- Untuk data yang dikelompokkan x
f x
f
i i i =
Sf
Sf
,
dengan f i = frekuensi data xi.
• Modus adalah datum yang paling sering muncul.
Rumus modus sebagai berikut. Untuk data yang dikelompokkan
Mo = L +
d
d d
1
1 2 Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
i
Dalam hal ini,
Mo = modus
L = tepi bawah dari kelas modus.
d1 = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung
modus dan frekuensi dari kelas sebelumnya.
d 2 = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung
modus dan frekuensi dari kelas berikutnya.
i = interval kelas.
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Statistika 37
Tes Kompetensi Bab 1
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Nilai rataan hitung sekelompok siswa
yang berjumlah 40 orang adalah 51. Jika
seorang siswa dari kelompok itu yang
mendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalam
perhitungan rataan hitung tersebut maka
nilai rataan hitung ujian akan menjadi ….
a. 50 d. 47
b. 49 e. 46
c. 48
2. Nilai Bahasa Indonesia dari 10 orang
siswa yang diambil secara acak adalah 3,
4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Pernyataan berikut
yang benar adalah ….
(1) rataan hitungnya = 6
(2) mediannya = 6,5
(3) modus = 7
(4) jangkauan = 6
Pernyataan yang benar adalah ….
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. Semua benar
3. Simpangan rataan hitung data 10, 10, 9,
8, 8, 7, 7, 6, 6, 5 adalah ….
a. 7,6 d. 2,2
b. 6,6 e. 1,4
c. 2,8
4. Simpangan rataan hitung data x1, x2, … ,
x10 adalah 2,29. Jika setiap data ditambah
satu maka simpangan rataan hitungnya
adalah ….
a. 0,29 d. 2,39
b. 1,29 e. 4,58
c. 2,29
5. Tes Matematika diberikan kepada tiga
kelas siswa berjumlah 100 orang. Nilai
rataan hitung kelas pertama, kedua, dan
ketiga adalah 7,8, dan 7,5. Jika banyaknya
siswa kelas pertama 25 orang dan kelas
ketiga 5 orang lebih banyak dari kelas
kedua, nilai rataan hitung seluruh siswa
adalah ….
a. 7,65 d. 7,68
b. 7,66 e. 7,69
c. 7,67
6. Nilai rataan hitung pada tes Matematika
dari 10 siswa adalah 55 dan jika digabung
lagi dengan 5 siswa, nilai rataan hitung
menjadi 53. Nilai rataan hitung dari 5
siswa tersebut adalah ….
a. 49 d. 50,5
b. 49,5 e. 51
c. 50
7. Dari empat bilangan diketahui bilangan
yang terkecil adalah 30 dan yang terbesar
58. Rataan hitung hitung keempat bilangan
itu tidak mungkin ….
(1) 51
(2) 48
Pernyataan yang benar adalah ….
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. Semua benar
8. Untuk kelompok bilangan
2, 3, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11
(1) modus lebih dari rataan hitung
(2) median kurang dari rataan hitung
(3) modus = median
(4) modus = rataan hitung
Pernyataan yang benar adalah ….
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. Semua benar
38 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
9. Untuk memudahkan perhitungan, semua
nilai data pengamatan dikurangi 1300.
Nilai-nilai baru menghasilkan jangkauan
28, rataan hitung 11,7, simpangan kuartil
7,4 dan modus 12. Data aslinya mempunyai
….
(1) rataan hitung = 1311,7
(2) jangkauan = 28
(3) modus = 1312
(4) simpangan kuartil = 657,4
Pernyataan yang benar adalah ….
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
d. (4)
e. Semua benar
10. Tabel berikut memperlihatkan distribusi
frekuensi yang salah satu frekuensinya
belum diketahui.
Data
0
2
3
4
5
1
3
2
?
1
Frekuensi
Rataan hitung yang mungkin dari data itu
adalah ….
a. 0 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
11. Pernyataan yang benar berdasarkan tabel
distribusi frekuensi berikut adalah ….
Data
2
4
6
8
4
3
2
2
Frekuensi
a. modus < median < mean
b. mean = median
c. modus < mean < median
d. mean < median < modus
e. median < modus < mean
12. Jika jangkauan data 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4,
x sama dengan rataan hitungnya maka
nilai x adalah ….
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
13. Diketahui data 1, 2, 3, 3, 4, 1, x.
Jika mean = median = 2 maka nilai x
adalah ….
a. 0 d. 1,5
b. 0,5 e. 2
c. 1
14. Median dari data yang disajikan histogram
berikut adalah ….
a. 60,5 d. 67,5
b. 65 e. 70,5
c. 65,5
15. Empat kelompok siswa yang masingmasing
terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orang
menyumbang korban bencana alam.
Rataan hitung sumbangan masing-masing
kelompok adalah Rp4.000,00; Rp2.500,00;
Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Rataan
hitung sumbangan setiap siswa seluruh
kelompok itu adalah ….
a. Rp2.025,00 d. Rp1.625,00
b. Rp1.925,00 e. Rp1.550,00
c. Rp1.750,00
16. Diketahui data x1, x2, …, x10. Jika setiap
nilai data ditambah 10 maka ….
(1) rataan hitungnya ditambah 10
(2) simpangan rataan hitungnya tetap
(3) mediannya ditambah 10
(4) modusnya tetap
Pernyataan yang benar adalah ….
a. (1), (2), dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4)
30,5
4
6
20
18
14
45
40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5
Frekuensi
Statistika 39
d. (4)
e. semua benar
17. Data tinggi badan 30 siswa sebagai
berikut.
168 159 159 161 158 158 161 158
162 159
155 169 163 159 157 156 161 161
163 162
187 162 158 159 154 188 160 187
162 168
Rataan hitung dari data di atas adalah ….
a. 163,13 d. 166,20
b. 164,13 e. 167,5
c. 165,03
18. Gaji rataan hitung pegawai suatu
perusahaan Rp250.000,00. Gaji rataan
hitung pegawai prianya Rp260.000,00,
sedangkan gaji rataan hitung pegawai
wanitanya Rp210.000,00. Berapakah
perbandingan jumlah pegawai pria dan
pegawai wanita perusahaan itu?
a. 1 : 9 d. 3 : 2
b. 1 : 4 e. 4 : 1
c. 2: 3
19.
Frekuensi 20 40 70 a 10
Nilai Ujian Matematika 4 5 6 8 10
Dalam tabel di atas, nilai rataan hitung
ujian matematika adalah 6. Oleh karena
itu, a adalah ….
a. 0 d. 20
b. 5 e. 30
c. 10
20. Kuartil bawah dari data pada tabel distribusi
frekuensi berikut adalah ….
Nilai
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
1
3
11
21
43
32
9
Frekuensi
a. 66,9 d. 66,1
b. 66,6 e. 66,0
c. 66,2
21. Tabel berikut memperlihatkan suatu
pengukuran. Rataan hitungnya adalah ….
xi
5 3 1 10
f i 2 3 1 2
a. 1 d. 8
b. 3 e. 9
c. 4
22. Rataan hitung dari data berikut adalah ….
Nilai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11
Frekuensi 1 2 1 3 1 1 2 1 2 1
a. 4,5 d. 6
b. 5,0 e. 6,5
c. 5,5
23. Simpangan baku dari data 3, 6, 6, 2, 6, 2,
1, 1, 5, 3 adalah ….
a. 1,6 d. 2,3
b. 1,9 e. 2,4
c. 2,1
24. Simpangan kuartil dari data tabel berikut
adalah ….
a. 1,2 d. 4,8
b. 2,5 e. 5,9
c. 3,4
Nilai
1 – 10
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
2
4
25
47
17
5
Frekuensi
40 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Dari data berikut, tentukan ukuran terkecil,
ukuran terbesar, median, kuartil bawah,
kuartil atas, jangkauan data, dan jangkauan
antarkuartil.
a. 75, 65, 50, 48, 72, 60, 75, 80, 48, 70, 55
b. 165, 158, 164, 173, 168, 160, 172,
156, 170, 164, 169, 155, 168
c. 212, 225, 220, 217, 224, 208, 222,
205, 220, 210, 205, 215
d. 315, 300, 306, 325, 320, 315, 330,
312, 325, 310, 320, 318, 305, 317
2. Suatu keluarga mempunyai lima orang anak.
Anak termuda berumur t tahun dan yang
tertua 2(2t – 1) tahun. Tiga anak yang lain
masing-masing berumur (t + 2) tahun, (2t
+ 1) tahun, dan (3t – 1) tahun. Jika rataan
hitung umur mereka 8,8 tahun, tentukan
umur anak termuda dan tertua.
3. Tabel berikut menunjukkan data tinggi
badan Kelas XI SMA Megah.
Interval Kelas
147 – 151
152 – 156
157 – 161
162 – 166
167 – 171
172 – 176
9
5
10
28
27
12
Frekuensi
Tentukanlah:
a. modus
b. median, kuartil bawah, dan kuartil
atas
c. rataan hitungnya.
4. Tabel berikut menunjukkan data tabungan
domestik (dalam triliun rupiah) per
triwulan dari tahun 1993–1998.
Tri
wulan
I
II
III
IV
18,9
25,2
25,5
29,9
1993
Sumber: BPS, 1998
23,7
24,4
29,1
32,7
1994
28,6
29,1
38,5
43,8
1995
34,5
39,1
39,5
39,4
1996
46,9
50,7
69,6
61,6
1997 1998
Tahun
19,0
19,6
21,3
23,5
a. Buatlah diagram garisnya (tidak
setiap tri wulan).
b. Pada triwulan dan tahun berapa
tabungan domestik terbesar?
Jelaskan.
c. Pada triwulan dan tahun berapa
tabungan domestik terkecil?
Jelaskan.
d. Berapa kali tabungan domestik
mengalami penurunan? Jelaskan.
5. Dalam suatu ujian yang diikuti 42 orang
diperoleh rataan nilai ujian 30, median
35, dan simpangan baku 8. Oleh karena
rataannya terlalu rendah, semua nilai
dikalikan 2, kemudian dikurangi 5.
a. Hitung rataan nilai yang baru.
b. Hitung median yang baru.
c. Hitung simpangan baku baru.
Bab2
41
Peluang Sumber: Dokumentasi Penerbit
Anda telah mempelajari konsep peluang di Kelas IX.
Pada pembahasan tersebut telah dipelajari tentang ruang
sampel dan menghitung peluang suatu kejadian. Pada bab ini,
materi akan dikembangkan sehingga Anda memahami konsep
permutasi, kombinasi, dan peluang kejadian majemuk.
Teori peluang, lahir pada abad pertengahan di Prancis.
Saat ini teori peluang banyak digunakan di berbagai bidang,
seperti asuransi, bisnis, biologi, olahraga, dan kesehatan.
Salah satunya dapat Anda simak pada uraian berikut ini.
Dari hasil penelitian di suatu kota “X” terhadap 1.000
anak diperoleh data sebagai berikut.
• Peluang anak yang diberi ASI adalah 90%.
• Peluang anak yang mendapatkan imunisasi campak
adalah 60%.
• Peluang anak yang mendapatkan vaksin Polio adalah
80%.
Dengan menggunakan konsep peluang, Anda dapat
menentukan anak yang mendapatkan imunisasi Campak
dan vaksin Polio.
A. Kaidah Pencacahan
B. Peluang Suatu
Kejadian
C. Kejadian Majemuk
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
kaidah pencacahan untuk menentukan peluang suatu kejadian
dan penafsirannya dengan cara menggunakan sifat dan aturan
perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah,
menentukan ruang sampel suatu percobaan, serta menentukan
peluang suatu kejadian dan menafsirkannya.
42 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Hitunglah
a. 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3
b.
1
2
4
25
3
25
􀀋 􀀍
c. 3
4
3
4
3
4
3
4
􀁲 􀁲 􀁲
2. Faktorkanlah suku tiga berikut.
a. n2 – n – 56
b. n2 + 3n – 70
3. Jabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini.
a. (x + y)2 c. (x + y)4
b. (x + y)3 d. (x + y)5
4. Peluang seorang penduduk di suatu Rukun
Warga (RW) menjadi anggota koperasi
adalah 75%. Jika jumlah penduduk RW
itu ada 2.000 orang, berapa orang yang
menjadi anggota koperasi?
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Peluang
Pencacahan
terdiri berhubungan dengan diri atas
terdiri atas
Aturan
Perkalian Permutasi
Kejadian
Majemuk
Kejadian
Sederhana
menggunakan
Perkalian
Peluang
Peluang
Komplemen
Peluang
Gabungan
Saling
Bebas
Saling
Bergantung
Saling
Lepas
Tidak Saling
Lepas
terdiri atas
jenisnya jenisnya
P(A B)
= P(A) + P(B)
– P(A B)
P(A B)
= P(A) + P(B)
P(A B)
= P(A) × P(B | A)
P(A B)
= P(A) × P(B)
rumus rumus rumus rumus
Kombinasi
Teori
Peluang
Peluang 43
A. Kaidah Pencacahan
1. Aturan Perkalian
Misalkan, dari 3 orang siswa, yaitu Algi, Bianda, dan
Cahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris,
dan bendahara dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh
merangkap jabatan pengurus kelas. Banyak cara 3 orang
dipilih menjadi pengurus kelas tersebut akan dipelajari
melalui uraian berikut.
Amati Gambar 2.1.
a. Untuk ketua kelas (K)
Posisi ketua kelas dapat dipilih dari 3 orang, yaitu Algi
(A), Bianda (B), atau Cahyadi (C).
Jadi, posisi ketua kelas dapat dipilih dengan 3 cara.
b. Untuk Sekretaris (S)
Jika posisi ketua kelas sudah terisi oleh seseorang maka
posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 orang yang
belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 2 cara.
c. Untuk Bendahara (H)
Jika posisi ketua kelas dan sekretaris sudah terisi maka
posisi bendahara hanya ada satu pilihan, yaitu dijabat oleh
orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi bendahara dapat dipilih dengan 1 cara.
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk
memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah
3 × 2 × 1 = 6 cara.
Uraian tersebut akan lebih jelas apabila mengamati skema
berikut.
C A BCA
A B CAB
C
B A CBA
3 × 2 × 1 = 6
C B ACB
A C BAC
K S H Hasil yang Mungkin
B C ABC
A
B
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan aturan
perkalian? Cobalah nyatakan aturan perkalian itu dengan
kata-kata Anda sendiri.
Gambar 2.1
Algi (A) Bianda (B) Cahyadi (C)
Ketua kelas
(K)
Sekretaris
(S)
Bendahara
(H)
44 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Faktorial
Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan
untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat
adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.
Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca
3 faktorial). Jadi,
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Dengan penalaran yang sama
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720
Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.
Aturan Perkalian
Misalkan,
• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;
• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;
• operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.
Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalah
n = n1 × n2 × n3 … × nk.
Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang
tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas
SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah
pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).
Jawab:
• Untuk posisi tekong.
Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas
yang tersedia.
• Untuk posisi apit kiri.
Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet
lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).
• Untuk posisi apit kanan.
Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13
atlet yang ada ( 2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi
tekong dan apit kiri).
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih
posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730
cara.
Contoh 2.1
Apabila terdapat n buah
tempat yang akan diduduki
oleh n orang, terdapat:
n × (n – 1) × (n – 2) × … × 1
cara orang menduduki
tempat tersebut.
Ingatlah
Peluang 45
Definisi 2.1
a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) … × 3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli,
untuk n ≥ 2.
b. 1! = 1
c. 0! = 1
1. Hitunglah
a. 7! b. 17
0 6
!
!16!
c. 12
2
!
!8!
d. 8
5
!
!
2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial:
a. 157 × 156 × 155 b. 8!(9 × 10) c. n(n – 1)(n – 2)
3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!
Jawab:
1. a. 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040
b. 17
0 6
17 16
1 16
17
!
!6!
!
!
􀀝
􀂕
􀀝
c. 12
2
12 11 10 9
8
2
12 11 10 9
1 2
5 9
!
!8!
!
!8!
􀀝
􀁲􀁲 􀀝
􀁲􀁲 􀁲
􀀝 40
d.
8
5
8 7
6 5
5
8 7 6 336
!
!
!
!
􀀝
􀁲􀀝 􀁲􀀝
2. a. 157 × 156 × 155 =
157 156 155 1
154 153 1
157
154
􀁲􀁲􀁲 􀁲
􀁲􀁲 􀁲
􀀝


!
!
b. 8!(9 × 10) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)(9 × 10) = 10!
c. n(n – 1)(n – 2) =
n􀀈n 􀀍 􀀉􀀈n 􀀉􀀈n 􀀍 􀀉 n
􀀈n 􀀉􀀈n 􀀉
􀀝
􀀈n 􀀉
1
􀀍 1 􀀍


!
!
3. (n + 3)! = 10(n + 2)! 􀂙 (n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)!
􀂙 n + 3 = 10 0
􀂙 n = 7
Contoh 2.2
3. Permutasi
Dalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih
3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara.
Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan
sebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A,
B, C, dan D. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisi
sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendahara
dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan
untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidat
adalah 4 × 3 × 2 = 24 cara. Uraian tersebut akan lebih jelas
apabila Anda mengamati skema berikut.
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 2.2
Calon pengurus kelas
46 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Gambar 2.3
Diagram pohon untuk pemilihan
3 pengurus kelas dari 5 calon
yang ada.
Urutan ABC C berbeda dengan
urutan ACB. Dalam urutan
ABC, sekretaris adalah B.
Dalam urutan ACB, sekretaris
adalah C.
Ingatlah
Ketua Sekretaris Bendahara Hasil yang mungkin
B
A
A
A
C
C
B
B
A
B
C
D
D
D
D
C
C
C
B
B
D
D
D
C
B
A
A
A
D
D
D
C
B
A
A
A
C
C
B
B
ABC
BAC
CAB
DAB
ABD
BAD
CAD
DAC
ACB
BCA
CBA
DBA
ACD
BCD
CBD
DBC
ADB
BDA
CDA
DCA
ADC
BCD
CDB
DCB
Peluang 47
Dari skema tersebut diperoleh 24 susunan 3 unsur,
yaitu
ABC ABD ACB ACD ADB ADC
BAC BAD BCA BCD BDA BCD
CAB CAD CBA CBD CDA CDB
DAB DAC DBA DBC DCA DCB
Tampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikan
urutannya. ABC adalah suatu permutasi, ACB juga suatu
permutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 24 susunan
itu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannya
disebut permutasi. Dari uraian tersebut dapatkah Anda
menduga pengertian permutasi? Cobalah nyatakan pengertian
permutasi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah
Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 2.2
Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang
berbeda tanpa adanya pengulangan.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur
adalah
4 × 3 × 2 = 24.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur
dapat ditulis
P(4 , 3) = 4 × 3 × 2 =
4 3 2 1
2 1
􀁲 4
􀀝
􀀈4 3􀀉
!
!
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat
dipelajari melalui Tabel 2.1.
Tabel 2.1
Tempat ke- 1 2 3 … r …
Banyak Cara n n(n – 1) n(n – 1) (n – 2) … n(n – 1) (n – 2)…(n – (r – 1)) …
Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yang
diambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalah
P(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))
Untuk r = 1, maka
P(n, 1) = n
Untuk r = 2, maka
P(n, 2) = n (n – 1)
=
n􀀈n 􀀍 􀀉􀀈n 􀀉􀀈n 􀀍 􀀉 􀀈 􀀉􀀈 􀀉􀀈
􀀉
􀀈n 􀀉 􀀈n 􀀉
􀀍

… …
!
􀀈3􀀉􀀈2􀀉􀀈1􀀉 !
􀀝
􀀈 􀀉 2
n
Soal Terbuka
Buatlah sebuah soal
permutasi yang berbeda
dengan soal yang ada di buku
ini. Berikan soal ini ke teman
untuk diselesaikan dan beri
komentar.
Notasi P(n, k) dapat juga
ditulis dengan Pk Pn .
Ingatlah
48 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Untuk r = 3 maka
P(n, 3) = n (n – 1)(n – 2)
= n􀀈n 􀀍 􀀉􀀈n 􀀉􀀈n 􀀍 􀀉􀀈n 􀀉 􀀈 􀀉􀀈
􀀉􀀈 􀀉
􀀈n 􀀉
􀀍 … …􀀈n 􀀍 4􀀉 􀀈3􀀉􀀈2􀀉􀀈1􀀉
􀀝
… 􀀈 􀀍 3􀀉
!
!
n
Untuk r = k, diperoleh
P(n, k) = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) … (n – (k – 1))
=n􀀈n 􀀍 􀀉􀀈n 􀀉􀀈n 􀀍 􀀉…􀀈n 􀀈k 􀀍 􀀉􀀉􀀈n k􀀉􀀈n 􀀈k 􀀋 􀀉􀀉…

􀀈3􀀉􀀈2􀀉􀀈1􀀉
􀀈 􀀍 􀀉􀀈 􀀍􀀈 􀀋1􀀉􀀉 􀀈3􀀉􀀈2􀀉􀀈1􀀉
= n!
􀀈n k􀀉!
Untuk r = n, diperoleh
P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n!
Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur
adalah
P =
n 􀀈n, k􀀉
􀀈n – k􀀉
!
!
dengan k ≤ n
1. Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan
jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara
untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga
tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.
Jawab:
P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak
wiraniaga terpilih).
P
n
P
!
!
!
! !
􀀈n, k􀀉􀀝
􀀈n k􀀉
􀂙 􀀈 , 􀀉􀀝
􀀈 􀀉
􀀝
􀁲
􀀝
3
􀀍
3􀁲2 1
6
Jadi, terdapat 6 cara.
Coba Anda tentukan ke-6 susunan yang mungkin tersebut.
2. Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri
atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilanganbilangan
tersebut yang kurang
a. dari 500 b. dari 600
Jawab:
a. Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka
angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu
angka 4. Salah satu susunan yang mungkin dapat Anda
lihat pada Gambar 2.4.
Amati gambar 2.5.
Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8.
Ini berarti Anda harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu
P(4,2) =
4 4
2
12
!
!
!
􀀈4 2􀀉 !
􀀝 􀀝 .
Contoh 2.3
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 2.4
Salah satu susunan yang
mungkin. Dapatkah Anda
menentukan susunan lainnya?
puluhan
satuan
diisi
4
Gambar 2.5
Peluang 49
Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500.
Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.
Sekarang, coba Anda buktikan hal ini dengan menggunakan
kartu angka. Tentukan pula susunan-susunan yang mungkin.
b. Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka
ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5.
4 􀁬 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6,
7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).
5 􀁬 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4, 6,
7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).
Banyak bilangan yang kurang dari 600 adalah
2 × P(4,2) = 2
4
2
4 3 2 1
2 1
􀁲 24
􀀈4 2􀀉
􀀝
􀂕
􀀝
!
.
Jadi, terdapat 24 bilangan yang kurang dari 600.
a. Permutasi Beberapa Unsur yang Sama
Pada kata “BUKU” terdapat dua huruf yang sama, yaitu
U. Permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU” dapat Anda
amati pada diagram pohon di samping.
Coba Anda buat diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K,
dan U. Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram
pohon tersebut adalah sebagai berikut.
1. BUKU 6. BUUK 11. UBUK 16. KBUU 21. UUBK
2. BUUK 7. UKBU 12. UBKU 17. KUUB 22. UUKB
3. BKUU 8. UKUB 13. KUBU 18. KUBU 23. UKBU
4. BKUU 9. UUBK 14. KUUB 19. UBUK 24. UKUB
5. BUKU 10. UUKB 15. KBUU 20. UBKU
Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak ada
beberapa susunan huruf yang sama sehingga permutasinya
menjadi:
1. BUKU 4. UKBU 7. UUKB 10. KUBU
2. BUUK 5. UKUB 8. UBUK 11. KUUB
3. BKUU 6. UUBK 9. UBKU 12. KBUU
Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU”
adalah 12 atau 12 = 4 × 3 =
4 3 2 1
2 1
4
2
􀁲
􀀝
!
!
.
Sekarang, selidikilah permutasi untuk kata MAMA dengan
menggunakan diagram pohon. Jika Anda melakukan dengan
benar, terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu MAMA,
MAAM, MMAA, AMMA, AMAM, dan AAMM, karena kata
“MAMA” mempunyai dua pasang huruf yang sama.
Banyak permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasang
unsur sama, yaitu M dan dua unsur lainnya, yaitu A adalah
6 3 3 2 1
4 3 2 1
4
4 3 2 1 4
2 2
􀀝 􀁲 􀀝
􀁲
􀀝
􀁲
􀀈2 1􀀉􀀈2 1􀀉
! 􀀝
!
! !
.
B
K U BUKU
U
U K BUUK
U U BKUU
K
U U BKUU
K U BUKU
U
U K BUUK
50 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l1 unsur
jenis pertama, l2 unsur jenis kedua, l3 unsur jenis ketiga, dan
lk unsur jenis ke-k yang sama adalah
P(n, l1, l 2 … l k ) =
n
I Ik
!
!I
!… ! 1 2 Tentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari katakata
berikut.
1. JAYAPURA 2. MATEMATIKA
Jawab:
1. Pada kata “JAYAPURA”, terdapat 3 buah A yang sama
sehingga permutasinya adalah P(8, 3) =
8
3
!
!
= 6.720.
2. Pada kata “MATEMATIKA” terdapat 2 buah M, 3 buah A,
dan 2 buah T yang sama sehingga permutasinya adalah
P(10, 2, 3, 2)=
10
2 3 2
!
!3! !
=
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
151
􀁲 􀁲 􀁲
􀀈2 1􀀉􀀈3 2􀁲1􀀉􀀈2􀁲1􀀉
􀀝 .200
Contoh 2.4
b. Permutasi Siklis
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara
melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasi
siklis.
Pada Gambar 2.6 posisi 1 dan posisi 2 menunjukkan
permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran
jarum jam. Coba Anda amati Gambar 2.5, apakah susunan
pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2? Apabila
Anda mengamati dengan saksama maka
posisi 1 = posisi 2
Jadi, permutasi siklis dua unsur mempunyai satu cara.
Pada permutasi siklis dua unsur, satu unsur ditetapkan
sebagai titik acuan. Sementara, satu unsur yang lainnya
ditempatkan dalam 1! cara atau (2 – 1)! cara.
Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajari
uraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orang
masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang
tersebut sedang membaca di meja bundar. Banyak cara
keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat
diterangkan sebagai berikut.
Posisi 1
A B
Posisi 2
B A
Gambar 2.6
Peluang 51
Keterangan: huruf yang diwarnai dianggap sebagai titik pangkal.
A
B
C D
A
C
D B
A
D
C B
A
B
D C
A
D
B C
A
C
B D
A
B C
D
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 2.7
Contoh permutasi siklis
Dengan cara yang sama, Anda dapat membuat formasi
lingkaran untuk titik pangkal B, C, dan D. Hasil dari seluruh
formasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.
1. ABCD 7. BACD 13. CABD 19. DABC
2. ABDC 8. BADC 14. CADB 20. DACB
3. ACBD 9. BCAD 15. CBAD 21. DBAC
4. ACDB 10. BCDA 16. CBDA 22. DBCA
5. ADBC 11. BDAC 17. CDAB 23. DCAB
6. ADCB 12. BDCA 18. CDBA 24. DCBA
Amati bahwa ada susunan-susunan yang sama, yaitu
ABCD =BCDA =CDAB =DABC ACDB =BACD =CDBA = DBAC
ABDC =BDCA = CABD =DCAB ADBC = BCAD =CADB =DBCA
ACBD = BDAC = CBDA = DACB ADCB = BADC = CBAD = DCBA
Dengan demikian, dari 24 susunan tersebut terdapat 6
susunan yang berbeda, yaitu ABCD, ABDC, ACBD, ACDB,
ADBC, dan ADCB. Jadi, banyak permutasi siklis dari 4 unsur
ada 6.
Pada permutasi siklis dari 4 unsur, ditetapkan satu unsur
sebagai titik pangkal, kemudian 3 unsur lainnya ditempatkan
dalam 3! cara atau (4 – 1)! cara. Permutasi siklis 4 unsur
adalah (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara.
Susunan manik-manik pada kalung mirip susunan
melingkar, tetapi berbeda dengan permutasi siklis. Pada
permutasi siklis, arah putaran diperhatikan, sedangkan pada
susunan manik-manik dalam kalung arah putaran tidak
diperhatikan. Amati Gambar 2.7.
Dari gambar, susunan manik-manik pada posisi 1 adalah
ABC atau ditulis ACB. Adapun susunan manik-manik pada
posisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC.
B
A C
D
Susunan pada gambar (a) dan
gambar (b) adalah sama karena
unsur A dekat dengan D dan B,
meskipun titik acuan berbeda.
Ingatlah
A
D
B
C
52 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Posisi (2)
Posisi (1)
A
B
C
A
C
B
Gambar 2.8
Susunan manik-manik pada Gambar 2.8 adalah sama.
Oleh karena itu, banyak cara menyusun 3 manik-manik
dalam kalung adalah 1 susunan. Banyaknya cara yang
digunakan untuk menyusun 3 manik-manik dalam kalung
adalah setengah dari banyak permutasi siklis 3 unsur, yaitu
1 susunan atau
2
􀀈3 1􀀉!.
Untuk n unsur, apabila disusun seperti manik-manik
dalam kalung terdapat 􀀈n 􀀍 􀀉
2
! susunan yang berbeda.
1. Delapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah meja
bundar untuk membahas sebuah proyek tertentu. Berapa
banyak cara agar para ilmuwan dapat duduk melingkar dengan
urutan yang berbeda?
2. Dua puluh lima mutiara akan dibuat sebuah kalung. Ada
berapa cara mutiara-mutiara itu dapat disusun?
Jawab:
1. Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8–1)! = 7! = 5.040
cara.
2. Banyaknya cara mutiara itu dapat disusun menjadi sebuah
kalung adalah
2
24
2
􀀈25 􀀍1􀀉
􀀝
!
cara.
Contoh 2.5
Kombinasi ABC sama dengan
kombinasi CBA atau ACB.
Ingatlah
4. Kombinasi
Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari
5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain
halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk
mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang
tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua,
sekretaris, dan bendahara. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian
berikut.
Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk
mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang
tersebut dapat diterangkan sebagai berikut.
Dari Subbab A.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur
dari 5 unsur, yaitu
ABC ADE BCD CAB CDE DBC EAB ECD
ABD AEB BCE CAD CEA DBE EAC EDA
ABE AEC BDA CAE CEB DCA EAD EDB
ACB AED BDC CBA CED DCB EBA EDC
Peluang 53
ACD BAC BDE CBD DAB DCE EBC
ACE BAD BEA CBE DAC DEA EBD
ADB BAE BEC CDA DAE DEB ECA
ADC BCA BED CDB DBA DEC ECB
Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba
debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan
itu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan
tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD,
BCE, BDE, dan CDE.
Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut
kombinasi.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian
kombinasi? Cobalah nyatakan pengertian kombinasi
dengan kata-kata Anda sendiri.
Konsep pengertian kombinasi yang telah Anda pelajari
tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 2.3
Kombinasi r unsur dari n unsur ialah himpunan bagian r unsur
yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan
penyusunan unsur tidak diperhatikan.
Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur dilambangkan
dengan Cn
r atau
n
r
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 atau C =(n, r).
a. Menentukan Banyak Kombinasi
Telah diketahui bahwa banyaknya kombinasi 5 unsur
berlainan jika disusun sebanyak 3 unsur adalah 5 4
2
= 10
cara .
Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur ditulis
C5
3 5 4
2
5 4 3 2 1
2 3 2 1
5
3
􀀝 􀀝
􀁲 􀁲
􀁲
􀀝
􀀈5 3􀀉
!
!3!
Uraian tersebut memberi gambaran mengenai banyaknya
kombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsur
yang dirumuskan
C =
n
r
=
n!
r! ! 5
3 􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂵 􀂵 􀂶 􀂵 􀀈 􀀉 n
r
dengan r < n
Soal Terbuka
Jelaskan perbedaan antara
permutasi dan kombinasi. Beri
contoh untuk memperjelas
uraian Anda.
54 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Binomial Newton
Di SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkan
bentuk perpangkatan berikut.
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2+ 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya.
Bagaimana menjabarkan (a+b)15? Untuk menyelesaikannya
Anda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatan
tersebut.
Pembahasan Soal
Suatu pertemuan dihadiri
oleh 15 orang undangan.
Jika mereka saling berjabat
tangan, banyak jabat
tangan yang terjadi dalam
pertemuan itu adalah ….
Jawab:
Banyak jabat tangan = C(15,2)
=
15
2
105
!
!13!
􀀝
Soal Ebtanas 2000
Pembahasan Soal
Banyaknya segitiga yang
dapat dibuat dari 7 titik tanpa
ada tiga titik yang terletak
segaris adalah ….
Jawab:
Membuat segitiga dengan
memilih 3 titik dari 7 titik
yang tersedia adalah masalah
kombinasi C(7, 3). Jadi,
banyaknya segitiga = C(7,3)
=
7
3
7 6 5 4
3 2 1 4
35
!
!4!
!
!
􀀝
􀁲
􀁲
􀀝
Soal UMPTN 2000
Kerjakan soal-soal berikut.
1. Diketahui Cn
2 = 4n, tentukanlah nilai n.
2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas
11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.
Jawab:
1. C n
n
n n
2 4
2
􀀝 􀂙 4
􀀈 􀀉
􀀝
!
!n 2!
􀂙
􀀈
􀀍 􀀉􀀈 􀀉
􀀈 􀀉
􀀝
nn
􀀍
2
4
!
!􀀍 !
􀂙
􀀈
􀀍 􀀉
􀀝
nn
1 2 􀂕
4
􀂙 n(n – 1) = 8n
􀂙 n2 – n = 8n
􀂙 n2 – 9n = 0
􀂙 n(n – 9) = 0
Oleh karena n ≥ r maka yang memenuhi adalah n = 9.
2. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi
karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11
orang siswa dari 20 siswa, yaitu C20
11.
C20
11 20
11
20
11 9
20 19 18 17 1
􀀝
􀀈 􀀉
􀀝
􀀝
􀁲􀁲􀁲 􀁲
!
!20 􀀍11!
!
!9!
6 15 14 13
12 11
11
􀀈9 8􀁲7 6 5􀁲4 3􀁲2 1􀀉
!
!
= 167.960
Coba Anda tentukan susunannya dengan diagram pohon.
Contoh 2.6
Peluang 55
Amati dengan saksama koefisien-koefisien bentukbentuk
perpangkatan tersebut. Apabila koefisien-koefisien
dari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram,
diperoleh
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
dan seterusnya.
Diagram itu dikenal dengan nama Segitiga Pascal. Amati
pola Segitiga Pascal tersebut.
Baris ke-1:
Baris ke-2:
Baris ke-3:
Baris ke-4:
Baris ke-5:
dan seterusnya.
Karena
0
0
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
1
0
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
1
1
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵=
2
0
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
2
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
3
0
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 =
3
3
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵= 1,
2
1
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
= 2, dan
3
1
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵=
3
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 = 3 maka pola Segitiga Pascal tersebut
dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasi
berikut.
0
0
1
0
1
1
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
0
2
1
2
2
3
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤􀂥 􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴 􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
0
3
1
3
2
􀂤 3
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 3
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
dan seterusnya.
Dari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat dituliskan
sebagai berikut.
(a + b)0 =
0
0
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤 􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
(a + b)1 =
1
0
1
1
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 a b 􀂥
􀂥
􀂵
􀂵
Tokoh
Matematika
Omar Khayyam
(1049–1123)
Untuk n = 2, Teorema
Binomial telah ditemukan
oleh Euclid pada tahun
300 Sebelum Masehi. Akan
tetapi, untuk yang lebih
umum ditemukan oleh
matematikawan dan ahli
astronomi Irak, yaitu Omar
Khayyam.
Sumber: Precalculus, 1999
1
1 1
1 2 1
1 (1 + 2) (2 + 1) 1
1 (1 + 1 + 2) (1 + 2) + (2 + 1) (2 + 1 + 1) 1
56 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
(a + b)2 =
2
0
2
1
2
2
2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
a a 􀂥 􀂵 b
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵b2
(a + b)3 =
3
0
3
1
3
2
3 2 􀂤 􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂴􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
a a3 􀂥
􀂥 􀂵
􀂵 b
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
ab2􀂵b3
􀂥
􀂥 􀂵
􀂵b
3
3
dan seterusnya.
Secara umum bentuk (a + b)n dapat ditulis menjadi
n
a b
n
r
􀀈a􀀋b􀀉n 􀀝 n
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂵
0
1
􀂵 􀂵
􀂵􀀋 􀀋
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥 a b 􀀍
n
n
ab
n
n
n r 􀀍r n 􀂥 􀂵 bn
1
1
􀂦
􀂥􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵bn
dengan
n
r
C
n
r n
r 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀝􀀝
􀀈 􀀉
!
!n 􀀍 r!
Dengan demikian,
C C a b C a b C b n n
n
n
n n n
0􀂕an 􀀋C1 1 􀂕 b1􀀋 􀀋 1􀂕 bn1􀀋Cn􀂕bn 􀀍Cn
(a + b)n = C a b n
i n ibi
i
i n
􀀍
􀀝 􀂣0
Bentuk tersebut dinamakan binomial Newton (ekspansi
binomial).
Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x2 + 2y)5.
Jawab:
(x2 + 2y)5 =
5
0
5
1
􀂤 5 4
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀈 2􀀉 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀈 􀀉 2 􀀈 􀀉 2 􀂥 􀂵1 5 3 2
2
5
3
􀀋
􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂵 􀂵 􀂵 􀂶
􀂵􀀈 2􀀉 􀀈2
􀀉 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
2 3 5 1 4
4
5
5 􀀈x2􀀉 􀀈2 􀀉 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂶􀀈
2􀀉 􀀈2 􀀉 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥 􀂵
􀂵􀂦
􀂥􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀈 􀀉5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Contoh 2.7
Mari, Cari Tahu
Carilah di perpustakaan buku petunjuk penggunaan kalkulator, cara
menghitung faktorial, permutasi, dan kombinasi dengan kalkulator
scientific. Anda juga dapat menanyakan hal tersebut ke kakak kelas.
Demonstrasikan dan laporkan hasilnya di depan kelas termasuk
jenis kalkulator yang digunakan.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Dalam sebuah perkumpulan panjat tebing
ada 5 calon untuk ketua, 4 calon untuk wakil
ketua, 3 calon untuk sekretaris, dan 4 calon
untuk bendahara. Apakah masalah ini adalah
kombinasi atau permutasi? Ada berapa cara
keempat posisi tersebut dapat diisi?
Peluang 57
2. Dengan menggunakan 5 huruf pertama
dalam abjad, dibuat kata yang terdiri atas
3 huruf. Berapa banyak kata yang dapat
dibuat jika:
a. tidak ada huruf boleh diulang,
b. huruf-huruf boleh diulang, dan
c. hanya huruf-huruf pertama tidak
boleh diulang.
3. Ketua dan wakil OSIS harus dipilih di
antara 8 orang laki-laki dan 4 orang perempuan.
Dalam berapa cara hal itu dapat
dilakukan jika
a. ketua harus laki-laki, sedangkan wakilnya
boleh laki-laki atau perempuan;
b. ketua harus perempuan, sedangkan
wakilnya boleh laki-laki atau
perempuan;
c. wakilnya harus laki-laki;
d. wakilnya harus perempuan.
4. Empat orang siswa masuk ruang rapat.
Tempat yang masih kososng ada 5 kursi,
berapa cara mereka dapat mengambil
tempat duduk?
5. Hitung nilai n dari persamaan berikut.
a. (n + 4)! = 9(n + 3)!
b. (n + 3)! = 20(n + 1)!
6. Bilangan yang terdiri atas tiga angka
berbeda, disusun dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7,
dan 8. Tentukan banyak bilangan dengan
angka-angka yang berlainan dan lebih
kecil dari 500.
7. Tentukan berapa cara yang berbeda dapat
dituliskan dari hasil kali x4 y3 z2 tanpa
menggunakan eksponen.
8. Tentukan suku keempat dari penjabaran
dan penyederhanaan bentuk (3×2 – 4y3)7.
9. Dalam pertemuan untuk menentukan
tanggal kelulusan siswa, 20 orang guru
diundang, setelah memutuskan tanggal
kelulusan, mereka saling berjabat tangan.
Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
10. Jika 5P(n, 3) = 24 C(n, 4), berapa nilai n?
Untuk soal nomor 11–16, tentukan banyak
cara yang dapat dilakukan.
11. Mengatur susunan tempat duduk dalam
suatu rapat yang disusun melingkar dan
dihadiri oleh 8 orang serta ada 2 orang yang
selalu berdampingan.
12. Memilih 5 orang dari 15 orang siswa untuk
menjadi pelaksana upacara bendera Senin
pagi.
13. Menentukan tiga orang pemenang juara 1,
2, dan 3 dari 15 orang finalis.
14. Menentukan lima orang pemain cadangan
dari 16 orang anggota kesebelasan
sepakbola.
15. Menyusun lima buku Matematika yang
sama, tiga buku Fisika yang sama, tiga
buku Kimia yang sama, dan dua buku
Biologi yang sama dalam rak buku.
(Petunjuk: buku-buku yang berjudul sama
harus berdampingan)
B. Peluang
Sebuah uang logam yang bentuknya simetris ditos
(dilempar ke atas sambil diputar) dan dibiarkan jatuh ke
lantai. Oleh karena uang itu bentuknya simetris maka tidak
beralasan munculnya gambar lebih sering atau kurang
daripada munculnya angka. Secara matematika, nilai peluang
munculnya gambar adalah salah satu dari dua atau 1
2
, dan
dengan sendirinya nilai peluang munculnya angka adalah
1
2
juga.
58 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. Peluang Suatu Kejadian
a. Kejadian Sederhana
Dalam seperangkat kartu remi terdapat 13 kartu merah
bergambar hati, 13 kartu merah bergambar diamond, 13 kartu
hitam bergambar wajik, dan 13 kartu hitam bergambar kriting.
Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu
tersebut.
Misalkan, kartu yang terambil bergambar hati. Kejadian
muncul kartu bergambar hati pada pengambilan tersebut dinamakan
kejadian sederhana karena muncul kartu bergambar
hati pasti berwarna merah. Lain halnya jika kartu yang
terambil berwarna merah. Kejadian muncul kartu berwarna
merah dinamakan kejadian bukan sederhana karena muncul
kartu berwarna merah belum tentu bergambar hati, tetapi
mungkin bergambar diamond.
b. Ruang Sampel
Jika sekeping uang logam ditos, akan muncul muka
angka (A) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A
dan G dinamakan titik sampel, sedangkan {A, G} dinamakan
ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah
mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya
adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan
pengertian ruang sampel? Cobalah nyatakan pengertian ruang
sampel dengan kata-kata Anda sendiri.
Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
definisi berikut.
Definisi 2.4
Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan
semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel
dinotasikan dengan S.
Gambar 2.9
Seperangkat kartu remi.
(a) Kartu hati yang berwarna
merah.
(b) Kartu wajik yang berwarna
hitam.
(c) Kartu diamond yang berwarna
merah.
(d) Kartu kriting yang berwarna
hitam.
Tentukan ruang sampel percobaan berikut.
a. Tiga keping uang logam ditos bersamaan.
b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan.
Contoh 2.8
(d)
(c)
(b)
(a)
Peluang 59
Mari, Cari Tahu
Bersama dengan teman sebangku, cari di internet atau di buku
terbitan luar negeri artikel yang ber hubung an dengan materi
peluang. Kemudian, kumpulkan hasilnya pada guru Anda.
c. Peluang
Misalkan, sekeping uang logam yang bentuknya simetris
ditos sebanyak 50 kali, kejadian munculnya muka gambar
sebanyak 23 kali sehingga
23
50
􀀝0,46 dinamakan frekuensi
relatif muncul muka gambar. Jika pengetosan uang logam
tersebut dilakukan berulang-ulang dalam frekuensi yang
besar, frekuensi relatif kejadian muncul muka gambar akan
mendekati suatu bilangan tertentu, yaitu 1
2
. Bilangan tersebut
dinamakan peluang dari kejadian muncul angka.
Pada pengetosan sekeping uang logam yang bentuknya
simetris, kemungkinan yang muncul hanya dua, yaitu
permukaan gambar dan permukaan angka. Peluang muncul
permukaan gambar atau permukaan angka sama. Secara
matematika, peluang munculnya permukaan gambar adalah
satu dari dua kemungkinan atau 1
2
sehingga peluang
munculnya permukaan angka juga 1
2
.
1. Tiga keping uang logam
dilemparkan secara
bersamaan. Tentukan
a. ruang sampel,
b. kejadian muncul dua
angka.
2. Sebuah tas berisi
5 kelereng merah,
5 kelereng putih, dan
9 kelereng hijau. Apabila
diambil 3 kelereng
sekaligus secara acak,
tentukan peluang yang
terambil:
a. semua hijau;
b. semua putih;
c. 2 merah dan 1 hijau.
Tantangan
untuk Anda
Gambar 2.11
Hasil yang mungkin dari
pelemparan sebuah uang logam
Rp500,00.
Gambar 2.10
Diagram pohon pelemparan 3
keping uang logam.
A AAA
A
G AAG
A AGA
G
G AGG
A
A GAA
A
G GAG
A GGA
G
G GGG
G
Jawab:
a. Perhatikan diagram pohon pada Gambar 2.10 di samping
dengan saksama. Dari diagram ter sebut, jika tiga keping uang
logam ditos bersamaan, ruang sampelnya adalah {AAA, AAG,
AGA, AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.
b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos, ruang sampelnya
(amati Tabel 2.3) adalah { AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6,
AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2, GA3, GA4,
GA5, GA6, GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6}.
Tabel 2.3
AA
AG
GA
G G
1 Dadu
2 Uang Logam
1 2 3 4 5 6
AA1 AA2 AA3 AA4 AA5 AA6
AG 1 AG2 AG3 AG4 AG5 AG6
GA1 GA2 GA3 GA4 GA5 GA6
GG1 GG2 GG3 GG4 GG5 GG6
60 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
d. Kisaran Nilai Peluang
Di Kelas IX Anda telah mengetahui bahwa nilai peluang
suatu percobaan adalah antara 0 dan 1 atau 0 ≤ P(x) ≤ 1 dengan
x adalah kejadian pada percobaan tersebut.
Dalam pengetosan sebuah dadu yang seimbang, tentukan
a. peluang muncul angka prima;
b. peluang muncul kelipatan 2;
Jawab:
Pada pengetosan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 􀁬 n (S) = 6.
a. Peluang muncul angka prima.
Ruang sampel mata dadu angka prima adalah P = {2, 3, 5}
maka n (P) = 3, Dengan demikian, peluang muncul angka
prima adalah
P(prima) = n
N
􀀈P􀀉
􀀈S􀀉
􀀝 􀀝
3
6
1
2
.
b. Peluang muncul kelipatan 2.
Ruang sampel mata dadu angka kelipatan 2 adalah
K = {2, 4, 6} maka n (K) = 3. Dengan demikian, peluang
muncul kelipatan 2 adalah
P(K) = n
N
􀀈K􀀉
􀀈S􀀉
􀀝 􀀝
3
6
1
2
.
Contoh 2.9
Pada 2000 tahun Sebelum
Masehi, orang kaya dan
penyihir menggunakan dadu
sebagai permainan. Dadu
yang digunakan berbentuk
bangun bersisi empat. Bentuk
dadu sekarang dikenal
beberapa waktu kemudian.
Dadu yang kali pertama
digunakan dalam permainan
tersebut terbuat dari tulang
rusa, sapi, atau kerbau.
At least as far back as 2000 BC, the
rich and the mystical have had dice
to play with. Very early dice were
often in the shape of a tetrahedron.
The modern cube shape came later.
The first dice like objects to be used
for games were made from the
astralagus of deer, cow or oxen.
Sumber: http://www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Informations
for You
Mata uang yang bentuknya
simetris artinya tidak lebih
berat ke arah gambar atau ke
arah angka.
Ingatlah Misalkan, sebuah kotak berisi 8 bola, yaitu 3 bola merah,
1 bola putih, dan 4 bola hijau. Dari kotak tersebut, akan
diambil sebuah bola. Peluang terambil 1 bola dari kotak yang
berisi 8 bola tersebut adalah
1
8
. Peluang terambilnya 1 bola
merah adalah
3
8
. Adapun peluang terambilnya 1 bola putih
adalah
1
8
, dan peluang terambil 1 bola hijau adalah
4
8
.
Diketahui, N adalah banyak titik sampel pada ruang
sampel S dari sebuah percobaan. Kejadian A adalah salah
satu kejadian pada percobaan tersebut sehingga peluang A
adalah P(A) =
1
N
.
Apabila banyak kejadian A yang terjadi dari percobaan
tersebut adalah n, peluang terjadinya kejadian A adalah P(A)
=
n
N
.
Peluang 61
Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.
1. Ikan dapat hidup di darat.
2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah.
3. Lumut tumbuh di daerah gurun.
4. Muncul kartu as pada pengambilan seperangkat kartu remi.
Jawab:
1. Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga
peluangnya sama dengan 0.
2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan
suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.
3. Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan
sehingga peluangnya sama dengan 0.
4. Muncul kartu as pada kartu remi bukan merupakan suatu
kemustahilan dan bukan pula suatu kepastian sehingga
peluangnya di antara 0 dan 1, yaitu
1
13
.
Contoh 2.10
Tokoh
Matematika
Pierre de Fermat
(1601–1665)
Pierre de Fermat adalah
seorang hakim. Kemahiran
matematikanya luar biasa
memungkinkannya memberi
sumbangan besar pada
matematika tingkat tinggi,
antara lain teori bilangan dan
kalkulus diferensial. Ketika ia
mengklaim bahwa ia telah
membuktikan beberapa
teorema matematika, ia selalu
berkata benar. “Teorema Akhir
Fermat” yang menyebabkan
ia terkenal, akhirnya terbukti
300 tahun kemudian, yaitu
pada tahun 1994 oleh Andrew
Willes.
Sumber: Finite Mathematics and its
Application, 1994
• Apabila P(x) = 0, kejadian x mustahil terjadi.
• Apabila P(x) = 1, kejadian x pasti terjadi.
Jadi, jika Anda mengetahui bahwa suatu kejadian
kemungkinan kecil terjadi maka peluangnya mendekati
nilai nol. Sebaliknya, jika peluang suatu kejadian yang
kemungkinan besar dapat terjadi, peluangnya mendekati
nilai 1.
2. Frekuensi Harapan
Anda telah mempelajari bahwa peluang muncul
permukaan gambar pada pengetosan uang logam adalah
1
2
. Apabila pengetosan dilakukan 100 kali, harapan akan
muncul permukaan angka adalah 50 kali atau setengah dari
100. Banyak muncul permukaan angka sebanyak 50 kali dari
100 kali pengetosan dinamakan frekuensi harapan.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian
frekuensi harapan suatu kejadian? Cobalah nyata kan
pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dengan katakata
Anda sendiri.
Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
definisi berikut.
62 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. Peluang seorang anak
terjangkit penyakit
demam berdarah adalah
0,087. Tentukan peluang
seorang anak tidak
terkena demam berdarah.
2. Dalam suatu percobaan
diambil sebuah kartu
secara acak dari satu set
kartu remi, kemudian
mengembalikannya (satu
set kartu remi terdiri atas
52 kartu). Tentukanlah
frekuensi harapan yang
terambil adalah kartu jack
jika percobaan dilakukan
117 kali.
3. Dalam percobaan
melempar dua keping
logam secara bersamaan,
tentukan frekuensi
harapan muncul
sedikitnya satu muka jika
percobaan dilakukan 200
kali.
Tantangan
untuk Anda
1. Sebuah dadu ditos sebanyak 100 kali, tentukan
a. harapan muncul mata dadu 5,
b. harapan muncul mata dadu yang habis dibagi 3,
c. harapan muncul mata dadu prima ganjil,
d. harapan muncul mata dadu prima genap, dan
e. harapan muncul mata dadu ganjil.
2. Di sebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang
terkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkena
penyakit liver adalah 0,17. Jika sebanyak 25.000 orang dewasa
di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena
penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena
penyakit liver?
3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil
penyilangan diperoleh hasil 1.000 bunga dengan warna yang
berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3 merah muda : 1
merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan
putih yang dihasilkan?
Jawab:
1. a. f H (mata dadu 5) = 100
1
6
100
6
50
3
􀁲 􀀝 􀀝
b. f H (habis dibagi 3) = 100
2
6
100
3
􀁲 􀀝
c. f H ( prima ganjil) = 100
2
6
100
3
􀁲 􀀝
d. f H ( prima genap) = 100
1
6
100
6
50
3
􀁲 􀀝 􀀝
e. f H (ganjil) = 100
3
6
􀁲 􀀝 50
2. f H (orang terkena serangan jantung) = 25.000 × 0,07 = 1.750
f H (orang terkena penyakit liver) = 25.000 × 0,17 = 4.250
3. Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1, maka banyaknya bunga yang
diperoleh adalah
Contoh 2.11
Frekuensi harapan suatu kejadian ialah frekuensi yang diharapkan
terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan tersebut. Frekuensi
harapan dirumuskan sebagai berikut.
fH = n × P(A)
Dalam hal ini, n : banyak percobaan
P(A) : peluang terjadinya kejadian A
Definisi 2.11
Peluang 63
Sediakan sebuah dadu. Kemudian, bersama kelompok belajar Anda
lemparkanlah ke atas (sambil diputar) dadu itu sebanyak 100 kali.
Catatlah berapa kali muncul
a. mata dadu bilangan 5,
b. mata dadu bilangan yang habis dibagi 3,
c. mata dadu bilangan prima ganjil,
d. mata dadu bilangan prima genap, dan
e. mata dadu bilangan ganjil.
Coba Anda bandingkan dengan penyelesaian Contoh 2.11(1). Apa
yang dapat Anda simpulkan? Presentasikan kesimpulan Anda di
depan kelas.
Aktivitas Matematika
• bunga putih =
1
5
􀁲1.000􀀝200 bunga
• bunga merah muda =
3
5
􀁲1.000􀀝600 bunga
• bunga merah =
1
5
􀁲1.000􀀝200 bunga
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan ruang sampel percobaan berikut.
a. Pengetosan 3 keping uang logam
sekaligus.
b. Pengetosan dua keping uang logam
dan sebuah dadu.
c. Penelitian jenis kelamin tiga bayi.
d. Penelitian warna kulit (putih, sawo
matang, dan hitam) dari tiga orang.
e. Penelitian golongan darah dari empat
orang pasien (untuk memudahkan,
golongan darah AB ditulis A2).
2. Lima puluh dua kartu diberi angka 1, 2,
,3, 4, 5, …, 52. Kemudian, diambil sebuah
kartu secara acak. Tentukan peluang:
a. terambil kartu berangka ganjil;
b. terambil kartu berangka prima;
c. terambil kartu berangka habis dibagi
tiga;
d. terambil kartu berangka kelipatan
lima;
e. terambil kartu berangka kelipatan dua
dan tiga;
f. terambil kartu berangka memiliki 4
faktor.
3. Di suatu daerah, peluang bayi terkena polio
adalah 0,03 dan peluang terkena campak
adalah 0,05. Jika 1.500 bayi di daerah itu
diperiksa, be rapakah:
a. bayi yang terkena polio;
b. bayi yang tidak terkena polio;
c. bayi yang terkena campak;
d. bayi yang tidak terkena campak?
64 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
C. Kejadian Majemuk
Misalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3
bola hijau. Dari kotak tersebut, Anda akan mengambil 1 buah
bola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1
buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadian
majemuk.
1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Diketahui, A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel,
sedangkan A’ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat
pada ruang sampel tersebut.
Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga komplemen
kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A),
dan peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkan
dengan P(bukan A) atau P(A’).
Amati diagram Venn pada Gambar 2.11. Gambar 2.11
menunjukkan ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan
kejadian bukan A. Peluang ruang sampel sama dengan 1
sehingga
P(A ( ) + P(bukan A) = 1
atau
P(bukan A) = 1 – P(A ( )
A
bukan A
Gambar 2.11
SitusMatematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang
Peluang melalui internet
dengan mengunjungi situs
berikut.

http://mathword.wolfram.com

2. Peluang Gabungan Dua Kejadian
yang Saling Lepas
Sebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, A
adalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan
B adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A dan
B merupakan kejadian saling lepas sebab irisan dari dua
kejadian tersebut adalah himpunan kosong.
Tentukan peluang komplemen dari peluang berikut.
a. Peluang kereta datang terlambat adalah 0,03.
b. Peluang Indra meraih juara kelas adalah 0,25.
Jawab:
a. Komplemen kejadian kereta api datang terlambat adalah
kejadian kereta api datang tepat waktu. Peluang kereta api
datang tepat waktu adalah (1 – 0,03) = 0,97.
b. Peluang gagal menjadi juara kelas adalah (1 – 0,25) = 0,75.
Contoh 2.12
Peluang 65
A dan B saling lepas
P(A 􀂆 B) = P(A) + P(B)
A dan B tidak saling lepas
P(A 􀂆 B) = P(A) + P(B) – P(A 􀂅 B)
1. Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan Ingatlah
kejadian A adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadian
B adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah
kejadian A dan B saling lepas?
2. Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uang
logam, tentukan peluang munculnya:
a. mata dadu < 3 atau angka;
b. mata dadu prima genap atau gambar;
Jawab:
1. Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan
hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas
dari muncul kartu hitam. Jadi, kejadian A dan B saling
lepas.
2. a. Ruang sampel pelemparan dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Misalkan, A = kejadian muncul dadu < 3 sehingga P(A) =
2
6
1
3
􀀝 .
Ruang sampel pelemparan satu keping uang logam =
{A, G}.
Misalkan, B = kejadian muncul angka sehingga
P(B) =
1
2
P􀀈A 􀂆 B􀀉 P􀀈A􀀉􀀋 P􀀈B􀀉􀀍 􀀋 􀀍 􀀋 􀀍
1
3
1
2
2
6
3
6
5
6
.
b. A = kejadian muncul mata dadu prima genap sehingga
P(A) =
1
6
.
B = kejadian muncul gambar sehingga P(B) =
1
2
.
P􀀈A 􀂆 B􀀉 P􀀈A􀀉􀀋 P􀀈B􀀉􀀝 􀀋 􀀝 􀀝
1
6
1
2
4
6
2
3
.
Contoh 2.13
Tugas
Bersama kelompok belajar
Anda, buatlah tiga contoh dua
kejadian yang saling lepas
dalam kehidupan seharihari.
Kemudian, jelaskan
(presentasikan) di depan kelas
mengapa contoh yang Anda
buat merupakan dua kejadian
yang saling lepas.
Diketahui, himpunan A melambangkan kejadian A dan
himpunan B melambangkan kejadian B. Apabila P(A) dan
P(B) setiap peluang kejadian A dan kejadian B yang saling
lepas, peluang gabungan 2 kejadian tersebut yang dinyatakan
oleh P(A􀂆B) adalah P(A) + P(B) – P(A􀂅B). Oleh karena A􀂅
B = Ø maka tentunya P(A􀂅B) = 0 sehingga
P(A􀂆B) = P(A) + P(B)
Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang saling
lepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah
penjumlahan peluang dua kejadian tersebut.
Tiga puluh kartu diberi nomor
1, 2, 3, …, 30. Kartu dikocok,
kemudian diambil secara
acak. Tentukan:
a. peluang kartu yang
terambil adalah kartu
yang bernomor bukan
kelipatan 3,
b. peluang kartu yang
terambil adalah kartu
yang bernomor bukan
kelipatan 3 dan 5, dan
c. peluang kartu yang
terambil adalah kartu
yang bernomor bukan
kelipatan 6.
Tantangan
untuk Anda
66 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Pembahasan Soal
Suatu kelas terdiri atas
40 siswa, 25 siswa gemar
matematika, 21 siswa gemar
IPA, dan 9 siswa gemar
matematika dan IPA. Peluang
seorang tidak gemar matematika
maupun IPA adalah ….
Jawab:
n(S) = 40; n(M) = 25; n(I) = 21;
n(M􀂅 I) = 9
n(M􀂆 I) = n(M) + n(I) – n(M􀂅 I)
= 25 + 21 – 9 = 37
P(M􀂆 I)’ = 1– P(M􀂆 I)
= 1􀀍
􀀈
􀂆 􀀉
􀀈
􀀉
nn= 1
37
40
3
40
􀀍 􀀝
Soal Ebtanas 2000
Dua puluh buah kartu diberi nomor 1 sampai 20. Kemudian,
dikocok dan diambil secara acak. Tentukanlah peluang dari:
a. kartu yang terambil nomor bilangan genap atau nomor 6;
b. kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau nomor 15;
Jawab:
a. • Peluang terambil kartu nomor bilangan genap adalah
P(genap) =
10
20
.
• Peluang terambil kartu nomor bilangan kelipatan 6 adalah
P(kelipatan 6) =
3
20
.
Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan genap atau nomor
bilangan kelipatan 6 adalah
P(genap atau kelipatan 6) = P(genap) + P(kelipatan 6)
=
10
20
3
20
13
20
􀀋 􀀝
b. • Peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil adalah
P(ganjil) =
10
20
.
• Peluang terambil kartu nomor 15 adalah P(15) =
1
20
.
Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil atau
nomor 15 adalah P(ganjil atau 15) = P(ganjil) + P(15)
= 10
20
3
20
13
20
􀀋 􀀝 .
Contoh 2.14
3. Peluang Dua Kejadian yang Saling
Bebas
a. Kejadian Melempar Dua Mata Uang secara
Bersamaan
Dalam pelemparan dua keping uang logam secara
serempak, apabila G1 adalah kejadian muncul permukaan
gambar pada pengetosan mata uang pertama maka kejadian
muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada
mata uang kedua tidak dipengaruhi oleh G1. Begitu pula
apabila A1 menyatakan kejadian muncul permukaan angka
pada mata uang pertama maka muncul permukaan gambar
ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akan
dipengaruhi oleh A1.
Kejadian pelemparan dua mata uang secara bersamaan
dinamakan dua kejadian yang saling bebas.
1. Sebuah kartu diambil
secara acak dari satu set
kartu remi. Tentukan
peluang yang terambil,
kartu hitam atau king.
2. Sebuah dadu merah dan
dadu putih dilemparkan
bersamaan. Tentukan
peluang muncul mata
dadu berjumlah 6 atau
berjumlah kelipatan 5.
Tantangan
untuk Anda
Peluang 67
Misalkan, G2 adalah kejadian muncul permukaan
gambar pada mata uang kedua dan A2 adalah kejadian muncul
permukaan angka pada mata uang kedua sehingga ruang
sampel untuk pelemparan dua buah mata uang logam adalah
{(A1, A2), (A1, G2), (G1, A2), (G1, G2)}.
Peluang muncul permukaan gambar pada mata uang
pertama sama dengan peluang muncul permukaan gambar
pada mata uang kedua sehingga P P
1
2
􀀈G 􀀉 1 􀀝 􀀈G 􀀉 2 􀀝 .
Peluang munculnya permukaan angka pada mata uang
pertama sama dengan peluang munculnya permukaan angka
pada mata uang kedua sehingga P P
1
2
􀀈A 􀀉 1 􀀝 􀀈A 􀀉 2 􀀝 .
Peluang munculnya A1 dan munculnya A2
= P(A1 dan A2) = 􀀈A A
􀀉 1 2 􀂅 = P(A1) × P(A2)
= 1
2
1
2
1
4
􀁲 􀀝
Jadi, P P P
1
4
􀀈A A 􀀉 1 2 dan 􀀈A 􀀉 1 􀀈A 􀀉 2 􀀝 .
Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan:
P(A1 dan G2) = P(A1) × P(G2) =
1
4
P(G1 dan A2) = P(G1) × P(A2) =
1
4
P(G1 dan G2) = P(G1) × P(G2) =
1
4
b. Kejadian Mengambil Bola dari Dalam
Sebuah Tas
Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. Anda ingin
mengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian.
Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau,
kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Pada
pengambilan kedua diperoleh bola biru. Kedua kejadian
pengambilan bola tersebut dinamakan dua kejadian yang
saling bebas stokastik karena pengambilan bola pertama
tidak mem pengaruhi pengambilan bola kedua. Ruang sampel
kejadian pengambilan bola tersebut adalah sebagai berikut.
• Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau,
biru} P(hijau) = 5
12
dan P(biru) = 7
12
.
• Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruang
sampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (biru
dan hijau), (biru dan biru)}.
68 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
P(hijau dan hijau) = P(hijau) × P(hijau) = 5
12
5
12
25
144
􀁲 􀀝
P(hijau dan biru) = P(hijau) × P(biru) = 5
12
7
12
35
144
􀁲 􀀝
P(biru dan hijau) = P(biru) × P(hijau) = 7
12
5
12
35
144
􀁲 􀀝
P(biru dan biru) = P(biru) × P(biru) = 7
12
7
12
49
144
􀁲 􀀝
Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumus
berikut
Jika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik maka
peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara bersamaan,
yang dinyatakan oleh P (A 􀂅 B) adalah
P􀀈A􀂅 B􀀉=P􀀈A􀀉􀁲P􀀈B􀀉
Dua kejadian yang saling
bergantung dinamakan juga
dengan kejadian bersyarat.
Ingatlah
1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga
11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan
pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bola
tersebut bernomor bilangan
a. kelipatan 4 dan nomor 9;
b. ganjil dan genap.
2. Sebuah kotak berisi 11 bola yang bernomor 1 sampai dengan
11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian tanpa
pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bola
tersebut bernomor bilangan berikut ini.
a. Genap, kemudian ganjil.
b. Ganjil, kemudian genap.
c. Kelipatan 3, kemudian nomor 8.
Jawab:
1. a. Peluang terambil bola bernomor kelipatan 4 adalah
P (kelipatan 4) =
2
11
, peluang bola bernomor 9 adalah
P(9) =
1
11
.
Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 9)
= P (kelipatan 4) × P(9) =
2
11
1
11
2
121
􀁲 􀀝 .
b. Peluang bola bernomor bilangan ganjil adalah
P (ganjil) =
6
11
, peluang bola bernomor bilangan genap
adalah P(genap) =
5
11
.
Contoh 2.15
Penerbangan dari bandara
Soekarno-Hatta telah
terjadwal teratur. Peluang
berangkat tepat waktu adalah
0,80. Peluang sampai tepat
waktu adalah 0,75. Adapun
peluang berangkat dan
sampai tepat waktu adalah
0,70. Tentukan:
a. peluang pesawat sampai
tepat waktu jika diketahui
berangkat tepat waktu;
b. peluang berangkat tepat
waktu jika diketahui
sampai tepat waktu.
Tantangan
untuk Anda
Peluang 69
Jadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap adalah
P(ganjil dan genap) = P(ganjil) × P(genap)
=
6
11
5
11
30
121
􀁲 􀀝 .
2. a. Peluang bola bernomor bilangan genap adalah
P(genap) =
5
11
.
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,
jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang
terambil bola bernomor bilangan ganjil adalah P(ganjil
| genap) =
6
10
. Jadi, P(bola bernomor bilangan genap
kemudian ganjil) adalah
P(genap) × P(ganjil | genap) =
5
11
6
10
􀁲
=
30
110
6
22
􀀝 .
b. Peluang bola bernomor kelipatan 3 adalah
P(kelipatan 3) =
3
11
.
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,
jumlah bola yang tersedia di dalam kotak tinggal 10 buah.
Peluang terambil bola bernomor 8 adalah
P(8 | kelipatan 3) =
1
10
.
Jadi, P (kelipatan 3 kemudian nomor 8) adalah
P (kelipatan 3) × P (8 | kelipatan 3) =
3
11
1
10
3
110
􀁲 􀀝 .
c. Peluang bola bernomor kelipatan 4 adalah P(kelipatan 4) =
2
11
. Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,
jumlah bola yang tersedia dalam kotak tinggal
10 buah.
Peluang terambil bola bernomor 11 adalah P(11 | kelipatan 4) =
1
10
. Jadi, P(kelipatan 4 kemudian 11) adalah
P( kelipatan 4) × P(11 | kelipatan4) =
2
11
1
10
􀁲
=
2
110
1
55
􀀝 .
Hal Penting
􀁴􀀁 faktorial
􀁴􀀁 􀁑􀁆􀁓􀁎􀁖􀁕􀁂􀁔􀁊
􀁴􀀁 kombinasi
􀁴􀀁 􀁑􀁆􀁍􀁖􀁂􀁏􀁈
􀁴􀀁 􀁓􀁖􀁂􀁏􀁈 􀁔􀁂􀁎􀁑􀁆􀁍
􀁴􀀁 kejadian majemuk
Mari, Cari Tahu
Bersama tujuh orang teman, buatlah poster ilmuwan yang berjasa
dalam mengembangkan materi peluang, seperti Pierre de Fermat
dan Blaise Pascal. Carilah ilmuwan lainnya. Tempelkan hasilnya
di ruangan kelas Anda.
70 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan peluang komplemen dari kejadian
berikut.
a. Peluang hari ini hujan
2
5
.
b. Peluang pengguna narkotika terinfeksi
HIV 0,98.
c. Peluang muncul mata dadu angka
kurang dari 5 dari pengetosan sebuah
dadu adalah
2
3
.
d. Peluang bayi yang baru lahir hidup
adalah 75%.
e. Peluang kesebelasan A memenangkan
pertandingan adalah 63%.
f. Peluang bukan perokok terkena
penyakit jantung adalah 0,025.
2. Pada pengetosan dua buah dadu berwarna
merah dan putih, tentukanlah peluang
muncul jumlah mata dadu sama dengan
a. 3 atau 5, d. 4 atau 10,
b. 3 atau 6, e. 5 atau 6,
c. 4 atau 7, f. 6 atau 8.
3. Dari seperangkat kartu remi diambil
sebuah kartu secara acak. Tentukan
peluang dari kartu yang terambil kartu
a. as atau king,
b. as hati atau queen merah,
c. kartu bernomor 10 atau jantung,
d. kartu bernomor kelipatan 5 atau
bernomor 9,
e. kartu bernomor kelipatan 2 atau kartu
sekop,
f. kartu jantung atau kartu bergambar.
4. Pada pengetosan dua buah dadu, tentukan
peluang untuk memperoleh
a. angka ganjil pada dadu pertama dan
angka genap pada dadu kedua,
b. angka kurang dari 4 pada dadu
pertama dan angka lebih dari 4 pada
dadu ke dua,
c. angka kelipatan dua pada dadu
pertama dan angka prima ganjil pada
dadu kedua, dan
d. angka prima genap pada dadu pertama
dan angka kelipatan 3 pada dadu kedua.
5. Tiga orang pasien penyakit tumor, usus
buntu, dan hernia akan dioperasi. Peluang
ketiga pasien itu tertolong adalah sebagai
berikut.
Peluang pasien tumor tertolong adalah
P(T) =
2
17
.
Peluang pasien usus buntu tertolong adalah
P(B) =
10
17
.
Peluang pasien hernia tertolong adalah
P(H) =
14
17
. Tentukan peluang dari:
a. ketiga pasien akan tertolong;
b. ketiga pasien tidak akan tertolong;
c. pasien hernia tertolong, tetapi pasien
tumor dan usus buntu tidak tertolong;
d. pasien usus buntu dan hernia tertolong,
tetapi pasien tumor tidak tertolong;
e. pasien tumor tertolong, tetapi pasien
usus buntu dan hernia tidak tertolong;
f. pasien tumor dan usus buntu tertolong,
tetapi pasien hernia tidak tertolong.
6. Sebuah kotak berisi lima belas kartu
bernomor 1 sampai dengan 15. Tiga lembar
kartu diambil acak secara bergantian
tanpa pengembalian. Tentukan peluang
kartu-kartu tersebut bernomor bilangan
berikut.
a. Kelipatan 4, kelipatan 5, kemudian
kelipatan 7.
b. Nomor ganjil, genap kurang dari 5,
kemudian kelipatan 6.
c. Nomor genap, prima ganjil kemudian
kelipatan 9.
7. Misalkan, peluang seorang laki-laki dapat
hidup sampai 60 tahun adalah 0,75 dan
perempuan dapat hidup sampai 60 tahun
peluangnya 0,70. Berapa peluang kedua
orang itu dapat hidup sampai 60 tahun?
Peluang 71
8. Dalam sebuah kotak terdapat 7 kelereng
merah, 4 kelereng biru, dan 5 kelereng
kuning. Kelereng tersebut diambil secara
acak.
a. Tentukan peluang terambilnya
kelereng merah atau bukan biru.
b. Jika dilakukan tiga kali pengambilan
secara berurutan tanpa pengembalian,
tentukan peluang terambilnya
berturut-turut kelereng merah, biru,
kemudian kuning.
9. Sebuah kantong berisi 18 kelereng merah, 12
kelereng kuning, dan 8 kelereng biru. Sebuah
kelereng diambil secara acak dari kantong.
Tentukan peluang terambil kelereng merah
atau kuning.
• Permutasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen
suatu himpunan yang mementingkan urutannya.
• Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen
suatu himpunan tidak mementingkan urutannya.
• Frekuensi harapan suatu kejadian ialah harapan banyaknya
kejadian yang dapat terjadi dari banyak percobaan yang
dilakukan. Frekuensi harapan dirumuskan
Dalam hal ini n : banyak percobaan
P(A) : peluang terjadinya kejadian A
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 2,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Refleksi
f H = n × P(A ( )
72 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 2
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan
yang terdiri atas tiga angka yang berbeda.
Di antara bilangan-bilangan tersebut yang
kurang dari 400 banyaknya adalah ….
a. 16 d. 8
b. 12 e. 6
c. 10
2. Dua buah dadu ditos sekali. Peluang
kedua mata dadu berjumlah bilangan
prima adalah ….
a.
7
18
d.
4
11
b.
5
11
e.
1
2
c.
5
12
3. Sebuah dadu dan sekeping logam ditos
bersama-sama. Peluang dadu menunjukkan
angka genap dan uang menunjukkan angka
adalah ….
a.
1
2
d.
1
6
b.
1
3
e.
1
12
c. 1
4
4. Pada pengetosan dua buah dadu, peluang
munculnya mata dadu berjumlah kurang
dari delapan adalah ….
a.
5
36
d.
5
12
b.
7
12
e.
8
12
c.
5
6
5. Jika Cr
n menyatakan banyaknya kombinasi
r elemen dari n elemen dan Cn
3 = 2n maka
C n
7
2 = ….
a. 16 d. 9
b. 12 e. 8
c. 11
6. Tiga keping uang logam ditos sebanyak
208 kali. Frekuensi harapan munculnya
minimal dua sisi gambar adalah ….
a. 156 d. 72
b. 130 e. 52
c. 104
7. Tiga orang siswa masuk ruangan rapat.
Tempat yang masih kosong 5 kursi.
Banyaknya cara mereka dapat mengambil
tempat duduk adalah ….
a. 72 d. 24
b. 60 e. 18
c. 48
8. Peluang pada pengetosan 7 mata uang
sekaligus yang muncul 3 gambar adalah
….
a. 17
128
d. 31
128
b. 19
128
e. 35
128
c. 27
128
9. Jika P(n + 4,11) : P(n + 3,11) = 14 : 3 maka
n = ….
a. 12 d. 9
b. 11 e. 8
c. 10
10. Koefisien x17 dari x5(1 – x2)17 adalah ….
a. 12.376 d. –6188
b. –924 e. 924
c. –12.376
11. Dua buah dadu dilempar undi bersamasama.
Peluang munculnya jumlah mata
dadu 9 atau 10 adalah ….
a. 5
36
d. 9
36
b. 7
36
e. 11
36
c. 8
36
Peluang 73
12. Tono beserta 9 orang temannya bermaksud
membentuk suatu tim bola volley terdiri
atas 6 orang. Apabila Tono harus menjadi
anggota tim tersebut maka banyak tim
yang mungkin dibentuk adalah ….
a. 126 d. 216
b. 162 e. 252
c. 210
13. Tiga buah kelereng merah dan empat buah
kelereng putih yang identik dimasukkan ke
dalam sebuah kotak. Peluang terambilnya
sebuah kelereng merah dan dua buah
kelereng putih dalam sekali pengambilan
adalah ….
a. 5
35
d. 24
35
b. 12
35
e. 30
35
c. 18
35
14. Dua buah dadu ditos bersama. Peluang
munculnya jumlah mata dadu tiga atau
enam adalah ….
a. 12
36
d. 1
36
b. 8
36
e. 5
36
c. 7
36
15. Peluang seorang pemain basket memasukkan
bola ke dalam keranjang dengan tepat
adalah 0,2. Tentukan peluang pemain
basket tersebut memasukkan paling sedikit
sekali dari dua kali percobaan ….
a. 4
100
d. 96
100
b. 2
10
e. 2
100
c. 4
10
16. Diketahui bahwa 20% siswa sebuah
sekolah dasar bercita-cita ingin menjadi
dokter, 50% siswa bercita-cita menjadi
pilot, dan 10% siswa bercita-cita menjadi
dokter dan pilot. Jumlah siswa yang
bercita-cita menjadi dokter atau pilot
adalah ….
a. 20% d. 50%
b. 30% e. 60%
c. 40%
17. Pelat nomor mobil angkutan umum di
suatu kota terdiri atas tiga huruf dan dua
angka. Banyaknya cara menyusun pelat
nomor tersebut jika tidak boleh ada huruf
atau pun angka yang berulang adalah ….
a. 26 × 26 × 26 × 9 × 9 cara
b. 26 × 25 × 24 × 9 × 8 cara
c. 26 × 25 × 9 × 8 × 7 cara
d. 26 × 25 × 24 × 10 × 9 cara
e. 26 × 25 × 10 × 9 × 8 cara
18. Peluang seorang siswa mendapat nilai baik
dalam mata pelajaran Matematika dan
Fisika berturut-turut adalah 0,2 dan 0,4.
Peluang siswa tersebut mendapat nilai baik
untuk salah satu mata pelajaran tersebut
adalah ….
a. 0,92 d. 0,8
b. 0,08 e. 0,6
c. 0,85
19. Peluang seorang anak menebak dengan
tepat huruf pertama nama temannya adalah
….
a. 1
13
d. 2
52
b. 1
26
e. 2
26
c. 1
25
20. Peluang untuk memperoleh bilangan
ganjil pada sebuah dadu dan gambar
pada sekeping mata uang yang dilempar
bersama sebanyak satu kali adalah ….
a. 1
12
d. 1
3
b. 1
6
e. 1
2
c. 1
4
74 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Dalam satu keranjang terdapat 9 buah
tomat. Jika diambil tiga buah tomat secara
acak dari empat buah tomat berwarna
merah, tiga buah tomat berwarna hijau
kemerahan, dan tiga buah tomat yang
masih hijau. Tentukan banyaknya cara
yang dapat dilakukan.
2. Dari 36 orang siswa terdapat 22 orang
gemar voli, 17 orang gemar tenis, dan
4 orang tidak gemar keduanya. Jika
seorang siswa dipilih secara acak, berapa
peluang:
a. seorang gemar olahraga voli;
b. seorang siswa gemar olahraga tenis;
c. seorang siswa hanya gemar olahraga
voli;
d. seorang siswa hanya gemar olahraga
tenis;
e. seorang siswa gemar olahraga voli
dan tenis.
3. Tiga orang perempuan harus duduk
di antara empat orang pria. Tidak ada
perempuan yang duduk di pinggir dan tidak
ada perempuan yang duduk berdampingan
dengan perempuan. Dalam berapa cara
kondisi tersebut dapat diatur?
4. Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentuk
berikut.
a. (3a + b2)4 d. (2×2 – 3y)6
b. (2p + q2)5 e. (3a2 – 2ab)6
c. (3p2 – q)5 f. (a + 2b – 3c)7
5. Satu stoples berisi 16 permen rasa cokelat
dan 12 permen rasa jeruk. Jika diambil dua
permen satu per satu tanpa pengembalian,
tentukan peluang yang terambil itu
adalah
a. keduanya rasa cokelat,
b. keduanya rasa jeruk,
c. pengambilan pertama rasa cokelat dan
peng ambilan kedua rasa jeruk,
d. berturut-turut rasa jeruk, kemudian
rasa cokelat.
Bab3
75
Trigonometri Sumber: http://www.tnial.mil.id
Anda telah mempelajari perbandingan trigonometri
dari sudut berelasi di Kelas X. Pada bab ini, materi itu akan
dikembangkan sampai ke rumus trigonometri untuk jumlah
dan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini akan dibahas
mengenai rumus trigonometri untuk sudut rangkap.
Konsep-konsep trigonometri yang akan dibahas di bab
ini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan
dan teknologi, misalnya dalam menjawab permasalahan
berikut.
Sebuah roket yang ditembakkan ke atas membentuk
sudut θ terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut θ
agar roket mencapai jarak maksimum?
Agar Anda dapat menjawab permasalahan tersebut,
pelajari bab ini dengan baik.
A. Rumus Trigonometri
untuk Jumlah dan
Selisih Dua Sudut
B. Rumus Trigonometri
untuk Sudut Ganda
C. Perkalian,
Penjumlahan, serta
Pengurangan Sinus
dan Kosinus
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
rumus trigonometri jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut
ganda; merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua
sudut dan sudut ganda.
76 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Isilah titik-titik berikut.
a. cos2a = 1 – ….
b. tan
….
….
􀁁 􀀝
c. sin(180º – A) = ….
d. cos(90º – A) = ….
e. sin(– α) = …. sin α
f. cos(– β) = ….cos β
g. cos(90º – β) = ….
h. tan(– β) = ….tan
2. Tentukan jarak antara titik A(1, –2) dan
B(4,2).
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Trigonometri
Rumus Jumlah dan Selisih Rumus Sudut Ganda Rumus Konversi
terdiri atas terdiri atas
1. Rumus untuk cos (α ± β)
2. Rumus untuk sin (α ± β)
3. Rumus untuk tan (α ± β)
1. Rumus untuk sin 2 α
2. Rumus untuk cos 2 α.
3. Rumus untuk tan 2 α.
Bentuk Kali
ke Jumlah
Bentuk Jumlah
ke Kali
menentukan
dapat berupa
Trigonometri 77
A. Rumus Trigonometri untuk
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus untuk Cos (α ± β)
Amati gambar Gambar 3.1 dengan saksama.Gambar 3.1
menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari
r. Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar
tersebut, diperoleh OC=OB=OD=OA = r dan koordinat titik
A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r
sin α), C(r cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,
diperoleh
dAB d2 2 2 2 􀀈AB􀀉 􀀈x x 􀀉 A B􀀍 􀀋􀀈y y 􀀉 A
B􀀍 sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitu
a. (AC)2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2
= r2 cos2 (α + β) – 2r2cos (α + β) + r2 + r2 sin2 (α + β)
= r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2 – 2r2cos (α + β)
= r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos (α + β)
Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos (􀁳 + β)
b. (DB)2 = (r cos α – r cos β)2 + (r sin α + r sin β)2
= r2 cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2
sin2 α + 2 r2sin α sin β + r2 sin2 β
= r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β ) –
2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
= r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
= 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
Jadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cos 􀁳 cos β + 2r2 sin􀁳􀀀sin β
ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC = DB.
Coba Anda kemukakan alasan mengapa ΔOCA kongruen
ΔOBD.
Jadi, AC2 = DB2.
2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
–2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
D
A
B
C
O
r
y
x
β
–β
α
Gambar 3.1
78 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus
cos (α + β), yaitu
cos(α – β)= cos (α + (–β))
= cos α cos(–β) – sin α sin(–β)
= cos α cos β + sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
1. Hitunglah cos 75°.
2. Buktikan
cos
cos
tan
􀁁cos􀁂
􀁁tan􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀝1􀀍 .
Jawab:
1. cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
=
1
2
2
1
2
3
1
2
2
􀂤 1
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
=
1
4
6
1
4
2
1
4
􀀍 􀀝 2􀀈 3 􀀍1􀀉
2. cos
cos
cos sin
􀁁cos􀁂 cos
􀁁cos􀁂 􀁁sin􀁂
􀁁cos􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀝
􀀍
􀀝
cos
cos
sin
cos
tan ta
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁sin􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁
􀀍
􀀝1􀀍 tan 􀁂
Contoh 3.1
Pembahasan Soal
Diketahui cos(A – B) =
3
5
dan
cos A . cos B =
7
25
. Tentukan
nilai tan A . tan B
Jawab:
cos (A – B) =
cos A cos B + sin A sin B
sin A sin B =
cos (A – B) – cos A cos B
=
3
5
7
25
􀀍
=
15 7
25
8
25
􀀍
􀀝
tan A tan B =
sin sin
cos cos
A B
A B
􀂕
􀂕
=
8
25
7
25
8
7
􀀝
Ebtanas 1998
2. Rumus untuk sin (α ± β)
Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang
sudut komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α􀀀􀀋􀀀β)
dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua
sudut komplemen berikut.
cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri
dua sudut komplemen, diperoleh
sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]
= cos [(90° – α) – β]
= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β
= sin α · cos β + cos α · sin β
sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β),
yaitu
sin (α – β) = sin (α + (–β))
= sin α cos (–β) + cos α sin (–β)
= sin α · cos β – cos α · sin β
Trigonometri 79
Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Sekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri
rumus-rumus yang diberi kotak.
1. Hitunglah sin 15°.
2. Hitunglah sin cos cos
1
4
1
4
1
4
􀁐􀀋􀁑 􀁐 􀁑 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂶
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂴
􀂵 􀂶
􀀍
􀂤
􀂦
􀂤
􀂥 􀂦
􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀁑 􀁐 􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂥
􀁑
1
4
.
Jawab:
1. sin 15° = sin (45°–30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°
= 1
2
2
1
2
3
1
2
2
􀂤 1
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
= 1
4
6
1
4
2
1
4
􀀍 􀀝 􀀈 6 2􀀉
2. Soal tersebut bentuknya sama dengan rumus
sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) dengan
􀁁􀀝 􀁐􀀋􀁑 􀁂 􀁐
􀁑
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂴􀂵 􀂶
􀀝 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1
4
1
4
. Akibatnya,
sin cos cos
1
4
1
4
1
4
􀁐􀀋􀁑 􀁐 􀁑 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂶
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂴
􀂵 􀂶
􀀍
􀂤
􀂦
􀂤
􀂥 􀂦
􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀁑 􀁐 􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂥
􀁑
1
4
= sin cos cos
1
4
1
4
1
4
􀁐􀀋􀁑 􀁐 􀁑 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵 􀂶
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂴
􀂵 􀂶
􀀍
􀂤
􀂦
􀂤
􀂥 􀂦
􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀁑 􀁐 􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂥
􀁑
1
4
= sin
1
2
􀁐 􀀝 1
Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.
Contoh 3.2
3. Rumus untuk tan (α ± β)
Anda telah mempelajari bahwa
tan
sin
cos
􀁁
􀁁
􀁁
􀀝
Kemudian, Anda juga telah mempelajari bahwa
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
dan
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
1. Jelaskan mengapa
rumus tan(t – β) =
tan
t
􀁁 tan􀁂
1􀀋 tan􀁁 tan􀁂
tidak bisa digunakan
untuk menunjukkan
tan 􀁐
􀁑 cot􀁑
2
􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂥 􀂥􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 .
2. Perhatikan uraian berikut.
tan
tan
tan
t
q p
q tan
q tan
+
Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
= (p / )
(p /
)
=
2
1- tanq an
tan
tan
tan
tan
tan
q
q q
q
1
0 1
0
1
( ) / 2
+
( ) / 2
-
=
-
=
-
= -
tan
cot
q
q
Jelaskan alasan setiap
langkah pada uraian
tersebut.
Tantangan
untuk Anda
80 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sekarang, pelajari uraian berikut.
tan
sin
cos
sin 􀁁cos􀁂 cos􀁁sin􀁂 􀀈􀁁 􀁂􀀉􀀝
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀝
􀀋
cos􀁁cos􀁂􀀍 sin􀁁sin􀁂
= sin cos
cos sin
􀁁cos􀁂 􀁁sin􀁂 cos cos
􀁁cos􀁂 􀁁sin􀁂
􀀋 􀁁
􀀍
􀁲
1
􀁂
􀁁
􀁂
1
cos =
sin cos
cos
cos sin
c
􀁁cos􀁂 􀁁sin􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂 􀁁sin􀁂
􀀋
􀀍
os
sin
cos
cos
cos
c
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁sin􀁂
􀁁cos􀁂 􀀝
􀀋
os
cos
sin
cos
􀁁cos􀁂
􀁁cos􀁂
􀁁sin􀁂
􀁁cos􀁂
􀀍
=
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
tan t
􀁁
􀁁
􀁂
􀁂
􀁁
􀁁
􀁂
􀁂
􀁁
􀀋
􀀍 􀂕
􀀝
􀀋
1
an
tan
􀁂
1􀀍 􀁁 tan􀁂
Jadi, tan
tan
1 tan
􀁁+ tan􀁂
􀁁
tan􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉􀀝
Rumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β),
sebagai berikut:
tan
tan
tan tan
􀁁
􀁁
􀀈􀁁 􀁂􀀉􀀝 tan􀀈􀁁 􀀈 􀁂􀀉􀀉􀀝
tan􀀈 􀁂􀀉
1􀀍 􀁁
􀁂
􀁁
􀁂
􀀈􀀍􀁂􀀉
􀀝
􀀋 tan 1 Jadi, tan =
tan
1 t
􀁁 tan􀁂
􀁁
tan􀁂
􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀋 tan1. Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°.
2. Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sinC 􀀝
2
13
. Jika tan
A tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B.
Jawab:
1. tan 50° = tan (45° + 5°) =
tan tan
tan
45 5
1 tan45 tan5
o 5o
otan 5o
􀀋
=
1
1 1
1
1
􀀋
􀂕
􀀝
􀀋
􀀍
p
p
p
p
Contoh 3.3
Jelaskan makna dari π jika
dikatakan cos 􀁐
2
= 0
dan π = 3,14
Tantangan
untuk Anda
Trigonometri 81
2. Langkah ke-1
Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari
soal tersebut.
Diketahui: • sinC 􀀝
2
13
• tan A tan B = 13
• ΔABC lancip.
Ditanyakan: Nilai (tan A + tan B).
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab
soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep
sudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untuk
jumlah dua sudut.
Langkah ke-3
Menentukan nilai (tan A + tan B) dengan strategi yang telah
diketahui. Sudut-sudut dalam ΔABC berjumlah 180° sehingga
A + B + C = 180°.
A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)
sinC sin􀀈A B􀀉􀀝
2
13
Karena ΔABC lancip maka (A + B) terletak di kuadran II.
sin (A + B) =
y
r
􀀝
2
13
sehingga y = 2 dan r = 13
x = 􀀍 r2􀀍y2􀀝 􀀍 13􀀍4􀀝 􀀍3
tan (A + B) =
y
x
􀀝
􀀍
􀀝 􀀍
2
3
2
3
tan (A + B) =
tan + tan
1 – tan tan
A+ tanB
AtanB
􀀍 􀀝
􀀍
2
3 1 13
tanA + tanB
tan A + tan B =
2
3
8
􀀈 12􀀉
􀀍
􀀝
Kuadran II
r
y + A + B
x –
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Jika cos 5° = p, sin 5° = q, dan tan 5° = r,
tentukan nilai dari
a. cos 25° d. sin 95°
b. cos 80° e. tan 55°
c. sin 40° f. tan 10°
2. Tentukan nilai dari
a. cos 80° cos 55° – sin 80° sin 55°
b. cos 350° cos 20° + sin 350° sin 20°
c. sin 250° cos 25° – cos 250° sin 25°
d. tan85 tan 35
1 tan85tan35
o 35o
otan 35o
􀀋
82 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
e.
tan tan
tan tan
390 75
1 390 75
o 75o
otan 75o
􀀋
􀀋
3. Buktikan bahwa
a. cos (60° – b) – cos (60° + b) = 3 sin b
b. sin (a + 45°) + sin (a – 45°) = 2 sin a
c. (cos a – cos b)2+ (sin a – sin b)2 =
2 (1 – cos (a – b))
d. cos a 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀁐
2
= sin a
e. sin 􀀈a 􀀍 􀀉= – sin a
4. a. Jika α dan β sudut lancip, cos 􀁁 􀀝
4
5
,
dan sin 􀁂 􀀝
5
13
, tentukan cos (α – β).
b. Jika α di kuadran I, β di kuadran III,
tan 􀁁 􀀝
3
4
, dan tan 􀁂 􀀝
7
24
, tentukan
cos (α + β).
c. Jika α dan β di kuadaran II, sin 􀁁 􀀝
5
13
,
dan tan 􀁂 􀀝 􀀍
3
4
, tentukan sin (α + β).
5. a. Jika tan 􀁁 􀀝
􀀍
1
1 p
dan tan 􀁂 􀀝
􀀋
1
1 p
,
buktikan bahwa tan(α + β) = –2p–2 .
b. Jika sin b cos (B – a) = sin a cos
(b – B), buktikan sin (a – b) = 0.
6. Sebatang tongkat yang beratnya w dipasang
engsel pada titik P sehingga
tongkat dapat bergerak bebas seperti
gambar berikut. Besar tegangan tali sistem
ini adalah T sin 􀁁 􀀝
1
2
w. Jika berat tongkat
4 6 newton dan α = 75°, berapa newton
tegangan tali?
P
w Q
T sin α
T cos α
α
7. Sebuah benda yang massanya m didorong
ke atas pada sebuah bidang miring yang
kasar seperti ditunjukkan pada gambar
berikut. Usaha (W) oleh gaya berat saat
benda didorong sejauh S dirumuskan oleh
W = mgs cos (90° + α). Dalam hal ini g
adalah percepatan gravitasi bumi yang
besarnya 10 m/s2.
a. Tunjukkan bahwa W = – mgs sin α.
b. Jika diketahui massa benda 4 kg,
α = 45°, dan benda terdorong sejauh
6 meter, berapa newton usaha oleh
gaya berat itu?
N
F
f
S
α
90o + α
B. Rumus Trigonometri untuk Sudut
Ganda
1. Rumus untuk sin 2α
Anda telah mengetahui bahwa
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Untuk β = α, diperoleh
sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α
sin 2 α = 2 sin α cos α
Jadi, sin 2α = 2 sin α cos α
Trigonometri 83
2. Rumus untuk cos 2α
Anda juga telah mempelajari bahwa
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.
Untuk β = α, diperoleh
cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α
cos 2α = cos2α – sin2α
Jadi, cos 2α = cos2α – sin2α
Untuk rumus cos2α dapat juga ditulis
cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α
cos 2α = 1 – 2 sin2α
Jadi, cos 2α = 1 – 2 sin2α
Sekarang, coba Anda tunjukkan bahwa
cos 2α = 2 cos2α – 1
3. Rumus untuk tan 2α
Dari rumus
tan(α + β) = tan
tan
􀁁 tan􀁂
1􀀍 􀁁 tan􀁂
Untuk β = α diperoleh
tan(α + α) =
tan tan
tan
tan
􀁁 􀁁
􀁁 􀁁
􀀋
1􀀍 􀂙 tan 2α = 2
1 2
tan
tan
􀁁
􀀍 􀁁
Jadi, tan 2α =
2tan
1 tan2
􀁁
􀁁
1. Jika sin A =
6
10
dengan 0 < A <
1
2
􀁐, tentukan sin 2A, cos 2A,
dan tan 2A.
2. Buktikan bahwa
sin
1 cos
2
1
2
􀁑
􀁑
􀀝 􀁯
􀀍
Jawab:
1. Amati Gambar 3.3. Dengan menggunakan teorema Pythagoras,
diperoleh
Contoh 3.4
x
A
6
10
Gambar 3.3
84 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sebuah meriam yang ditembakkan ke atas membentuk sudut 􀁑
terhadap arah horizontal (perhatikan Gambar 3.4). Diketahui
kecepatan awal peluru meriam v0 m/s dan jarak R yang ditempuh
peluru meriam memenuhi persamaan R =
1
16 0
v 2 sin􀁑cos􀁑.
a. Tunjukkan bahwa R =
1
32
2 0
v 2 sin 􀁑.
b. Carilah sudut 􀁑 yang memberikan R maksimum.
Jawab:
a. Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari
soal.
Diketahui:
• Kecepatan awal peluru meriam = vo m/s.
• Jarak yang ditempuh peluru meriam = R.
Ditanyakan:
Menunjukkan R =
1
32
2 0
v 2 sin 􀁑
Contoh 3.5
Gambar 3.4
x􀀝 102􀀍62􀀝 64􀀝8
• sin A􀀝 􀀝
6
10
3
5
• tan A
x
􀀝 􀀝 􀀝
6 6
8
3
4
• cos A
x
􀀝 􀀝 􀀝
10
8
10
4
5
sin2A = 2 sin A cos A = 2
3
5
4
5
24
25
􀂕 􀂕 􀀝
cos2A = cos2A – sin2A =
4
5
3
5
16
25
9
25
7
25
2 2 􀂤 􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍 􀀝
tan2A =
2
1
2
3
4
1
3
4
6
4
7
16
6
4
1
2 2
tan
tan
A
􀀍 A
􀀝
􀂕
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀝 􀀝 􀂕
6
7
27
7
􀀝
2. 2 sin2α = 1 – cos 2α
􀂙 sin2α =
1 2
2
1 2
2
􀂙 􀀝􀁯
cos
i
􀁁 cos 􀁁
Substitusikan 􀁁 􀁑
1
2
ke persamaan tersebut, diperoleh
sin
cos
i
1 cos
2
1 2 1
2
2
1
2
1
􀁑
􀁑
􀁑
􀁑
􀀝 􀁯
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂙sin 􀀝􀁯
􀀍
2
Trigonometri 85
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. a. Jika sin A =
9
15
dengan 0 < A <
1
2
􀁐 ,
hitunglah sin 2A, cos 2A, dan tan 2A.
b. Jika tan α =
2 3 1
3
x
x
􀀋
dan α lancip,
hitunglah sin 2α, cos 2α, dan tan 2α.
2. Jika cos α =
1
5
5 dan
3
2
􀁐 < α < 2π,
hitunglah
a. sin 3α c. sin 4α
b. cos 3α d. cos 4α
3. Jika tan α = –a dan 􀁐
2
< α < π, tentukan
a. sin 3α c. sin 4α
b. cos 3α d. cos 4α
4. Percepatan yang dialami silinder pejal
yang ditempatkan pada bidang miring
dengan sudut kemiringan α dirumuskan
sebagai berikut.
a. a = g sin α jika tidak ada gesekan
antara silinder dan bidang miring.
b. a =
2
3
g sin α jika silinder menggelinding.
Misalkan sudut kemiringannya 22,5°,
tentukan percepatan yang dialami silinder
jika
a. tidak ada gesekan
b. silinder menggelinding
(Petunjuk: jangan gunakan kalkulator,
gunakan rumus setengah sudut)
5. Gambar berikut memperlihatkan sebuah
titik yang bergerak melingkar beraturan.
y
x
P’
P”
P
A
R = 􀁑
Simpangan dari getaran titik P’ dirumuskan
oleh y = A sin
2􀁐
T
t
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 .
Dalam hal ini,
A = amplitudo getaran,
T = periode getaran, dan
t = lamanya titik benda bergetar.
Langkah ke-2
Menentukan konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikan
soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rumus
trigonometri untuk sudut ganda.
Langkah ke-3
Menunjukkan R =
1
32
2 0
v 2 sin 􀁑 menggunakan strategi yang
telah diketahui.
Anda telah mengetahui sin 2 􀁑 = 2sin 􀁑 cos 􀁑 sehingga
R v = v v
1
16
1
16
2
2
1
32 0
2
0
2
0
sin 2
sin
qcosq sin
qcosq
2q .
b. Untuk kecepatan awal v0, sudut θ terhadap arah horizontal
mempengaruhi nilai R. Oleh karena fungsi sinus memiliki
nilai maksimum 1, R akan maksimum ketika
2 􀁑 = 90° 􀂙 􀁑 = 45°
86 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jika periode getaran 8 sekon dan benda
titik bergetar selama
3
2
sekon, tentukan
simpangan dari getaran
a. titik P’
b. titik P”t
(Petunjuk: gunakan rumus setengah
sudut).
6. Tulislah rumus sin 4a dan cos 4a.
7. Nyatakan sin 16a dengan sin 8a dan cos
8a.
8. Diketahui sin P =
12
20
, dengan 0 < P <
1
2
􀁐.
Hitunglah sin 2P, cos 2P, dan tan 2P.
9. Dengan menggunakan rumus setengah
sudut, hitunglah:
a. tan 22,5º d. cos 112,5º
b. tan 165º e. sin 292,5º
c. cos 67,5º f. sin 157,5º
10. Untuk tan x =
2
3
, tan y =
3
4
, hitunglah:
a. tan 2 x c. tan (2x + y)
b. tan 2 y d. tan (x + 2y)
C. Perkalian, Penjumlahan, serta
Pengurangan Sinus dan Kosinus
1. Perkalian Sinus dan Kosinus
Anda telah mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih
dua sudut, yaitu:
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan
kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β …. (1)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β …. (2)
Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan
memperoleh
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
Jadi, cos
cos +cos
2
􀁁cos􀁂􀀝 􀀈􀁁 􀁂􀀉 􀀈􀁁 􀁂􀀉
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β …. (3)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β …. (4)
Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh
cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β
Jadi, sin
cos cos
2
􀁁sin􀁂􀀝 􀀈􀁁 􀁂􀀉 􀀈􀁁 􀁂􀀉
􀀍
Trigonometri 87
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β …. (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β …. (6)
Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
Jadi, sin
sin i
2
􀁁cos􀁂􀀝 􀀈􀁁 􀁂􀀉􀀋 sin􀀈􀁁 􀁂􀀉
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β …. (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β …. (8)
Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh
sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
Jadi, cos􀁁 􀁂
sin sin
2
􀀝 􀀈􀁁 􀁂􀀉 􀀈􀁁 􀁂􀀉
Pembahasan Soal
Bentuk sederhana 4 sin 36°
cos 72° sin 108° adalah ….
Jawab
4 sin 36° cos 72°sin 108° =
2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] =
2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin
(108 – 72)°] =
2 sin 36°[0 + sin 36°] =
2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)
= 1 – cos 72°
Soal Ebtanas 2000
1. Hitunglah:
a. cos 75° cos15° b. –2 sin 15°sin 75°
2. Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.
Jawab:
1. a. cos 75° cos 15° =
1
2
(cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)
= 1
2
(cos 90° + cos 60°) =
1
2
0
1
2
1
4
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°
= cos 90° – cos (–60)°
= cos 90° – cos 60°
= 0 –
1
2
= –
1
2
2. 4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]
= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]
= 2 sin 72°[0 + sin72°]
= 2 sin cos 2 (72°)
= 1 – cos2(72°)
= 1 – cos144°
Contoh 3.6
2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Rumus perkalian sinus dan kosinus di bagian C.1 dapat
ditulis dalam rumus berikut.
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β …. (9)
cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β …. (10)
88 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. sin 105° + sin 15° = 2 sin
1
2
(105 + 15)° cos
1
2
(105 – 15)°
= 2 sin
1
2
(120)° cos
1
2
(90)°
= 2 sin 60° cos 45°
= 2
1
2
3
1
2
2
1
2
􀂕 􀂕 􀀝 6
2. cos 75° – cos 15° = –2 sin
1
2
(75° + 15°) sin
1
2
(75° – 15°)
= –2 sin 45° sin 30°
= –2
1
2
2
1
2
1
2
􀂕 2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀂕
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍
Contoh 3.7
Pembahasan Soal
Nilai dari sin 105° – sin 15°
adalah ….
Jawab:
sin 105° – sin 15° =
2
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
2
1
cos
sin
􀀈105o􀀋15o􀀉
􀀈105o􀀍15o􀀉
􀀝􀂕 􀂕
􀀝
2
6
Soal Ebtanas 1997
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β …. (11)
sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β …. (12)
Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh
p + q = (α + β) + (α – β) = 2α
􀁁 􀀝 􀀈 􀀋 􀀉
1
2
…. (13)
p – q = α + β – α + β = 2β
􀁂 􀀝 􀀈 􀀉 1
2
􀀍 ….(14)
Coba Anda substitusikan persamaan (13) dan (14)
pada rumus (9) sampai (12). Apakah Anda memperoleh
kesimpulan berikut?
cos p + cos q = 2 cos 1
2
(p + q) cos 1
2
(p – q)
cos p – cos q = –2 sin 1
2
(p + q) sin 1
2
(p – q)
sin p + sin q = 2 sin 1
2
(p + q) cos 1
2
(p – q)
sin p – sin q = 2 cos 1
2
(p + q) sin 1
2
(p – q)
Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah
atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.
Trigonometri 89
3. Identitas Trigonometri
Misalkan, Anda akan membuktikan kebenaran hubungan
berikut.
cos s
1 tan
= cos
4 sin4􀁁 4
􀁁
􀁁 …(15)
Cara membuktikannya dengan mengubah bentuk dari
salah satu ruas persamaan tersebut sehingga menjadi bentuk
yang sama dengan ruas lainnya.
Misalkan, Anda akan mengubah ruas kiri persamaan
tersebut sehingga menjadi bentuk yang sama seperti di ruas
kanan.
cos
tan
4 4 i
1 4
a sin4a
- a
=(cos2a sin2a)(cos2a sin2a)
(+ )( – )
=
◊( )
-
Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
1
2 1
2
2 sec
sin
cos
-
a a
a
= ( )
-
Ê
cos Ë
cos
cos
sin
2 cos
2
2
2
2
1
-
a
a
a
a
Á a
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
= ( )
Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
cos ¯
cos
2 cos
2 2 i
2
1
-
a
a- sin2a
a
=
( )
( )
=
cos4 cos4
1
1
1
-
a
-
a
= cos4α …. (16)
Bentuk (16) adalah bentuk yang sama dengan bentuk ruas
kanan persamaan (15). Untuk menunjukkan kebenaran suatu
identitas trigonometri, diperlukan pemahaman tentang identitas
dasar seperti yang telah Anda pelajari dalam pembahasan
sebelumnya. Sekarang, coba Anda ubah ruas kanan dari identitas
(15) sehingga diperoleh ruas kiri.
Pembahasan Soal
Bentuk
2
1 2
tan
tan
x
􀀋 x
ekuivalen
dengan ….
Jawab:
2
1
2
1
2 2
2
2
tan
tan
sin
cos
sin
cos
cos
cos
x
x
x
x
x
x
x
􀀋
􀀝
􀀋
􀀝 2 2
2
2
1
2
x x2
x
x
x
􀀋
􀀝 􀀝
s
cos
sin
sin
Soal Ebtanas 2000
90 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Buktikan kebenaran identitas berikut.
2 3 2 3
8 2
si
sin
cos
cos
o
x
x
x
x
􀀋 􀀝 x
Jawab:
2si 3 2 3 2 3 2 3
sin
cos
cos
x sin3 cos cos3 sin
x
x
x
xcosx xsinx
􀀋 􀀝
􀀋
sin cos
si
sin
si
sin
xcosx
x
x
x
􀀝
􀀈
x􀀋x􀀉
􀀝
􀀝
2 sin1
2
2
4sin4
2
4
sin
o
2
8cos2
x
x
􀀈2 sin2xcos2x􀀉
􀀝
Contoh 3.8
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan nilai dari soal-soal berikut ini.
a. cos 105º cos 15º
b. sin 75º cos 15º
c. 2 cos 15º sin 45º
d. 2 cos 75º sin 45º
e. 2 sin 82,5º cos 37,5º
f. 2 sin 127,5º sin 97,5º
2. Tentukan nilai dari soal-soal berikut.
a. sin 75° + sin 15°
b. sin 75° – sin 45°
c. cos 45° – cos 15°
d. cos 105° + cos 15°
3. Hitunglah soal-soal berikut.
a. cos 465° cos 165°
b. sin sin
cos cos
75 15
75 15
o sin15o
o cos15o
􀀋
c. cos 220° + cos 100° + cos 20°
d. cos 130° + cos 110° + cos 10°
e. sin sin
cos cos
115 35
115 35
o 35o
o 35o
􀀋
4. Buktikan kebenaran identitas berikut.
a. sin si
cos cos
tan
A B sin
A B 􀀋 A B
􀀋
􀀝
􀀋
2
b. sin si
cos cos
tan
4 2 i
4 2
3
sin 2A
2A
A
􀀋
􀀋
􀀝
c. sin si
sin si
tan
tan
A B sin
A􀀋 sinB
􀀝
􀀈A B􀀉
􀀈A􀀋B􀀉
1
2
1
2
5. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatu
jumlah atau selisih.
a. cos 3x cos 2x e. 2 cos 3x cos 6x
b. sin 4x sin 3x f. 2 sin 3x sin 5x
c. sin 5x cos 2x g. 2 sin 2x cos 7x
d. cos 7x sin 3x h. 2 cos 5x sin 8x
6. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatu
hasil kali.
a. cos 3x + cos 2x
b. cos 4x – cos 3x
c. sin 5x + sin 2x
d. sin 7x – sin 3x
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁕􀁓􀁊􀁈􀁐􀁏􀁐􀁎􀁆􀁕􀁓􀁊
􀁴􀀁 􀁔􀁊􀁏􀁖􀁔
􀁴􀀁 􀁄􀁐􀁔􀁊􀁏􀁖􀁔
􀁴􀀁 􀁕􀁂􀁏􀁈􀁆􀁏
􀁴􀀁 􀁔􀁖􀁅􀁖􀁕 􀁈􀁂􀁏􀁅􀁂
􀁴􀀁 􀁊􀁅􀁆􀁏􀁕􀁊􀁕􀁂􀁔 􀁕􀁓􀁊􀁈􀁐􀁏􀁐􀁎􀁆􀁕􀁓􀁊
Trigonometri 91
e. 1
2
1
2
cosx 􀀋 cos 3x
f. 1
2
􀀈cos5x o 6x􀀉
7. Buktikan kebenaran identitas berikut.
a. sin si
cos cos
cot
A sinA
A cosA
A
􀀋
􀀝
3
3
b. sin si
cos cos
tan
A B sin
A B 􀀋 A B
􀀋
􀀝
􀀋
2
c. sin si
cos cos
cot
A B sin
A B 􀀋 B A
􀀝
2
8. Jika x = sin 3 􀁑 + sin 􀁑 dan y = cos 3 􀁑 +
cos 􀁑 , buktikan identitas berikut.
a. x + y = 2 cos 􀁑 (sin 2 􀁑 + cos 2 􀁑 )
b. x
y
􀀝 tan2􀁑
c. x2 + y2 = 2 + 2 cos 2 􀁑
9. Jelaskan strategi yang Anda lakukan untuk
menyelesaikan soal pembuktian identitas
trigonometri. Bandingkan hasilnya dengan
teman lain. Manakah yang strateginya
lebih baik?
• Rumus-rumus jumlah dan selisih sudut adalah
1. cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
2. cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
3. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
4. sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
5. tan (α + β) =
tan tan
tan tan
􀁁 􀁂
􀁁 􀁂
􀀋
1􀀍 􀂕
Sekarang, lanjutkan rangkuman di atas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 3,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan
yang mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda amat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Refleksi
92 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 3
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. sin cos
tan
….
15 15
15
o cos15o
o 􀀝
a. 2
4 􀀈 3 1􀀉 d. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 2 􀂵
1
2
6
b. 2
4 􀀈 3􀀋1􀀉 e. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 3 􀂵
1
3
6
c. 2 3
2. sin (45° + α) – sin (45° – α) = ….
a. 2 sin 􀁁 d. 2 cos 􀁁
b. 2sin 􀁁 e. sin2􀁁
c. 2 cos 􀁁
3. sin (30o + β) + cos (60o + β)= ….
a. sin β d. 2 cos β
b. cos β e. cos
􀁂
c. 2 sin β 2
4.
sin
tan
….
a b tan
􀀈a b􀀉
􀀝
a. cos a cos b d. –sin a sin b
b. sin a sin b e. cos (a–b)
c. –cos a cos b
5. Jika sin A 􀀝
2
3
dan cos A 0 D < 0
Pusat M (a,b)
dan jari-jari r
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Pusat O dan
Jari-jari r
x2 + y2 = r2
meliputi
dapat dapat
Lingkaran 97
A. Persamaan Lingkaran
Gambar 4.1 memperlihatkan irisan kerucut berbentuk
lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnya
mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu
kerucut.
Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang
telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikut
ini disajikan definisi lingkaran.
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Definisi 4.1
Lingkaran ialah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai
jarak yang sama terhadap satu titik tertentu.
1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O
(0, 0) dan Berjari-jari r
Amati Gambar 4.2. Diketahui, titik P(x, y) adalah titik
sebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikan
pada sumbu-x maka diperoleh titik P’ sehingga segitiga OPP’
adalah segitiga siku-siku di P’.
Pada segitiga OPP’ berlaku Teorema Pythagoras sebagai
berikut.
OP2 = (OP’)2 + (P’P)2
􀂙 r2 = x2 + y2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut.
L= x y r 􀁛􀀈x y􀀉 2􀀋y2􀀝 2􀁝
Pandang titik P1(x1, y1) pada ΔOP1P’1. Pada segitiga
tersebut berlaku x2
1 + y2
1 = r2
1. Pandang titik P2(x2, y2) pada
ΔOP2P2′. Pada segitiga tersebut berlaku x2
2 + y2
2 = r2
2, dan
seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) pada
lingkaran ini berlaku x2 + y2 = r2.
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
berjari-jari r adalah
x2 + y2 = r2
O
P2(x2,y2)
r
r
P1(x1,y1)
P(x,y)
r
P’2 P’1
y1
P’
x1 x2
y2
98 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan
panjang jari-jari 2 3.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0)
dan melalui titik (–6, –8).
Jawab:
1. Jari-jari r = 2 3 sehingga r2 = 􀀈2 3􀀉2 = 12.
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari
2 3adalah x2 + y2 = 12.
2. Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r
adalah
x2 + y2 = r2…. (1)
Oleh karena lingkaran melalui titik (–6, –8) maka dengan
menyubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperoleh
x2 + y2 = r2 􀂙 (–6)2 + (–8)2 = r2
􀂙 r2 = 36 + 64 = 100
􀂙 r = 100 = 10
Kemudian, r2 = 100 substitusikan pada persamaan (1),
diperoleh x2 + y2 = 100.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.
Contoh 4.1
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat
T (a, b) dan Berjari-Jari r
Diketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T(a,b)
dengan jari-jari r seperti diperlihatkan pada Gambar 4.3. Titik
P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah
garis yang melalui titik pusat T(a, b) dan sejajar dengan
sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g adalah titik Q
sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q.
Diketahui jarak TQ = (x – a) dan jarak PQ = (y – b). Pada
segitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut.
TP2 = TQ2 + PQ2 􀂙 r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut:
L: {(x, y)(x – a)2 + (y – b)2 = r2}
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dan
berjari-jari r adalah
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan
lingkaran standar (baku).
T(a,b)
x
P(x,y)
y
Q g
r
b
a
y
x
Gambar 4.3
Lingkaran 99
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,–1) dengan
jari-jari 3 2 .
2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T (3,–4)
dan menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0.
Jawab:
1. Persamaan lingkaran standar (x – a)2 + (x – b)2 = r2.
Untuk pusat (2,–1) dengan jari-jari 3 2 , diperoleh
(x – 2)2 + (y – (–1))2 =
2 􀀈3 2􀀉 􀂙 (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18.
2. Rumus jarak dari titik T (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0
adalah
d =
ax b c
a b
1 1 y
2 2 􀀋by
􀀋 􀀋
Jarak dari pusat T (3,–4) ke garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jarijari
lingkaran, yaitu
r =
4 3 3 49
4
12 12 49
2 2 5
. 􀀍 􀀈 4􀀉􀀍
􀀋􀀈 3􀀉
􀀝
􀀋􀀍
= 5
Jadi, persamaan lingkarannya adalah
(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25.
Contoh 4.2
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Anda telah mempelajari persamaan lingkaran
yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a2 + b2 – r2); A, B, dan
C bilangan real. Jadi,
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan
jari-jari r, A = –2a, B = –2b, C = a2 + b2 – r2, A, B, dan C
bilangan real.
100 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax x +
By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan
langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan
pada guru Anda.
Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam
bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
(x2 + Ax) + (y2 + By) = –C
x2 Ax A y
By B
2
2 1
2
1
2
􀀋􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀋 􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥 􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵 􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀋
21 2
2
1
2
A B C
x A x B
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂵 􀂶
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀋 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
2
2 1
2
1
2 􀂶􀂶
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀋 􀀍
2
2 2 1
4
1
4
A2 B C
Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1
2
1
2
A􀀍 B
, dan jari-jari lingkaran r = 1
4
1
4
2 2 A2 􀀋 B2􀀍C .
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0.
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2×2 +2y2 – 4x –12y =
101.
Jawab:
1. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dengan demikian, A = –4, B = 6, dan C = –3.
Pusat M 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂵 􀂵 􀂵
1
2
1
2
A􀀍 B
, = M (2,–3)
Jari-jari r = 1
4
1
4
1
4
16
1
4
2 2 36 3 16
A2 􀀋 B2􀀍C􀀝 􀀋 . 􀀋􀀝 =4
2. Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, seperti
berikut.
2×2 + 2y2 – 4x – 12y – 101 = 0 􀂙 x2 + y2 – 2x – 6y – 101
2
= 0
Dengan demikian, A = –2, B = –6, dan C = –101
2
.
Pusat M 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1
2
1
2
A􀀍 B
, = M 􀀍 􀀈􀀍 􀀉 􀀍 􀀈􀀍 􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1
2
1
2
, = (1, 3)
Jari-jari r = 1
4
4
1
4
36
101
2
1 9
101
2
.4􀀋 .36􀀋 􀀝 􀀋 􀀋
􀀝 􀀝
􀀍
􀀝
121
2
11
2
11
2
2
Contoh 4.3
Soal Terbuka
1. Buatlah 3 buah
persamaan lingkaran yang
berpusat di (0, 0). Berikan
hasilnya kepada teman
Anda untuk dicek dan beri
komentar.
2. Buatlah 3 buah
persamaan lingkaran yang
berpusat di (a,b). Berikan
hasilnya kepada teman
Anda untuk dicek dan beri
komentar.
Tugas
Bersama kelompok belajar
Anda, gambarlah pada kertas
grafik Anda persamaan
lingkaran
x2 + y2 – 2x – 6y – 101
2
= 0.
Kemudian, hasilnya
kumpulkan pada guru Anda.
Lingkaran 101
4. Posisi Titik terhadap Lingkaran
Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)2 + (y – 2)2= 9
diperlihatkan pada Gambar 4.4. Pada gambar itu tampak
bahwa titik P1(1, 3) terletak di dalam lingkaran, titik P2(5, 2)
terletak pada lingkaran, sedangkan titik P3(6, –3) terletak di
luar lingkaran.
Anda dapat mengetahui posisi titik P(x1, y1) terhadap
lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r hanya dengan
mengetahui jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b).
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) kurang
dari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di
dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar
4.5(a). Secara matematis ditulis |PT| < r
2 2 􀀈x a􀀉 1 􀀋􀀈y b􀀉 1 < r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau
x1
2 + y1
2 + Ax1 + By1 + C r
2 2 􀀈x a􀀉 1 􀀋􀀈y b􀀉 1 > r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 atau
x1
2 + y1
2 + Ax1 + By1 + C > 0
Gambar 4.4
Gambar 4.5
(a)
|PT| = r
(b)
r
P(x1, y1)
|PT|
T(a, b)
|PT| r
r
|PT|
T(a, b)
P(x1, y1)
Tentukanlah posisi titik A(5, 1), B(4, –4), dan C(6, 3) terhadap
lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Jawab:
Persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dapat diubah
sebagai berikut.
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
(x2 – 4x) + (y2 + 6y) – 12 = 0
(x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) – 12 = 0 + 4 + 9 … kedua ruas ditambah 4 dan 9
Contoh 4.4
Soal Terbuka
Buatlah sebuah persamaan
lingkaran. Kemudian,
tentukan titik-titik yang
berada di dalam, di luar, dan
pada lingkaran (masingmasing
3 buah).
P3(6,–3)
y
P1(1,3)
r = 3 P2(5,2)
T(2,2)
x
102 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Diketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + 2 dan lingkaran
L dengan persamaan x2 + y2 = 4. Agar garis g memotong lingkaran
L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai m yang memenuhi.
Contoh 4.5
5. Posisi Garis terhadap Lingkaran
Diketahui garis g: y = mx + n, dan lingkaran
L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Perpotongan garis g dengan
lingkaran L adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + (mx + n)2 + Ax + B (mx + n) + C = 0
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + Ax + Bmx + Bn + C = 0
(1 + m2)x2 + (2mn + A + Bm)x + n2 + Bn + C = 0
Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah
D = b2 – 4ac
= (2mn + A + Bm)2 – 4(1 + m2) (n2 + Bn + C)
• Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan.
Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong
lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di dua titik yang
berlainan, seperti pada Gambar 4.6(a).
• Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.
Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong
lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis
g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan
pada Gambar 4.6(b).
• Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang
berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak
memotong atau menyinggung lingkaran x2 + y2 + Ax +
By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar 4.6(c).
(b)
(c)
(a)
T(a,b)
P
g
(b)
g
T(a,b)
P
g
T(a,b)
P
Gambar 4.6
(x – 2)2 + (y + 3)2 – 12 = 13
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Titik A (5, 1) terletak pada lingkaran sebab (5 – 2)2 + (1 + 3)2 = 25.
Titik B (4, –4) terletak di dalam lingkaran sebab
(4 – 2)2 + (–4 + 3)2 25.
Lingkaran 103
Titik A(4,8), B(2,4), dan C(10,0)
terletak pada lingkaran.
a. Tunjukkan bahwa segitiga
ABC adalah segitiga sikusiku
di B.
b. Mengapa titik P(7,0)
adalah pusat lingkaran?
Jelaskan
c. Hitunglah jari-jari
lingkaran tersebut.
d. Carilah persamaan
lingkaran tersebut.
Tantangan
untuk Anda
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan persamaan lingkaran dalam
bentuk standar (baku) untuk setiap soal
berikut.
a. Pusat (–2, –1) dan jari-jari 3 3.
b. Pusat (1, –3) dan melalui titik (1, 1).
c. Pusat (1, –2) dan diameter 4 2.
d. Mempunyai diameter yang ujungnya
melalui titik (1, –1) dan (1, 5).
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran soalsoal
berikut.
a. x2 + y2 – 10x + 6y + 16 = 0
b. 4×2 + 4y2 + 8x – 16y + 17 = 0
c. 3×2 + 3y2 – 12x + 18y + 35 = 0
d. 4×2 + 4y2 + 4x + 12y + 1 = 0
3. Bagaimana posisi titik-titik berikut ini
(di dalam, pada, atau di luar lingkaran)
terhadap lingkaran yang diketahui?
a. P(–1,6), Q(1,4), dan R(–3,5) terhadap
lingkaran x2 + y2 + 2x – 10y + 22 = 0.
b. K(–2,1), L(–1,0), danM(5,4) terhadap
lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y – 5 = 0.
4. Sebuah ayunan bandul bergerak bolak-balik
seperti diperlihatkan
pada gambar berikut.
Lintasan ay u n an
bandul (busur AB pada
gambar) memenuhi persamaan lingkaran
2×2 + 2y2 – 6,8y – 1,9 = 0.
a. Berapa panjang ayunan bandul?
b. Berapa koordinat titik P?
5. Nyatakan apakah garis y =
1
2
x + 5
memotong lingkaran x2 + y2 = 9 di satu
titik, dua titik, atau tidak memiliki titik
potong.
6. Bentuk geometris jendela sebuah gedung
terdiri atas persegipanjang dan setengah
lingkaran. Jendela tersebut dirancang oleh
arsitek menggunakan sistem koordinat
seperti diperlihatkan pada gambar berikut.
Jika keliling setengah lingkaran dari jendela
tersebut memenuhi persamaan
x2 + y2 –3y + 1,25 = 0,
berapa m2 luas daerah jendela tersebut?
(Petunjuk: anggap satuan luasnya m2).
y
x
A B
P
Jawab:
y = mx + 2 maka y2 = (mx + 2)2 = m2 x2 + 4m x + 4
x2 + y2 = 4 􀂙 x2 + m2x2 + 4mx + 4 = 4
􀂙 (1+ m2)x2 + 4mx = 0
Diskriminan D = (4m)2 – 4 (1 + m2) (0)
D = 16m2
Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik maka haruslah D> 0.
Dengan demikian, 16m2 > 0
􀂙 m2 > 0
􀂙 m > 0
Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m > 0.
104 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Melalui
Suatu Titik pada Lingkaran
Titik P((x1, y1) terletak pada garis g dan lingkaran x2+y2=r2,
seperti diperlihatkan pada Gambar 4.7.
Gradien garis yang menghubungkan titik O dan titik P
adalah mOP=
y
x
1
1
. Garis g menyinggung lingkaran di P, jelas
OP􀀾 g sehingga mOP·mg = –1 atau mg =
􀀍1
mop
. Akibatnya,
gradien garis g adalah mg =
􀀍1
mop
= 􀀍
x
y
1
1
.
Jadi, persamaan garis singgung g adalah
y – y1 = mg(x – x1) 􀂙 y – y1 = 􀀍
x
y
1
1
(x – x1)
􀂙 y1(y – y1) = –x1(x – x1)
􀂙 x1x + y1y = x1
2 + y1
2 …. (i)
Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2
sehingga
x1
2 + y1
2 = r2 ….(ii)
Apabila persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan
(i) diperoleh
g: x1x + y1 y = r2
Persamaan tersebut adalah persamaan garis singgung
yang melalui titik P(x1, y1) dan terletak pada lingkaran
L : x2 + y2 = r2.
Anda pun dapat menentukan persamaan garis singung
g melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada lingkaran
L : (x – a)2 + (y – b) = r2 dengan pusat di M(a, b) dan jari-jari r,
yaitu
g: (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut.
Kemudian, kemukakan hasilnya di depan kelas (beberapa
orang saja).
Diketahui titik P(x1, y1) terletak pada garis g dan
lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan
pada Gambar 4.8. Gradien garis yang menghubungkan titik
T dan titik P adalah
P(x1, y1)
y
x
O
r y
x Q
g
Gambar 4.7
Lingkaran 105
mTP = y b
x a
1
1
.
Garis g menyinggung lingkaran maka
g􀀾 TP dan mg · mMP = –1 sehingga mg = 􀀍
x a 􀀍
y b 􀀍
1
1 Jadi, persamaan garis singgung g adalah
y – y1 = mg (x – x1)
y – y1 = 􀀍
x a 􀀍
y b 􀀍
1
1
(x – x1)
(y – y1) (y1 – b) = –(x1 – a) (x – x1)
y1y – by – y1
2 + y1b = –x1x + x1
2 + ax – ax1
y1y – by + y1b + x1x – ax + ax1 = x1
2 + y1
2 …. (1)
Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran L sehingga
diperoleh
x1
2 + y1
2 + Ax1 + By1 + C = 0
x1
2 + y1
2 = – (Ax1 + By1 + C) …. (2)
Substitusikan (2) pada (1), diperoleh
y1y – by + y1b + x1x – ax + ax1 = –(Ax1 + By1 + C) …. (3)
Dari uraian sebelumnya, diperoleh –
1
2
A = a,–
1
2
B = b …. (4)
Substitusikan (4) pada (3) sehingga persamaan (3)
menjadi
y1y +
1
2
B y –
1
2
B y1 + x1x +
1
2
A x –
1
2
A x1 = –Ax1 – By1 –C
y1y +
1
2
B y +
1
2
B y1 + x1x + 1
2
A x + 1
2
A x1 + C = 0
x1x + y1y + 1
2
A (x + x1) +
1
2
B (y + y1) + C = 0
Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1,
y1) dan terletak pada lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0
adalah
xx1 + yy1 + 1
2
A (x + x1) +
1
2
B (y + y1) + C = 0
Gambar 4.8
P(x1, y1)
(y1–b)
T(a, b)
(x1–a)
x
y
g
1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25
di titik (4, –3).
2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 25 di titik (–6, 4).
Contoh 4.6
106 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Mari, Cari Tahu
Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 orang. Gradien suatu garis
lurus biasanya dilambangkan dengan m. Cari informasi di buku
lain atau internet, mengapa huruf m yang digunakan? Selidiki
pula adakah huruf lain yang digunakan? Tuliskan laporannya dan
presentasikan hasil tersebut di depan kelas.
2. Persamaan Garis Singgung Melalui
Suatu Titik di Luar Lingkaran
Diketahui titik P(x1, y1) berada di luar lingkaran
L: x2 + y2 = r2 … (1)
Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui
P(x1, y1) adalah
g: y = y1 + m(x – x1) …(2).
Jika g menyinggung L di titik Q, Anda dapat
menyubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga
diperoleh persamaan kuadrat dalam x. Selanjutnya, Anda cari
diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena
g menyinggung L maka D = 0 sehingga nilai-nilai m dapat
diperoleh. Apabila nilai mdiketahui, Anda dapat menentukan
persamaan garis singgung g dengan cara menyubstitusikan m
ke persamaan garis g tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajari
contoh berikut.
Jawab:
1. Titik (4, –3) terletak pada lingkaran sebab 42 + (–3)2 = 25.
Persamaan garis singgung g: x1x + y1y = r2 dengan x1 = 4 dan
y1 = –3 adalah 4x – 3y = 25.
2. Titik (–6, 4) terletak pada lingkaran karena (–6 + 2)2 + (4 – 1)2
= 25. Diketahui a = –2 dan b = 1 maka persamaan garis
singgung
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
(x1 + 2) (x + 2) + (y1 – 1) (y – 1) = 25
Untuk x1 = –6 dan y1 = 4 diperoleh
(–6 + 2) (x + 2) + (4 – 1) (y – 1) = 25
–4 (x + 2) + 3(y – 1) = 25
–4x – 8 + 3y – 3 = 25
–4x + 3y = 14
Lingkaran 107
1. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25
yang dapat ditarik dari titik (7, –1).
2. Tentukan koordinat-koordinat titik singgung.
3. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik
singgung.
Jawab:
1. Titik P (7, –1) terletak di luar lingkaran. Coba Anda buktikan
hal ini.
Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui (7, –1)
dengan gradien m adalah
y + 1 = m(x – 7)
􀂙 y = mx – 7m – 1 … (1)
Substitusi (1) ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25,
diperoleh
x2 + (mx – 7m – 1)2 = 25
x² + m²x² – 14m²x – 2mx + 49m² + 14m + 1 = 25
(1 + m²)x² – (14m² + 2m)x + (49m² + 14m – 24) = 0
Nilai diskriminan, yaitu
D = (14m² + 2m)² – 4 (1 + m²) (49m² + 14m – 24)
D = 196m4 + 56m3 + 4m² – 100m² – 56m + 96 – 196m4 – 56m3
D = –96m2 – 56m + 96
Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0 sehingga
–96m2 – 56m + 96 = 0
atau 12m2 + 7m – 12 = 0
m=
􀀍 􀀋
􀀝
725
24
3
4
atau m =
􀀍 􀀋
􀀝
725
24
4
3
• Untukm=
3
4
substitusikan pada persamaan (1) diperoleh
persamaan garis singgung: y =
3
4
x – 7.
3
4
–1 = 3
4
25
4
x 􀀍
atau 4y – 3x + 25 = 0.
• Untuk m = –
4
3
substitusikan pada persamaan (1)
diperoleh persamaan garis singgung:
y = –
4
3
x + 7.
4
3
– 1 = 􀀍 􀀋
4
3
25
3
atau 3y + 4x – 25 = 0.
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik
(7, –1) adalah
l: 4y – 3x + 25 = 0 dan g: 3y + 4x – 25 = 0.
2. Misalkan, titik A adalah titik singgung garis l: 4y – 3x + 25 = 0
dengan lingkaran.
Contoh 4.7
Pembahasan Soal
Persamaan garis singgung
melalui titik (9, 0) pada
lingkaran x2 + y2 = 36 adalah
….
Jawab:
Misalkan, persamaan garis
singgung
y – 0 = m(x – 9)
y = mx – 9m
maka
x2 + (mx – 9)2 = 36
x2 + m2x2 – 18mx + 81 = 36
(1 + m2)x2 – 18mx + 45 = 0
syarat menyinggung:
(18m)2 – 4(1 +m2)(45) = 0
324m2 – 180m2 – 180 = 0
144m2 = 180
m2 =
5
4
m =± 1
2
5
y = 5
2
(x – 9)
􀂜 5x􀀍2y􀀝9 5
y = 5
2
(x – 9)
􀂜 5x􀀍2y􀀝9 5
Soal Ebtanas 1998
108 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
l: 4y – 3x x + 25 = 0 atau l: y = 3
4
25
4
x 􀀍 .
Substitusi garis l ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25
diperoleh
x2 + 3
4
25
3
x 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = 25 􀂙 x2 +
9
16
75
8
625
16
x2􀀍 x􀀋 = 25
􀂙 25
16
75
8
625
16
x2􀀍 x􀀋 = 25
􀂙 25×2 – 150x + 225 = 0
􀂙 x2 – 6x + 9 = 0
􀂙 (x – 3)2 = 0
􀂙 x = 3.
Coba Anda substitusikan x = 3 pada persamaan garis singgung
y = 3
4
25
4
x 􀀍
Apakah Anda memperoleh titik singgung A (3, –4)?
Misalkan, titik B adalah titik singgung garis g: 3y + 4x – 25 = 0
dengan lingkaran
g: 3y + 4x – 25 = 0 atau g: y = 􀀍 􀀋
4
3
25
3
.
Substitusi garis g ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25
diperoleh
x2 + 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
4
3
25
3
= 25 􀂙 x2 +
16
9
200
9
625
9
x2􀀍 x􀀋 = 25
􀂙 25
9
200
9
625
9
x2􀀍 x􀀋 = 25
􀂙 25×2 – 200x + 400 = 0
􀂙 x2 – 8x + 16 = 0
􀂙 (x – 4)2 = 0
􀂙 x = 4
Coba Anda substitusikan x = 4 pada persamaan garis
singgung
y =􀀍 􀀋
4
3
25
3
Apakah Anda memperoleh titik singgung B(4, 3)?
Jadi, koordinat titik singgung adalah A(–3, 4) dan B(4, 3).
3. Persamaan garis yang melalui titik A(–3, 4) dan B(4, 3)
diperoleh dengan menggunakan rumus persamaan garis
y y
y y
x x
x x
1 􀀝
2 11
2 1
sehingga
y1 x 2
􀀝
􀀋􀀋
4
3􀀍4
3
43
7y – 28 = –x – 3
x + 7y = 25
Persamaan garis yang menghubungkan titik singgung A dan
B adalah x + 7y = 25.
1. Tunjukkan bahwa persamaan
garis
y + 3x + 10 = 0 adalah
garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 8x + 4y – 20 = 0.
kemudian, tentukan titik
singgungnya.
2. Carilah bilangan p yang
mungkin sehingga garis
x + y + p = 0 adalah garis
singgung lingkaran
x2 + y2 = 8.
Tantangan
untuk Anda
Lingkaran 109
3. Persamaan Garis Singgung
dengan Gradien Tertentu
Diketahui, persamaan garis dengan gradien m adalah g:
y = mx + n. Jika titik Pterletak pada g dan lingkaran x2 + y2 = r2
maka
x2 + (mx + n)2 = r2 􀂙 x2 + m2x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
􀂙 (m2 + 1)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0
Syarat nilai diskriminan adalah D = 0 karena garis
y = mx + n menyinggung lingkaran. Dengan demikian,
(2mn)2 – 4(m2 + 1) (n2 – r2) = 0
􀂙 4m2n2 – 4m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0
􀂙 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0
􀂙 4n2 = 4m2r2 + 4r2
􀂙 n2 = (m2 + 1)r2
􀂙 n = r m2 􀀋1 atau n = –r m2 􀀋1
Substitusikan nilai n ke persamaan garis y = mx + n,
diperoleh y = mx ± r m2 􀀋1 .
Persamaan garis singgung lingkaran L: x2 + y2 = r2 dengan
gradien m adalah
y = mx ± r m2 􀀋1
Anda pun dapat menentukan persamaan garis singgung
lingkaran L: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 untuk gradien m dengan
titik pusat lingkaran T(a, b) dan jari-jari r, yaitu
(y – b) = m (x – a) ± r m2 􀀋1
Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut,
hasilnya tuliskan dan jelaskan di depan kelas (beberapa
siswa saja).
Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4
dengan gradien m = –1.
Jawab:
Persamaan garis untuk gradien m = –1 adalah y = (–1) x + n atau
y = –x + n. Substitusi persamaan garis ini ke persamaan lingkaran,
diperoleh
x2 + (–x + n)2 = 4 􀂙 x2 + x2 – 2nx + n2 = 4
􀂙 2×2 – 2nx + (n2 – 4) = 0
Contoh 4.8
110 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Nilai diskriminan untuk D = 0 adalah
D = 4n2 – 8(n2 – 4)
􀂙 0 = –4n2 + 32
􀂙 n2 = 8
􀂙 n = 2 2 atau n = –2 2
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah g1: y = –x + 2 2
dan g2: y = –x –2 2. Coba Anda buat sketsa untuk soal ini.
Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2= 8
dengan gradien m = –1.
Jawab:
Persamaan lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 8 mempunyai jari-jari 2 2.
Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah
y – b = m (x – a) ±r m2 􀀋1 􀂙 y – 3 = (–1)(x – 2) ± 2 2
􀀈􀀍 􀀉 􀀋1 2
􀂙 y – 3 = –x + 2 ± 4
􀂙 y = –x + 5 ± 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
g1: y = –x + 9 dan
g2: y = –x + 1.
Contoh 4.9
Garis g menghubungkan titik A(5, 0) dan titik B(10 cos θ, 10 sin θ).
Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika θ berubah
dari 0 sampai 2 􀁐 maka titik P bergerak menelusuri suatu lingkaran.
Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Jawab:
Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui : • garis g menghubungkan A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10
sin θ)
• AP : PB = 2 : 3
Ditanyakan : Persamaan kurva.
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal.
Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep perbandingan,
konsep trigonometri, dan konsep persamaan umum lingkaran.
Langkah ke-3
Menentukan persamaan lingkaran dengan strategi yang telah
diketahui.
Contoh 4.10
Lingkaran 111
A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P pada AB sehingga
AP : PB = 3 : 2
Amati gambar berikut.
OP = OA +
2
5
AB
= OA +
2
5
(OB – OA)
= 3
5
OA +
2
5
OB
Persamaan parameter titik P adalah
x = 3
5
. 5 +
2
5
. 10 cos θ = 3 + 4 cos θ:
y = 3
5
. 0 +
2
5
. 10 sin θ = 4 sin θ.
Dengan demikian, x = 3 + 4 cos θ 􀂙 4 cos θ = x – 3
y = 4 sin θ 􀂙 4 sin θ = y
(4 cos θ)2+ (4 sin θ)2 = (x – 3)2+ y2
􀂙 16 (cos2 θ + sin2 θ ) = x2 – 6x + 9 + y2
􀂙 x2 + y2 – 6x = 7
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 –6x = 7.
B
Y
θ X
0 A
P
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan persamaan garis singgung
lingkaran
a. x2 + y2 = 25 di titik (–4, –3)
b. x2 + y2 – 2x + 8y = 23 di titik (3,–10)
c. x2 + y2 = 25 melalui titik (7, 1)
d. (x – 1)2 + (y – 2)2 di titik (4, –2)
e. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dengan
gradien –
3
4
2. Tentukan gradien garis singgung dengan
ketentuan berikut.
a. Sejajar garis x – y + 2 = 0.
b. Tegak lurus garis 2x – y – 5 = 0.
c. Sejajar dengan garis yang melalui (–2,1)
dan (3,2).
d. Tegak lurus garis yang melalui (3,4) dan
(–2,–5).
e. Tegak lurus garis yang melalui sumbu
koordinat dan membentuk sudut 45°
terhadap sumbu-x.
3. Tentukan persamaan garis singgung di titik
(2,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 1.
4. Carilah persamaan lingkaran yang
menyinggung sumbu-x dan sumbu-y, dan
pusatnya terletak pada garis 3x + 5y = 11.
5. Carilah persamaan lingkaran yang
menyinggung garis –3x + 4y = 10 pada
titik (2, 4) dan pusatnya terletak pada garis
x + y = 3.
6. Carilah persamaan lingkaran yang
melalui titik-titik A (2, –1) dan
B (4, 3) serta menyinggung garis
x + 3y = 3.
7. Tentukan persamaan garis singgung pada
lingkaran x2 + y2 = 25 dengan gradien m= 1.
8. Diketahui persamaan lingkaran (x – 3)2
+ (y + 20)2 = 8. Tentukanlah persamaan
garis singgung lingkaran tersebut dengan
gradien m = –1.
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁍􀁊􀁏􀁈􀁌􀁂􀁓􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁋􀁂􀁓􀁊􀀎 􀁋􀁂􀁓􀁊
􀁴􀀁 garis singgung
􀁴􀀁 􀁈􀁓􀁂􀁅􀁊􀁆􀁏
112 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
• Persamaan sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
berjari jari r adalah x2 + y2 = r2.
• Persamaan sebuah lingkaran yang berpusat di M (a, b) dan
berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
• Persamaan umum lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Rangkuman
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
Tes Kompetensi Bab 4
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (3,4) dan
menyinggung 2x – y + 5 = 0 adalah ….
a. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 42
b. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 49
c. (x – 3)2 + (y – 4)2 =
49
5
d. (x + 3)2 – (y + 4)2 = 49
e. (x – 3)2 – (y – 4)2 = 42
2. Diketahui lingkaran L dengan persamaan
x2 + y2 = 25 dan P(5, 5) maka letak titik P
adalah ….
a. di dalam lingkaran L
b. di luar lingkaran L
c. pada lingkaran L
d. sejauh 5 satuan dari pusat lingkaran L
e. sejauh 5 satuan dari pusat lingkaran L
3. Diketahui lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y +
21 = 0. Jika M adalah pusat lingkaran
dan R adalah jari-jari lingkaran tersebut,
koordinat titik M dan panjang R berturutturut
adalah ….
a. (–3, –4) dan 2 d. (–3, –4) dan 3
b. (3, 4) dan 2 e. (3, 4) dan 3
c. (–3, 4) dan 2
4. Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 + y2 = 100 di titik (8, –6) menyinggung
lingkaran dengan pusat (4, –8) dan jari-jari
R. Nilai R adalah ….
a. 2 d. 5
b. 3 e. 6
c. 4
5. Lingkaran x2 + y2 + 4x + 4y = p akan
menyinggung sumbu-x dan sumbu-y jika
p sama dengan ….
a. 8 d. –4
b. 4 e. –8
c. 0
6. Lingkaran x2 + y2 + 2px = 0 dengan p
bilangan real konstan, selalu menyinggung
….
a. sumbu-x saja
b. sumbu-y saja
c. sumbu-x dan sumbu-y
d. garis x = a dan garis x = –a
e. garis y = 2a dan garis y = –2a
7. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 1)
dan melalui (4, –1) adalah ….
a. x2 + y2 – 6x – 3y = 0
b. x2 + 2y2 –3x –2y –3 = 0
Setelah Anda mempelajari Bab 4,
1. Anda tuliskan materi-materi yang telah dipahami,
2. tuliskan pula materi yang Anda anggap sulit.
Refleksi
Lingkaran 113
c. x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0
d. 2×2 + y2 – 2x – 3y –1 = 0
e. 2×2 + y2 – 3x – 2y + 1= 0
8. Jika titik P(0, 3) terletak pada lingkaran
x2 + y2 = 9, persamaan garis singgung
pada lingkaran di titik P adalah ….
a. y = –2x – 3 d. x = 0
b. y = –x e. x = –3
c. y = 3
9. Diketahui lingkaran L dengan persamaan
x2 + y2 –2x – 4y – 4 = 0 dan garis g dengan
persamaan y – x – 1 = 0 maka ….
a. g tidak memotong L
b. g memotong L di satu titik
c. g memotong L di dua titik
d. g melalui titik pusat L
e. g memotong L dan melalui titik
pusat
10. Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 di titik (0, 5)
adalah ….
a. y = 5x +1 d. y = x + 5
b. y = 3x – 5 e. y = 5
c. y = 4x – 3
11. Persamaan lingkaran x2+y2–mx + 7y + 4 = 0
menyinggung sumbu-x maka nilai m
adalah ….
a. –16 d. 11 atau 3
b. –4 e. 16
c. 4 atau –4
12. Diketahui lingkaran x2 + y 2 = p dan garis
x + y – z = 0. Supaya garis dan lingkaran
ini berpotongan di dua titik yang berbeda
maka p harus sama dengan ….
a. 1
2
d. 3
b. 1 e. 4
c. 2
13. Diketahui lingkaran L dengan persamaan
x2 + y2 –2x – 6y + 1 = 0. Pernyataan berikut
yang benar adalah ….
a. jari-jari r = 2 2
b. titik pusat lingkaran P(–1,3)
c. lingkaran menyinggung sumbu-y
d. lingkaran menyinggung sumbu-x
e. lingkaran melalui titik (0,0)
14. Supaya persamaan x2 + y2 + 4x + 6y – c= 0
menyatakan suatu persamaan lingkaran
maka c harus memenuhi ….
a. c > 15 d. c > 13
b. c < 15 e. c 14
15. Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 2x – 10y + 17 = 0 di titik (1, 2)
adalah ….
a. x = 1 d. y = 2
b. x = 2 e. y = x
c. y = 1
16. Jika garis g: x – 2y = 5 memotong lingkaran
x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 di titik A dan
B, luas segitiga yang dibentuk oleh A, B,
dan pusat lingkaran adalah…..
a. 10 d. 5
b. 2 5 e. 2
1
2
c. 10
17. Persamaan lingkaran pada gambar berikut
adalah ….
y
x
3
–4 –2 O
a. x2 + y2 + 8x + 6y + 21 = 0
b. x2 + y2 + 8x + 6y – 21 = 0
c. x2 + y2 + 8x – 6y + 21 = 0
d. x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0
e. x2 + y2 – 8x – 6y + 21 = 0
18. Diketahui lingkaran dengan persamaan
x2 + y2+ Ax + By + C = 0. Lingkaran ini
akan menyinggung sumbu-x di titik (0,0)
jika dipenuhi ….
a. A = 0 dan B = 1
b. A = 0 dan B = 0
c. A = 0 dan C = 0
d. A = 0 dan C = 1
e. A = 0 dan C = –1
114 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat dan jelas
1. Carilah persamaan lingkaran yang melalui
titik (7, –8) dan (0, 9) dan pusatnya terletak
pada garis x – 2y = 1.
2. Gedung Parthenon dibangun 440 SM.
Gedung tersebut dirancang oleh arsitek
Yunani menggunakan perbandingan
nisbah emas. Perhatikan gambar berikut.
A D E
B G C F
Pada titik tengah sisi persegi ABCD
dibuat busur lingkaran dengan pusat
G dan jari-jari GD. Lingkaran tersebut
memotong perpanjangan BC di F. Nisbah
19. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik
sudut persegi ABCD berikut adalah ….
x – y = 1
x – y = 0
x + y = 1 x + y = 2
A B
D C
a. x2 + y2 – 2x – y + 1 = 0
b. x2 + y2 – 2x + y + 1 = 0
c. x2 + y2 + 2x – y – 1 = 0
d. x2 + y2 – 2x + y + 1 = 0
e. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
20. Supaya titik (1, 1) terletak pada lingkaran
x2 + y2 –px + 2y + 1 = 0, nilai p harus sama
dengan ….
a. 1 d. 4
b. 2 e. 3
c. 3
BF : AB disebut perbandingan nisbah
emas. Jika diketahui busur DF memenuhi
persamaan
x2+ y2 – 138y – 44 = 0, berapa perbandingan
nisbah emas gedung Parthenon?
(Petunjuk: perhitungan dibulatkan sampai
satu desimal)
3. Carilah persamaan garis singgung pada
lingkaran x2 + y2 = 25 yang dapat ditarik
dari titik (7, –1).
4. Carilah persamaan lingkaran yang melalui
(0, 0), jari-jari 5 dan pusatnya terletak
pada garis x – y = 1.
5. Berapakah jarak terdekat dari titik (–7, 2)
ke lingkaran dengan persamaan
x2 + y2 + 10x + 14y – 151 = 0?
Tes Kompetensi Semester 1 115
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Rataan hitung dari data berikut adalah ….
Nilai
Frekuensi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11
1 2 1 3 1 1 2 1 2 1
a. 4,5 d. 6
b. 5,0 e. 6,5
c. 5,5
2. Jika sebuah dadu dan sekeping uang
logam ditos satu kali maka peluang tidak
muncul angka dan mata dadu bukan 4
adalah ….
a. 2
3
d.
11
12
b.
5
12
e.
1
3
c.
7
12
3. Di suatu kelas terdapat 12 laki-laki dan 4
perempuan. Jika tiga orang dipilih secara
acak, peluang yang terpilih semuanya lakilaki
adalah ….
a.
1
55
d. 11
5
b. 1
3
e.
11
28
c. 1
4
4. 10
3 3 4
!
!3! !
= ….
a. 3200 d. 4000
b. 3400 e. 4200
c. 3800
5. 􀀈n 􀀋 􀀉
􀀈n 􀀍 􀀉
!
!
= ….
a. n(n – 1)
b. n²
c. n(n + 1)
d. n(n + 1)(n + 2)
e. (n – 1)n(n + 1)
6. Jika terdapat 19 orang yang akan menduduki
19 kursi, banyaknya susunan yang
dapat terjadi adalah ….
a. 16. 17. 18 ! d. 18. 17!
b. 2 ! 18 ! e. 18. 17. 16!
c. 19. 18 !
7. C12
5 = ….
a. 792 d. 2852
b. 804 e. 4256
c. 1400
8. Tabel berikut memperlihatkan suatu
pengukuran. Jika rata-rata tersebut sama
dengan 3 maka harga p adalah ….
xi
f
i 5 3 1 10
2 3 p 2
a. 1 d. 8
b. 4 e. 9
c. 6
9. Simpangan baku dari data 1, 5, 4, 2, 6, 2,
1, 1, 5, 3 adalah ….
a. 1,6 d. 2,3
b. 1,9 e. 2,4
c. 2,1
10. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang
dilempar undi satu kali secara bersamaan,
peluang untuk memperoleh GAMBAR
pada mata uang dan bilangan ganjil pada
dadu adalah ….
a.
1
12
d. 1
3
b.
1
6
e. 1
2
c.
1
4
11. 2 sin 45° cos 15° = ….
a. – 1
2
3 + 1 d.
1
2􀀈 3􀀋1􀀉
b. –
1
2􀀈 3􀀋1􀀉 e. 1
2
3
c. 1
2
3 + 1
Tes Kompetensi Semester 1
116 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
12. Jika sin A =
5
3
dikuadran II maka
cos
1
2
A = ….
a. 5 26
26
b.
26
26
c.
5
26
d.
5
12
e.
26
5
13. Jika cot 2θ = – 5
12
, 2θ di kuadran II maka
cos θ = ….
a.
3
13
d.
2
3
b.
2
13
e.
4
13
c.
3
2
14. Amplitudo fungsi 3 cos x adalah ….
a. 3 d. 2 3
b. 3 + 1 e. 3 1
2
􀀋
c. 2
15. Jika tan θ = 􀀍
3
4
dan θ di kuadran II, nilai
cos 2θ – sin (90º + θ) adalah ….
a.
7
25
d.
27
25
b.
25
7
e. 27
5
c.
27
25
16. Jika cos 24° = p maka cos 48° = ….
a. 2p1 p2 d. 2p2 – 1
b. 2p2 + 1 e.
p
c. 2p 1􀀍 p2
17.
tan tan
tan tan
140 70
1 70
∞ ∞
- tan140∞ ∞
= ….
a. – 3 d. 3
b. 3
3
e. 3 3
3
c.
3
1 3
18. cos4 50° – sin4 50° = ….
a. cos 100° d. 1
b. sin 100° e. –1
c. 0
19. Himpunan penyelesaian dari sin θ cos θ = 1
4
dengan 0 ≤ θ ≤ 360º adalah ….
a. {30°, 150°}
b. {30°, 150°, 210°, 330°}
c. {15°, 75}
d. {15°, 75°, 195°, 225°}
e. {60°, 300°}
20. Dalam sebuah kantong terdapat 11
kelereng merah dan 7 kelereng putih. Dua
kelereng diambil sekaligus secara acak.
Peluang terambilnya dua kelereng merah
adalah ….
a. 1
4
d. 1
2
b.
5
18
e. 10
18
c. 11
36
21. Berikut ini adalah tabel distribusi frekuensi
dari berat badan sekelompok siswa SMA.
Median dari data ini adalah ….
Berat Badan
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 – 65
2
6
15
11
6
Frekuensi
a. 53,50 kg d. 55,40 kg
b. 54,50 kg e. 55,50 kg
c. 55,30 kg
Tes Kompetensi Semester 1 117
22. Simpangan baku dari data 5, 7, 3, 4, 6, 8,
2, 5 adalah ….
a. 1 d. 2,5
b. 1,5 e. 3
c. 2
23. Empat buah buku disusun dalam satu rak
buku. Banyaknya cara untuk menyusun
keempat buku tersebut agar salah satu
buku selalu diletakkan paling tepi ada …
cara.
a. 4 d. 12
b. 6 e. 24
c. 8
24. Sebuah kantong berisi 11 bola yang terdiri
atas 5 bola kuning dan 6 bola hijau.
Jika diambil 2 bola sekaligus, peluang terambilnya
2 bola berwarna hijau adalah ….
a. 2
11
d. 6
11
b.
3
11
e. 3
5
c.
1
3
25. Simpangan kuartil dari data berikut adalah
….
Nilai
1 – 10
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
2
4
25
47
17
5
Frekuensi
a. 1,2 d. 4,8
b. 2,5 e. 5,9
c. 3,4
26. Diketahui empat angka 4, 5, 6, dan 7.
Banyaknya cara untuk menyusun bilanganbilangan
yang terdiri atas empat angka
dengan syarat bahwa bilangan-bilangan
itu tidak mempunyai angka yang sama
adalah … cara.
a. 8 d. 18
b. 12 e. 24
c. 16
27. Dua buah dadu bermata enam ditos satu
kali secara bersamaan. Peluang munculnya
jumlah mata dadu 5 atau mata dadu 10
adalah ….
a. 11
36
d.
8
36
b.
10
36
e. 7
36
c. 9
36
28. Modus dari berat badan pada tabel berikut
adalah ….
Berat Badan
50 – 52
53 – 55
56 – 58
59 – 61
62 – 64
5
17
14
10
4
Frekuensi
a. 55,5 kg d. 53,9 kg
b. 54,9 kg e. 52,5 kg
c. 54,7 kg
29. Simpangan kuartil dari data 3, 8, 2, 7, 7,
10, 2, 9, 5, 4, 4, 6, 4, 7, 5, 7 adalah ….
a. 5,5 d. 1,5
b. 3 e. 1
c. 2
30. Ada 4 jalan yang menghubungkan kota
A dengan kota B dan ada 6 jalan yang
menghubungkan kota B dengan kota
C. Banyaknya perjalanan yang dapat
ditempuh dari kota A ke kota C melalui B
adalah ….
a. 10 d. 30
b. 20 e. 36
c. 24
118 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat dan jelas.
1. Hitunglah mean, modus, dan median dari
data-data berikut.
a. 4, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 8, 5, 5
b. 16, 15, 12, 11, 15, 17, 10
c. 52, 70, 62, 46, 50, 65, 55, 78
d. 5, 2; 3, 5; 4, 1; 7, 3; 6, 6; 9, 1
2. Hitung n dari persamaan berikut.
a. 5 p(n, 3) = 4 p(n + 1,3)
b. p(n, 5) = 18 p(n – 2,4)
c. c(n, 13) = c(n , 11)
3. Sebuah kantong berisi 9 kelereng biru, 6
kelereng kuning, dan 4 kelereng merah.
Sebuah kelereng diambil secara acak
dari kantong. Tentukan peluang terambil
kelereng biru atau kuning.
4. Diketahui x = cos p + sin p dan
y = cos p – sin p
a. Tentukan x2 + y2.
b. Tunjukkan bahwa x2 – y2 = 2 sin 2p.
5. Diketaui persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x
+ 2y + c = 0 melalui titik A(5, –1).
a. Tentukan jari-jari lingkaran.
b. Tentukan pusat lingkaran.
Bab5
119
Suku Banyak Sumber: http://www.in.gr
misalnya fungsi y = x2 – 1. Fungsi y = x2 – 1 merupakan
fungsi suku banyak. Pada bab ini konsep, tersebut akan
dikembangkan sehingga Anda akan mempelajari bagaimana
menjabarkan suku banyak menjadi perkalian beberapa suku
banyak. Cara menjabarkan suku banyak tersebut akan Anda
pelajari pada bab ini. Salah satu manfaat mempelajari bab
ini untuk menyelesaikan masalah berikut.
Hubungan antara jarak yang ditempuh x(t) dan waktu yang
dibutuhkan (t) untuk gerak sebuah mobil dinyatakan oleh
x(t) = 48t2 – 3t. Dalam hal ini, x(t) dalam meter dan t dalam
menit. Dengan menggunakan konsep suku banyak, Anda
dapat menghitung jarak mobil setelah bergerak 5 menit.
A. Pengertian Suku
Banyak
B. Menentukan Nilai
Suku Banyak
C. Pembagian Suku
Banyak
D. Teorema Sisa
E. Teorema Faktor
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan
masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
dalam pemecahan masalah.
120 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat
berikut dengan cara pemfaktoran dan
menggunakan rumus abc.
a. x2 – 6x x + 8 = 0
b. 2×2 – 4 = 3x
2. Diketahui fungsi kuadrat .
Tentukan nilai f􀀈 􀀉 f􀀈􀀍 􀀉, f 􀀈a􀀉, dan
f
x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
1 .
3. Selesaikan soal berikut dengan menggunakan
cara pembagian bersusun.
Jelaskan pula langkah-langkah yang Anda
lakukan pada pembagian ini.
a. 18)272 b. 26)479
4. Hitunglah (x – 3)(x +1)(x + 2).
5. Hitunglah (2x + 3)(3×3 – x2 + 5x –1).
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Suku Banyak
Bentuk Umum
P(x) = an xn + an–1 xn–1
+ an–2 xn–2 + …
+ a 2 x2 + a 1 x + a 0
dicari
dengan
Nilai
Substitusi Skema
digunakan
Menyelesaikan
Persamaan Suku
Banyak
Pembagian
Suku Banyak
Teorema
Sisa
Teorema
Faktor
oleh
x – k
cara
Pembagian
Biasa Horner
ax + b
cara
Pembagian
Biasa
Horner
ax2 + bx + c
cara
Pembagian
Biasa Horner
syarat
Dapat
Difaktorkan
meliputi
dapat
ditulis
Suku Banyak 121
A. Pengertian Suku Banyak
1. Suku Banyak, Derajat Suku Banyak,
Koefisien Suku Banyak, dan Suku Tetap
Anda telah memahami bahwa grafik y = (x + 2)2 diperoleh
dengan cara menggeser grafik y = x2 sejauh 2 satuan ke kiri,
seperti diperlihatkan pada Gambar 5.1.
Adapun grafik y = (x – 1)3 diperoleh dari grafik y = x3
dengan cara menggeser grafik dari y = x3 sejauh 1 satuan ke
kanan seperti diperlihatkan pada Gambar 5.2.
Amati keempat persamaan berikut.
y = x2
y = (x + 2)2 = x2+ 4x+ 4
y = x3
y = (x – 1)3 = x3 – 3×2 + 3x – 1
Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan suku
banyak dalam peubah (variabel) x. Suku banyak x3 – 3×2 +
3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x3,
suku ke-2 adalah –3×2, suku ke-3 adalah 3x, dan suku ke-4
adalah –1.
Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat
tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat
dari suku banyak x3 – 3×2 + 3x – 1 adalah 3. Koefisien suku
banyak dari x3, x2, dan x berturut-turut adalah 1, –3, dan 3.
Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta).
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suku
banyak berderajat n? Cobalah nyatakan suku banyak derajat
n secara umum.
Secara umum, suku banyak dalam peubah x berderajat
n ditulis sebagai berikut.
P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2
x xn–2 +… + a2
x x2 + a1x + a0
Cara penyusunan suku banyak berdasarkan pangkat x
yang berkurang dengan an, an–1, … , a1 adalah koefisienkoefisien
suku banyak yang merupakan konstanta real
dan an ≠ 0.
a0 = suku tetap yang merupakan konstanta real
n = derajat suku banyak dan n adalah bilanga cacah
Gambar 5.1
Gambar 5.2
y = (x + 2)2 y y = x2
–2 0 x
4
y
x
–1
1
y = (x –1)3
y = x3
122 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut.
f(x) = 2×4 – 3×2 + 5x – 6
g(x) = 2×2 – 7x + 10
Tentukan
a. f(x) + g(x) b. f(x) – g(x)
c. f(x) × g(x)
Jawab:
a. f(x) + g(x) = (2×4 – 3×2 + 5x – 6) + (2×2 – 7x + 10)
= 2×4 – x2 – 2x + 4
b. f(x) – g(x) = (2×4 – 3×2 + 5x – 6) – (2×2 – 7x + 10)
= 2×4 – 5×2 + 12x – 16
c. f(x) × g(x) = (2×4 – 3×2 + 5x – 6) – (2×2 – 7x + 10)
= 2×4(2×2 – 7x + 10) – 3×2(2×2 – 7x + 10)
+ 5x(2×2 – 7x + 10) – 6(2×2 – 7x + 10)
= 4×6 – 14×5 + 20×4 – 6×4 + 21×3 – 30×2 + 10×3
– 35×2 + 50x – 12×2 + 42x – 60
= 4×6 – 14×5 + 14×4 + 31×3 – 77×2 + 92x – 60
Contoh 5.1
Misalkan, f(x) suku banyak
berderajat m dan g(x) suku
banyak berderajat n,
􀁴􀀁 f(x) + g(x) adalah suku
banyak yang derajatnya
adalah maksimum m
atau n.
􀁴􀀁 f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x))
adalah suku banyak
berderajat maksimum m
atau n.
􀁴􀀁 f(x) × g(x) adalah suku
banyak berderajat tepat
sama dengan
(m + n).
Ingatlah 2. Penjumlahan, Pengurangan,
dan Perkalian Suku Banyak
Diketahui, f(x) = –3×3 – x2 + 2x dan g(x) = x8 +2×5 – 15×2
+ 6x + 4.
• Penjumlahan suku banyak f(x) dengan g(x) adalah
f(x) + g(x)= (–3×3 – x2 + 2x) + (x8 + 2×5 – 15×2 + 6x + 4)
= x8 + 2×5 – 3×3 – 16×2 + 8x + 4
• Pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
adalah
f(x) – g(x)= f(x) + (–g(x))
= (–3×3 – x2 + 2x) + (–x8 – 2×5 + 15×2– 6x – 4)
= –x8 – 2×5 – 3×3 + 14×2 – 4x – 4
• Perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
adalah
f(x) × g(x) = (–3×3 – x2 + 2x) (x8 + 2×5 – 15×2 + 6x + 4)
= –3×11 – 6×8 + 45×5– 18×4 – 12×3 – x10 – 2×7 +
15×4 – 6×3 – 4×2 + 2×9 + 4×6 – 30×3 + 12×2 + 8x
= –3×11 – x10 + 2×9 –6×8 –2×7 + 4×6 + 45×5 –
3×4 – 48×3
Cobalah Anda tentukan g (x) – f(x) dan g(x) × f(x).
Apakah f(x) – g(x) = g(x) – f(x)?
Apakah f(x) × g(x) = g(x) × f(x)?
Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, kemudian bacakan
di depan kelas.
Suku Banyak 123
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Diketahui suku banyak
3×4 – 2×3 +4×2 – 7x + 15.
Tentukanlah:
a. derajat suku banyak
b. koefisien x
c. koefisien x2
d. koefisien x3
e. koefisien x4
f. suku tetap
2. Diketahui f(x) = –2×3, g(x) = 3×2 – 5x, dan
h(x) = 4 – 3x. Hitunglah:
a. f(x) . g(x)
b. f(x) .
c. f(x) .
d.
e.
B. Menentukan Nilai Suku Banyak
1. Cara Substitusi
Anda dapat menentukan nilai g(x) = sin 1
x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 untuk
x = 2
􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 dan x = 2
2􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵, yaitu
g 2
􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = sin
1
2 / 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = sin 􀁐
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = 1
g 2
2􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = sin 1
2 2 / 􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = sin π = 0.
Akan tetapi, Anda akan mengalami kesulitan jika harus
menentukan g(π) = sin
1
􀁐
karena
1
􀁐
bukan merupakan sudut
istimewa.
Lain halnya dengan fungsi suku banyak, berapa pun nilai
yang diberikan pada peubahnya, Anda dengan mudah dapat
menentukan nilai suku banyak itu.
Diketahui, suku banyak P(x) = 3×4 – 2×2 + 5x – 6 maka
• untuk x = 1, diperoleh P(1) = 3(1)4 – 2(1)2 + 5(1) – 6 = 0
• untuk x = –1, diperoleh P(–1) = –10
• untuk x = 0, diperoleh = –6
• untuk x + 2 = 0 atau x = –2, diperoleh P(–2) = 24
• untuk x – 2 = 0 atau x = 2, diperoleh P(2) = 44
Kemudian, misalkan suku banyak P(x) = 5×3 + 4×2 – 3x – 2
maka
• untuk x = k + 1, diperoleh
P(k + 1) = 5 (k + 1)3 + 4 (k + 1)2 – 3 (k + 1) – 2
= 5 k3 + 19k2 + 20k + 4
Tokoh
Matematika
Girolarmo Cardano
(1501–1576)
Girolarmo Cardano
menerbitkan solusi
persamaan kubik (suku
banyak berderajat tiga) dalam
buku yang berjudul Ars
Magna (1545).
Sumber: Ensiklopedi Matematika
dan Peradaban Manusia, 2002
124 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
• untuk x = k – 1, diperoleh
P(k – 1) = 5 (k – 1)3 + 4 (k – 1)2 – 3 (k – 1) – 2
= 5k3 – 11k2 + 4k
• untuk x = –k
P(–k) = –5k3 + 4k2 + 3k – 2
• untuk x = –k + 1, diperoleh
P(–k + 1) = –5k3 + 19k2 – 20k + 4
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus
menentukan nilai suku banyak? Cobalah nyatakan rumus
tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah
Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.
Nilai suku banyak P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + …
+ a2x2+ a1x + a0, untuk x = k di mana k suatu bilangan
real adalah:
P(k) = ankn + an–1kn–1 + an–2kn–2 + … + a2k2 + a1k + a0
2. Cara Skema
Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan
nilai tertentu bagi peubahnya akan lebih mudah jika Anda
menggunakan cara skema dibandingkan dengan cara
substitusi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.
Diketahui, P(x) = 3×4 + 2×2 – 5x + 6
P(x) dapat pula disusun sebagai berikut.
P(x) = 3×4 + 2×2 – 5x + 6
= 3×4 + 0×3 + 2×2 – 5x + 6
= (3×3 + 0×2 + 2x – 5) x + 6
= [(3x2 + 0x + 2) x – 5] x + 6
= [[(3x + 0 )x + 2] x – 5] x + 6 …(1)
Jika nilai x = 2 disubstitusikan pada persamaan (1)maka
P(2) secara bertahap diperoleh sebagai berikut.
P(x) = [[(3x + 0)x + 2] x – 5]x + 6
P(2) = [[(3 2 + 0)2 + 2]2 – 5]2 + 6 = [(6 2 + 2)2 – 5]2 + 6
= (14 2 – 5) 2 + 6 = 23 2 + 6 = 52
Mari menganalisis proses pada perhitungan tersebut.
• Langkah ke-1 menghitung 3 2 + 0 = 6
• Langkah ke-2 menghitung 6 2 + 2 = 14
• Langkah ke-3 menghitung 14 2 – 5 = 23
• Langkah ke-4 menghitung 23 2 + 6 = 52
Langkah-langkah itu dapat disajikan dalam bagan
(skema) sebagai berikut.
Suku Banyak 125
Perhitungan untuk memperoleh P(2) dapat disajikan
melalui skema berikut. Namun, amatilah bahwa ada dua
operasi dalam proses ini, yaitu perkalian dan penjumlahan.
• Nilai x = 2 dituliskan pada baris pertama skema,
kemudian diikuti oleh koefisien setiap suku dari pangkat
tertinggi ke terendah dan suku tetap.
• Operasi aljabar pada skema tersebut adalah perkalian
dan penjumlahan.
• Tanda panah menyatakan “kalikan dengan nilai x = 2”.
x = 2 3 0 2 –5 6
3(2) 6(2) 14(2) 23(2)
3 6 14 23 52 P(2)
Secara umum, perhitungan nilai suku banyak
P(x) = anxn + an–1xn-1 + an–2
x n–2 + …. + a2
x 2 + a1x + a0
untuk x = k menggunakan cara skema, diperlihatkan pada
Gambar 5.3.
dengan:
An = an
An – 1 = An(k) + an – 1
An – 2 = An–1(k) + an – 2 . .
. .
. .
A2 = A3(k) + a2
A1 = A2(k) + a1
A0 = A1(k) + a0
an x = k
An(k)
An A1
an–1 an–2 a2 a0 …
An–1 An–2
… A2
An–1(k) A3(k) A2(k) A1(k)
A0
a0
P(k)
Cara menghitung nilai suku banyak dengan menggunakan
skema ini merupakan dasar untuk melakukan pembagian suku
banyak dengan cara Horner (W. G. Horner 1786–1837).
Apakah fungsi-fungsi berikut
merupakan fungsi polinom
atau bukan? Sebutkan
alasannya.
a. P(x) = 3×3 – 2
b. P(x) = 0
c. P(x) =
1
2
2
d. P(x) = 10
e. P(x) =
x
x
􀀍
􀀍
1
2 1
Tantangan
untuk Anda
1. Hitunglah nilai f(x) = 2×4 – 4×3 + 4x – 2 untuk x = –6
menggunakan cara skema.
2. Suku banyak f(x) = 2×5 – 3×4 + 2×3 – px + 10, untuk x = 2
adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?
Contoh 5.2
Gambar 5.3
Skema proses perhitungan P(k).
126 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jawab:
1. 4
+
96 (–6)
–572
2 –4 0
+ +
2(–6) –16 (–6)
2 –16 96
–2
+
–572 (–6)
3.430
Jadi, f(–6) = 3.430.
2. 0
+
4(2)
8
2 –3 2
+ +
2(2) 1(2)
2 1 4
– p
+
8(2)
16 – p
32 – 2p
42 – 2p
10
+
f(2) = 38
f(2) = 42 – 2p
􀂙 38 = 42 – 2p
􀂙 2p = 4
􀂙 p = 2
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan nilai p jika diketahui suku
banyak f(x) dan nilai f(x) sebagai berikut.
a. f(x) = 3×5 + 6×4 – px3 + 10x – 5 dan
f(–2) = 39
b. f(x) = x7 – px5 + 2×4 + px3 – 2x + 1 dan
f(–2) = 5
2. Hubungan antara jarak yang ditempuh
x(t) dan waktu yang dibutuhkan (t) untuk
gerak sebuah mobil dinyatakan oleh x(t)
= 48t2 – 3t. Dalam hal ini x(t) dalam meter
dan t dalam menit.
a. Tentukanlah: x(2)
b. Hitunglah jarak mobil setelah bergerak
5 menit dihitung dari titik asal.
3. Jika suku banyak 2×3 – 9×2 – 8x + 11
= (Ax + B) (x – 5) (x – 1) + C, tentukan
nilai A, B, dan C.
4. Jika 5 4 3
2 5 6 3
2
3 2
x x4
x x2 x
A
x
4x 􀀍 Bx C
􀀋
􀀝 􀀋
􀀋
􀀈x 1􀀉􀀈x 􀀋 2􀀉
,
tentukan nilai A, B, dan C.
5. Data berikut menampilkan biaya (C) per
minggu untuk mencetak buku sebanyak x
buah (dalam ribuan).
Banyak Buku (x) Biaya (C)
0 100
5 128,1
10 144
13 153,5
17 161,2
18 162,6
20 166,3
23 178,9
25 190,2
27 221,8
a. Carilah selisih biaya mencetak 10.000
buku dan 13.000 buku.
b. Data tersebut dapat dimodelkan oleh
fungsi
C(x) = 0,015×3 – 0,595×2 + 9,15x
+ 98,43
Dengan menggunakan fungsi ini,
prediksikan biaya mencetak 22.000
buku per minggu.
Suku Banyak 127
C. Pembagian Suku Banyak
1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi,
dan Sisa Pembagian
Masih ingatkah Anda dengan pembagian bersusun pada
bilangan bulat? Jika ya, coba tentukan pembagian 156 oleh
8. Proses pembagian suku banyak pun mempunyai proses
yang hampir sama dengan pembagian bilangan bulat. Untuk
mengetahui hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak, Anda
perlu menguraikan suku banyak menjadi perkalian beberapa
suku banyak. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
Amati perkalian-perkalian berikut.
a. (x + 1)(x + 2)(2x – 3) = (x2 + 3x + 2)(2x – 3)
= 2×3 + 3×2 – 5x – 6
b. (x – 1)(x3 – 3) = x4 – x3 – 3x + 3
Amatilah proses perkalian tersebut dengan saksama. Dari
perkalian (x + 1)(x + 2)(2x – 3), dihasilkan suatu suku
banyak 2×3 + 3×2 – 5x – 6. Dengan kata lain, jika diberikan
atau diketahui suatu suku banyak, dapatlah suku banyak itu
difaktorkan. Dengan demikian, Anda dapat lebih mudah
melakukan pembagian terhadap suatu suku banyak.
Diketahui, P(x) = x3 – 7×2 + 4x + 50 adalah suku banyak
berderajat 3.
Pembagian P(x) oleh x – 3 dengan cara pembagian biasa
adalah sebagai berikut.
x ) x x
x x
3)􀀍7 􀀋4x􀀋50
3
3 2
3 2




􀀍 􀀋
􀀍 􀀋
4 4 4 1 2
2
2
4x
12x
􀀍 􀀋
􀀍 􀀋
8 5 0
8 2 4
26
x2 4x 8
Coba Anda jelaskan langkah-langkah yang dilakukan
dalam pembagian tersebut. (x – 3) adalah pembagi dari P(x),
sedangkan hasil bagi dari P(x) adalah x2 – 4x – 8 dan sisa
pembagiannya adalah 26.
Jadi, (x3 – 7×2 + 4x + 50) : (x – 3) = x2 – 4x – 8 dengan
sisa 26. Akibatnya, suku banyak P(x) dapat ditulis sebagai
x3 – 7×2 + 4x + 50 = (x – 3 ) (x2 – 4x – 8) + 26 atau
P(x) = (x – 3) × H(x) + sisa … (i),
Ada beberapa lambang
yang digunakan untuk
pembagian. Lambang yang
paling umum digunakan
adalah seperti tanda kurung
dengan garis horizontal pada
bagian atasnya 􀀈) 􀀉. Tanda
kurung diperkenalkan pada
awal tahun 1500. Beberapa
waktu kemudian, tanda garis
horizontal ditambahkan.
Adapun lambang “ : “
(disebut obelus) kali pertama
digunakan sebagai pembagi
sekitar tahun 1650. Lambang
tersebut diperkenalkan oleh
Matematikawan Inggris, John
Pell.
There are several different
symbol names used or
associated with division. The
most common looks like a close
parenthesis with a horizontal bar
extending to the right at the top .
The parenthesis was introduced
in the early 1500’s and over time
the bar was added, but when
it first occurred is unclear. The
symbol “÷” is called an obelus,
and was first used for a division
symbol around 1650. The
invention is often credited to
British Mathematician John Pell.
Sumber: http://www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Informations
for You
128 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
dengan H(x) = x2 – 4x – 8 dan sisa = 26.
Jika nilai x = 3 disubstitusikan pada persamaan (i),
diperoleh
P(3) = (3 – 3 ) × H(3) + sisa = 0 × H(3) + sisa = sisa
Jadi, sisa pembagian oleh (x – 3) terhadap P(x) adalah
P(3).
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum pembagian suku banyak? Cobalah nyatakan bentuk
tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pembagian
suku banyak yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
ketentuan berikut.
Sisa pembagian oleh (x – k) terhadap
P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + …. + a2x2 + a1x + a0
adalah P(k) atau P(x) = (x – k) H(x) + sisa dengan sisa =
P(k).
Tentukan sisa pembagian untuk suku banyak (3×4 + 2×2 + 5x – 1)
: (x – 1).
Jawab:
Sisa = P(1) = 3.14 + 2.12 + 5.1 – 1 = 9.
Contoh 5.3
2. Pembagian Suku Banyak dengan Cara
Horner
a. Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)
Anda telah mengetahui P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2
x n – 2
+ … + a2
x 2 + a1x+a0 dibagi (x – k) hasil baginya adalah H(x)
dan sisanya P(k). Secara matematis, ditulis P(x) = (x – k)H(x)
+ sisa, dengan sisa = A0 = P(k).
Diketahui P(x) = a3x3+ a2 x2 + a1x+ a0dan (x – k) adalah
pembagi P(x). Oleh karena P(x) berderajat 3 dan (x – k)
berderajat 1 maka derajat H(x) adalah (3 – 1) = 2 dan derajat
sisa adalah (1 – 1) = 0.
Diketahui, H(x) = b2
x 2+ b1x + b0 dan sisa = Ao maka suku
banyak P(x) dapat ditulis
a3x3 + a2
x 2 + a1x + a0= (x – k)(b2
x 2 + b1x + b0) + A0
a3
x x3+ a2
x x2 + a1x+ a 0 = b2
x x3 + (b1 – b2k)x2 + (b 0 – b1k)x + (A 0 – b 0 k)
nilai koefisien sama
Soal Terbuka
Jelaskan dengan kata-kata
Anda sendiri cara pembagian
suatu suku banyak P(x) oleh
(x – k) dengan menggunakan
cara Horner.
Suku Banyak 129
Berdasarkan kesamaan suku banyak tersebut (pada
kedua ruas), Anda dapat menentukan nilai b2, b1, b0, dan A0
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
• Langkah ke-1: b2= a3
• Langkah ke-2: b1 – b2k= a2 􀁬 b1 = a2 + b2k = a2 + a3k
• Langkah ke-3: b 0 – b1k = a1 􀁬 b 0 = a1+b1k = a1+(a2+ a3k)k
= a1+ a2k + a3k2
• Langkah ke-4: A0 – b0k= a0 􀁬 A0= a0+ b0k
= a0 +(a1+ a2k + a3k2)k
= a0+a1k + a2k2+ a3k3.
Proses perhitungan nilai b2, b1, b0, dan A0 dapat disajikan
dalam skema berikut.
a0
+
(a1+a2k+a3k2)k
a0+a1k+a2k2 +a3k3
􀁭
A0
x = k a3 a1 a2
+ +
a3k (a2+a3k)k
a1+a2k+a3a k2 2+a3a k 3
􀁭
b2
􀁭
b1
􀁭
b0
1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari
(4×3 – 10×2 + 14x – 15) : (x –5) menggunakan cara Horner.
2. Jika fungsi suku banyak P(x) = 6×5 + 41×4 + 97×3 + px2 + 41x
+ 6 habis dibagi dengan (x – 3), tentukan nilai p.
Jawab:
1.
Jadi, hasil bagi dari (4×3 – 10×2 + 14x – 15) oleh (x –5) adalah
4×2 + 10x + 64 dan sisanya adalah 305.
2.
P􀀈x􀀉􀀝6×5􀀋 41×4􀀋97×3􀀋 px2􀀋41x 􀀋6habis dibagi dengan
(x – 3) maka sisa pembagiannya sama dengan nol sehingga
7.527 + 9p = 0
Contoh 5.4
x = 5 –15
+
320
305
4 –10 14
+ +
20 50
4 10 64
p
+
2.466 + 3p
2.507+ 3p
x = 3 6 41 97
+ +
18 822
6 59 274
7.521+ 9p
7.527+ 9p
41
+
6
+
177
822 + p
130 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)
Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku
banyak (x3 – 2×2 + 3x – 5) : (2x + 3), terlebih dahulu Anda
harus menuliskan bentuk (2x + 3) menjadi 2(x +
3
2
).
Dengan demikian,
(x3 – 2×2 + 3x – 5) : (2x + 3) = (x3 – 2×2+ 3x – 5) : 2(x +
3
2
).
Dengan menggunakan cara Horner untuk x = –
3
2
,
diperoleh skema sebagai berikut.
x = – 1 –2 3 –5
3
2
1
=b2 =b1 =b0 =A0 = sisa
1
3
2
􀂤􀀍
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤􀀍
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤􀀍
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
7
2
3
2
33
4
3
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵 􀂵 􀂵
􀂤􀀍
􀂦 􀂥 􀂤
􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍7
2
33
4
􀀍139
8
Jadi, H(x) =
x2 7
2
33
4
2
1
8
􀀍 x􀀋
􀀝 􀀈4×2 14x􀀋33􀀉dan
A0 =
1
8
􀀈􀀍139􀀉.
Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan
sebagai berikut.
Diketahui, k = –
b
a
maka bentuk (x – k) dapat dinyatakan
sebagai
x – k = x
b
a
b
a
􀀍 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸
􀂷
􀂸 􀂸 􀀝 x 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂧
􀂩
􀂨 􀂧
􀂨 􀂩
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸􀂸
Pembagian suku banyak P(x) oleh (x +
b
a
) memberikan
hubungan berikut.
P(x) = (x +
b
a
) H(x) + sisa
=
1
a
(ax + b) H(x) + sisa
= (ax + b) H
a
􀂧
􀀈x􀀉
􀂩
􀂨 􀂧
􀂨 􀂩
􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸 􀂹
􀂸 + sisa ….(*)
Dari contoh tersebut, jika
pembagian suku banyak
menghasilkan sisa sama
dengan nol, dikatakan P(x)
habis dibagi oleh (x – k) dan
(x – k) disebut faktor dari P(x).
Ingatlah
􀂙 9p = –7.527
􀂙 p 􀀝 􀀍836
1
3
Suku Banyak 131
Persamaan (*) merupakan suku banyak P(x) dibagi
(ax + b) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian.
Nilai sisa dan koefisien-koefisien H(x) ditentukan dengan
cara pembagian Horner untuk x = –
b
a
.
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari
(4×3 – 10×2 + 14x – 15) : (2x – 5) menggunakan cara Horner.
Jawab:
x 􀀝
5
2 –15
+
35
20
4 –10 14
+ +
10 0
4 0 14
Jadi, hasil baginya adalah
4 14
2
2 7
2
x 􀀋 2
􀀝2x 􀀋 dan sisanya
adalah 20.
Contoh 5.5
Dari Contoh 5.4 No. 2
diperoleh sisa pembagian
adalah nol. Dikatakan suku
banyak P(x) habis dibagi oleh
ax + b.
Ingatlah
Tugas
Buatlah kelompok yang terdiri
atas 4 orang. Setiap kelompok
membuat masing-masing 5
soal pembagian suku banyak
dengan (x – k) dan (ax + b).
Kemudian, tentukan hasil bagi
dan sisa pembagian setiap
soal. Terakhir, selidiki derajat
hasil bagi dan sisa pembagian
setiap soal tersebut.
Apa yang Anda peroleh
mengenai derajat hasil bagi
jika dibandingkan derajat P(x)
dan pembagi? Bagaimana
dengan derajat sisa pembagian
terhadap derajat
pembagi? Apakah hasil
yang Anda peroleh berlaku
umum? Untuk itu, cari di
buku internet atau tanya ahli
matematika mengenai hal ini.
Tulis dan laporkan hasilnya di
depan kelas.
c. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c,
dengan a ≠ 0
Pembagian (x3 – x2 + 4x – 4) oleh (x2 – 1) dapat dituliskan
sebagai berikut:
P(x) = (x2 – 1 ) H(x) + sisa = (x + 1) (x – 1) H(x) + (A1x + A0)
untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A0+ A1(1) ) = A1+ A0
untuk x = –1 diperoleh, P(–1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(–1))
= – A1 + A0
–4
+
4(1)
0
1 –1 4
+ +
1(1) 0(1)
1 0 4
P(1) = 0
x = 1
132 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Dari pembagian Horner ini diperoleh
P(1) = 0 maka A0 + A1 (1) = 0 􀂜A0 + A1 = 0
P(–1) = –10 maka A0 + A1 (–1) = –10 􀂜A0 – A1= –10
– 2A0 = –10
A0 = –5 dan A1= 5
Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1 x, yaitu
–5 + 5x.
Coba Anda tentukan pembagian (x3 – x2 + 4x –4) : (x2 – 1)
dengan pembagian biasa seperti pada bilangan bulat. Adapun
hasil bagi ditentukan sebagai berikut.
Jadi, H(x) = b1x + b0 = x – 1. Coba amati kembali bagan
tersebut. Sisa dari pembagian mana angka 5?
Untuk pembagian suku banyak oleh P(x) = ax2 + bx + c,
a ≠ 0, di mana P(x) tidak dapat difaktorkan maka digunakan
cara pembagian biasa, seperti pada bilangan. Adapun untuk
P(x) yang dapat difaktorkan digunakan cara pembagian biasa
dan skema Horner.
–4
+
6(–1)
–10
1 –1 4
+ +
1(–1) –2(–1)
1 –2 6
P(–1) = –10
x = –1
–4
+
4(1)
0
1 –1 4
+ +
1(1) 0(1)
1 0 4
1(–1)
1 –1 5
–1(–1)
| | | |
b1 b0
x 􀀝 1
x 􀀝 􀀍1
+
Suku Banyak 133
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian
dari pembagian-pembagian berikut ini
dengan cara biasa dan cara Horner.
a. (3×4 – 2×2 + 5x + 1) : (x + 1)
b. (6×3 – 4×2 + 2x) : (x – 1)
c. (2×5 – 5×3 + x2 – 1) : (x + 2)
d. (100×4 – 81) : (x – 3)
2. Tentukan sisa pembagian untuk suku
banyak berikut.
a. (2×4 – 3×3 + 2x² – 5) : (x – 2)
b. (3×4 – 4x² + 10) : (x + 3)
c. (5×5 – 2×4 + 3×3 – x2 + 6) : (x + 2)
d. (7×7) – 2×5 + 4×3 – 2×2 + x) : (x + 1)
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian
dari soal berikut dengan cara Horner.
a. (2×4 – 5×3 + 3×2 – x + 1) : (x – 3)
b. (6×4 – 5×3 + 3x – 10) : (2x – 3)
c. (8×5 + 2×4 + 13×3 – 17x – 2) : (4x + 3)
d. (2×6 – x5 + 3×3 + x2 + 9x – 5) : (2x + 3)
e. (2×4 – 3×3 + 5×2 + x – 7) : (x2 – x + 3)
f. (6×4 + x3 + x2 + 7x) : (3×2 + 5x + 2)
D. Teorema Sisa
Diketahui, P(x) = anxn + an – 1 xn – 1+ … + a2
x 2+ a1x+ a0.
Cara Anda menentukan sisa pembagian dari pembagian suku
banyak P(x) oleh bentuk (x – k), (ax + b), dan (ax2 + bx + c),
baik dengan cara Horner maupun dengan cara pembagian
biasa telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya.
Sekarang amatilah persamaan berikut:
P(x) = f(x) . H(x) + S
P(x) : suku banyak yang dibagi
f(x) : pembagi
H(x) : hasil bagi
S : sisa pembagian
Jika P(x) berderajat n dan f(x) berderajat m (m ≤ n) maka
derajat H(x) dan S masing-masing sebagai berikut.
• derajat H(x) adalah (n – m)
• derajat maksimum S adalah (m – 1)
1. Pembagian dengan Pembagi (ax + b)
Jika f(x) = ax + b, merupakan pembagi dari P(x) maka
hubungan antara P(x) dan f(x) dapat ditulis sebagai berikut.
P(x) = (ax + b)
H
a
􀂧
􀀈x􀀉
􀂩
􀂨 􀂧
􀂨 􀂩
􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸 􀂹
􀂸 + S, berlaku untuk setiap x bilangan real.
134 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Carilah sisa pembagian dari (4×3 + 2×2 – 4x + 6) : (x – 3) tanpa
melakukan pembagian terlebih dahulu.
Jawab:
Suku banyak P(x) = 4×3 + 2×2 – 4x + 6 dibagi dengan (x – 3)
sisanya adalah
S = P
3
1
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
= P(3) (berdasarkan Teorema 6.1).
Jadi, dengan menyubstitusikan x = 3 ke dalam fungsi P(x),
diperoleh
P(3) = 4 . 33 + 2 . 32 – 4 . 3 + 6 = 120.
Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah 120.
Contoh 5.6
Oleh leh karena f(x) berderajat satu maka S berderajat nol.
Jadi, konstanta S sama dengan A0.
Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakan
teorema berikut.
Teorema 5.1
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b)
maka sisanya adalah P( 􀀍
b
a
).
Bukti: harus ditunjukkan bahwa S P
b
a
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵. Jika suku
banyak P(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b), bentuk
pembagian itu dituliskan sebagai berikut
P(x) = (ax + b) H
a
􀂧
􀀈x􀀉
􀂩
􀂨 􀂧
􀂨 􀂩
􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸 􀂹
􀂸 + S … (1)
Selanjutnya, substitusikan nilai x = 􀀍
b
a
ke persamaan
(1) sehingga diperoleh
P( 􀀍
b
a
) = [a ( 􀀍
b
a
) + b].
H
b
a
a
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
+ S
= (–b + b) .
H
b
a
a
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
+ S
P( 􀀍
b
a
) = S.
Jadi, sisa = P( 􀀍
b
a
). Teorema terbukti.
Suku Banyak 135
Tentukanlah p agar pembagian (6×2+ 7x – 5) : (px – 1) menghasilkan
sisa pembagian yang bernilai 0.
Jawab:
Suku banyak P(x) = 6×2 + 7x – 5 dibagi dengan (px – 1), sisanya
adalah
S = P
1
p
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 (berdasarkan Teorema 5.1). Jadi, dengan
menyubstitusikan
x =
1
P
ke dalam fungsi P(x), diperoleh
P
1
p
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 = 6
1 2
p
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 + 7
1
p
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 – 5
=
6 7
5 P2 p 􀀋 􀀍
sehingga sisa pembagian adalah S =
6 7
5 P2 p 􀀋 􀀍 .
Sisa pembagian sama dengan nol maka berlaku
6 7
5 P2 p 􀀋 􀀍 = 0
􀂙
􀀋 􀀍
􀀝
67 5
0
2
2
p5p
p
􀂙
􀀍 􀀋
􀀝
5 7 􀀋 6
0
2
2
p7p
p
Penyebut tidak boleh sama dengan nol sehingga
–5p2 + 7p + 6 = 0
5p2 – 7p – 6 = 0
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
p1, 2 =
7 4 5
2 5
7 13
10
2 􀁯 􀀈 7􀀉 􀀍 􀀈􀀍6􀀉
􀀝
p1=
7 13
10
2
7 13
10
3
5 2
􀀋
􀀝 􀀝 atau p 􀀝 􀀍
Jadi, p1 = 2 atau p2 = 􀀍
3
5
.
Contoh 5.7
Tokoh
Matematika
Evariste Galois
(1811–1832)
Pada usia 20 tahun telah
membuktikan persamaan
suku banyak lebih dari empat
tidak bisa diselesaikan secara
langsung.
Sumber: www-history
mcs.st-andrews.ac.uk
136 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Pembagian dengan Pembagi (x – a)(x – b)
Suatu suku banyak p(x) yang dibagi oleh f(x) = (x – a)
(x – b), dapat dituliskan sebagai berikut.
P(x) = (x – a) (x – b) H(x) + S … (1)
berlaku untuk setiap x bilangan real.
f(x) = (x – a) (x – b) berderajat 2 sehingga sisanya
berderajat maksimum satu, atau S = A0 + A1x.
Coba Anda jelaskan mengapa sisanya berderajat
maksimum satu.
Dengan demikian, persamaan (1) dapat dituliskan
sebagai berikut.
P(x) = (x – a) (x – b) . H(x) + A1x + A0
Sisa dapat ditentukan dengan teorema sisa, yaitu sebagai
berikut.
• Untuk pembagi (x – a), diperoleh sisa
P(a) = 0 . H(a) + A1(a) + A0
= A1a + A0 … (2).
• Untuk pembagi (x – b), diperoleh sisa
P(b) = 0 . H(b) + A1(b) + A0
= A1b + A0… (3).
Dari persamaan 2 dan 3, dapatkah Anda menemukan
rumus berikut.
A
P P
a b
A
aP bP
a b 1 0 􀀝 􀀈a􀀉􀀍 􀀈b􀀉
􀀝
􀀈b􀀉 􀀈a􀀉
dan
Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 8. Adapun jika
P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6), sisanya (3x – 6). Berapa sisa pembagian
P(x) oleh (x2 – 4)?
Jawab:
Pernyataan P(x) dibagi oleh (x – 2) bersisa 8 dapat ditulis dalam
bentuk persamaan
P(x) = (x – 2) H(x) + 8 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.
Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 8.
Pernyataan P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6) bersisa (3x – 6) dapat
ditulis dalam persamaan
P(x) = (x – 3) (x + 2) H(x) + 3x – 6 yang berlaku untuk setiap x
bilangan real.
• Untuk x = 3, diperoleh P(3) = 3.
• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –12.
Contoh 5.8
Pembahasan Soal
Suatu suku banyak P(x) dibagi
oleh (x2 – 1) sisanya (12x – 23)
dan jika dibagi oleh (x – 2)
sisanya 1. Sisa pembagian
suku banyak oleh (x2 – 3x + 2)
adalah ….
Jawab:
(x2 – 1) = (x + 1)(x – 1)
Jika P(x) dibagi (x – 1), sisanya
S = f(1) = 12(1) – 23 = – 11.
Jika P(x) dibagi (x – 2) sisa
S = f(2) = 1 (diketahui).
Jika P(x) dibagi (x2 – 3x + 2)
= (x – 2)(x – 1) sisanya adalah
S
f f
x
f f
􀀝
􀀈 􀀉 􀀈 􀀉
􀀋
􀀈 􀀉 􀀈
􀀉
2􀀍1
2f 1f 2􀀍1
􀀝
􀀈 􀀉
􀀋
1􀀍􀀍 􀀈 􀀉 􀀈 􀀉
1
2􀀍 􀀍1
1
x
S = 12x – 23
Soal Ebtanas 1999
Suku Banyak 137
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukanlah sisa pembagian soal-soal
berikut tanpa melakukan pembagian
terlebih dahulu.
a. (16×4 + 8×3 – 4x + 5) : (2x – 1)
b. (81×4 – 27×3 + 9×2 – 3x + 1) : (3x + 2)
2. Buktikan bahwa
a. (2a3 + 3a2b – b3) habis dibagi oleh
(2a – b)
b. (p4 – 8q4 – 2p2q2) habis dibagi oleh
(p +2q)
3. Tentukan sisa pembagian dari soalsoal
berikut menggunakan teorema
pembagian.
a. (x2 – 2y2 + xy) : (2x – y)
b. (p2 – 6q2 + pq) : (3q + p)
4. Tentukan nilai p agar pembagian berikut
memiliki sisa S sebagai berikut.
a. (2×4 + px2(3x + 2) – 11x – 3) : (x + 3)
dan S = 3
b. (x5 + x4– px2(x + 1) + 9x + 14) : (x – 3)
dan S = 5
5. Tentukan nilai p jika (x3 – 4×2 + 5x + p) dan
(x2 + 3x – 2) dibagi (x + 1) memberikan
sisa yang sama.
6. Tentukan nilai p dan q jika (x4 + px3
+ (q – 14)x2 + 28x – 15) habis dibagi
oleh (x2 – 2x + 1)
7. Jika P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 5
dan jika dibagi (x – 1) sisanya 4. Tentukan
sisanya jika P(x) dibagi (x2 – 3x + 2).
8. Jika P(x) dibagi (x2 – 4), sisanya (3x – 7)
dan jika dibagi (x2 – 9), sisanya (5x – 13).
Tentukan sisanya jika P(x) dibagi oleh
(x +1).
Misalkan, sisa pembagian P(x) oleh x2 – 4 adalah S = A1 x + A0
maka bentuk pembagian dapat dituliskan dalam persamaan
P(x) = (x + 2) (x – 2) H(x) + A1 x +A0 yang berlaku untuk setiap
x bilangan real.
• Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 2A1 + A0 = 8 ….(*)
• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –2A1 + A0 = –12 ….(**)
Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh
A0 = –2 dan A1 = 5 (coba buktikan!)
Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x2 – 4) adalah
S = 5x – 2.
E. Teorema Faktor
1. Pengertian Teorema Faktor
Pandanglah suku banyak P(x) dan pembagi ax + b.
Kemudian, amati kembali Teorema 5.1 dengan saksama. Jika
sisanya 0, apa yang terjadi dengan (ax + b)? Sebagai akibat
dari Teorema 5.1, jika sisa P 􀀍
􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸
􀂷
􀂸 􀂸
b
a
= 0 maka
138 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tunjukkan bahwa (x + 5) merupakan faktor dari
P(x) = x3 + 4×2 + 11x + 30.
Jawab:
Untuk memeriksa apakah (x – k) merupakan faktor dari P(x), Anda
cukup menunjukkan bahwa P(k) = 0. Adapun P(k) dapat dihitung
dengan cara substitusi atau cara Horner.
P(–5) = (–5)3 + 4(–5)2 + 11(–5) + 30 = 0.
Oleh karena P(–5) = 0 maka (x + 5) merupakan faktor dari P(x).
Contoh 5.9
Teorema 5.2
Jika P(x) = anxn + an–1 . xn–1 + . . . + a1 . x + a0 dengan ai bilangan
bulat, i = 1, 2, …, n dan p bilangan bulat dengan p merupakan harga
nol dari P(x) maka p adalah pembagi a0.
:
Misal, p bilangan bulat yang merupakan harga nol P(x)
maka
P(p) = an
p n + an–1 . pn–1 + … + a1 p + a0 = 0
an
p n + an–1 . p
n–1 +… + a1 p = –a 0
p(an . pn–1 + an–1 . pn–2 + … + a1) = –a0
Oleh karena p adalah bilangan bulat dan ai juga adalah
bilangan bulat maka ruas kiri persamaan tersebut merupakan
bilangan bulat.
Jadi, p pembagi dari a0 (terbukti).
Selain untuk menentukan
faktor suatu suku banyak,
teorema faktor dapat
pula digunakan untuk
menentukan koefisienkoefisien
suku banyak yang
belum diketahui.
Contoh
Tentukan nilai k sehingga
(x + 3a) merupakan faktor dari
x3 + (ak + 2a) x2 + 18a3
Jawab:
Berdasarkan teorema faktor
maka
f(–3a) = 0
(–3a)3 + (ak + 2a) (–3a)2 + 18a3
= 0
–27a3 + (ak + 2a) 9a2 + 18a3
= 0
–27a3 + 9a3k + 18a3 + 18a3 = 0
(–27 + 9k + 36) a3 = 0
(9 + 9k) a3 = 0
atau
9 + 9k = 0
9k = –9
k = –1
Ingatlah
P(x) = (ax + b) H x
a
􀂧 􀀈 􀀉
􀂩
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂸
+ 0
􀂙 P(x) = (ax + b) H x
a
􀂧 􀀈 􀀉
􀂩
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂸
dengan a ≠ 0.
Hal ini menunjukkan bahwa (ax + b) adalah suatu
faktor dari P(x). Dengan demikian, dapat dikatakan jika
P(x) adalah suatu polinom, ax + b adalah pembagi, dan sisa
pembagiannya adalah 0 atau P
b
a
􀂤􀀍
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
􀀝 0 maka ax + b adalah
faktor dari P(x).
Suku Banyak 139
Tentukanlah faktor-faktor dari P(x) = x 3 + 4×2 + x – 6.
Jawab:
P(x) berderajat 3 sehingga maksimum faktornya berderajat satu
yang diperoleh 3 buah. Jika (x – k) merupakan faktor dari P(x) = x3
+ 4×2 + x – 6 maka nilai k yang diperoleh adalah pembagi bulat dari
–6, yaitu ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k tersebut disubstitusikan
pada P(x).
• Untuk k = –1 􀂜 P(–1) = (–1)3 + 4(–1)2 + (–1) – 6 = –4.
P(–1) ≠ 0 maka (x + 1) bukan faktor dari P(x).
• Untuk k = 1 􀂜 P(1) = 13 + 4 . 12 + 1 – 6 = 0.
P(1) = 0 maka (x – 1) faktor dari P(x).
• Untuk k = –2 􀂜 P(–2) = (–2)3 + 4(–2)2 – 2 – 6 = 0
P(–2) = 0 maka (x + 2) faktor dari P(x).
• Untuk k = 2 􀂜 P(2) = 23 + 4 . 22 + 2 – 6 = 20
P(2) ≠ 0 maka (x – 2) bukan faktor dari P(x).
• Untuk k = –3 􀂜 P(–3) = (–3)3 + 4(–3)2 – 3 – 6 = 0
P(–3) = 0 maka (x + 3) faktor dari P(x).
• Untuk k = 3 􀂜 P(3) = 33 + 4 . 32 + 3 – 6 = 60
P(3) ≠ 0 maka (x – 3) bukan faktor dari P(x).
Jadi, P(x) = x3 + 4×2 + x – 6 mempunyai satu faktor linear
(x – 1), (x + 2), dan (x + 3).
Contoh 5.10
2. Penggunaan Teorema Faktor untuk
Mencari Akar Persamaan Suku Banyak
Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk:
P(x) = anxn + an–1
. xn–1 + … a1x + a0
(x – k) adalah faktor linear P(x) jika dan hanya jika k akar
persamaan P(x) = 0. Jika suku banyak P(x) berderajat n maka
persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.
Tentukan akar-akar bulat untuk suku banyak x2 – 2x – 3 = 0.
Jawab:
Akar bulat untuk x2 – 2x – 3 adalah pembagi bulat dari –3, yaitu
k = {±1, ±3}.
Suku banyak P(x) = x2 – 2x – 3 berderajat 2 sehingga maksimum
banyak akar persamaan adalah dua. Untuk memperoleh akar-akar
tersebut, hitunglah P(k) untuk setiap nilai k. (lihat Teorema 5.2)
Contoh 5.11
Hal Penting
􀁴 􀁔􀁖􀁌􀁖􀀁􀁃􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌
􀁴 􀁕􀁆􀁐􀁓􀁆􀁎􀁂􀀁􀁔􀁊􀁔􀁂
􀁴 􀁔􀁖􀁌􀁖􀀁􀁕􀁆􀁕􀁂􀁑
􀁴 􀁑􀁆􀁎􀁃􀁂􀁈􀁊􀁂􀁏􀀁􀁔􀁖􀁌􀁖􀀁􀁃􀁂􀁏􀁚􀁂􀁌
􀁴 􀁄􀁂􀁓􀁂􀀁􀀩􀁐􀁓􀁏􀁆􀁓
􀁴 􀁕􀁆􀁐􀁓􀁆􀁎􀁂􀀁􀁇􀁂􀁌􀁕􀁐􀁓
140 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab E
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Periksalah apakah soal-soal berikut ini
merupakan faktor dari
P(x) = x4 – 2×3 – 13×2 + 14x + 24
a. (x – 1) d. (x + 2)
b. (x + 1) e. (x – 3)
c. (x – 2) f. (x + 3)
2. Tentukan p dari P(x) = 2×4 + x3 – 45×2 – 58x
+ p agar P(x) memiliki faktor
a. (x + 1)
b. (2x – 1)
3. Tentukan faktor-faktor dari suku banyak
berikut.
a. P(x) = x4 + 3×2 – 5x + 1 = 0
b. P(x) = 2×4 + x3 – 14×2 – 19x – 6
c. P(x) = 2×4 + 3×3 – 4×2 – 3x + 2
d. P(x) = 4×4 + 5×3 + 7×2 – 34x + 8
4. Jika (x +1) merupakan faktor suku banyak
berikut ini, tentukan faktor lainnya.
a. px3 + x2 – 2x – 1
b. x3 + px2 – 5x – 6
c. px3 + 11×2 – 6x – 8
d. 2×4 + px3 – 29×2 – 17x + 15
5. Tentukan akar bulat dari persamaan
berikut.
a. 2×3 – x2 + 8x – 4 = 0
b. 4×4 – 15×2 + 5x + 6 = 0
c. 2×4 + 3×3 – 4×2 – 3x + 2 = 0
d. x3 + 2×2 + ( 2 – 4)x – 2 = 0
6. Tunjukkan bahwa (x – 1) adalah faktor dari
suku banyak xn – 1 untuk setiap n bilangan
asli.
7. Tentukan nilai p agar pecahan berikut ini
dapat disederhanakan.
a. x p
x x
3 2
2
1
3×2 2 1
􀀋2 px2􀀋
􀀍
b.
2 3
3 8 5
2 2
3 8 2
x p x
x x
px
􀀋8×2􀀍 􀀋
8. Jika suku banyak x3 + p(x2 – 3) – qx dan
x3 + (p – 2)2 – q(x + 3) mempunyai sebuah
faktor berderajat dua yang sama, tentukan
nilai p dan q.
9. Sebuah tangki gas berbentuk seperti pada
gambar berikut.
Jika panjang tangki gas 10 m dan volumenya
20 π m3, tentukan jari-jari tangki gas.
10 m
x
• Untuk k = 1 􀁬 P(1) = 12 – 2 . 1 – 3 = –4.
P(1) ≠ 0 sehingga x = 1 bukan akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
• Untuk k = –1 􀁬 P(–1) = (–1)2 – 2(–1) – 3 = 0.
P(–1) = 0 sehingga x = –1 akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
• Untuk k = 3 􀁬 P(3) = 32 – 2 . 3 –3 = 0.
P(3) = 0 sehingga x = 3 akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
Dua buah akar persamaan suku banyak x2 – 2x – 3 = 0 telah
diperoleh, yaitu x = –1 dan x = 3 sehingga P(–3) ≠ 0. Jadi, akarakar
bulat untuk x2 – 2x – 3 = 0 adalah x = – 1 dan x = 3.
Suku Banyak 141
• Rumus umum fungsi suku banyak f(x) adalah
f(x) = ar xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … a0
• Fungsi suku banyak
f(x) = ar xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … a0
g(x) = br xn + bn – 1 xn – 1 + bn – 2 xn – 2 + … b0
dikatakan identik jika dan hanya jika
a = bn; an – 1 = bn – 1; …; a0 = b0
• Nilai suku banyak dapat dicari dengan cara substitusi dan
skema.
• Mencari hasil bagi dan sisa bagi dapat dilakukan dengan
pembagian bersusun atau cara horner.
• Pembagian suku banyak oleh pembagi yang berbentuk linear,
menghasilkan sisa berderajat nol.
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 5,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan
penting untuk dipelajari,
3. adakah soal tes kompetensi yang tidak dapat Anda
kerjakan?
4. apakah Anda mendiskusikan materi yang belum Anda
pahami?
Refleksi
142 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 5
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika x3 – 12x + ka habis dibagi dengan
(x – 2) maka ia juga habis dibagi dengan ….
a. (x – 1)
b. (x + 1)
c. (x + 2)
d. (x – 3)
e. (x + 4)
2. Hasil bagi dan sisa pembagian dari suku
banyak 4×3 – 2×2+ x – 1 dibagi oleh 2×2+ x + 1
berturut-turut adalah ….
a. (2x – 2) dan (x + 1)
b. (2x + 2) dan (x – 1)
c. (2x + 2) dan (x + 1)
d. (x + 2) dan (2x – 1)
e. (x – 2) dan (2x + 1)
3. Suku banyak f(x) dibagi oleh (x – 3)
bersisa 5 dan dibagi oleh (x + 4) bersisa
–23. Sisa dari pembagian f(x) oleh (x – 3)
(x + 4) adalah ….
a. 3x – 4
b. –4x + 17
c. –3x + 14
d. 5x – 10
e. 4x – 7
4. Jika f(x) = x3 – x + 2 dan g(x) = 2×2 + x – 1
maka f(x) × g(x) adalah ….
a. 2×5 + x4 + 3×3 – 3×2 + 3x – 2
b. 2×5 + x4 – 3×3 + 3×2 + 3x – 2
c. 2×5 + x4 – 3×3 – 3×2 + 3x + 2
d. 2×5 – x4 – 3×3 + 3×2 – 3x + 2
e. 2×5 – x4 + 3×3 – 3×2 + 3x – 2
5. Diketahui suku banyak
4×4 – 12×3 + 13×2 – 8x + a dan 6×2 – 11x + 4
Jika suku banyak itu mempunyai satu
faktor yang sama maka bilangan bulat a
adalah…
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
6. Persamaan 2×3 + 3×2 + px + 8 = 0 mempunyai
sepasang akar yang berkebalikan.
Nilai p = ….
a. 18 d. –6
b. 6 e. –18
c. 3
7. Diketahui persamaan
A
x
B
x
x
􀀋 x x
􀀋 􀀝
􀀍
1 􀀍2 􀀍
8
2 2
.
Nilai A dan B berturut-turut adalah ….
a. –2 dan 3
b. 2 dan –3
c. 3 dan –2
d. –3 dan 2
e. –3 dan –2
8. Suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x – 1).
Sisa pembagian f(x) oleh (x – 1)(x + 1)
adalah ….
a. – 1
2
f(1)(1 – x)
b. – 1
2
f(1)(1 + x)
c. 1
2
f(–1)(1 – x)
d. 1
2
f(–1)(1 + x)
e. – 1
2
f(–1)(1 + x)
9. Diketahui f(x) = px3 + (2p – 1) x2 – 2px + 3
dan g(x) = 2px3 – 3px2 –(p + 4)x – p. Jika
sisa pembagian f(x) oleh (x + 1) sama
dengan sisa pembagian g(x) oleh (2x – 1)
maka nilai p adalah ….
a. 2
5
d. – 4
5
b. – 2
5
e. 3
5
c. 4
5
Suku Banyak 143
10. Jika f(x) = 4×4 – x3 – x2 +
1
2
x dibagi
dengan
(2x + 2 ) sisanya adalah ….
a. – 2 d.
1
2
b. –1 e.
1
2
2
c. –
1
2
11. Suku banyak f(x) = x3 – 2×2 + px + 6 habis
dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan (x + 3)
(x + 1) sisanya adalah ….
a. 16x + 24
b. 16x – 24
c. 24x + 16
d. 24x – 16
e. –24x + 16
12. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 1)
sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh
(x –2) sisanya 1. Sisa pembagian suku
banyak P(x) oleh (x2 – 3x + 2) adalah ….
a. 12x + 23
b. 12x – 23
c. 23x + 12
d. 23x – 12
e. –23x + 12
13. Sisa bagi dari (4×4 + 3×3 – x + 4) : (x2 + x –2)
adalah ….
a. 12x + 22
b. 12x – 22
c. –12x + 22
d. –12x – 22
e. 22x – 12
14. Diketahui suku banyak f (x) = x3 + ax2 + bx– 6.
Jika suku banyak ini habis dibagi oleh
(x – 3) dan (x – 2), maka sisa pembagian
f (x) oleh x2 + 5x + 6 adalah ….
a. 60(x + 1)
b. –60(x + 1)
c. 60(x – 1)
d. –60(x – 1)
e. 60(1 – x)
15. Diketahui P(x) = x3 + 3×2 + px + q. Jika
P(x) dibagi (x2 + 2x – 3) sisanya 7x + 3,
maka nilai p dan q berturut-turut adalah ….
a. 3 dan 2 d. –6 dan 0
b. –3 dan 2 e. 6 dan 0
c. –2 dan 3
16. Jika suku banyak x4 – 3×2 + ax + b
dibagi oleh x2 – 3x – 4, akan memberikan
sisa 2x + 5.
Nilai a dan b adalah ….
a. a = 35 dan b = 40
b. a = –35 dan b = 40
c. a = –35 dan b = –40
d. a = 40 dan b = –35
e. a = 40 dan b = –35
17. Banyak akar real dari persamaan
x4 – x – 3×2 + 4x – 4 = 0 adalah ….
a. 4 d. 1
b. 3 e. 0
c. 2
18. Jika f(x) dibagi dengan x + 2, sisanya
adalah 3. Jika f(x) dengan x2 – 4, sisanya
adalah ….
a. x + 5 d. x + 2
b. x + 4 e. x + 1
c. x + 3
19. Jika f(x) dibagi oleh x – 1 dan x + 1,
sisanya berturut-turut adalah 2 dan 3. Jika
g(x) dibagi oleh x – 1 dan x + 1, sisanya
berturut-turut adalah 1 dan –2.
Jika f(x) = h(x) . g(x) dibagi oleh x2 – 1
maka sisanya adalah ….
a. 4x + 2 d. 2x – 4
b. 4x – 2 e. –2x – 4
c. 2x + 4
20. Jika f(x) dibagi dengan x – 2, sisanya 24.
Jika f(x) dibagi dengan x + 5, sisanya
10. Jika f(x) dibagi dengan x2 + 3x – 10,
sisanya adalah ….
a. x + 34 d. 2x – 20
b. x – 34 e. x + 14
c. 2x + 20
144 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Tentukan an f(x) + g(x), f(x) – g(x) dan
f(x) × g(x) untuk soal-soal berikut.
a. f(x) = 5×3 + 2x – 4 dan
g(x) = 3×4 – 4x – 7
b. f(x) = 6×4 – 2×3 + x + 5 dan
g(x) = 3×4 + 5×3 + 2×2 – 8
c. f(x) = (2x – 1)3 dan g(x) = (5x + 2)2
d. f(x) = (3x + 2)3 dan g(x)
= (x – 2) (x + 2)2
e. f(x) = (5 – 3x)3 dan
g(x) = (x2 – 2x) (x2 + 2x)
2. Hitunglah nilai suku banyak P(x) menggunakan
substitusi untuk soal-soal berikut
ini.
a. P(x) = 5×5 – 3×3 – x + 15 untuk x = 2
b. P(x) = 2×5 – x4+ 3×2 – 2x + 10 untuk
x = –2
c. P(x) = 3×7 – 5×4– 2×3 + 3x – 5 untuk
x = –1
d. P(x) = 2×5 – 3×4 + 2×3 – 3x + 5 = untuk
x 􀀝 􀀍
1
2
3. Carilah bilangan p dan q agar
(px3 – 5×2 – 22x + q) habis dibagi oleh
x2 – 4x – 5 dengan menggunakan cara
Horner dan cara pembagian biasa.
4. Buktikan bahwa
a. p2n – q2n habis dibagi oleh p + q
b. p2n + 1+ q2n + 1 habis dibagi oleh p + q.
Dalam hal ini n bilangan bulat positif.
5. Sebuah kotak terbuka akan dibuat dari
selembar karton. Karton tersebut berbentuk
persegipanjang dan berukuran 6 × 5 inci
(inci = 2,54 cm). Cara membuat kotak ini
adalah dengan memotong sebuah persegi
dari setiap sudutnya. Jika volume kotak
14 inci3, berapa inci2 persegi yang harus
dipotong?
x x
x
x
x x
x
x
Bab6
145
Fungsi Komposisi
dan Fungsi Invers
Sumber: Let’s Learn about Korea, 2002
Demikian pula halnya dengan domain, kodomain, dan
range fungsi telah Anda pelajari juga. Akan tetapi, pada
pembahasan mengenai hal tersebut tidak dipelajari sifat-sifat
fungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers.
Pada bab ini, konsep-konsep fungsi yang telah Anda pelajari
di SMP tersebut akan dikembangkan sampai pada sifat-sifat
fungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, fungsi invers, dan
invers dari fungsi komposisi. Salah satu manfaat belajar
materi ini ialah untuk menyelesaikan masalah berikut.
Jumlah n mobil yang diproduksi suatu pabrik selama 1
hari setelah t jam operasi adalah n(t) = 200t – 10t2, 0 ≤ t < 10.
Jika biaya produksi n mobil (dalam dolar) adalah C(n)
= 30.000 + 8.000n, tentukan biaya C sebagai fungsi dari
waktu. Berapakah biaya memproduksi mobil selama 1
bulan? Untuk menjawabnya, Anda harus mempelajari bab
ini dengan baik.
A. Fungsi dan Sifatnya
B. Aljabar Fungsi
C. Fungsi Komposisi
D. Fungsi Invers
E. Invers dari Fungsi
Komposisi
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan
masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
dalam pemecahan masalah.
146 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Coba jelaskan apa yang dimaksud dengan
relasi dan fungsi. Berikan 2 contoh relasi
yang merupakan fungsi dan yang bukan
fungsi.
2. Jika f (x) = 2×2 + 7x – 15, tentukan nilai
fungsi f pada
a. x = 1
2
b. x
a
􀀝
1
2 – 1
3. Diketahui f(x)=
x
x
􀀋
􀀍
2
6
.
a. Apakah titik (3,14) terletak pada
grafik f?
b. Jika x = 4, berapakah f(x)?
c. Tentukan domain, kodomain, dan
range dari f.
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
f bijektif f ° f –1(x) = x
(g ° f)–1(x) = (f –1 ° g–1)(x)
(f ° g)–1(x) = (g–1 ° f –1)(x)
cara
menentukannya
membahas
syarat sifat
f ° g:
Rg « D f
≠ φ g ° f:
R f « Dg ≠ φ
(f ° g)(x) ≠ (g ° f)(x)
(f ° (g ° h))(x) = (f ° g) ° h)(x)
(f ° I)(x) = (I ° f)(x) = f(x)
syarat memiliki
invers
Fungsi Komposisi Fungsi Invers
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 147
A. Fungsi dan Sifatnya
Sebelum membahas beberapa macam fungsi, mari awali
bagian ini dengan mengulang pengertian relasi dan fungsi.
1. Pengertian Relasi
Dari himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakan
bahwa ada suatu relasi dari A ke B jika ada anggota himpunan
A yang berpasangan dengan anggota himpunan B.
Amati diagram pada Gambar 6.1. Relasi yang ditunjukkan
diagram tersebut dapat dituliskan dalam bentuk himpunan
pasangan terurut berikut.
a. {(3, 2), (3, 6), (4, 7), (5, 6)}
b. {(Hasan, Rudi), (Hasan, Ani), (Tina, Rudi)}
c. {(a, x), (b, y), (c, z), (p, q), (r, s)}
Daerah asal (domain) dari relasi pada Gambar 6.1 (a)
adalah {3, 4, 5}, daerah kawannya (kodomain) adalah {2, 6,
7, 8}, dan daerah hasilnya (range) adalah {2, 6, 7}. Dapatkah
Anda menentukan domain, kodomain, dan range dari
Gambar 6.1 (b) dan (c)?
Misalkan antara x dan y yang keduanya bilangan real
terdapat hubungan (relasi)H, yang dinyatakan sebagai y = 2x.
Grafik relasi ini berupa garis lurus seperti diperlihatkan
pada Gambar 6.2. Domain relasi ini adalah DH = { x| x􀂌R},
kodomainnya adalah {y| y􀂌R} dan rangenya adalah RH = { y|
y􀂌R}. Titik-titik (x, y) yang memenuhi hubungan ini begitu
banyak sehingga jika dirinci satu per satu tidak mungkin
dilakukan. Dalam matematika, hubungan ini ditulis dengan
{(x, y)| y = 2x; x, y􀂌R}.
Relasi {(x, y)|y = x2; x, y 􀂌 R} jika disajikan dalam
diagram Cartesius terdiri atas semua titik yang terletak
pada kurva y = x2, seperti diperlihatkan pada Gambar 6.3(a).
Adapun relasi {(x, y)|x2 + y2 = 25; x, y􀂌R} terdiri atas semua
titik yang terletak pada x2 + y2 = 25 seperti diperlihatkan pada
Gambar 6.3(b).
Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk
umum relasi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan
kalimat Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari
tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 6.1
Relasi H dari himpunan A ke himpunan B ialah himpunan bagian
dari himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunan
bagian dari A × B. Jadi, H disebut relasi dari A ke B jika H
himpunan bagian dari {(x, y)|x 􀂌 A, y 􀂌 B}.
Gambar 6.1
Gambar 6.2
(c)
a
A B
bcp r
x
y
q s
z
(b)
A B
Hasan
Tina Ani
Rudi
(a)
A B
3
4
5
8
7
2
6
x
y
y = 2x
O
148 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Domain dari suatu relasi adalah himpunan yang
anggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama dari semua
pasangan berurutan yang merupakan anggota relasi tersebut.
Adapun range-nya adalah himpunan yang anggotanya terdiri
atas unsur-unsur kedua dari semua pasangan berurutan yang
merupakan anggota relasi itu.
2. Pengertian Fungsi
Amati kembali Gambar 6.2. Pada relasi {(x, y)|y = 2x; x,
y􀂌R}, setiap unsur pada daerah asal (domain) dihubungkan
dengan satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil (range).
Misalnya, –2 dihubungkan dengan –4, –1 dengan –2, 0
dengan 0, 1 dengan 2, 2 dengan 4, dan seterusnya.
Sekarang amati Gambar 6.3(a). Pada relasi {(x, y)|y = x2;
x, y􀂌R}, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan dengan
satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; –2 dihubungan
dengan 4, –1 dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan
4, dan seterusnya. Relasi {(x, y)|y = 2x; x, y􀂌R} dan relasi
{(x, y)|y = x2; x, y􀂌R} disebut fungsi.
Berbeda dengan Gambar 6.3 (b), yaitu relasi {(x, y)|x2 + y2
= 25; x, y􀂌R}. Pada relasi ini, untuk nilai x yang sama misalnya
x = 3, terdapat dua nilai y yang berbeda, yaitu y = 4 dan y = –4.
Jadi, relasi {(x, y)|x2 + y2 = 25; x, y􀂌R) bukan fungsi.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian
fungsi? Cobalah nyatakan pengertian fungsi dengan kata-kata
Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut
memperjelas definisi berikut.
Definisi 6.2
Fungsi ialah relasi dengan setiap unsur dari daerah asalnya
dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah kawannya.
Di antara grafik pada Gambar 6.4, manakah yang menyatakan suatu
fungsi dari R􀁬 R, x, y􀂌R? Jelaskan jawaban Anda.
Jawab:
a. Dari Gambar 6.4(a) tampak bahwa untuk x = 3 dihubungkan
dengan y􀂌R, misalnya 3 dengan 0, 3 dengan 1, 3 dengan 2,
dan seterusnya. Akibatnya, relasi {(x,y)| x = 3; x, y􀂌R} bukan
merupakan fungsi.
Contoh 6.1
Gambar 6.3
(a)
x
y
y = x2
O
(b)
O 5
5
x
y
x2 + y2 = 25
–5
(a)
x
y
O
x = 3
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 149
b. Dari Gambar 6.4(b) tampak bahwa setiap unsur pada domain
dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada range.
Misalnya, 4 dihubungkan dengan 2; –2 dihubungkan dengan –1;
0 dihubungkan dengan 0; 2 dengan 1; dan seterusnya. Dengan
demikian, relasi {(x,y)| y =
1
2
x; x, y􀂌R} merupakan fungsi.
Grafik pada Gambar 6.4(b), menyatakan fungsi.
Diketahui fungsi f : R 􀁬 R dan f(x) = x2 – 1.
a. Hitunglah f(–3), f(–1), f(0), f(2), dan f(3).
b. Jika f(a) = 3, tentukan nilai a yang memenuhi.
c. Gambarkan grafik fungsi tersebut.
d. Jika daerah asal fungsi tersebut adalah D f = { x|–3 ≤ x ≤ 3, x􀂌R},
tentukan daerah hasilnya.
Jawab:
a. f(x) = x2 – 1
f(–3) = (–3)2 – 1 = 9 – 1 = 8
f(–1) = (–1)2 – 1 = 0
f(0) = (0)2 – 1 = –1
f(2) = (2)2 – 1 = 3
f(3) = (3)2 – 1 = 8
b. f(a) = a2 – 1
3 = a2 – 1
a2 = 3 + 1
a2 = 4
a2 = 4
a = ±2
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 2 dan a = –2.
c. Sketsa grafik tampak pada Gambar 6.5.
d. Daerah hasil dari fungsi y = f(x) = x2 – 1 adalah
R f = { y| –1 ≤ y ≤ 8, y􀂌R}
Contoh 6.2
Gambar 6.4
(b)
x
y
O
Gambar 6.5
3. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Injektif
Misalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B =
{p, q, r, s}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan
fungsi f dan fungsi g yang dinyatakan dengan diagram
panah pada Gambar 6.6.
Pada Gambar 6.6(a), untuk setiap anggota himpunan A
yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di himpunan B.
Fungsi yang demikian dinamakan fungsi injektif atau fungsi
satu-satu.
y
x
–3–2–1 3
2 3
4
5
6
7
8
–1
Daerah asal
Daerah hasil
1 2
1
(a)
A
Fungsi f : A Æ B
B
f
1
2
3
s
r
p
q
Gambar 6.6
(b)
Fungsi g : A Æ B
A B
g
1
2
3
s
r
p
q
y = x2 –1
150 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Pada Gambar 6.6(b), terdapat dua anggota himpunan
A yang berbeda, yaitu 2 dan 3 mempunyai peta yang sama,
yaitu r di himpunan B. Oleh karena itu, fungsi g bukan fungsi
injektif.
Sekarang, amati kembali Gambar 6.2. Dari grafik fungsi
f(x) = 2x pada gambar tersebut, untuk setiap domain x1 dan
x2 (x1 ≠ x2) maka f(x1) ≠ f(x2). Misalkan untuk x1 = –1, x2 = 1
maka f(x1) = –2, f(x2) = 2, dan f(x1) ≠ f(x2). Jadi, untuk nilai x
yang berbeda menghasilkan nilai y = f(x) yang berbeda pula.
Fungsi yang demikian disebut fungsi injektif atau fungsi
satu-satu.
Amati pula grafik fungsi f(x) = x2 pada Gambar 6.3(a).
Pada fungsi ini, untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ≠ x2)
terdapat hubungan f(x1) = f(x2), misalnya f(–1) = f(1) = 1 dan
f(–2) = f(2) = 4. Jadi, untuk nilai x yang berbeda terdapat nilai
y = f(x) yang sama. Fungsi yang demikian bukan merupakan
fungsi injektif.
Secara umum, jika f fungsi dari himpunan A ke himpunan
B maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepat
suatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsur
yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan
tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam Bmaka f disebut
fungsi injektif atau fungsi satu-satu.
b. Fungsi Surjektif
Misalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B= {x, y, z}.
Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f yang
ditentukan dengan diagram panah pada Gambar 6.7(a).
Pada Gambar 6.7(a), tampak bahwa daerah hasil dari fungsi
f, yaitu R f = {x, y, z} sehingga R f
= B, dalam hal ini B adalah
daerah kawan. Suatu fungsi yang daerah hasilnya sama dengan
daerah kawannya dinamakan fungsi surjektif atau fungsi onto.
Jadi, fungsi f pada Gambar 6.7(a) merupakan fungsi surjektif.
Coba Anda selidiki Gambar 6.7(b). Apakah fungsi g : P􀁬Q
merupakan fungsi surjektif? Jelaskan jawaban Anda.
Sekarang, amatilah grafik f(x) = 2x (Gambar 6.2). Grafik
tersebut memiliki daerah hasil (range) R f
sama dengan daerah kawannya (kodomainnya). Oleh karena itu, fungsi
f(x) = 2x
disebut fungsi surjektif atau fungsi onto. Secara umum, jika
pada suatu fungsi f dari A ke B daerah hasilnya R f
= B maka
fungsi itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto
. Akan
tetapi, jika R f
ÃB maka fungsi tersebut bukan merupakan
fungsi surjektif
f.
Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut
fungsi bijektif. Jadi, fungsi y = 2x merupakan fungsi bijektif.
Gambar 6.7
(a)
(b)
A
P
Fungsi f : A Æ B
Fungsi g : P Æ Q
B
Q
f
g
1
a
x
2
2
b
y
4
3 z
6
Soal Terbuka
Buatlah 5 buah fungsi yang
satu-satu dan fungsi yang
tidak satu-satu.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 151
Gambar 6.8
Selidikilah fungsi berikut, apakah merupakan fungsi injektif atau
bukan, jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektif?
a. y = f(x) =
1
2
x + 3, x􀂌R,
b. y = f(x) = x2 – 2, x􀂌R,
Jawab:
a. Grafik fungsi y = f(x) =
1
2
x + 3, x 􀂌 R tampak pada Gambar
6.8 (a). Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ≠ x2)
maka f(x1) ≠ f(x2). Jadi, fungsi y = f(x) =
1
2
x + 3, x 􀂌 R
merupakan fungsi injektif. Oleh karena range R f
sama dengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)
=
1
2
x + 3, x􀂌R merupakan fungsi surjektif.
Dengan demikian, fungsi y = f(x) =
1
2
x + 3, x􀂌R adalah fungsi
bijektif.
b. Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 – 2, x􀂌R diperlihatkan pada
Gambar 6.8(b). Pada gambar tersebut, tampak bahwa terdapat
nilai-nilai x1, x2 􀂌D f dengan x1 ≠ x2, tetapi f(x1) = f(x2). Jadi,
fungsi y = f(x) = x2 – 2, x􀂌R bukan fungsi injektif.
Contoh 6.3
Mari, Cari Tahu
Selidikilah bersama 2 orang teman, sejarah penggunaan lambang
y = f(x). Anda dapat mencarinya di buku atau internet. Laporkan
hasilnya di depan kelas.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Di antara grafik berikut ini, manakah yang
menyatakansuatu fungsidariR􀁬R, x, y􀂌R?
Jelaskan jawaban Anda.
(a) (b)
2. Dari sketsa grafik berikut ini, manakah
yang merupakan relasi? Tentukan pula
mana yang merupakan fungsi dari x􀁬 y.
Jika fungsi, tentukan sifatnya injektif,
surjektif, atau bijektif.
a. b.
y
x
x
(a)
–6 x
3
y
(b)
x
y
x2 x1
y = f(x) = x2 – 2
y
x
y = x3
1
1
x
152 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Aljabar Fungsi
Anda telah mempelajari fungsi si f(x) = x2 – 2 mempunyai
daerah asal D f = { x| x􀂌R}. Demikian halnya dengan fungsi
g(x) = x 􀀍 3 dengan daerah asal Dg = {x| x􀂌R} telahAnda
pelajari pula. Pada bab ini, Anda akan mempelajari cara
membentuk fungsi baru dari hasil operasi aljabar dua fungsi
f dan g yang diketahui tersebut, yaitu sebagai berikut.
• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 – 2 + x 􀀍 3
(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x2 – 2 – x 􀀍 3
• (f · g)(x) = f(x) · g(x) = (x2 – 2) x 􀀍 3

f
g
f
g
x
x
g ÊË ÊÊÊË
Ë Ê ˆ
¯
ˆ = (x)
(x)
= -
-
(x) , (x)π
2 2
3
0
Anda pun akan mempelajari cara menentukan daerah
asal fungsi hasil operasi. Untuk itu pelajari uraian berikut.
Misalkan, f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang
diketahui, berlaku hal-hal berikut.
• Jumlah dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
(f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan D f + g = D f « Dg.
• Selisih dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
(f – g)(x) = f(x) – g(x) dengan D f – g = D f « Dg.
3. Buatlah sketsa grafik relasi-relasi
berikut. Kemudian, tunjukkan mana yang
merupakan fungsi dari R􀁬 R.
a. {(x,y) | y = x2 – 1; x,y􀂌R}
b. {(x,y) | y = x2 – 2x – 3; x, y􀂌R}
c. {(x,y) | y2 = –2x; x, y􀂌R}
d. {(x,y) | x = –2; x, y􀂌R}
e. {(x,y) | y = 5 – x2; x, y􀂌R}
f. {(x,y) | y = x5; x, y􀂌R}
4. Periksalah fungsi berikut, apakah
merupakan fungsi injektif atau bukan.
Jika injektif, apakah merupakan fungsi
bijektif?
a. y = 4 – x2; x, y􀂌R
b. y = (x + 1)2; x, y􀂌R
c. y =
2
4
x
x 􀀍
; x, y􀂌R dan x ≠ 4
d. y = 8 – x3; x, y􀂌 R
5. Tentukan daerah asal fungsi-fungsi berikut
ini.
a. f(x) = 3x – 2
b. f
x x
􀀈x􀀉 􀀝
3
2 2x 􀀍3
6. Gambarkan grafik fungsi berikut ini.
Kemudian, tentukan daerah asalnya agar
menjadi fungsi injektif.
a. y = f(x) = x2 – 5x + 6
b. y = f(x) = 4 cos x, 0 ≤ x ≤ 2π
7. Jelaskan cara yang Anda lakukan untuk
menentukan apakah suatu fungsi satu-satu
atau bukan.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 153
• Perkalian dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
(f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan D f × g = D f « Dg.
• Pembagian dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
f
g
f
g
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
(x) 􀀝, dengan Df
g
= D f « Dg dan g(x) ≠ 0
Diketahui fungsi f(x) = x2 – 5 dan g(x) = 2 x , tentukan operasi
fungsi-fungsi berikut. Tentukan pula daerah asalnya.
a. (f + g) (x) c. (f × g) (x)
b. (f – g) (x) d. f
g
ÊË Ê
ÊÊË
Ë Ê ˆ
¯
ˆ (x)
Jawab:
D f = {x | x􀂌R} dan Dg={x | x ≥ 0, x􀂌R}.
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 – 5 + 2 x
D f+g = D f « Dg = {x | x 􀂌R} «{x | x ≥ 0, x􀂌R}
= {x | x ≥ 0, x􀂌R}
b. (f – g) (x) = f(x) – g(x) = x2 – 5 – 2 x
D f–g = {x | x ≥ 0, x􀂌R}
c. 􀀈f g􀀉􀀈x􀀉 f 􀀈x􀀉􀁲g􀀈x􀀉 2×2 x 10x
Df × g = {x | x ≥ 0, x􀂌R}
d. f
g
f
g
x
x x
x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀈x􀀉􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
􀀝 􀀍 􀀝 􀀈x 􀀉
x
􀀍
2
2
5
2
1
2
D x R f
g
{x x 􀀞,􀂌 }
Contoh 6.4
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan
f
g
􀀈f g􀀉􀀈x􀀉􀀈f 􀀍 g 􀀉􀀈x􀀉􀀈f g􀀉􀀈x􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 , , 􀂵􀀈x􀀉,
f 2 􀀈x􀀉, dan g2 􀀈x􀀉 serta tentukan pula
daerah asal fungsi hasil operasi tersebut
jika diketahui fungsi-fungsi seperti
berikut.
a. f 􀀈x􀀉 􀀝3x 􀀋2dang􀀈x􀀉 3 x 􀀍1
b. f
x
x
􀀈x􀀉 􀀝 g
􀀋 􀀈x􀀉􀀝 x􀀋
1
dan 1
2. Diketahui fungsi f(x) = 2×2 – 1 dan g(x) =
2x 1. Tentukanlah:
a. (f + g) (3)
b. (f – g) (2)
c. (f × g) (5)
154 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
C. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Sebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebih
lanjut, pelajari uraian berikut ini.
Misalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = { x| x􀂌R} dan g(x) =
x 􀀍2 dengan Dg = {x| x ≥ 2, x􀂌R}. Fungsi komposisi g ° f
dapat digambarkan pada Gambar 6.9.
Mula-mula unsur x􀂌D f dipetakan oleh f ke bayangan x,
yaitu f(x). Kemudian, f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)). Dengan
demikian, fungsi komposisi g ° f adalah pemetaan x 􀂌D f oleh
fungsi f, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g. Uraian
tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 6.3
Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi
f dan g ditulis g ° f, didefinisikan sebagai (g ° f)(x) = g(f(x))
untuk setiap x 􀂌Dg.
Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalam
daerah asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f(x) = 2 dapat
dipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) = 2 2= 0.
Lain halnya jika x =
1
2
. Untuk x =
1
2
diperoleh f(x) =
1
1
4
yang berada di luar daerah asal fungsi g. Bayangan x,
yaitu f(x) = 1
1
4
tidak dapat dipetakan oleh g ke fungsi
komposisi g(f(x)) sebab g 1 1
4
2 3
4 􀀈1 1􀀉
4
􀀝 􀀍 􀀝 􀀍 . Nilai ini
tidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja pada
himpunan seluruh bilangan real. Dari uraian itu dapat
dipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukan
jika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g. Dengan
demikian, diperoleh daerah asal fungsi komposisi g ° f adalah
D f D gof f g { x D,􀀈x􀀉􀂌 x 􀂌 }.
Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f ° g
adalah pemetaan x􀂌Dg oleh fungsi g, kemudian bayangannya
dipetakan lagi oleh f. Dengan demikian, daerah asal fungsi
komposisi f ° g adalah D f D fog g f { x D, 􀀈x􀀉􀂌 x D } .
Misalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 1􀀍 x . Kedua
fungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 6.10.
Gambar 6.9
g ° f
f g
Gambar 6.10
g
f
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 155
Daerah hasil R f = { x| x ≥ 2, x􀂌R} tidak dapat dipetakan
oleh g(x) = 1􀀍 x sebab untuk x ≥ 2, g(x) tidak terdefinisi.
Coba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ≥ 2.
Jika Anda analisis uraian tersebut, diperoleh hal-hal
berikut.
• Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = x 􀀍2 dapat dikomposisikan
menjadi fungsi komposisi g ° f sebab irisan antara daerah
hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakan
himpunan kosong.
R f «Dg = { x| x ≥ 1, x􀂌R} «{x| x ≥ 2, x􀂌R} = {x| x ≥ 2, x􀂌R}.
• Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 1􀀍 x tidak dapat
dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ° f sebab
irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi
g merupakan himpunan kosong.
R f « Dg = {x| x ≥ 2, x􀂌R} «{x| x ≤ 1, x􀂌R} = Ø.
Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat
dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g ° f) adalah
irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi
g bukan himpunan kosong, atau R f 􀂅 Dg ≠ Ø.
Pembahasan Soal
Fungsi g: R􀁬 R ditentukan
oleh g(x) = x2 – x + 3 dan
fungsi f: R􀁬 R sehingga
(f ° g)(x) = 3×2 – 3x + 4
maka f (x – 2) = ….
Jawab:
g(x) = x2 – x + 3
(f ° g) (x) = 3×2 – 3x + 4
f(g(x)) = 3(x2 – x + 3) – 5
f (x) = 3x – 5
maka f(x – 2) = 3(x – 2) – 5
= 3x – 11
Soal Ebtanas 1999
1. Jika f(x) = 2×3 dan g(x) = x + 3, tentukan g ° f(x).
2. Jika g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x2 + 2x +5, tentukan h ° g(x).
Jawab:
1. g ° f(x) = g {f (x)} = f(x) + 3 = 2×3 + 3
2. h ° g(x) = h{g(x)} = {g(x)}2 + 2{g(x)} + 5
= (2x + 4)2 + 2(2x + 4) + 5
= 4×2 + 16x + 16 + 4x + 8 + 5
= 4×2 + 20x + 29
Contoh 6.5
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 3×2. Tentukan:
1. (f ° g) (x) dan (g ° f) (x)
2. a. daerah asal (f ° g) (x) dan daerah hasil (f ° g) (x)
b. daerah asal (g ° f) (x) dan daerah hasil (g ° f) (x)
Jawab:
1. (f ° g) (x) = f (g (x)) = f (3×2) = 2(3×2) + 5 = 6x² + 5
(g ° f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 5) = 3 (2x + 5)2
= 3(4×2 + 20x + 25) = 12×2 + 60x + 75
Contoh 6.6
Tugas
Anda telah mengetahui syarat
fungsi f dan fungsi g dapat
dikomposisikan menjadi fungsi
g ° f. Bagaimana dengan
syarat agar fungsi f ° g dapat
dikomposisikan? Selidikilah
bersama teman Anda kemudian
laporkan hasilnya kepada guru
Anda.
156 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Situs Matematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang Fungsi
Komposisi dan Fungsi Invers
melalui internet dengan
mengunjungi situs berikut.
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁘􀁉􀁚􀁑􀁆􀁓􀁎􀁂􀁅􀁊􀀏
􀁘􀁐􀁓􀁍􀁅􀁑􀁓􀁆􀁔􀁔􀀏􀁄􀁐􀁎
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁎􀁂􀁕􀁆􀁎􀁂􀁕􀁊􀁌􀁂􀀎􀁔􀁎􀁂􀀏
􀁃􀁍􀁐􀁈􀁔􀁑􀁐􀁕􀀏􀁄􀁐􀁎
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁎􀁂􀁕􀁉􀁘􀁐􀁓􀁍􀁅􀀏􀁘􀁐􀁍􀁇􀁓􀁂􀁎􀀏
􀁄􀁐􀁎
2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Untuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi, pelajari
uraian berikut. Diketahui, f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6.
(f ° g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11
(g ° f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16
Amati lagi hasil contoh 6.5. Apakah nilai (f ° g)(x) sama
dengan (g ° f) (x)? Coba selidiki untuk fungsi lainnya. Apa
yang Anda peroleh? Jika melakukannya dengan benar, akan
diperoleh kesimpulan berikut.
(f ° g) (x) ≠ (g ° f) (x)
Amati fungsi f(x) = 2x + 1, g(x) = x2, dan h(x) = 3x + 5.
Misalkan, (g ° h) (x) = s(x) maka
s(x) = (g ° h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2
= 9×2 + 30x + 25
sehingga
(f ° (g ° h))(x) = (f ° s) (x) = f(s(x)) = f (9×2 + 30x + 25)
= 2(9×2 + 30x + 25) + 1 = 18×2 + 60x + 50 + 1
= 18×2 + 60x + 51
Jadi, (f ° g ° h) (x) = 18×2 + 60x + 51.
Kemudian, misalkan (f ° g) (x) = t(x) maka
t(x) = (f ° g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2×2 + 1 sehingga
((f ° g) ° h) (x) = (t ° h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)
= 2(3x + 5)2 + 1
= 2(9×2 + 30x + 25) + 1 = 18×2 + 60x + 51
Jadi, (f ° (g ° h)) (x) = 18×2 + 60x + 51.
Amati lagi uraian tersebut. Apa yang Anda peroleh
mengenai nilai f ° (g ° h)(x) jika dihubungkan dengan nilai
(f ° g) ° h(x)? Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yang
lainnya? Untuk itu, bersama dengan teman sebangku buat 3
buah fungsi. Kemudian, hitung nilai f ° (g ° h) dan (f ° g) ° h.
Apakah hasil keduanya sama? Ulangi lagi untuk fungsi
lainnya. Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulan
berikut?
(f ° (g ° h)) (x) = ((f ° g) ° h) (x)
2. a. Daerah asal (f ° g) (x) = D
f ° g = {x|x􀂌R} dan
daerah hasil(f ° g) (x) = R
f ° g = {y|y􀂌R}.
b. Daerah asal (g ° f) (x) = Dg ° f = {x|x􀂌R} dan
daerah hasil(g ° f) (x) = Rg ° f = {y|y􀂌R}.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 157
Diketahui f(x) = 5×2 + 6 dan I(x) = x.
a. Carilah (f ° I)(x) dan (I ° f) (x).
b. Apakah (f ° I)(x) = (I ° f) (x)?
Jawab:
a. (f ° I)(x) = f (I (x)) = f(x) = 5×2 + 6
(I ° f)(x) = I (f (x)) = I (5×2 + 6) = 5×2 + 6
b. Dari hasil (a) tampak bahwa (f ° I)(x) = (I ° f) (x).
Dalam hal ini fungsi I(x) = x disebut fungsi identitas terhadap
operasi komposisi fungsi.
Contoh 6.7
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga sifat-sifat
komposisi fungsi? Cobalah nyatakan sifat-sifat komponen
fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.
• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya
tidak komutatif.
(f ° g)(x) ≠ (g ° f)(x)
• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif
(f ° (g ° h))(x) = ((f ° g) ° h)(x)
• Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat
sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x sehingga (f ° I)(x) =
(I ° f)(x) = f(x)
3. Menentukan Fungsi f atau gjika
Diketahui Fungsi Komposisi dari f atau g
Pada bagian sebelumnya, Anda telah belajar menentukan
fungsi komposisi f ° g atau g ° f jika fungsi f dan g
diketahui. Bagaimana jika terjadi sebaliknya? Fungsi yang
diketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsi
yang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana cara
menentukan fungsi lainnya?
Anda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsi
komposisi (f ° g) (x) = 10x – 5 dan f(x) = 2x – 5, yaitu sebagai
berikut.
(f ° g)(x) = 10x – 5
f(g(x)) = 10x – 5
2(g(x)) – 5 = 10x – 5
2 (g(x)) = 10x
g(x) = 5x
Soal Terbuka
1. Diketahui fungsi komposisi
(f ° g)(x) = 3×2 + 2. Tentukan
fungsi f dan g yang
mungkin.
2. Diketahui fungsi komposisi
(g ° f)(x) = x –2. Tentukan
fungsi f dan g yang
mungkin. Sebutkan pula
cara Anda memperoleh
jawaban ini.
158 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Untuk ntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsi
komposisi (f ° g)(x) = 30×2 – 15 dan g(x) = 10×2 – 3 caranya
sebagai berikut.
(f ° g)(x) = 30×2 – 15
f(g(x)) = 30×2 – 15
f(10×2 – 3) = 30×2 – 15 = 3(10×2 – 3) – 15 + 9
f(10×2 – 3) = 3(10×2 – 3) – 6
f(x) = 3x – 6
Jika fungsi f dan fungsi komposisi f ° g atau g ° f diketahui
maka fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika fungsi
g dan fungsi komposisi f ° g atau g ° f diketahui maka fungsi
f dapat ditentukan.
Diketahui f ° g (x) =
1
x
dan f (x) =
1
x
. Tentukan g(x).
Jawab:
f ° g (x) =
1
x
􀂙 f (g (x)) =
1
x
􀂙
1 1
g(x) x =
􀂙 x = g x ( )
􀂙 g(x) = x2
Contoh 6.8
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan f ° g(x) dan g ° f (x) dari fungsifungsi
berikut ini.
a. f (x) = 3 – 4x dan g(x) = 2×3 + 2
b. f(x) = 3x + 4 dan g(x) = x3 + x
c. Untuk soal nomor 1a dan 1b, tentukan
f ° g(–2) dan g ° f(–2).
2. Diketahui f (x) = 5 – x dan g(x) = x2 – 4.
Tentukan nilai x jika diketahui sebagai
berikut.
a. f ° g(x) = –16
b. g ° g (–x) = 21
3. Diketahui f (x) = x 􀀋1, g(x) = x2 – 2,
dan h(x) = 1􀀍2x . Tentukanlah nilai x
dari fungsi-fungsi berikut ini.
a. f ° g ° h (x) = 2
b. f ° g ° f (x) = 5
4. a. Jika f (x) = 2×2 + 7 dan f ° g (x) =
3(3 – 2x), tentukanlah g(x).
b. Jika g(x) = 2 (x – 1) dan
g ° f (x) = 2x (x – 5), tentukanlah f (3).
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 159
c. Jika f (x) =
x
x
􀀍 5
dan g ° f (x) =
x
x
􀀍
􀀍
5
1
,
tentukanlah g (2x – 1).
d. Jika g (x) = x – 1 dan f ° g (x) = x2 – 1,
tentukanlah f 􀀈 x 􀀋 􀀉.
5. Diketahui f (x) = 2x – 5, g(x) = 6×2 – 5,
carilah nilai a yang mungkin jika
a. f ° g(a) = 285
b. g ° f (a) = 1
6. Fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan
terurut berikut.
f = {(a, b), (c, d), (e, f), (g, h), (i, j)}
g = {(b, –1), (d, –3), (f, –5), (h, –7), (j, –9)}
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut
ini dalam pasangan terurut.
a. f ° f c. f ° g
b. g ° g d. g ° f
7. a. Jika f (x) = x2 – 2, g(x) = sin x, dan
f (g (a)) =􀀍
7
4
, tentukan nilai a.
b. Jika f (x) = 3 – x2, g (x) =
x
x 􀀍1
, dan h(x)
= 3x + 1, tentukan f ° g ° h (10).
8. Harga sebuah produk p yang terjual
sebanyak x memenuhi persamaan
p =􀀍
1
4
x + 100, 0 ≤ x ≤ 400
Misalkan, c adalah biaya membuat x buah
produk tersebut yang memenuhi persamaan
c =
x
25
+ 600. Jika semua produk terjual,
tentukan biaya c sebagai fungsi dari harga p.
9. Volume sebuah balon (dalam cm3) adalah
V(r) =
4
3
􀁐r3. Jika jari-jari r bertambah
terhadap waktu t (dalam sekon) memenuhi
rumus r (t) =
1
3
t 3 , t ≥ 0. Tentukan volume
balon sebagai fungsi waktu.
10. Sebuah drum yang berbentuk tabung mempunyai
volume 500 cm3. Bagian alas dan
atasnya dibuat dari bahan yang berharga
Rp6.000,00 per cm2. Adapun bagian sisa
dibuat dari bahan berharga Rp4.000,00 per
cm2.
a. Ekspresikan biaya total
bahan c sebagai fungsi
dari r (jari-jari tabung).
b. Berapa harga total bahan
untuk membuat drum
dengan jari-jari 4 cm
atau 8 cm?
D. Fungsi Invers
Di SMP, tentunya Anda telah belajar cara mengubah
satuan dari derajat Celsius ke Fahrenheit, yaitu dengan
menggunakan persamaan y􀀝 x􀀋
9
5
32 . Bagaimana cara
mengubah satuan dari Fahrenheit ke Celsius? Untuk
mengetahuinya, Anda harus belajar fungsi invers.
Apakah setiap fungsi selalu memiliki fungsi invers? untuk
mengetahuinya, lakukan aktivitas matematika berikut.
160 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Lakukanlah kegiatan berikut bersama kelompok Anda.
Langkah ke-1
a. Melengkapi tabel fungsi y = f(x)
Misalkan fungsi si f dari x ke y didefinisikan sebagai y= f(x), seperti
Tabel 6.1. Salin dan lengkapilah Tabel 6.1 di buku tugas Anda.
Tabel 6.1 Fungsi y = f(x)
x (masukan) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y (keluaran) 0 2 4 6 8 … … … …
b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran
Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti
Tabel 6.2, kemudian salin dan lengkapilah Tabel 6.2 di buku
tugas Anda.
Tabel 6.2
y (masukan) 0 2 4 6 8 … … … …
x (keluaran) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.2 merupakan fungsi
dari y ke x? Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas
Anda.
Langkah ke-2
a. Melengkapi tabel fungsi s = g(r)
Misalkan fungsi g dari r ke s didefinisikan sebagai s=g(r), seperti
Tabel 6.3. Salin dan lengkapilah Tabel 6.3 di buku tugas Anda.
Tabel 6.3 Fungsi s = g(r)
r (masukan) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
s (keluaran) … 9 4 1 0 1 4 9 …
b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran
Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti Tabel
6.2, lalu salin dan lengkapi Tabel 6.4 di buku tugas Anda.
Tabel 6.4
s (masukan) … 9 4 1 0 1 4 9 …
r (keluaran) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.4 merupakan fungsi dari s ke r?
Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas Anda.
Langkah ke-3
Dapatkah Anda menduga, fungsi yang bagaimana yang memiliki
fungsi invers? Jawablah dengan cara menganalisis Tabel 6.1 sampai
dengan Tabel 6.4.
Aktivitas Matematika
Lambang –1 di dalam f –1
bukan berupa pangkat.
Ingatlah
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 161
Jika fungsi f memetakan setiap x􀂌D f ke y􀂌R f
maka balikan dari fungsi f mengembalikan unsur y tersebut ke unsur
x semula. Proses pembalikan tersebut belum tentu menghasilkan
fungsi baru. Jika f fungsi bijektif maka pembalikan
tersebut menghasilkan fungsi baru. Akan tetapi, jika f bukan
fungsi bijektif pembalikan itu hanya menghasilkan suatu
relasi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.
Telah diketahui fungsi y = 2x seperti Gambar 6.12
merupakan fungsi bijektif.
Amati bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalam
domain f dikawankan dengan dua unsur yang berbeda di
dalam daerah kawan f. Sebagai contoh, x1 = 2 dan x2 = –2
dikawankan berturut-turut dengan y1 = 4 dan y2 = –4. Balikan
dari fungsi ini akan menghubungkan dua unsur yang berbeda
tersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu 4
dengan 2 dan –4 dengan –2.
Balikan dari fungsi tersebut jelas sesuai dengan aturan
fungsi, yang hanya membolehkan setiap unsur di dalam
daerah asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satu
unsur di dalam daerah hasil. Jadi, balikan dari fungsi f(x) = 2x
merupakan fungsi. Lain halnya dengan fungsi y = x2 seperti
Gambar 6.13. Fungsi ini bukan merupakan fungsi bijektif.
Amati bahwa setiap unsur x dan –x di dalam domain
f dikawankan dengan unsur y yang sama di dalam daerah
kawan f. Contohnya, unsur 2 dan –2 keduanya dipetakan ke
unsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya, balikan dari fungsi ini
menghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2
dan –2. Balikan dari fungsi ini jelas menyalahi aturan fungsi.
Jadi, balikan dari fungsi f(x) = x2 bukan merupakan fungsi,
tetapi hanya relasi saja.
Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk
umum fungsi invers? Cobalah nyatakan bentuk tersebut
dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda
pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.
Definisi 6.4
Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan daerah asal D f
dan daerah hasil Rf R.. Fungsi invers(fungsi balikan) f adalah f –1 jika dan
hanya jika (f –1 ° f) (x) = x untuk setiap x di dalam D f dan ( f –1 ° f)
(x) = x untuk setiap x di dalam R f
. Dari Definisi 6.4 tampak bahwa setiap x􀂌D f
dipetakan oleh f ke f(x) dan f(x) oleh f –1 dikembalikan ke x. Demikian
halnya untuk setiap x􀂌R f dipetakan oleh f –1 ke f –1(x) dan
Gambar 6.12
Gambar 6.13
x
y
O
y = 2x
x
y
O
y = x2
162 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan invers dari fungsi berikut ini.
y = f (x) = 5x – 7
Kemudian, gambarkan grafik f (x) dan f –1 (x).
Jawab:
y = 5x – 7 􀂙 5x = y + 7
􀂙 x =
y 􀀋 7
5
􀂙 x = f –1 (y) =
y 􀀋 7
5
Jadi, fungsi invers dari y = f (x) = 5x – 7 adalah f –1 (x) =
x 􀀋 7
5
.
Gambar grafik f (x) = 5x – 7 dan f –1 (x) =
x 􀀋 7
5
tampak pada
Gambar 6.14. Amati Gambar 6.14 dengan saksama, bagaimana
posisi grafik f(x) dan f –1(x) terhadap y = x. Apakah simetris?
Jika Anda amati grafik f (x) dan f –1(x) dengan saksama, tampak
bahwa grafik f –1(x) simetris terhadap grafik f(x). Grafik f –1(x)
diperoleh dari grafik f(x) dengan mencerminkannya terhadap garis
y = x. Oleh karena itu, untuk mencari f –1(x) jika diketahui f (x)
dapat pula dikerjakan dari persamaan f ° f –1(x) = x.
Coba Anda selesaikan invers dari f(x) = 5x – 7 dengan menggunakan
f ° f –1(x) = x.
Contoh 6.9
Gambar 6.14
f –1(x) oleh f dikembalikan ke x. Dengan demikian, invers
suatu fungsi invers menghasilkan fungsi asalnya, dituliskan
(f –1)–1 = f. Dari uraian tersebut, Anda dapat menentukan invers
suatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut.
• Diketahui, y = f(x).
• Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai
fungsi y atau x = f –1(y).
• Ganti variabel y dengan x pada f –1(y) sehingga diperoleh
f –1(x) = y sebagai fungsi invers dari y = f(x).
x
y
O
y = x
f –1(x) =
f(x) = 5x – 7
Soal Terbuka
Bersama teman sebangku,
buatlah 5 fungsi yang
mempunyai invers. Berikan
alasannya. Kemudian, berikan
hasilnya pada teman yang lain
untuk dicek dan dikomentari.
1. Diketahui f (x) = 3×2 + 4 dan g(x) =
x 􀀍 4
3
.
Periksalah apakah g merupakan balikan (invers) dari f.
2. Tentukan fungsi invers dari f (x) =
3 4
2 1
x
x
􀀋
􀀍
.
Contoh 6.10
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 163
Diketahui f(x) =
ax b
cx d
􀀋
􀀋
.
Tentukan f–1. Jika c ≠ 0, apakah
syarat a, b, c, dan d sehingga
f = f –1.
Tantangan
untuk Anda
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut.
Kemudian, gambarkan grafik fungsi f dan f –1
dalam satu diagram.
a. f (x) = 2x – 5
b. f (x) = 3×2 – 4
c. f (x) =
2
3x 2
d. f (x) = 2 – x2
e. f (x) = x 􀀋1
f. f (x) = 10x + 1
g. f (x) =
1
5 3
3
x 5
; x 􀁷
h. f (x) = x2 – 6x + 5; x ≥ 3
i. f (x) = x2 – 9; x ≤ 0
2. Tunjukkan bahwa fungsi g merupakan
invers bagi fungsi f.
a. f (x) =
x
x 􀀍1
dan g (x) =
x
x 􀀍1
b. f (x) = 5 – x2 dan g (x) = 5 􀀍 x
c. f (x) = 5×2 6dan g (x) =
x2 6
5
􀀋
d. f (x) = 103x dan g (x) =
1
3
log x
e. f (x) = 22x dan g (x) = 2log x
f. f (x) =
3 4
2 1
x
x
􀀋
dan g (x) =
x
x
􀀋 4
2x 􀀍3
Jawab:
1. Untuk menentukan apakah g fungsi invers f, periksalah
apakah fungsi komposisi (g ° f) (x) = x dan (f ° g) (x) = x.
(g ° f) (x) = g {f (x)} = g (3×2 + 4) =
3 4 4
3
2
x 2
x
􀀋 􀀍
􀀝 = x
(f ° g) (x) = f {g (x)} = f
􀂤 x􀀍 x
􀂦
􀂥 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂵 􀂵 􀂵
􀂵
􀀝
􀂤 􀀍
􀂦
􀂥 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂵 􀂵 􀂵
􀂵
4
3
3
4
3
2
= 3 4
3
(x – )+ 4
= x – 4 + 4 = x
Jadi, g merupakan balikan f sehingga f juga balikan g. Dengan
kata lain, g = f –1 dan f = g–1.
2. y = f (x) =
3 4
2 1
x
x
􀀋
􀀍
􀂙 y (2x–1) = 3x + 4
􀂙 2yx – y = 3x + 4 􀂙 2yx – 3x = y + 4
􀂙 x (2y – 3) = y + 4 􀂙 x =
y
y
􀀋
􀀍
4
2 3
􀂙 x = f –1 (y) =
y
y
􀀋
􀀍
4
2 3
Jadi, f –1 (x) =
x
x
􀀋
􀀍
4
2 3
.
164 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
3. Diketahui f (x) = 4×2 + 8, g(x) =
x
x
􀀋 5
2x 􀀍1
,
dan h(x) = x2 􀀍 2 . Tentukan nilai-nilai
fungsi berikut.
a. f –1 (12)
b. g –1 (15)
c. g –1 (6)
d. h –1 ( 7 )
e. f –1 (24) + g–1 (18)
f. f –1 (9) + g–1 (3) – h–1 ( 2 )
4. Tunjukkan bahwa fungsi invers dari
fungsi-fungsi berikut sama dengan fungsi
asalnya.
a. f (x) = x
b. f (x) = 15 – x
c. f (x) =
1
x
d. f (x) =􀀍 9􀀍x2
e. f (x) = 16 􀀍 x2
f. f (x) =
10
x
5. Misalkan, f(x) = ax + b; a ≠ 0 dan g(x) =
cx + d; c ≠ 0. Apa syaratnya agar f
merupakan balikan g, demikian pula
sebaliknya g merupakan balikan f.
6. Untuk mengubah satuan dari derajat
Celsius ke derajat Fahrenheit, digunakan
rumus y = f (x) =
9
5
x 􀀋 32. Sebaliknya,
untuk mengubah satuan dari derajat
Fahrenheit ke derajat Celsius, digunakan
rumus y = g (x) =
5
9
􀀈x 􀀍 32􀀉. Tunjukkan
bahwa f adalah invers dari g.
7. Permintaan barang di suatu negara
memenuhi persamaan p(x) = 300 – 50x,
dengan p adalah harga barang (dalam dolar)
dan x banyak barang yang diproduksi
(dalam jutaan). Ekspresikan banyak
barang x sebagai fungsi dari p.
8. Dari beberapa macam fungsi yang telah
dipelajari, fungsi manakah yang memiliki
invers?
E. Invers dari Fungsi Komposisi
Seperti halnya fungsi yang lain, fungsi komposisi dapat
memiliki invers, asalkan syarat fungsi invers dipenuhi. Amati
Gambar 6.15.
Diketahui, fungsi f dan g keduanya bijektif. Fungsi f
memetakan x ke y dan fungsi g memetakan y ke z. Oleh
karena f dan g bijektif maka balikan fungsi f adalah f –1 dan
balikan fungsi g adalah g–1. Amati bahwa fungsi komposisi
g ° f memetakan x ke z sehingga balikan g ° f, yaitu (g ° f)–1
memetakan z ke x. Dari Gambar 6.15 tampak bahwa g–1
memetakan z ke y dan f –1 memetakan y ke x. Dengan demikian,
pemetaan komposisi f –1
° g–1 memetakan z ke x. Jadi, invers
fungsi komposisi (g ° f) adalah
(g ° f)–1(x) = (f –1
° g–1)(x)
Gambar 6.15
x y z
f g
f –1 g–1
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 165
Analog dengan cara tersebut, invers fungsi komposisi
(f ° g) adalah
(f ° g)–1(x) = (g–1 ° f –1)(x)
Diketahui f (x) = 3×2 – 6 dan g (x) = 3x – 19. Tentukan
a. (f ° g)–1 (x) b. (g ° f)–1 (x)
Jawab:
• f ° f –1 (x) = x • g ° g–1 (x) = x
f (f –1 (x)) = x g (g–1 (x)) = x
3 (f –1 (x))2 – 6 = x 3 (g–1 (x)) – 19 = x
(f –1 (x))2 =
x 􀀋 6
3
g–1 (x) =
x 􀀋19
3
f –1 (x) = 􀁯
x 􀀋 6
3
a. (f ° g)–1 (x) = g–1 ° f –1 (x) = g–1 (f –1 (x))
= g- ± x+ = ± x+ + = ʱ x + +
Ë Á
ˆ
¯ ˜
1 6
3
6
3
19
3
1
3
6
3
19
b. (g ° f)–1 (x) = f –1 (g–1(x)) = f –1 (x + 19)
3
= 􀁯
􀀋
􀀋
􀀝 􀁯
􀀋
􀀝 􀁯 􀀋
x
x
x
19
3
6
3
37
9
1
3
37
Contoh 6.11
Jika f (x) =
1
x 􀀍1
, g –1 (x) =
1􀀍 x
x
, dan h (x) = g {f (x)}, tentukan
h –1 (x).
Jawab:
Pertama, hitung g(x) sebagai berikut.
g–1 (x) =
1􀀍 x
x
􀂙 x g–1 (x) = 1 – x
􀂙 x g–1 (x) + x = 1
􀂙 x (g–1 (x) + 1) =1
􀂙 x = 1
g-1(x)+ 1
Contoh 6.12 Hal Penting
􀁴􀀁 􀁇􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊
􀁴􀀁 􀁅􀁐􀁎􀁂􀁊􀁏
􀁴􀀁 􀁌􀁐􀁅􀁐􀁎􀁂􀁊􀁏
􀁴􀀁 􀁓􀁂􀁏􀁈􀁆
􀁴􀀁 􀁊􀁏􀁋􀁆􀁌􀁕􀁊􀁇
􀁴􀀁 􀁔􀁖􀁓􀁋􀁆􀁌􀁕􀁊􀁇
􀁴􀀁 􀁃􀁊􀁋􀁆􀁌􀁕􀁊􀁇
􀁴􀀁 invers
166 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jadi, g (x) =
1
x 􀀋1
.
Kemudian, hitung h(x) sebagai berikut.
h (x) =g {f (x)} 􀂙 h (x) = 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
f
x x
x
x
􀀈x􀀉􀀋
􀀝
􀀋
􀀝
􀀍
􀀋
􀀍
􀀍
􀀝
􀀍
􀀝
1 􀀍
1
1
x
x
x
x
Hitung h–1(x) sebagai berikut.
h (x) =
x
x
􀀍1
􀂙 x h (x) = x – 1 􀂙 x h (x) – x = – 1
􀂙 x (h (x) – 1) = – 1 􀂙 x =
􀀍
􀀈 􀀉􀀍
1
h1
Jadi, h–1 (x) = h
x x x (x)= – =( ) x
-
- ( ) –
=
-x+
1 1 =
1
1
1
1
1 .
Tes Kompetensi Subbab E
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan f –1 (x), g–1 (x), (f ° g)–1 (x), dan
(g ° f)–1 (x) jika diketahui:
a. f (x) =
x
x 􀀋1
dan g (x) = 2x + 3
b. f (x) = 5 – 2x dan g (x) =
x
x
􀀍 3
c. f (x) =
1
4 􀀍 x
dan g (x) = x2 – 1
d. f (x) = 5x – 4 dan g (x) =
2
2x 4
e. f(x) =
1
2x
dan g(x) = 16 􀀍 x2
f. f(x) =
3 2
6
x
x 􀀍
dan g(x) =
2
2
x
x 􀀍
2. Diketahui f
x
􀀈x􀀉􀀝
􀀍
2
4
dan g􀀈x􀀉􀀝 x􀀍8.
Tentukanlah:
a. (f ° g)–1 (–2) d. (f ° g)–1 (x – 3)
b. (g ° f)–1 (2) e. (g ° f)–1 (2x + 1)
c. (g ° f)–1 (- ) f. (f ° g)–1 (x2 – 1)
• Fungsi atau pemetaan dari A ke B didefinisikan sebagai suatu
relasi dari himpunan A ke B, dengan setiap x A dipasangkan
pada satu dan hanya satu y􀂌B.
• Himpunan unsur-unsur dalam A disebut daerah asal (domain).
• Himpunan peta dari A ke B disebut daerah hasil (range).
Sekarang tuliskan rangkuman materi yang telah dipelajari di buku
latihan Anda. Beberapa siswa membacakan hasilnya di depan
kelas.
Rangkuman
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 167
Setelah Anda mempelajari Bab 6,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Refleksi
Tes Kompetensi Bab 6
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika f(x) = x + 2 maka f(x2) + 3f(x) – (f(x))2
sama dengan ….
a. –x + 4 d. –x + 5
b. x + 4 e. x + 5
c. –x + 2
2. Jika f (x)= x2 􀀋1 dan f ° g (x) =
1
2
2 4 5
x
x
􀀍
􀀍4x􀀋 maka g(x – 3) adalah ….
a. 1
x 􀀍 5
d. 1
x2
b. 1
x 􀀋1
e. 1
x 􀀋 3
c. 1
x 􀀍1
3. Jika h(x + 2) = x2 + 2x maka h(x) = ….
a. 2x + x2 d. –x2 – 2x
b. 2x – x2 e. x2 – 2x
c. –x2 + 2x
4. Jika f(x) = 3×2 – 2x maka f(x – 2) – 4f(2x –
1) + f(2) = ….
a. 45 x2 – 50x + 4
b. 45×2 + 50x – 4
c. 45×2 + 50x + 4
d. –45×2– 50x + 4
e. –45×2 + 50x + 4
5. Fungsi berikut ini yang dapat digolongkan
ke dalam fungsi satu-satu adalah ….
a. f(x) = k, k konstanta sebarang
b. f(x) = x + 9
c. f(x) = x2 – 9x
d. f(x) = x2 – 2x + 1
e. f(x) = x2 + 2x + 1
6. Jika f(x) = 2ax +
1
x2
, g(x) = bx –
3
x
, dan
C = 2a + b maka jumlah kedua fungsi tersebut
adalah ….
a. ax d. abx =
3
x
b. bx e. ax = C
c. Cx
7. Jika f(x + y) = f(x) + f(y), untuk semua
bilangan rasional x dan y serta f(1) = 10,
maka f(2) adalah ….
a. 0
b. 5
c. 10
d. 20
e. tidak dapat ditentukan
8. Diketahui f(g(x)) =
3
3 5
􀀍 x
x
dan g(x) =
x
x
􀀍1
3x 􀀍5
maka nilai f(0) adalah ….
a. –4 d. 2
b. –2 e. 4
c. 0
9. Fungsi f: R􀁬 R dengan f(x) = 4x + n
g: R􀁬 R dengan g(x) = 3x – 10
Jika f ° g (x) = g ° f(x) maka nilai n yang
memenuhi persamaan itu adalah ….
168 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
a. –15 d. 10
b. –10 e. 15
c. 5
10. Jika f(x) = 5 – 2x, g(x) = x2 – 25, dan
h(x) =
1
4
g(f(x)) maka h–1 (x) = ….
a. 5
2
25
4
􀁯 􀀋
b. 5
2
1 25
4
Ê
± +
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
x
c. 25
4
25
4
􀁯 􀀋
d. 25
4
1 5
2
Ê
± +
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
x
e. 25
4
25
4
􀁯 􀀋
11. Jika f = {(2, 4), (3, 5), (4, –1), (5, 2)
g = {(2, –3), (3, 3), (4, 2), (5, 4), (–1, 1)}
maka f ° g = ….
a. {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 3), (5, 4)}
b. {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 3), (5, 5)}
c. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 3), (5, 2)}
d. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}
e. {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 5)}
12. Jika suatu fungsi ditentukan sebagai
himpunan pasangan berurut f= {(1, 3), (2,
5), (4, 2), (5, 0)} maka f –1 = ….
a. {(3, 1), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}
b. {(1, 3), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}
c. {(1, 3), (2, 5), (2, 4), (5, 0)}
d. {(3, 1), (5, 2), (2, 4), (0, 5)}
e. {(3, 1), (5, 2), (4, 2), (5, 0)}
13. Jika f = {(1, 3), (4, 5), (7, –2), (9, –4)}, g
= {(1, 4), (6, 0), (7, 3), (9,12), (10, –6)},
dan h =
f
g
maka h sama dengan ….
a. {(1 3), , }
4
,
(7 2)
3
,
(9 1)
3
,
b. {(1 3), , }
4
,
(7 2)
3
,
- (9 1)
3
,
c. {(1 3), , }
4
,
(7 2)
3
,
- (9 1)
3
, -
d.{(1 3), , }
4
,
- (7 2)
3
,
- (9 1)
3
,-
e. {(1 3), , }
4
,
- (7 2)
3
,
(9 1)
3
,
14. Apabila g(x) = 3x + 1 dan g(f(x)) = 5×2 +
x – 3 maka f(x) = . . . .
a. 1
3
(x2 – x – 4)
b. 1
3
(x2 – x + 4)
c. 1
3
(x2 – x – 2)
d. 1
3
(5×2 + x + 4)
e. 1
3
(5×2 + x – 4)
15. Jika f(x) = 2x – 3 dan g ° f(x) = 2x + 1 maka
g(x) = ….
a. x – 4 d. x – 6
b. x + 4 e. 2x –1
c. 2x – 3
16. Pernyataan-pernyataan berikut benar,
kecuali ….
a. (f ° f –1)(x) = (f –1 ° f )(x)
b. (f –1 ° g–1)(x) = (f ° g)–1 (x)
c. jika f (x) = x + 1 maka f –1(x) = x –1
d. jika f (x) = 2x – 1 maka f –1 (x) =
1
2
(x + 1)
e. jika f (x) = x3 maka f –1 (x) = 3 x
17. Jika f (x) = px q
rx s
􀀋
􀀋
, maka f –1 (x) = ….
a. sx q
rx p
􀀋
􀀋
d. sx q
rx p
􀀍
􀀋
b. sx q
rx p
􀀍
􀀍
e. sx q
p rx
􀀍
c. sx q
rx p
􀀋
􀀍
18. Diketahui f(x) = log x, g(x) = 2x – π, dan
h(x) = sin x, f ° g ° h(x) = 0, nilai x yang
memenuhi adalah ….
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 169
a. p4
d. p8
b. 2
4
p e. 3
8
p
c. 3
4
p
19. Fungsi berikut ini yang memiliki invers
fungsi adalah ….
a. y = x2 + 2x + 1 d. y = 5
b. y = x2 + 5x e. y = 2×2 + 4x + 3
c. y = 2x + 3
20. Jika f(x) = x + 1 dan g(x) =
1
0
x
, x π
maka
(1) f ° f (x) = x + 2
(2) f ° g(x) =
1
x 􀀋1
(3) f ° f –1(x) = x
(4) g ° f –1(x) = x
Pernyataan yang benar adalah ….
a. 1, 2, dan 3 d. 2, 3, dan 4
b. 1 dan 3 e. 1, 2, 3 dan 4
c. 2 dan 4
21. Jika f(x) = x dan g(x) = x2 + 1 maka
(g ° f ° f)(x) = ….
a. x – 1 d. x 􀀋1
b. x + 1 e. x 􀀋1
c. x 􀀋1
22. Diketahui f (x) = 2x + 5dan g(x) =
x
x
􀀍
􀀋
1
4
.
Jika f ° g(a) = 5 maka a = ….
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
23. Fungsi berikut ini yang tidak memiliki
fungsi invers adalah ….
a. y = 5×2 + 7 d. y = 5log x
b. y = x3 + 4 e. y = 2x + 10
c. y = 10 – 150x
24. Jika f ( x ) = 2x – 3, dengan x 􀂌
R dan f –1 adalah fungsi invers dari
f (x) maka kedua kurva f (x) dan
f –1(x) akan berpotongan pada titik ….
a. (1, –3) d. (3, –3)
b. (–1, 3) e. (3, 3)
c. (–3, 3)
25. Jika f : x􀁬 52x maka f –1 adalah ….
a. 5log 2x d. y = xm
b. 5log x e. 2log 5x
c. 2x log 5
26. Invers dari y =
x
m
dengan m konstanta
sebarang adalah ….
a. y
m
x
􀀝 d. y = x2
b. y
x
m
􀀝 e. y = x + m
c. y = mx
27. Diketahui f = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 8)}
maka f –1(3) adalah ….
a. 1 d. 6
b. 5 e. 8
c. 4
28. Jika f(x) = 8x dan g(x) = 3×2 + 4 maka
f –1(g(x)) = ….
a. 8log (3×2 + 4) d. 8log 3×2 + 4
b. 8log (3×2 – 4) e. log (3×2 + 4)
c. 8log 3×2 – 4
29. Diketahui f(x) = 15x dan h(x) = x3 + 4
untuk setiap x bilangan real, x ≠ 0 maka
f –1(h(x2) – 4) = ….
a. 15log (x5 + 2) d. 15log x6
b. 15log (x5 – 4) e. 15log x5
c. 15log (x3 + 4)
30.
Jika y = f (x) =
1
2
x + 3, z = f (y) =
1
3
y+ 2,
w = f (z) =
1
4
z + 1
maka fungsi komposisi dari x ke w adalah ….
a. 1
24
(x + 42) d. 1
24
(4x + 16)
b. 1
24
(2x + 7) e. 1
12
(6x + 18)
c. 1
24
(3x + 21)
x Reservoir
A
Reservoir
B
Reservoir
C
y = f(x) z = f(y) w = f(z)
170 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Dari fungsi-fungsi berikut, tentukan
f(–f –2), f(–1), f(0), f(1), dan f(2). Kemudian,
gambarkan grafiknya. Jika daerah asalnya
Df D={x|–2 < x< 2, x􀂌R}, tentukan daerah
hasilnya.
a. f (x) = 3x – 1
b. f (x) = 3 – 2x
c. f (x) = x – 2
d. f (x) = 4 – 2x 2
e. f (x) = x2 – 3x+2
f. f (x) = x3– 1
2. Diketahui fungsi f
x
x
􀀈x􀀉 􀀝
􀀋
3x 􀀍1
2 2 dan
g􀀈x􀀉􀀝 14􀀍4x . Tentukanlah:
a. (f + g) (2)
b.
f
g
ÊË Ê
ÊÊË
Ë Ê ˆ
¯
ˆ(- )
c. (f – g) (–2)
d. (f × g) (–10)
e. f 2(4)g(–1)
f. g 2(–7) : f (2)
3. Tentukan f ° g ° h(x) dan h ° g ° f(x) dari
fungsi-fungsi berikut ini.
a. f (x) = x – 3, g(x) = 2x + 1, dan h(x) =
x2 – 2
b. f (x) = 3x – 1, g(x) = x2 + 1, dan h(x)
= x2 + 2x + 5
c. f (x) = x2 – 1, g(x) = x + 2, dan h(x) =
x2 – 2
d. f (x) = 4x 8, g(x) = x2, dan h(x) =
x 􀀋1
4. Jumlah mobil yang diproduksi suatu pabrik
selama 1 hari setelah t jam operasi adalah
n(t) = 200t – 10t2, 0 ≤ t {
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama.
• lim (
)
x
x
Æ – 4
4x =4 = 16, karena x < 4
• lim lim l
x x
x x
Æ4+ xÆ4+ Æ4+
4x +6 4x + lim6= 16 + 6 = 22
Oleh karena nilai limit kiri dan nilai limit kanan
berbeda, limit fungsi tersebut tidak ada.
Selanjutnya, perhatikan bentuk fungsi berikut.
lim )
x
f x (
x
Æ x
=
-
3 -
2 9
3
Limit fungsi tersebut, tidak terdefinisi di x = 3 karena
daerah asal fungsi f adalah{x | x ≠ 3).
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada
tabel berikut.
Augustin Louis Cauchy
(1789–1857)
Definisi yang tepat
tentang limit pertama kali
diperkenalkan oleh Cauchy.
Cauchy adalah seorang mahaguru
di Ecole Polytechnique,
Sarbone, dan College
de France. Sumbangansumbangan
matematisnya
sangat cemerlang sehingga
semua buku ajar moderen
mengikuti penjelasan kalkulus
yang terperinci oleh Cauchy.
Sumber: Kalkulus dan Geometri
Analitis Jilid 1, 1987
Tokoh
Matematika
174 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tabel 7.1
x 2,99 2,999 2,9999Æ Æ3,0001 3,001 3,01
f x
x
x
x) = -
-
2 9
3
5,99 5,999 5,9999Æ Æ6,0001 6,001 6,01
Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa
pada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6.
Jadi,
lim
( )(
)
x
x
x
x
x
Æ
-
-
=
-
= + 3
2 9
3
3)( 3
3
3 ; jika x π 3
Oleh karena x + 3 mendekati 6 jika x mendekati 3
maka x
x
2 9
3
-
-
mendekati 6 jika x mendekati 3.
Meskipun fungsi f(x) tidak terdefinisi untuk x = 3, tetapi
fungsi tersebut mendekati nilai 6 pada saat x mendekati 3.
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa nilai limit fungsi
tersebut adalah 6.
Selanjutnya, perhatikan pula bentuk fungsi berikut.
lim
x
x
Æ
+
3
3
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada tabel
berikut.
Tabel 7.2
x 2,99 2,999 2,9999Æ Æ3,0001 3,001 3,01
f x x ) = + 3 5,99 5,999 5,9999Æ Æ6,0001 6,001 6,01
Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa
pada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6.
Jadi,
lim
x
x
Æ
+
3
3 = 6.
Dapat disimpulkan bahwa limit lim
x
x
Æ
+
3
3 = 6 dapat
diperoleh tanpa menggunakan Tabel 7.2. Ketika x mendekati
3, nilai x + 3 akan mendekati 6.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
lim li ( )
x
x
Æ x xÆ
-
= lim(
3
2
3
9
3
3) =6
Secara umum, lim
xÆa
f(x) = L mengandung arti bahwa
jika x mendekati atau menuju ke a, tetapi berlainan
dengan a maka f(x) menuju ke L.
Limit 175
Untuk menghitung
lim
x
x x
Æ x
+
0
2 2
, sebaiknya
x2 2x
2
+
difaktorkan,
lalu disederhanakan,
sebelum menyubstitusikan
x = 0 karena jika x = 0
disubstitusikan secara
langsung maka diperoleh
lim
x
x
Æ x
-
+
0
2+2x 02 2◊0
0
=
0
0
dan ini bentuk tidak tentu.
Ingatlah
Tentukan limit berikut.
1. lim
x􀁬2
(2x – 4)
2. lim
x􀁬4
(x2 – 5x + 6)
Jawab:
1. lim
x􀁬2
(2x – 4), artinya jika x mendekati 2 maka (2x – 4) mendekati
(2 · 2 – 4) = 0. Dengan demikian, lim
x􀁬2
(2x – 4) = 0.
2. lim
x􀁬4
(x2 – 5x + 6), artinya jika x mendekati 4 maka (x2 – 5x + 6)
akan mendekati (42 – 5.4 + 6) = 2.
Jadi, lim
x􀁬4
(x2 – 5x + 6) = 2.
Diketahui f (x) =
x x
x
x
x
2 2
0
5 0
+
π
Ï
Ì
Ô Ï
Ì
Ó Ô Ó
Tentukan:
a. nilai fungsi di titik 0
b. nilai limit di titik 0.
Jawab:
a. f(0) = 5
b. lim
x
x x
Æ x
+
0
2 2
= 2
Diketahui limit lim
x
x
Æ x
+
5 -
2 25
5
Tentukan nilai limit tersebut.
Jawab:
lim
x
x
Æ x
+
5 -
2 25
5
= lim
( )(
)
x
Æ5 x -
5)( 5
5
= lim
x
x
Æ
+
5
5
= 5 + 5
= 10
Contoh 7.1
Contoh 7.2
Contoh 7.3
Dengan teman sebangku, cari
nilai n (bilangan asli positif )
yang memenuhi lim
x
xn n
Æ x
-
2 -
2
2
.
Tantangan
untuk Anda
176 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Limit Fungsi Aljabar
Limit konstanta k unk tuk x mendekati a ada dan nilainya
sama dengan k, ditulis lim
x a
k = k. Secara grafik, hal tersebut
dapat Anda lihat pada Gambar 7.4. Pandang fungsi f(x) = k
maka lim
x a
f (x) = lim
x a
k = k. Limit x untuk x mendekati a
pun ada dan nilainya sama dengan a, ditulis lim
x a
x = a.
Untuk mengetahui adanya limit secara mudah, Anda dapat
menggunakan teorema berikut.
Teorema Limit Utama
Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi dan k konstanta maka
1. lim
x a
(f (x) + g(x)) = lim
x a
f (x) + lim
x a
g(x)
2. lim
x a
(f (x) – g(x)) = lim
x a
f (x) – lim
x a
g(x)
3. lim
x a
(f (x) · g(x)) = lim
x a
f (x) · lim
x a
g(x)
4. lim
)
x a (
)
f x (
g x =
lim )
lim (
)
x a
x a
f x (
g x ; lim
x a
g(x) ≠ 0
5. lim
x a
k f (x) = k lim
x a
f (x); k = konstanta
6. lim
x a
[f (x)]n = lim )
x a
n
f x ( 􀂧
􀂩
􀂨 􀂩
􀂷
􀂹
􀂸 􀂹
; dengan n bilangan bulat
positif 7. lim )
x a
n f x ( = lim )
x a
n f x ( ; dengan lim
x a
f (x) ≥ 0
a. Menentukan Limit dengan Substitusi
Langsung
Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan
dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut.
a
f(x) = k
x
y
Gambar 7.1
Grafik fungsi f(x) = k
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.
1. lim
x􀁬􀀍􀀈x 􀀋 x 􀀋 x 􀀉
4
􀀍 2. lim
x
x
Æ x
+
0 +
3 1
1
Jawab:
1. lim
x􀁬􀀍􀀈x 􀀋 x 􀀋 x 􀀉
4
􀀍
= (–4)3 + 4(–4)2 + (–4) – 6 = –10
2. lim
x
x
Æ x
+
0 +
3 1
1
=
0 1
0 1
3
= 1
Contoh 7.4
Limit 177
Mari, Cari Tahu
Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 orang. Cari informasi di
buku atau internet riwayat orang yang berjasa merumuskan konsep
limit, di antaranya Augustin Louis Cauchy. Tuliskan dan laporkan
riwayatnya atau salah satu karyanya yang terkenal. Kemudian,
fotonya dapat Anda tempel di ruang kelas.
Pembahasan Soal
lim
t
t
􀁬 t t
􀀍
2 􀀋􀀍
3
2
8
6
= ….
Jawab:
lim
t
t
􀁬 t t
􀀍
2 􀀋􀀍
3
2
8
6
= lim
( )(
)
t􀁬 ( )(
)
2 2
= lim
t
t
􀁬 t
􀀋 t􀀋
2 􀀋
2 2t 4
3
=
12
5
Soal PPI, 1979
b. Menentukan Limit dengan Cara
Memfaktorkan Terlebih Dahulu
Jika dengan cara substitusi langsung pada lim
)
x a (
)
f x (
g x diperoleh bentuk
0
0
(bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoran
terlebih dahulu terhadap f (x) dan g(x). Kemudian,
sederhanakan ke bentuk paling sederhana. Agar lebih jelas,
perhatikan uraian berikut.
lim
)
x a (
)
f x (
g x = lim
( ) ( )
x a( ) (
)
P(
Q x = lim
( )
x a (
)
P(
Q x =
P
Q a
(a)
(a)
Dalam hal ini P(a) ≠ 0 dan Q(a) ≠ 0.
Pertanyaan: Mengapa f (x) dan g(x) boleh dibagi oleh
(x – a)?
Bersama kelompok belajar Anda, lakukan kegiatan menghitung limit
bentuk
0
0
. Permasalahannya adalah menentukan lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
2 1
1
.
Langkah-langkah yang dapat Anda lakukan adalah sebagai berikut.
Langkah ke-1
Menyubstitusikan x = 1 ke dalam fungsi yang dicari nilai limitnya,
yaitu
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
2 1
1
=
… …
… …
-
-
=
0
0
Langkah ke-2
Agar tidak muncul bentuk
0
0
, faktorkanlah x2 – 1, kemudian
sederhanakan sebagai berikut.
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
2 1
1
= lim
(… …)(… …)
xÆ ( )
+…)(…-
1
= lim
x􀁬1
(… + …)
Aktivitas Matematika
178 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Langkah ke-3
Setelah fungsi yang dicari limitnya disederhanakan, substitusikan
x = 1 pada limit fungsi yang sederhana itu, sebagai berikut.
lim
x􀁬1
(… + …) = … + … = …
Jadi, lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
2 1
1
= ….
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.
1. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
2 􀀍
2 4
2
3. lim
x
x x
􀁬 x x
􀀋
0
2
2
3×2 3
2×2 8
2. lim
x
x
􀁬􀀍 x
􀀋
3 􀀋
3
3
Jawab:
1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
2 􀀍
2 4
2
=
2 4
2 2
2
=
0
0
(bentuk tak tentu). Agar tidak muncul
bentuk
0
0
, faktorkanlah x2 – 4 sebagai berikut.
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
2 􀀍
2 4
2
= lim
( )( )
x􀁬 ( )
) (
2
= lim
x􀁬2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
2. Dengan cara substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x
􀁬􀀍 x
􀀋
3 􀀋
3
3
=
􀀍 􀀋
􀀍 􀀋
33
33
=
0
0
Agar tidak muncul bentuk
0
0
, faktorkanlah x + 3 sebagai berikut.
lim
x
x
􀁬􀀍 x
􀀋
3 􀀋
3
3
= lim
x
x
􀁬􀀍 x
􀀋 x 􀀋
3 􀀋
3 3
3
= lim
x
x
􀁬􀀍
􀀋
3
3= 􀀍3􀀋3 = 0 = 0
3. Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah
diperoleh bentuk
0
0
. Agar tidak muncul bentuk
0
0
, faktorkanlah
(3×3 + 3x) dan (2×2 – 8x) sebagai berikut.
lim
x
x x
􀁬 x x
􀀋
0
2
2
3×2 3
2×2 8 = lim
x ( )
x
􀁬 x(
􀀈x 􀀋
􀀉
0
3x2x(
=
3
2
1
0 4
2
lim
x
x
􀁬 x
􀀋
􀀍
=
3
2
0 1
0 4
2
􀂕
􀀋 = 􀀍
3
8
Contoh 7.5
Limit 179
c. Menentukan Limit dengan Mengalikan
Faktor Sekawan
Jika pada lim
)
x a (
)
f x (
g x diperoleh bentuk tak tentu
0
0
untuk
x = a dan sulit untuk memfaktorkan f(x) dan g(x), lakukan
perkalian dengan faktor sekawan dari g(x) atau f(x). Agar
lebih jelas, pelajari contoh berikut.
Tentukan limit berikut.
1. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
0
3􀀍 9 9
3
2. lim
x
x x
􀁬 x x
􀀋
1
3x 1 1
2x 1
Jawab:
1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
0
3􀀍 9 9
3
=
3 9 0
3 0
􀀍
=
0
0
(bentuk tak tentu).
Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah lim
x
x
􀁬 x
􀀍
0
3􀀍 9 9
3
dengan
3 9 9
3 9 9
􀀋 􀀍
􀀋 􀀍
x
x
, sebagai berikut.
lim
x
x
􀁬 x
􀀍
0
3􀀍 9 9
3
·
3 9 9
3 9 9
􀀋 􀀍
􀀋 􀀍
x
x
= lim
(
)
x􀁬0 x􀀈 􀀋 x􀀉
9􀀍3x􀀍
= lim
x
x
􀁬0 x 􀀈 􀀋 x􀀉
9
3 􀀍
lim
x􀁬0 􀀋 􀀍 x
3
39 9
=
3
3􀀋 9􀀍0
=
3
6
=
1
2
2. Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah
diperoleh bentuk
0
0
? Agar tidak muncul bentuk
0
0
, kalikanlah
3x 1 x􀀋1 dengan faktor sekawannya, sebagai berikut.
lim
x
x x
􀁬 x x
􀀋
1
3x 1 1
2x 1
= lim
x
x x
x x
x x
x x
x
􀁬
􀀋
􀂕
􀀍 􀀋 􀀋
􀀍 􀀋 􀀋
􀂕
􀀍 􀀋
1
3x 1 1
2x 1
3x 1 1
3x 1 1
2x 1 x
2x􀀍1􀀋 x
= lim
x
x
x
x x
􀁬 􀀍 x x
􀂕
􀀍 􀀋
1 􀀍 􀀋 􀀋
2x 􀀍2
1
2x 1
3x 1 1
= lim
( )
x ( )
x x
􀁬 x x
􀂕
􀀍 􀀋
1 􀀍 􀀋 􀀋
2 2x 1
3x 1 1
= 2
2 1
1 3 1 1
lim
x
x x
􀁬 x x
􀀍􀀋
􀀍􀀋 􀀋
= 2 ·
2 1 1
3 1 1 1
􀀍􀀋
􀀍􀀋 􀀋
= 2 ·
2
2 2
= 2
Contoh 7.6
SitusMatematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang limit
fungsi melalui internet
dengan mengunjungi situs
berikut.
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁎􀁂􀁕􀁉􀁘􀁐􀁓􀁍􀁅􀀏
􀁘􀁐􀁍􀁇􀁓􀁂􀁎􀀏􀁄􀁐􀁎
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐 􀁎􀁂􀁕􀁉􀁔􀁕􀁖􀃲􀀏􀁄􀁐􀁎
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐 􀁚􀁐􀁖􀁏􀁈􀁄􀁐􀁘􀀏􀁏􀁆􀁕
180 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
O
asimtot tegak
y
f (x) =
1
x2
x
Gambar 7.2
Grafik f(x) =
1
x2
Soal Terbuka
1. Buatlah 4 soal limit x
menuju 1 yang nilainya
2. Berikan soal ini kepada
teman Anda untuk dicek
dan dikritisi.
2. Buatlah uraian
singkat strategi yang
Anda lakukan untuk
menyelesaikan soal limit.
Kemudian, bacakan
(beberapa siswa) hasilnya
di depan kelas.
3. Limit Tak Hingga dan Limit Fungsi di
Tak Hingga
Lambang ∞ (dibaca: tak hingga) digunakan untuk
menyatakan nilai bilangan yang semakin besar. Jadi, ∞ bukan
merupakan lambang bilangan dan tidak dapat dioperasikan
secara aljabar sehingga tidak benar ∞ – ∞ = 0 atau ∞

= 1.
Amati fungsi berikut.
f (x) =
1
x2
Fungsi f tidak terdefinisi di x = 0 sebab pembagian
bilangan satu hanya terdefinisi jika pembagi ≠ 0. Anda dapat
menentukan f (x) =
1
x2
pada beberapa nilai x yang mendekati
0 seperti diperlihatkan pada Tabel 7.3.
Amati tabel tersebut. Jika x menuju 0 maka nilai
1
x2
bernilai positif yang semakin membesar tanpa batas. Dalam
lambang matematika ditulis lim
x􀁬0 x2
1
= ∞. Bentuk grafik fungsi
seperti ini diperlihatkan pada Gambar 7.2.
Tabel 7.4 memperlihatkan nilai
1
x2
untuk nilai x yang
menjadi sangat besar.
Tabel 7.4
x 1 10 1.000 10.000 100.000 ?
1
x2
1 0,01 0,000001 0,00000001 0,0000000001 0
Amatilah tabel tersebut, ternyata nilai
1
x2
menuju 0 jika
x menjadi sangat besar. Dalam lambang matematika, ditulis
lim
x􀁬􀁣x
1
2 = 0.
Lain halnya dengan fungsi f (x) = x2. Ketika x menjadi
sangat besar maka nilai x2 pun bernilai semakin besar tanpa
batas. Dalam lambang matematika, ditulis
lim
x􀁬􀁣
x2 = ∞ (Amati kembali Gambar 7.2)
Tabel 7.3
x
1
x2
–0,01 10.000
–0,001 1.000.000
–0,0001 100.000.000
–0,00001 10.000.000.000
0 ?
0,00001 10.000.000.000
0,0001 100.000.000
0,001 1.000.000
0,01 10.000
Limit 181
Untuk fungsi g(x) = x2 +1 , ketika x menjadi sangat
besar maka nilai x2 +1 pun bernilai semakin besar tanpa
batas. Dalam lambang matematika, ditulis lim
x
x
Æ•
2 +1 = ∞.
Untuk menyelesaikan limit fungsi tak hingga Anda dapat
menggunakan Teorema Limit Utama pada halaman 144.
Pelajari contoh-contoh berikut.
a. lim
x
x
􀁬􀁣 x
􀀋
􀀋
6x 1
2x 10
= lim
x
x
x
􀁬􀁣
􀀋
􀀋
6
1
2
10 =
6 0
2 0
􀀋
􀀋
= 3
b. lim
x
x
􀁬􀁣 x
􀀋
􀀍 x􀀋
8 100
3×2 5 10 = lim
x
x x
x x
􀁬􀁣
􀀋
􀀍 􀀋
8 100
3
5 10
2
2
=
0 0
3 0 0
􀀋
􀀍􀀋
=
0
3
= 0
c. lim
x􀁬􀁣 x x
􀀍 x 􀀋
􀀋
6 100
2x 3
2
2 = lim
x
x
x
􀁬􀁣
􀀍 􀀋
􀀋
6
100
2
3
2
=
􀀍 􀀋
􀀋
60
20
=
-6
2
= –3
d. lim
x
x
􀁬􀁣 x2 x􀀍1
=lim
x
x x
􀁬􀁣
􀀍 􀀍
1
1
1 1
2
=
1
1 0􀀍0
=
1
1
=
1
1
=1
e. lim
x
x x
􀁬􀁣 x
􀀋
􀀋
32
2
2
3
= lim
x
x
x x
􀁬􀁣
􀀋
􀀋
1
2
1 3
3
Perhatikan, ketika x semakin membesar tanpa batas, nilai
1 +
2
x
menuju 1, sedangkan nilai
1 3
x x3
􀀋 menuju nol. Akibatnya,
nilai
1
2
1 3
3
􀀋
􀀋
x
x x
membesar tanpa batas.
Dengan demikian, lim
x
x
x x
􀁬􀁣
􀀋
􀀋
1
2
1 3
3
= ∞.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum limit? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan katakata
Anda sendiri. Konsep limit yang telah Anda pelajari
tersebut memperjelas ketentuan limit berikut.
Dari Gambar 7.5, jika x
menjadi sangat kecil (xÆ ∞)
maka nilai
1
x2
menuju 0.
Dalam lambang matematika
ditulis lim
x􀁬􀁣x
1
2 = 0.
Ingatlah
Pada soal a, pem bilang dan
penye but bentuk
6 1
2 0 􀀋
ma sing-masing di bagi
dengan x ka rena jika
disubstitusikan secara
langsung diperoleh bentuk


. Dengan penalaran
yang sa ma, pembilang dan
penyebut fung si pada soal
b, c, d, dan e masing-ma sing
harus di bagi dengan pangkat
tertinggi dari pem bilang
supaya tidak diperoleh
bentuk ∞

.
Ingatlah
182 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Lambang tak hingga yang
digunakan sekarang (∞), kali
pertama diperkenalkan oleh
John Wallis (1616–1703) pada
tahun 1655 dalam jurnalnya
yang berjudul On Conic
Sections.
The symbol we now use for
infinity (∞ ( ), was ∞ as first used by
John Wallis (1616–1703) in
1655 in his treatise On Conic
Sections.
Sumber: http://www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Information
for you
Secara umum,
• lim
)
x ( )
f x (
􀁬􀁣g(x
= koefisien pangkat tertinggi
koefisien p
f x)
angkat tertinggi g(x)
, j ika
pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x);
• lim
)
x ( )
f x (
􀁬􀁣g(x
= 0, jika pangkat tertinggi f(x) pangkat
tertinggi g(x);
dengan f(x) dan g(x) keduanya merupakan fungsi
polinom.
Cara lain untuk memperoleh penyelesaian limit fungsi
adalah mengalikan dengan faktor sekawan. Pelajari contohcontoh
berikut.
1. lim
x􀁬􀁣
􀀈 x x􀀉
􀀋 􀀍 = lim
x􀁬􀁣
􀀈 x x􀀉
􀀋 􀀍 􀁲
􀀈 x􀀋 􀀋 x􀀉
􀀈 x􀀋 􀀋 x􀀉
= lim
x􀁬􀁣 x x
􀀈 x 􀀋 􀀉 􀀈 x􀀉
􀀋1􀀋
2 2 = lim
( )
x
x
􀁬􀁣 x x
􀀍
􀀋1􀀋
= lim
x􀁬􀁣 x􀀋 􀀋 x
1
1
= lim
x
x
x
􀁬􀁣
􀀋 􀀋
1
1
1
1
= lim
x􀁬􀁣 􀀋
0
11
= 0
2. lim
x􀁬􀁣
􀀈 x x 􀀉
􀀋
= lim
x􀁬􀁣
􀀈 x x 􀀉
􀀋
􀁲
􀀈 x 􀀍 􀀋 x 􀀋
􀀈 x 􀀍 􀀋 x 􀀋
= lim
x􀁬􀁣 x x
􀀈 x 􀀉 􀀈 x 􀀋
􀀉
􀀍 􀀋 􀀋
2 2
2 2
x2 1
Pembahasan Soal
lim
( )
xƕ( )
3
3 sama dengan ….
Jawab:
lim
( )
xƕ( )
3
3
= lim
x
x x
Æ• x x
x + -
x + +
27 54 36 8
64 108 27
3 54×3
3+144×2
= lim
x
x x x
x x x
Æ•
- + -
+ + +
27
54 36 8
64
144 108 27
2 3 2 3x
=
27
64
Soal SKALU, 1978
Limit 183
= lim
x􀁬􀁣 x x
􀀍
􀀍 􀀋 􀀋
2
2 1 x21
= lim
x
x
x x
􀁬􀁣
􀀍
􀀍 􀀋 􀀋
2
1
1
1
1
2 2 =
0
1􀀍0 􀀋 1􀀋0
= 0
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Jika limitnya ada, hitunglah limit fungsi
berikut.
a. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
4 􀀍
2
2
b. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
1
1
c. lim ( )
x
x
􀁬􀀍
􀀋
1
1
d. lim
x􀁬 􀀈 x 􀀉 􀀈
x 􀀋 􀀉
3 e. lim
x􀁬 x
x 􀀋
2 􀀍
2􀀍 2
2
f. lim( ) (
)
x􀁬􀀍
3
3)2 2
g. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
4 􀀍
2
4
h. lim( )
x
x
􀁬1
􀀍 4
2. Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
x
x
􀁬􀁣x 􀀋1
b. lim
x
x
􀁬􀁣 x
3x 􀀋2
4x 􀀍5
c. lim
x
x
􀁬􀁣 x2 2x􀀍1
d. lim
x
x
􀁬􀁣 x
2􀀍 x􀀋
2
2x 1
3×2 􀀍2
e. lim
x
x
􀁬􀁣 x
􀀍 x􀀋
􀀋
3x 2 1
100
2
f. lim
x
x
􀁬􀁣 x
5x􀀍3x 􀀋6
3x 􀀍8
2
3
g. lim
x
x
􀁬􀁣 x
2
1􀀍2
h. lim
x
x
􀁬􀁣 x
􀀋
􀀍
92
2 3
3. Hitunglah limit fungsi f (x) berikut.
a. f (x) = x x
x
2 2
2
􀀋
􀀋
di x = –2
b. f (x) =
1
2 2
1
􀀍
􀀍􀀋
x
x di x = 1
c. f (x) =
2
2 4
4
􀀍
􀀍 􀀋
x
x di x = 2
d. f (x) = x
x
􀀍
􀀍
1
1
di x =1
e. f (x) =
3
9
􀀍
􀀍
x
x
di x = 9
f. f (x) = x x
x
3 9
􀀍 3
di x = 3
g. f (x) = x x
x
3 9
􀀋 3
di x = –3
h. f (x) = x
x
􀀍
􀀍
2
2
di x = 4
184 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Limit Fungsi Trigonometri
Pada Subbab A telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali
ini akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini
dengan mempelajari sifat berikut.
lim
x􀁬0
sin in x = sin 0 = 0
lim
x􀁬􀁐
cos x = cos p = –1
lim
x􀁬􀀍􀁐
cos x = lim
x􀁬􀀍􀁐 cos x
1
=
lim
lim cos
x
x
x
􀁬􀀍
􀁬􀀍
􀁐
􀁐
1
=
1
cos(􀀍􀁐)
= –1
1. Menentukan Rumus Limit Fungsi
Trigonometri
Sifat Prinsip Apit
Amati Gambar 7.3. Diketahui f, g, dan h adalah fungsifungsi
yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x
dekat a, kecuvali mungkin di a. Jika lim
x a
f (x) = lim
x a
h(x) = L
maka lim
x a
g(x) = L.
y
x
a
h(x)
g(x)
f (x)
0
Gambar 7.3
4. Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
( )
x􀁬􀁣 4x 􀀋9
2
4
b. lim
x􀁬􀁣
􀀈 x x 􀀉
􀀋 􀀍 􀀍
c. lim
x
x x x
􀁬􀁣 x x
􀀍􀀍
􀀋
2
2×3 2
d. lim
x􀁬􀁣
􀀈 x x 􀀉
􀀍 x􀀋
e. lim
x
a
x
a
􀁬􀁣 x
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍 􀀍
􀂦
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥 􀂥
1 1 􀂴
􀂤
􀂤 2 2 􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
f. lim
x􀁬􀁣
􀀈 x x 􀀉
􀀍 􀀋
g. lim
x􀁬􀁣
􀀈x x x 􀀉
􀀍x􀀋 􀀍 􀀋
h. lim
x
x
􀁬􀁣 􀀈x 􀀋a􀀉􀀍
5. Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
x
x x
􀁬 x x
􀀍x 􀀋 􀀍
1 􀀍x 􀀋
3 2
4 3
1
2x 􀀍2
b. lim
x
x x
􀁬 x
􀀍 x 􀀋 􀀍
2 􀀋x􀀍
3 2
2
x2 4 8
6
c. lim
x
x x
􀁬􀀍 x x
􀀋 x 􀀋
1 􀀋 x 􀀋 􀀋
32
43 2x 2
d. lim
x
x x
􀁬􀀍 x x
􀀋 x 􀀋 􀀋
1 􀀋 x 􀀋 􀀋
32
43
3x 3
2x 2
e. lim
x
x x
􀁬 x
􀀍x 􀀋
1 􀀋 x􀀍
3 2
2
3x 􀀍3
3x 4
f. lim
x
x x
􀁬 x x
􀀍 x 􀀋 􀀍
3 􀀍 x 􀀋
3 2
4 3
x2 4 12
x3 􀀍 3
6. Tentukan limit fungsi berikut.
a. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍 2
1
1
b. lim
x
x x
􀁬0 x􀀋x
Limit 185
(a)
(b)
y
x
P(cos t, sin t)
A(1, 0)
t
O
y
x
A(1, 0)
t
O
P(cos t, sin t)
T(1, tan t)
Gambar 7.3
Sekarang amati Gambar 7.3(a). Diketahui, 0 < t< 􀁐
2
. Ketika
tÆ0 maka titik P bergerak ke arah A(1, 0) sehingga
lim
t􀁬0
cos t = 1 dan lim
t􀁬0
sin t = 0.
Perpanjangan OP dan garis tegak lurus sumbu-x yang
melalui A akan berpotongan di titik T(1, tan t) seperti diperlihatkan
pada Gambar 7.3 (b).
Sekarang amati DOAP, tembereng OAP, dan DOAT pada
Gambar 7.3(b). Dari hasil pengamatan tentunya Anda memahami
bahwa
luas DOAP ≤ luas juring OAP ≤ luas DOAT ….(1)
Anda ketahui:
luas DOAP =
1
2
alas × tinggi =
1
2
· 1 · sin t =
1
2
sin t,
luas juring OAP =
1
2
jari-jari × sudut dalam radian
=
1
2
· 12 · t =
1
2
t, dan
luas DOAT =
1
2
alas × tinggi
=
1
2
· 1 · tan t =
sin
cos
t
2 t
.
Dengan demikian, ketidaksamaan (1) dapat dituliskan
sebagai
1
2
sin t ≤
1
2
t ≤
sin
cos
t
2 t
….(2)
Kalikan ketidaksamaan (2) dengan bilangan positif
2
sint
,
diperoleh
1 ≤
t
sint

1
cos t
¤cos t ≤
sint
t
≤ 1
Sampai uraian ini anggaplah 0 < t < 􀁐
2
. Akan tetapi, jika
– 􀁐
2
< t < 0 maka 0 < –t < 􀁐
2
sehingga cos (–t) ≤
sin(- )
-
t
t
≤ 1
cos t ≤
sint
t
≤ 1 ….(3)
Dalam ketidaksamaan (3), misalkan tÆ0, f (t) = cos t,
g(t) =
sint
t
, dan h(t) = 1.
186 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
1. lim
sin
x
x x 􀁬0 x
5
2. lim
sin
x
x
􀁬0 x
2
2 3. lim
sin
x tan
x
􀁬0 x
3
2
Contoh 7.8
Anda tentu memahami bahwa lim
t􀁬0
f(t) ≤ lim
t􀁬0
g(t) ≤ lim
t􀁬0
h(t).
Untuk t = 0 maka f(t) cos t = cos 0 = 1 dan karena h(t) = 1 maka
1 ≤
sint
t
≤ 1. Dalam hal ini tidak ada kemungkinan lain kecuali
sint
t
= 1. Dengan demikian, lim
t􀁬0
g(t) = lim
sin
t
t
􀁬0 t
= 1.
Dapatkah Anda membuktikan bahwa
lim
t sin
t
􀁬0 t
= 1, lim
t tan
t
􀁬0 t
= 1, dan lim
tan
t
t
􀁬0 t
= 1?
Silakan buktikan sendiri.
2. Menentukan Limit Fungsi
Trigonometri
Setelah Anda memahami rumus limit fungsi trigonometri,
pelajari cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut.
Dalam beberapa hal, cara menghitung limit fungsi trigonometri
sama dengan cara menghitung limit fungsi aljabar.
Oleh karena itu, teorema limit utama pada Subbab A.2 berlaku
juga untuk limit fungsi trigonometri.
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
1. lim
t sin
x
􀁬0 x
2
2
2. lim
cos
x sin
x
􀁬 xsinx
􀀍
0
1
Jawab:
1. lim
t sin
x
􀁬0 x
2
2
= 1 (sesuai rumus)
2. lim
cos
x sin
x
􀁬 xsinx
􀀍
0
1
= lim
sin
sin cos
x
x
x x x
􀁬 􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
0
2 2
1
2
2
1
2
1
2
= lim
sin
cos x
x
x x 􀁬0
1
2
1
2
= lim
sin
lim
cos x
x
x x
􀂕
0 x􀁬0
1
2
1
2
1
2
1
2
= 1 ·
1
2 1
=
1
2
Contoh 7.7
Limit 187
Tentukanlah lim
( )
x
f(x h) f
􀁬􀁣 h
)
bagi fungsi-fungsi berikut ini.
1. f(x) = cos x 2. f(x) = sin x
Jawab:
1. lim lim
cos cos
h h
f f
h h
􀀈x 􀀋 h􀀉 􀀈x􀀉
􀀝
􀀈x􀀋h􀀉 􀀈x􀀉
􀁬0
= lim
cos o sin i cos
h
xcosh xsinh x
􀁬 h
􀀍sin h􀀍
0
= lim
cos
lim
sin i
h h
x
h
xsinh
h
􀀈cosh􀀍􀀉
􀀍
􀁬0
= cos lim
cos
sin lim
sin
x
h
h
x
h
h h h
􀀍
􀀍
􀁬0
1
= cos x.0 – sin x.1 = –sin x.
2. lim
( )
x
f(x h) f
􀁬􀁣 h
)
= lim
sin sin
lim
sin o cos sin
h h
x
h
􀀈x􀀋h􀀉 xcosh x
􀀝
􀀋
􀁬0
h x
h
i
= lim
sin
lim
cos i
h h
x
h
xsinh
h
􀀈cosh􀀍􀀉
􀀋
􀁬0
= sin lim
cos
cos lim
sin
x
h
h
x
h
h h h
􀀍
􀀋
􀁬0
1
= sin x . 0 + cos x . 1 = cos x.
Contoh 7.9
Jawab:
1. lim
sin
x
x x 􀁬0 x
5
= lim
sin
x
x
x
x
􀁬 x
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
0
5
= lim lim
sin
x
x
x
􀀍
0 x􀁬0
5 = 5 – 1 = 4
2. lim
sin
x
x
􀁬0 x
2
2 = lim
sin sin
x
xsinx
􀁬0 x x
= lim
sin
lim
sin
x
x
x
x
x
􀂕
0 x􀁬0
= 1 · 1 = 1
3. lim
sin
x tan
x
􀁬0 x
3
2
= lim
sin
x tan
x
x
x
􀁬 x
􀂕 􀂕
0
3
2
2
3
3
2
=
3
2
3
3
2
0 0 2
lim
sin
lim
x x tan
x
x
x
x
􀂕
=
3
2
· 1 · 1 =
3
2
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
a. lim
sin
x tan
x
􀁬0 x
b. lim
tan
sin x
x
x 􀁬0
2
1
2
Contoh 7.10
188 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Hitunglah:
a. lim tan e
x
xsec x
􀁬0
3sec2 b. lim
x􀁬
􀀈cos x cos xcot x􀀉
􀁐
2
Jawab:
a. lim tan e
x
xsec x
􀁬0
3sec2 = lim
tan
cos
lim
tan
x cos
x
x
x
x
x
x
􀀝 􀂕
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
0 x􀁬0
3
2
3
3
2
2
3
􀂥
􀂥2
􀂥􀂦􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
=
3
2
3
3
2
0 0 2
lim
tan
lim
x cos
x
x
x
x
􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹
􀂸
􀂷
􀂸 􀂸
􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨 􀂨
􀂷
􀂹 􀂸
􀂷
􀂸􀂹􀂸
=
2
3
(1) (1) =
2
3
b. lim
x􀁬􀁐
2
(cosec2 x – cosec x cot x) = lim
sin
cos
x x sin
x
􀁬 x
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀁐
2
2 sin2
1
= lim
cos
x sin
x
􀁬 x
􀂤 􀀍
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴 􀂵 􀂵 􀂵 􀁐
2
2
1
= lim
cos
x cos
x
􀁬 x
􀀍
􀀋
􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀁐
2
2
1
1
= lim
cos
x
x
􀁬
􀀍
􀀈 cos x􀀉􀀈
􀀋 cos x􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥 􀂦
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀁐 􀂵
2
1
􀀍=
lim
lim
x
x
􀁬
􀁬
􀀈 􀀋 cos x􀀉
􀁐
􀁐
2
2
1
=
1
1
2
1
1 0
1
􀀋
􀀝
􀀋
􀀝
cos 􀁐
Contoh 7.11
Pembahasan Soal
lim
sin
….
x􀁬 x
􀀈x 􀀍 􀀉
􀀍
􀀝
2 2 4
Jawab:
lim
sin
x􀁬 x 􀀋 x
􀂕 􀀈x 􀀍 􀀉
􀀍
􀀝
􀀋
􀂕
􀀝
2
1
2 2
1
22
1
1
4
Soal UMPTN 1998
Hal Penting
􀁴􀀁 􀁍􀁊􀁎􀁊􀁕 􀁇􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊
􀁴􀀁 􀁇􀁂􀁌􀁕􀁐􀁓 􀁔􀁆􀁌􀁂􀁘􀁂􀁏
􀁴􀀁 􀁍􀁊􀁎􀁊􀁕 􀁇􀁖􀁏􀁈􀁔􀁊 􀁕􀁓􀁊􀁈􀁐􀁏􀁐􀁎􀁆􀁕􀁓􀁊
􀁴􀀁 􀁑􀁓􀁊􀁏􀁔􀁊􀁑 􀁂􀁑􀁊􀁕
􀁴􀀁 􀁍􀁊􀁎􀁊􀁕 􀁕􀁂􀁌 􀁉􀁊􀁏􀁈􀁈􀁂
Jawab:
a. lim
sin
tan
lim
sin
tan
l
x
x
x
x
x
x
x
􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
0tan x􀁬0
im
sin
lim
x tan
x
x
x
x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
0 0 x 􀁬 􀂶􀂦
= (1)(1) = 1
atau lim
sin
tan
lim
sin
sin
cos
lim cos
x x x
x
x
x
x
x
􀁬
􀀝 􀀝
0tan 􀁬0 0
x􀀝cos0􀀝1
b. lim
tan
sin
lim
tan
li
x
x
x
x
x
􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
0 x 􀁬 0 􀂦 i
3
1
2
3
3
m
sin x
x
x 􀁬
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀈 􀀉
0
1
2
1
2
= (1) (1) (6) = 6
Limit 189
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Tes Kompetensi Subbab B
• Jika nilai fungsi f(x) untuk mendekati satu bilangan real L, x
mendekati a maka L merupakan nilai limit fungsi f(x) di x = a,
ditulis f(x) = L atau jika xa maka f(a)L.
• Agar sumbu limit fungsi f(x) di x = a ada, nilai limit fungsi
tersebut harus ada dan nilainya sama, ditulis
lim lim lim
x a x a x a
f x f x f x L
􀁬 􀁬 􀁬
􀀈 􀀉􀀝 􀀍 􀀈 􀀉􀀝 􀀋 􀀈 􀀉􀀝
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 7,
1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telah
dipahami,
2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di buku
latihan Anda.
Refleksi
d. lim
cos
x cos sin
x
􀁬 x sinx 􀁐
4
2cos2
3. Hitunglah lim
h
f f
􀁬 h
􀀈x 􀀋 h􀀉 􀀈x􀀉
0
untuk
fungsi berikut.
a. f(x) = sin 3x
b. f(x) = sin (3x + π)
c. f(x) = sin 3x + π
d. f(x) = cos (x – π)
e. f(x) = cos x – π
4. Hitunglah lim
h
f f
􀁬 h
􀀈x 􀀋 h􀀉 􀀈x􀀉
0
untuk
fungsi berikut.
a. f(x) = 2 sin 3x
b. f(x) = –2 sin (3 x + π)
c. f(x) = –sin 3 x + π)
1. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim
x sin
x
􀁬0 x
3
5
d. lim
sin
x
x
􀁬0 􀀍 x
3
3
b. lim
sin
x
x
􀁬0 x
3
e. lim
x tan
x
􀁬0 x
2
5
c. lim
x sin
x
􀁬0 x
2
5
f. lim
tan
x
x
􀁬0
1
3
4
2. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim
tan
x cot
x
􀁬 x
􀀍
􀁐
4
1
2
b. lim
x􀁬 si x
􀀈sinx cosx􀀉
􀁐
4
2
1􀀍sin2
c. lim
cos
x cos
x
􀁬 x 􀁐
4
2
2cos 􀀍1
190 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. lim
x
x x
􀁬􀀍 x
􀀋
2 􀀍
2 2
2
= ….
a. 0 d. 4
b. 1
2
e. ∞
c. 2
2. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
1 􀀍
10 1
1
adalah ….
a. 1 d. –1
b. ∞ e. tidak ada
c. 0
3. lim
x ∞􀀈x 􀀋 x􀀈 a 􀀋 b􀀉􀀋 ab􀀍x􀀉
adalah ….
a. 0 d. a + b
b. ∞ e. a􀀋b
2
c. a – b
4. Jika f(x) = 2x – x2, lim
x
f f
􀁬 h
􀀈 􀀉 h 􀀈
􀀉
0
􀀍 adalah ….
a. 1 d. 3
b. –2 e. –4
c. 2
5. lim
x
x
􀁬 x
􀀍
3 􀀍
2 9
3
= ….
a. 3 d. 12
b. 6 e.
c. 9
6. lim
x ∞
􀀈 x 􀀉 16×2 􀀍3x 􀀋7 adalah ….
a. 12
11
b. 􀀍
11
12
c. 0
d. 11
e. 􀀍
22
8
7. lim
x􀁬
􀀈x 􀀍 􀀉
56􀀍 x2􀀋11
adalah ….
a. 12
11
c. 0
b. 􀀍
11
12
d. 11
e. 􀀍
22
8
8. lim
x􀁬
􀀈x 􀀍 􀀉
56􀀍 x2 􀀋11
adalah ….
a. 0 d. 4
b. 1
4
e. ∞
c. 1
9. lim
x􀁬 x
􀀈x 􀀉􀀈 x 􀀋
􀀉
3 􀀍
3
adalah ….
a. 0 d. 12
b. 3 e. ∞
c. 6
10. lim
x
x
􀁬 x
􀀍 x􀀋
3 􀀍
2 8x 15
3
= ….
a. 6 d. 3
b. 4 e. 2
c. 5
11. lim
x
x
􀁬3 x x 􀀋
2
2
5×2 􀀍1
2×2 􀀍5 = ….
a.
2
5
d. 5
2
b. 3
5
e. 7
2
c. 1
12. lim ….
x ∞
x
x 􀀋 x􀀋
􀀝
6x 􀀍5
2 2x 4
a. 3 d. 7
b. 4 e. 8
c. 6
Tes Kompetensi Bab 7
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
Limit 191
13. lim ….
x
x x
􀁬􀀍 x
􀀍
􀀋 x􀀋
􀀝
1
2
2
2
4x 3
a. 􀀍
3
2
d. 1
2
b. 􀀍
2
3
e. 3
2
c. 􀀍
1
2
14. lim
sin
tan
….
x
x
􀁬 x
􀀝
0
3
4
a. 􀀍
3
4
d. 3
4
b. 􀀍
4
3
e. 4
3
c. 1
4
15. lim
cos
x
x
􀁬0 x2
1􀀍cos2
= ….
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
16. Jika lim
x􀁬2 f(x) = –3 dan lim
x􀁬2 g(x) = 4
maka lim
x
f x
􀁬 g
􀀈x􀀉 􀀍
3 􀀈x􀀉
3f 􀀍2 1
2
= ….
a. 1 d. – 3
4
b. 3
4
e. –
5
6
c. –
1
2
17. Diketahui f (x) =
2 1
3
x
x x
􀀋x􀀜
􀁱
􀂪
􀂫
􀂭
􀂭 􀂭
􀂬 􀂭
􀂭
􀂬􀂭
jika 3
jika 3
maka lim
x􀁬1 f (x) = ….
a. –2 d. 2
b. –1 e. 3
c. 1
18. lim
sin
x
x
􀁬0 x
8 = ….
a. 8 d. –2
b. 4 e. –4
c. 2
19. lim
sin
x
x
􀁬0 x2 = ….
a. –2 d.
1
2
b. –1 e. 2
c. 0
20. lim
cos
x
x
􀁬 x
􀀍
0
1
= ….
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
192 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Kerjakanlah soal-soal berikut pada buku latihan Anda.
1. Jika limitnya ada, hitunglah limit fungsi
berikut.
a. lim
x
x x
􀁬 x
􀀋 x 􀀍
2 􀀍
32 4x 􀀍4
2
b. lim
x􀁬 􀀈x 􀀍 x 􀀋
􀀉
2
c. lim
x
x
􀁬 x x
􀀋 x􀀋
3
2
2
6x 5
2x 􀀍3
2. Tentukan nilai limit berikut.
a. lim
x􀁬0
f(x) dengan
f(x) =
–x jika x < 0
3x jika x ≥ 0
b. lim
x􀁬1
f(x) dengan
x + 1 jika x 2
3. Sebuah benda ditembakkan vertikal ke
atas. Jika persamaan gerak dari benda
itu dinyatakan S = f(t) = – 5t2 + 40t maka
kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu tepat t1 detik dinyatakan oleh
V
f f
t 0 t
􀀈t 􀀉 1 􀀝
􀀈t t 􀀉 1 􀀋 􀀤􀀈t
􀀉 1 􀀤􀁬 􀀤lim
Hitunglah
a. kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu tepat 2 detik, dan
b. kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu.
4. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim
sin
x
x
􀁬0 x
2
b. lim
sin
x
x
􀁬0 x
2
2
c. lim
sin
x
x
􀁬0 x2
5. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim
tan
x
x
􀁬0 􀀍 x
3
2
b. lim
sin x
x
􀁬 x
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀁐
􀁐
􀁐
2
2
2
c. lim
tan
x
x
􀁬 x
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴 􀂵 􀂵 􀂵
􀀍 􀁐
􀁐
􀁐
2
2
2
Bab8
193
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Sumber: http://www.duniacyber.com
Pembahasan limit fungsi yang telah Anda pelajari di
Bab 7 dapat dikembangkan pada pembahasan turunan fungsi
karena dengan mengetahui turunan fungsi, Anda dapat
mempelajari sifat-sifat fungsi. Sifat-sifat fungsi tersebut
misalnya, kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecukupan
fungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapat
mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat serta
dapat menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasi
permasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut.
Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakan
oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam
memenuhi persamaan Q􀀈v􀀉􀀝 􀀍 x 􀀋 x􀀍
1
45
2 2x 20 liter. Dengan
memahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlah
maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun.
A. Konsep Turunan
B. Menentukan Turunan
Fungsi
C. Persamaan Garis
Singgung pada Kurva
D. Fungsi Naik dan Fungsi
Turun
E. Maksimum dan
Minimum Fungsi
F. Turunan Kedua
G. Nilai Stasioner
H. Menggambar Grafik
Fungsi Aljabar
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan
turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi
dan memecahkan masalah; merancang model matematika yang
berkaitan dengan ekstrim fungsi, menyelesaikan modelnya, dan
menafsirkan hasil yang diperoleh.
194 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, 3).
Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan
pula cara mencarinya.
2. sin (α ± β) = ….
3. cos (α + β) = ….
4. tan (α + β) = ….
5. cos 2α = ….
6. f(x) = 2×3 + 3x, tentukan f(x + 1) dan
f (a + b).
7. = ….
8. Tentukan gradien garis singgung kurva
di titik
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Limit Turunan
menghasilkan
teori
rumus
Laju
Perubahan
Fungsi
Interval
Fungsi
Naik/
Turun
menentukan
Gradien Titik Balik
Maks./Min.
dan
Titik Belok
menentukan menentukan menentukan
Aplikasi
lim lim
x a x a ‘
f
g
f ‘
g’
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
lim

lim
x a x a ”
f ‘
g
f ”
g’ g”
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
menyelesaikan
masalah
lim
)
x a (
)
f x (
g x 􀀝
0
0
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 195
A. Konsep Turunan
Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah
dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama
adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua
adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu
menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika
terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah
itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya,
pelajari uraian berikut.
1. Garis Singgung
Amati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetap
pada grafik y = f(x) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang
dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(x). Misalkan,
titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat
(a + Δx, f(a + Δx)). Garis yang melalui A dan B mempunyai
gradien (kemiringan)
f f
x
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉􀀍 􀀈a􀀉
􀀤. Garis ini memotong
grafik di dua titik A dan B yang berbeda.
Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekati
titik A maka nilai Δx semakin kecil. Jika nilai Δx mendekati
nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya,
garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalah
garis yang melalui A(a, f(a)) dengan gradien
m
f f
x
AB x
􀀝
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀁬 􀀤lim
0
…(1)
Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh
tegak lurus sumbu-x?
Tentukan gradien garis singgung pada kurva
a. f(x) = x2 di titik dengan absis 2
b. f(x) = x3 di titik dengan absis 3
Jawab:
a. m
f f
x x
x
􀀝
􀀈 􀀤x􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀈 􀀋 􀀤x􀀉
􀀤􀁬 􀀤 􀀤lim l
􀀝 im
0 x􀁬0
􀀍 2
􀀍 22 􀀝
􀀤 􀀋􀀤
􀀤
􀀝 􀀤
􀀤 􀁬 􀀤 􀁬
lim lim
xx
x
x
x
0
2
0
4
4􀀍􀀝4
Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik dengan
absis x = 2 adalah m = 4.
Contoh 8.1
Gambar 8.1
Gambar 8.2
x
y
f(a + )
f(a)
y = f(x)
O a a +
A(a, f(a))
B(a + ,
f(a + ))
x
y
O
y = f(x)
B(a + ,
f(a + ))
f(a) A(a, f(a))
a a +
f (a + )
196 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. m
f f
x x
x x
􀀝
􀀈 􀀤x􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀝
􀀈 􀀋 􀀤x􀀉
􀀤􀁬 􀀤 􀀤lim lim
0 􀁬0
􀀍 3
􀀍 33 􀀝
􀀋 􀂕 􀀤 􀀋 􀀤
􀀤
􀀝
􀀤 􀀋
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
lim
lim
x
x
x
x
0
3 2 3 3
0
33 32􀀍3
27 9􀀈􀀤x􀀉 􀀋􀀈􀀤
􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤 􀀋 􀀈􀀤 􀀉􀀉􀀤
􀀤
􀀝
􀀤 􀁬
􀀤
2 3 0
x
x
x x
lim
lim
x􀁬
􀀋 􀀤 􀀋 􀀤
0
27 x x2 􀀝 27
Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x3 di titik dengan
absis x = 3 adalah m = 27.
2. Kecepatan Sesaat
Misalkan, fungsi f(x) = 15×2 + 20x menyatakan jarak
(dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah x jam
perjalanan selama selang waktu 0 ≤ x ≤ 2. Kecepatan ratarata
mobil itu selama perjalanannya adalah
􀀤
􀀤
􀀝
􀀈 􀀉 􀀈
􀀉
􀀝
􀂕􀀈 􀀉􀀋 􀂕 􀂧
􀂩
􀂨 􀂩
􀂷
􀂹
􀂸 f 􀂹􀀍 􀂕􀀈 􀀉
x
f􀀍 f2􀀍0
15 202 15 2 20 0
2
50
􀀋 􀂕 􀂧
􀂩
􀂨 􀂩
􀂷 􀂹
􀂸 􀂹
􀀝 km/jam
Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam
selang c ≤ x ≤ d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1.
Amati tabel tersebut. Nilai 􀀤
􀀤
f
x
mendekat ke bilangan
50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil
(Δx mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan
(sesaat) pada x = 1.
Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat
diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata
dengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau Δx
dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat
pada x = 1 ditulis
lim lim
􀀤 􀁬 􀀤
􀀤
􀀤
􀀝
􀀈 􀀤 􀀉 􀀈
􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤
􀀉
xx
f
x
f 􀀋 f
x
0􀁬0
2
􀀍 15 􀀋 􀀈 􀀋 􀀤
􀀉 􀀈 􀀋 􀂕 􀀉
􀀤
􀀝
􀀤 􀀋􀀤
􀀤 􀁬 􀀤
20 􀀍􀂕
50
0
2
x
x
x x
lim 􀀝 50
Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam.
Tabel 8.1
Selang
Waktu
0 – 1
0,8 – 1
0,9 – 1
0,99 – 1
0,999 – 1
0,9999 – 1
1 – 1,0001
1 – 1,001
1 – 1,01
1 – 1,5
1 – 2
35,0000
47,0000
48,5000
49,8500
49,9850
49,9985
50,0015
50,0150
50,1500
57,5000
65,0000
􀀤
􀀤
f
x
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 197
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan
kecepatan sesaat v di x = a? Cobalah nyatakan dengan katakata
Anda sendiri.
Uraian tersebut menggambarkan definisi kecepatan
sesaat v di x = a, yaitu
v v
f f
x
􀀝 􀀈a 􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤x􀁬 􀀤x􀁬 􀀤
lim lim
0 0 rata-rata …(2)
Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda
menyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatan
sesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus
tersebut, yaitu rumus (1) dan (2). Kedua rumus tersebut
menggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama,
tetapi dalam situasi yang berlainan.
Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya
setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6×3 + x2 , dengan
f(x) dinyatakan dalam meter.
a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu
2 ≤ x ≤ 3.
b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?
Jawab:
a. f x x f x
x
􀀈 􀀋 􀀤􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀂕 􀀋 􀀉􀀍􀀈 􀂕 􀀋 􀀉
􀀍
􀀝
6 3 3 6 2 2
3 2
119
3 2 3 3
Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.
b. lim
lim
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋 􀀤􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤􀀉 􀀋 􀀋􀀤
x
x
f x f
x
x x
0
0
3 2
2 2
􀀈6 2 􀀈2 􀀉􀀉􀀍􀀈 􀂕 􀀋 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤 􀀋 􀀤 􀀋􀀤 􀀉
􀀤 􀁬
6 2 2
6 8 12 6
3 2
0
2 3
x
x x x
x
lim
􀀋􀀈 􀀋 􀀤 􀀋􀀤 􀀉􀀍
􀀤
􀀝 􀀤 􀀋 􀀤 􀀋 􀀝
􀀤 􀁬
4 4 52
6 37 76 76
2
0
2
x x
x
x x
x
lim
Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah
76 meter/detik.
Contoh 8.2
Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 8.3
Jarak yang ditempuh mobil ini
mengikuti fungsi
f(x) = 15×2 + 20x. Berapakah
kecepatan rata-ratanya?
198 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Coba Anda tunjukkan
lim
cos
􀀤
􀁬
􀀤
􀀍
􀀤
􀀝
0 x
1
0 .
Tantangan
untuk Anda
3. Turunan Fungsi di x = a
Jika fungsi y = f(x) terdefinisi di sekitar x = a maka
lim lim
􀀤 􀁬 􀀤
􀀤
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
xx 􀀤
y
x
f 􀀍 f
0􀁬0 x
.
Jika lim
􀀤 􀁬
􀀤
x 􀀤
y
0 x
ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(x)
di x = a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi
turunan yang dilambangkan dengan f ‘(x). Untuk menyatakan
turunan di x = a dinyatakan dengan f ‘(a). Jadi,
f
f f
x
f
x
􀀈a􀀉 􀀝 lim lim 􀀈a 􀀋􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤
􀀈 a􀀉
􀀝
􀀤x􀁬 􀁬
0
0 atau
f f
x a
􀀈x􀀉􀀍 􀀈a􀀉
Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini.
Jika f (x) = x2 – x , tentukan f’(5).
Jawab:
f
f f
x
f
f
x
x
‘ lim
‘ lim
􀀈a􀀉
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀈 􀀉
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0
􀀈5 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀤
􀀉􀀉􀀍􀀈 􀀉
􀀤 􀁬
􀀍 f
x
􀀍 x
􀀍􀀍
0
lim
􀀤
􀀝
􀀤 􀀍􀀤 􀀍􀀤
􀀤
􀀝 􀀋􀀤 􀀍
􀀤 􀁬 􀀤 􀁬
x
xx x
x
x
xx
lim li
0
2
0
10
10 1􀀝9
Contoh 8.3
Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.
a. f(x) = x2 + x b. f(x) = cos x
Jawab:
a. f x
f
x
􀀈x􀀉􀀝 x 􀀋
􀀈x􀀉
􀀈􀀈x􀀋 􀀤x􀀉 􀀋􀀈x 􀀋 􀀤x􀀉􀀉􀀍
􀀤􀁬
2
0
‘􀀝lim
􀀈x2 􀀋 x􀀉
􀀤
􀀝
􀀤 􀀋􀀤 􀀋􀀤
􀀤
􀀝 􀀋 􀀤
􀀋 􀀝
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
x
xx
x
x
x
lim
li
0
2
0
2
2 1 2x 􀀋1
Contoh 8.4
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 199
Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya.
Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.
Jawab:
Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas =
L = p × l = 3l.l = 3l 2.
Jadi, L = f (l) = 3l2.
Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L ‘(5).
L
L
x h x
‘ lim lim
L 3 3,
0 x0
2
􀀈5􀀉
􀀈5 􀀋 h􀀉 􀀈5􀀉
􀀝
􀀈5 􀀋 h􀀉 􀀍
􀀤􀁬 􀀤5
3 75 30
2
0 0
2
h
h
h h3
x0 x
􀀝
􀀈25􀀋10h􀀋h2􀀉
􀀝
􀀋
􀀤x􀁬 􀀤􀁬
lim lim
h
x
􀀝 􀀈 􀀋 h􀀉
􀀤􀁬
li
0
􀀝 30
Contoh 8.5
b. f x
f
x
x x
􀀈x􀀉 􀀝
􀀈x􀀉
􀀈x􀀋 􀀤x􀀉
􀀤􀀝
􀀤􀁬
􀀤
cos
‘􀀝lim
cos􀀍cos
lim
0
x
x
x
􀁬 x
􀀤􀁬
􀀈 x 􀀤x􀀍 x 􀀤x􀀉􀀍
􀀤􀀝
0
0
cos
lim
cos x
x
x x
x
x
x
x
lim
sin s in
cosx lim
􀀈cos􀀤x􀀍 􀀉
􀀤􀀍
􀀤􀀤􀀝
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0 0
cos 1
sin lim
􀀤 􀀍 sin
􀀤
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶 􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀍
􀀤
􀀤
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂥
􀀤
x
x
x
􀂥􀂥 x x
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀝 cosx􀂕0􀀍 sin x􀂕1􀀝 􀀍sin x
4. Mengenal Notasi Leibnitz
Anda telah mempelajari bahwa turunan fungsi f(x)
dinotasikan dengan f ‘(x). Nilai Δx menyatakan perubahan
nilai x, yaitu Δx = x2 – x1. Adapun perubahan f(x + Δx) – f(x)
menyatakan perubahan nilai fungsi f(x) dinotasikan dengan
Δf. Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan
menjadi lim
􀀤 􀁬
􀀤
x 􀀤
f
0 x
.
Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan
fungsi, yaitu df
dx
. Diketahui fungsi
y = f(x) ….(1)
Gottfried Wilhelm Leibnitz
(1646–1716)
Gottfried Wilhelm Leibnitz
adalah orang jenius. Ia ahli
dalam bidang hukum, agama,
politik, sejarah, filsafat, dan
matematika. Bersama Newton
merumuskan pengertian
dasar tentang kalkulus
diferensial. Leibnitz pun
dikenal karena menemukan
suatu jenis mesin hitung.
Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis
Jilid 1, 1990
Tokoh
Matematika
200 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
sehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi
dy
dx
= y ‘ = f ‘(x)
Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli
matematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz
(1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya
notasi Double d Leibnitz.
Misalkan f(x) = x3, tentukanlah
a. df
dx
b. nilai x sehingga df
dx
= 12
Jawab:
a. df
dx
f f
x
x
x x
􀀝
􀀈x 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈x􀀉
􀀤􀀝
􀀈x􀀋 􀀤x􀀉 􀀍
􀀤􀁬 􀀤
lim lim
0 􀁬0
3 3
0
2 2 3
0
3 3 2
32 3
􀀤
􀀝
􀀋 􀀤 􀀋􀀤
􀀤
􀀝 3 􀀋
􀀤 􀁬 􀀤 􀁬
x
x 􀀤 xx
x
3x
xx
lim li 􀀤 􀀋􀀤x2􀀝 3×2
b. df
dx
= 3×2 maka 3×2 = 12 􀂙 x = ± 2.
Jadi, nilai x yang memenuhi df
dx
= 12 adalah x = ± 2.
Contoh 8.6
Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi
persamaan s = f(t) = t2 – 3t. Tentukanlah laju perubahan sesaat
jarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga
laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15.
Jawab:
Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah
ds
dt
df
dt
f f
t t
t
􀀝 􀀝
􀀈t 􀀋 􀀤t􀀉 􀀈 􀀉
􀀤􀀝
􀀤􀁬
􀀤􀁬
lim
lim
0
0
􀀈 􀀉 t t 􀀋 􀀤􀀍 􀀈 􀀉 􀀋 􀀤 􀂧
􀂩
􀂨 􀂩
􀂷
􀂹
􀂹 􀀈 􀀉
􀀝
􀀋 􀀤 􀀋 􀀤
􀀤 􀁬
2
0
2
3􀂸 􀀍􀀍
t t
t
lim
t t t t t
t
t t t t
t t
2 2t
0
2
3 3
2t t2 3
􀀤􀀋
􀀤
􀀝
􀀋 􀀤􀀋 􀀤􀀍􀀤􀀤
􀀝
􀀤􀁬
lim lim
􀀤 􀁬
􀀋 􀀤 􀀝
t
tt t
0
2t􀀍3 2t 􀀍3
Contoh 8.7
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 201
Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16,
diperoleh
df
dx
= 2t – 3 􀂙 15 = 2t – 3
􀂙 2t = 18 􀂙 t = 9
Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan
soal-soal berikut.
a. Jika f(x) = x2 + 3x, tentukan f ‘(x).
b. Jika f(x) = x2 – 2x + 6, tentukan f ‘(x).
c. Jika f(x) = 2x , tentukan f ‘(x).
d. Jika f(x) = 1
1
􀀋
x
, tentukan f ‘(x).
2. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan
soal-soal berikut.
a. Jika f(x) = 4 – x2, tentukan f ‘(–3).
b. Jika f(x) = 6x – 2×3, tentukan f ‘(2).
c. Jika f(x) =
x
x 􀀍1
, tentukan f ‘(5).
d. Jika f(x) = x
x
x
2
1
􀀋
􀀋
, tentukan f ‘(1).
3. Dengan menggunakan konsep limit,
tentukan gradien garis singgung pada
kurva berikut ini.
a. f(x) = 5×2 di titik dengan absis x = 2
b. f(x) = x 2 + x – 5 di titik dengan absis
x = –1
c. f(x) =
x
x2 di titik dengan absis x = –2
d. f 􀀈x􀀉􀀝 x􀀋x di titik dengan absis
x = 4
4. Dengan menggunakan konsep limit, hitung
nilai
df
dx
dari fungsi berikut untuk x yang
diberikan.
a. f(x) = 2×2 di x = –1
b. f(x) = x2 – 5 di x = –4
c. f(x) = 2x +
1
x
di x
d. f(x) = 3cos xdi x = 􀁐
2
Gunakan konsep limit untuk soal-soal
berikut.
5. Sebuah benda bergerak, kedudukannya
setelah t sekon memenuhi persamaan S (t)
= 3t2 + 4t.
a. Berapa kecepatan rata-rata pada
selang waktu t = 3 sekon dan t = 5
sekon?
b. Berapa kecepatan sesaat pada waktu
t = 2 sekon?
6. Sebuah perusahaan mendapatkan
keuntungan setelah t tahun sebesar
2.500.000t2–5.000t.
a. Berapa besar keuntungan antara t = 3
tahun dan t = 4 tahun?
b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t
= 2 tahun?
7. Gunakan rumus turunan untuk mencari
turunan fungsi-fungsi berikut.
a. f(x) = 6x + 4 d. f(x) = sin x
b. f(x) = ax + b e. f(x) = cos x
c. f(x) = 3×2 + 2 f. f(x) = tan x
202 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Menentukan Turunan Fungsi
Proses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsung
yang menggunakan definisi turunan, yaitu dengan menyusun
hasil bagi selisih f f
x
􀀈x 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈x􀀉
􀀤dan menghitung limitnya,
memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlu
mengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkan
Anda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu.
Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.
1. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axn
Misalkan, fungsi f(x) = axn dengan n = 1, 2, dan 3.
Untuk n = 1, diperoleh f(x) = ax dan turunan fungsi tersebut
adalah
f
f f
x
a
x
x
‘ lim
lim
􀀈x􀀉
􀀈x 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈x􀀉
􀀤􀀝
􀀈x 􀀋 􀀤x􀀉􀀍
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0
ax
x
ax x ax
x
a x
􀀤x x x
􀀝
􀀋a􀀤􀀍
􀀤􀀤􀀤􀁬 􀀤 􀀤lim l
􀀝 im
0 􀁬0
= a ….(1)
Untuk n = 2, diperoleh f (x) = ax2 dan turunan fungsi tersebut
adalah
f ‘ (x) = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋 􀀤􀀉􀀍 􀀈
􀀉
x 􀀤
f f 0 x
= lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉
x 􀀤
a􀀍ax
0 x
2 2
= lim
􀀤 􀁬
􀀋 􀀤 􀀋 􀀤
x 􀀤
ax x x 􀀍ax
0 x
22 2
= lim
􀀤 􀁬
􀀋 􀀤
x
ax x
0
2
= 2ax
Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsi
f(x) = ax3 , f(x) = ax4 dan f(x) = ax5.
Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsi
berikut.
f(x) = ax6, f ‘(x) = 6ax5
􀀢
f(x) = ax15, f ‘(x) = 15ax14
􀀢
f(x) = axn, f ‘(x) = naxn – 1
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 203
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut
dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda
pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.
Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan asli maka f ‘(x) = naxn – 1.
Untuk n = 0, f(x) = axn menjadi f(x) = ax0 = a. Fungsi
f(x) = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa
pun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsi
konstan adalah
f
f f x
x
a a
x
x
x
lim
lim lim
􀀈x􀀉 􀀝
􀀈x 􀀋 􀀤x􀀉􀀍 􀀤􀀤􀀝
􀀤􀀝
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0 􀀤 􀀤 􀀤
􀀝
x􀁬0x x􀁬0
0
lim0􀀝0
sehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai
berikut.
Misalkan, f(x) = axn dengan n bilangan bulat makaf ‘(x) = anxn–1
untuk f(x) = a, f ‘(x) = 0 dengan a sebarang bilangan real.
Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini.
a. f(x) = x4 b. f(x) = –8×3
Jawab:
a. f(x) = x4 maka f ‘(x) = 4×4–1 = 4×3
b. f(x) = –8×3 maka f ‘ (x) = –8(3)x3–1= –24×2
Contoh 8.8
Tentukan
df
dx
untuk fungsi-fungsi berikut.
a. f 􀀈x􀀉 􀀝 1 x􀀍
2
4 b. g
x
􀀈x􀀉 􀀝 􀀍
1
3 8
Jawab:
a. df
dx
􀀝 f 􀀈x􀀉 􀀝 1􀀈􀀍 􀀉 x x􀀍
2
􀀍4􀀍1 2 5
b. g
x
x
dg
dx
􀀈x􀀉 􀀝 􀀍 1 􀀝 􀀍 􀀍 􀀝 g 􀀈 x􀀉 􀀝 􀀍 􀀈 􀀍 􀀉 x 􀀍
3
1
3
1
8 3
8 8 g 􀀍 maka ‘ 1
􀀝
8
3×9
Contoh 8.9
Rumus ini juga berlaku untuk
n = –1
f
a
x
f
a
x
􀀈x􀀉􀀝
􀀈x􀀉􀀝
􀀍
2
Tunjukkanlah dengan cara
limit.
Tantangan
untuk Anda
204 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Menentukan Turunan Fungsi si f(x) = axn
dengan n Bilangan Rasional
Misalkan, f(x) = x
1
2 , turunan fungsi f(x) adalah
f
f f
x
f
x
x
x
lim
lim
􀀈x􀀉 􀀝
􀀈x 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈x􀀉
􀀤􀀈x􀀉 􀀝
􀀋 􀀤
􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0
x x
x
x x x
x x x
x
x
􀀤􀂕
􀀋 􀀤􀀋
􀀋 􀀤􀀋
􀀝
􀀈x􀀋 􀀤x􀀉􀀍
􀀤􀁬 􀀤x
lim
0 􀀈 x 􀀋􀀤x 􀀋 x􀀉􀀝
􀀤
􀀤 􀀈 􀀋􀀤 􀀋
􀀉
􀀝
􀀋 􀀤 􀀋
􀀝
􀀋
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
lim
lim
x
x
x
xx x x x
0
0
1 1
􀀝 􀀝
1 􀀍
2
1
2
1
2
x
x
Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cari
turunan fungsi f(x) = x–1/3 dan f(x) = x–2/5.
Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk
umum turunan fungsi f(x) = axn? Cobalah nyatakan
bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep
turunan fungsi f(x) = axn yang telah Anda pelajari tersebut
memperjelas kesimpulan berikut.
Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan rasional maka
turunannya adalah f ‘(x) = naxn – 1.
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
a. f 􀀈x􀀉 􀀝 x
3
4 b. f
x
􀀈x􀀉 􀀝
1
3 3 2
c. f 􀀈x􀀉 􀀝x3 x2
Contoh 8.11
Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia 11 tahun sampai
12 tahun adalah tetap, yaitu T(t) = 120 cm. Tentukanlah laju
pertumbuhan (laju pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut.
Jelaskan.
Jawab:
Tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 12 tahun
tetap. Oleh karena itu, T(t) = 120 adalah fungsi konstan sehingga
T ‘(t) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anak
tersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia
11 tahun sampai 12 tahun tidak mengalami perubahan.
Contoh 8.10
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 205
Jawab:
a. f x f x x
x
x
􀀈x􀀉 􀀝 􀀈x􀀉 􀀝 􀀝 􀀝
􀀍 􀀍
3
4
3
4
1
1
4
1
4
1
3
4
3
4
3
4
3
4
k ‘
b. f
x x
f x
f
􀀈x􀀉 􀀝
􀂕
􀀝
􀂕
􀀈x􀀉 􀀝
􀀈x􀀉 􀀝
1 􀀍
3
1
3
1
3
1
3 3 2
3
2
3
3
2
maka 3
3
2
3
2
3 3
2
3 3
1
3
2
3
1
5
3
5
3
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍 􀂕
􀀝 􀀍
􀀍 􀀍 􀀍
x3 􀀝 􀀍 x
x
2
3 3
1 2
3 2 3 33 2
􀂕 􀀝
x x x x 3
c. f 􀀈x􀀉􀀝x x 􀀝x f􀀈x􀀉 x 􀀝 􀀝 x
3 2 􀀍
5
3
5
3
1
2
3 3 2 5
3
5
3
5
3
k ‘
3. Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v
Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) + v(x), dalam
hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a
untuk a bilangan real. Dengan demikian,
f f
f f
x
f
x
lim
‘ lim
􀀈a􀀉 􀀝 􀀈a􀀉 􀀝
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀈a􀀉
􀀤􀁬
􀀤
0
x
u u v
􀁬 x
􀀈 􀀉 a x 􀀋 􀀤􀀋 v􀀈 􀀉 x 􀀋 a 􀀤􀂧
􀂩 􀂧 􀂷
􀂹 􀂷 􀀍 􀀈 􀀉 a 􀀋 􀀈 􀀉 a 􀂧
􀂩 􀂧 􀂷
􀂹 􀂷
􀀤􀀝
0
lim
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉􀀋 􀀈 􀀋 􀀤 􀀉􀀍 􀀈
􀀉
􀀤
􀀝
x
x
u􀀍u vx
u
0
0
lim
􀀈a 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀋
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝 􀀈 􀀉􀀋
􀀤 􀁬
􀀍u
x
v􀀍 v
x
u v
x
lim
‘v’
0
􀀈a􀀉
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum turunan fungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuk
tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan
fungsi y = u ± v yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
kesimpulan berikut.
Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku
y ‘ = f ‘(a) = u’(a) + v’(a) ; untuk y = u + v maka y’ = u’ + v’
Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan bahwa untuk
y = u – v maka y’ = u’ – v’.
206 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
4. Turunan Fungsi y = c . u
Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = c . u(x), dalam
hal ini c konstanta dan u(x) fungsi yang dapat diturunkan di
x = a untuk a bilangan real sehingga
f
f f
x
c x
x
x
‘ lim
lim
􀀈a􀀉
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀝
􀂕 u􀀈a 􀀋 􀀤􀀤􀁬
􀀤􀁬
0
0
􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀈 􀀉
􀀤 􀁬
c u 􀂕
x
c
u􀀍u
x
cu
x
lim ‘
􀀝 0
Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk
y = f(a) = c . u(a) berlaku f ‘(a) = c . u’(a). Akibatnya, dari
y = cu berlaku y’ = c . u’.
Pembahasan Soal
Diketahui
f(x) = 3×2 – 5x + 2
g(x) = x2 + 3x – 3
Jika h(x) = f(x) – 2g(x) maka h’
(x) adalah….
Jawab:
h(x)= f(x) – 2g(x)
= 3×2 – 5x + 2 –
2 (x2 + 3x – 3)
= x2 – 11x + 8
h’(x) = 2x – 11
Soal UMPTN 1997
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) = 3×2
b. f(x) = 􀀍
8
x
c. f(x) = 3 cos x
d. f(x) = 3 5 x
Jawab:
a. f(x) = 3×2 maka f ‘(x) = 6x
b. f(x) = 􀀍
8
x
= –8x–1 maka f ‘(x) = 8x –2 =
8
x2
c. f(x) = 3 cos x maka f ‘(x) = –3 sin x
Contoh 8.13
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f (x) = x3 – 3×2 c. f(x) = sin x + cos x
b. f(x) = 3x +
1
x
Jawab:
a. f(x) = x3 – 3×2 maka f ‘(x) = 3×2 – 6x
b. f(x) = 3x +
1
x
= 3x + x–1 maka f ‘(x) = 3 – x–2= 3 –
c. f ‘(x) = cos x – sin x
Contoh 8.12
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 207
5. Turunan Fungsi y = uv
Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) · v(x),
dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan
di x = a, untuk a bilangan real. Oleh karena itu
f
f f
x
u
x x
‘􀀈a􀀉 lim lim
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀝
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉􀂕
􀀤􀁬0 􀀤􀁬0
v u v
x
u v
x
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀝
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀋 􀀤x􀀉􀀍
􀀤􀁬
lim
0
u v u v u v
x
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀈a􀀋 􀀤x􀀉
􀀋
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉 􀀈a􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀂧
􀂩
􀂨
􀂨
􀂷
􀂹
􀂸 􀂷
􀂸 􀂹
􀂸
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉􀁛 􀀈 􀀋 􀀤 􀀉􀀍 􀀈
􀀉􀁝
􀀈 􀀋 􀀤
􀀉
􀀋
􀀤 􀁬
lim
x
u0 v
x
x
􀀈a􀀉􀁛u􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 u􀀈a􀀉􀁝
􀀤􀂧
􀂩
􀂨
􀂧
􀂨
􀂨
􀂨 􀂩
􀂨
􀂷
􀂹
􀂸
􀂷
􀂸
􀂸
􀂸 􀂹
􀂸
􀀝 u
􀀤􀁬
li
0
v v
x
v
u u
x
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀀋 􀀈a􀀉
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉 􀀈a􀀉
􀀤􀁬 􀀤
lim
0 x
􀀝 u􀀈a􀀉􀂕 v ‘􀀈a􀀉􀀋 v􀀈a􀀉􀂕 u ‘􀀈a􀀉
Oleh karena itu, jika y = f(x) = u(x) · v(x) dengan a
bilangan real sebarang berlaku f ‘(a) = u(a) · v’(a) + v(a) · u’(a).
Untuk y = u · v, maka y’ = uv’ + vu’.
Pembahasan Soal
Turunan dari y = (1 – x)2(2x + 3)
adalah ….
Jawab:
Misalkan, u = (1 – x)2 maka
u ‘ = 2(1 – x)(–1) = –2(1 – x).
Misalkan, v = (2x + 3) 􀁬 v ‘ = 2
y = uv
y ‘= u’v + uv’
= –2(1 – x)(2x + 3) + (1 – x)2(2)
= 2(1 – x)[(–2x – 3) + (1 – x)]
= 2(1 – x)(–3x – 2)
= 2(1 – x)(–1)(3x + 2)
= 2(x – 1)(3x + 2).
Soal UMPTN 1999
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) = (5×2 – 1) (3x – 2)
b. f(x) = cos x sin x
Jawab:
a. f(x) = (5×2 – 1) (3x – 2)
Misalkan, u = 5×2 – 1 maka u’ = 10x dan v = 3x – 2 maka v’ = 3
sehingga
f ‘(x) = u (x) . v’ (x) + v (x) . u’ (x) = (5×2 – 1) . 3 + (3x – 2) . 10x
= 30×2 – 20x + 15×2 – 3 = 45×2 – 20x – 3
b. f(x) = sin x cos x
Misalkan, u􀀈x􀀉 􀀝 sinx k u’􀀈x􀀉 cos x dan
v􀀈x􀀉 􀀝 cosx kv’􀀈x􀀉 sin x
sehingga f ‘(x)= u (x) . v’ (x) + v (x) . u’ (x)
= sin x (– sin x) + cos x . cos x
= cos2 x – sin2 x = cos2 x – (1 – cos2 x)
= 2 cos2 x – 1 = cos 2x
Contoh 8.14
d. f(x) = 3 5 x =5 5
1
6
5
1
2
3 3
1
6 3
5
x􀀝 x makaf’􀀈x􀀉 􀀝 x6
=
5
6
1
6
3 25
6 5 5
6
x x
􀀝
208 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) = (2 + 3×2)9 c. f(x) = 3
1
2
31 2
sin3 2cos
x
x
􀀋 .
b. f(x) = (5 + 2x)3+ 2x 􀀋1
Jawab:
a. f(x) = (2 + 3×2)9
Misalkan, u = 2 + 3×2 maka u’(x) = 6x sehingga f (x)= u9
f ‘(x) = 9u8 .u’(x) = 9(2 + 3×2)8 .6x = 54x(2 + 3×2)8
b. f(x) = (5 + 2x)3+ 2x 􀀋1 = 3
1
􀀈5􀀋2 􀀉 􀀋􀀈2 􀀋1􀀉2
f ‘(x) = 3(5 + 2x)2 · 2 + 1
2
2
1
􀀈2x 􀀋1􀀉 2 􀂕 􀀍 = 6(5 + 2x)2 + 1
2x 􀀋1
c. f
x x x
􀀈x􀀉 sin cos
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍 3 3 􀂥 1 1 􀂴
􀂤
2 1
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀝 􀀍
2 2 2
1
2
cos
x
9 1 1
2
2 2 2
2
x x x
x x
sin2 cos 􀀍 sin cos
Contoh 8.15
6. Turunan Fungsi y = un
Diketahui y = f(u) dengan f(u) = un dan u = g(x). Jika
fungsi u = g(x) dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan
real maka
g’(a) = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
x 􀀤
g􀀍 g
0 x
Oleh karena a bilangan real sebarang maka
g’(x) = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
x 􀀤
g􀀍 g
0 x
􀁬 g’(x) = lim
􀀤 􀁬
􀀤
x 􀀤
u
0 x
Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh
f ‘(u) = lim
􀀤 􀁬
􀀤
u 􀀤
y
0 u
?
Untuk Δx mendekati nol maka Δu mendekati nol sehingga
f
y
u
g
u
u x
x
u
lim ‘ lim
lim
􀀈u􀀉 􀀝
􀀤􀀤
􀀈 x􀀉
􀀝
􀀤
􀀤􀁬 􀀤 􀀤􀀤􀁬
0
0 􀁬
dan
0 0
0
􀀤
􀀤
􀂕
􀀤
􀀤
􀀝 􀀈 􀀉 􀀈
􀀉
􀂙
􀀤
􀀤
􀂕
􀀤
􀀤
􀀤 􀁬
y
u
u
x
f g y
u
x
u
lim ‘
lim
u
x
f g
y
x
f g
y x
u
􀀤􀀝 􀀈u􀀉 􀀈x􀀉
􀂙
􀀤􀀤􀀝 􀀈u􀀉 􀀈x􀀉
􀂙 􀀈
􀀤􀁬

lim ‘

0
􀀉 􀀝 f 􀀈 􀀉u ‘􀀈 􀀉
f(u) = un, f ‘(u) = nun – 1 sehingga y’(x) = nun – 1 u’(x).
Untuk y = unmaka y’ = nun – 1 u’(x).
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 209
7. Aturan Rantai
Perhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y =
un. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = f(u) =
un dengan u = g(x) maka turunannya y’ = nun–1 u’(x). Hasil
tersebut menggambarkan aturan rantai.
Misalkan, y = f(u) dan u = g(x).
(f o g)(x) = f{g(x)} = f(u) = y
Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f
mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi y =
f{g(x)} = f o g(x) ditentukan sebagai berikut.
(f o g)’(x) = f ‘(g(x)) . g’(x)
atau dy
dx
dy
du
du
dx
􀀝 􀂕 .
Tentukan turunan fungsi y = 􀀈 x 􀀍 3􀀉
6
.
Jawab:
Misalkan, u = x 􀀍 3 maka y = u6.
du
dx
x
x
dy
du
u
dy
dx
dy
du
du
dx
u
􀀝 􀀝
􀀝
􀀝 􀂕
􀀝 􀂕
1
2
1
2
6
6
1
2
1
2
5
5
x
x
x
x
x
􀀝 􀀈 􀀍 􀀉 􀂕
􀀝
􀀈 􀀍 􀀉
6 3
1
2
3 3
5
5
Contoh 8.16
8. Turunan Fungsi y =
u
v
Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) =
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
, dalam hal
ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk
a bilangan real maka
210 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) = cosec x
b. f(x) = tan x
Jawab:
a. f(x) = cosec x =
1
sin x
Misalkan u = 1 maka u’ = 0 dan v = sin x maka v’ = cos x.
f(x)=
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
sehingga f ‘(x) =
u v uv
v
‘􀀍uv’
2
=
0 1 1
2 2
􀀈 􀀉
􀀈 􀀉
􀀝
􀀍
􀀝 􀀍
i cos
sin
cos
sin
x x
x
x
x sin
cot
x
x x
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍 cosec
Contoh 8.17
Situs Matematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang
Fungsi dan Turunannya
melalui internet dengan
mengunjungi situs berikut.
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁄􀁂􀁍􀁄􀁖􀁍􀁖􀁔􀀏􀁐􀁓􀁈
􀁴􀀁 􀁉􀁕􀁕􀁑􀀛􀀐􀀐􀁘􀁘􀁘􀀏􀁘􀁂􀁍􀁕􀁆􀁓􀀎􀁇􀁆􀁏􀁅􀁕􀀏􀁅􀁆
􀁴􀀁 􀁎􀁂􀁕􀁆􀁎􀁂􀁕􀁊􀁌􀁂􀀎􀁔􀁎􀁂􀀏􀁃􀁍􀁐􀁈􀁔􀁑􀁐􀁕􀀏
􀁄􀁐􀁎
f ‘(a)= lim lim
􀀤 􀁬 􀀤
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤
􀀉
􀀈 􀀋 􀀤
􀀉
xx
f 􀀍 f
x
uv0 􀁬0
􀀍
􀀈
􀀉
􀀈
􀀉
􀀤
uvx
= lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀉 􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉 􀀈 􀀋 􀀤
􀀉
x 􀀤 􀀈 􀀉 􀀈 􀀋 􀀤
􀀉
vu􀀍u v 0 xv v = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀉 􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉 􀀈 􀀉􀀋 􀀈 􀀉 􀀈 􀀉 􀀈 􀀉
x
vu􀀍 v u u 􀀍u v
0
􀀈a 􀀋 􀀤
􀀉
􀀤 􀀈 􀀉 􀀈 􀀋 􀀤
􀀉
xv v = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀉 􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵􀀍 􀀈 􀀉
x
vu􀀍u
x
uv
0
v
x
v a v
􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉􀀍 􀀈a􀀉
􀀤􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀈􀀉 􀀈a 􀀋 􀀤x􀀉
=
lim lim lim
􀀤 􀁬 􀀤 􀀤 􀁬
􀀈 􀀉
􀂕
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀍
xx
vu􀀍u
x
u
0 􀁬0
x 0
􀀈a􀀉􀂕
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
􀀤
􀀈 􀀉 􀀈 􀀋 􀀤
􀀉
􀀤 􀁬
􀀤 􀁬
lim
lim
x
x
v􀀍 v
x
vav0
0
=
u v u v
v v
‘􀀈a􀀉􀂕 􀀈a􀀉􀀍􀀈a􀀉􀂕 v’􀀈a􀀉 u’ v u
􀀈a􀀉􀂕 􀀈a􀀉
􀀝
􀀈a􀀉􀂕 􀀈a􀀉􀀍 􀀈a􀀉 v 􀀈a􀀉
􀀈v􀀈a􀀉􀀉

2
Oleh karena itu, jika y = f(x) =
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
dengan a sebarang bilangan
real sehingga berlaku f ‘(a) =
u’􀀈a􀀉􀂕 v􀀈a􀀉􀀍u􀀈a􀀉􀂕 v’􀀈a􀀉
􀀈v􀀈a􀀉􀀉2
maka f ‘(x) =
u’􀀈x􀀉􀂕 v􀀈x􀀉􀀍u􀀈x􀀉􀂕 v’􀀈x􀀉
􀀈v􀀈x􀀉􀀉2 .
Untuk y =
u
v
, berlaku y’ =
u v uv
v
‘􀀍uv’
2 .
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 211
Tentukan turunan fungsi berikut.
a. f(x) =
x
x
􀀍
􀀋
2
2
b. f(x) =
x
􀀈x 􀀉 􀀈 x 􀀋 􀀉
2
3
2
Jawab:
a. Misalkan, u = x – 2 maka u’ = 1 dan v = x + 2 maka v’ = 1.
f(x) =
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
sehingga
f ‘(x) =
u’􀀈x􀀉􀂕 v􀀈x􀀉􀀍u􀀈x􀀉􀂕 v’􀀈x􀀉
􀀈v􀀈x􀀉􀀉2
=
4
2 2
􀀈1􀀉􀀈 􀀋 2􀀉 􀀈
􀀍2􀀉􀀈1􀀉
􀀈 􀀋 2􀀉
􀀝
􀀈
􀀋 2􀀉
􀀍b. f(x) =
x
􀀈x 􀀉 􀀈 x 􀀋 􀀉
2
3
2
Misalkan, u = (x – 1)3(2x + 3) maka u’ = 3(x – 1)2(2x + 3) + (x –1)3(2)
v = 2×2 maka v’= –4x.
f(x) =
u
v
􀀈x􀀉
􀀈x􀀉
sehingga f ‘(x) =
u u
v
‘􀀈x􀀉v􀀈x􀀉􀀍 􀀈x􀀉v􀀈x􀀉
2 􀀈x􀀉
=
3 2 3 2 3 􀀈 􀀉 1 x 􀀈 􀀉 2 3 x 􀀋 􀀋􀀈 􀀉 1 􀀍 x 􀀈 􀀉 2 􀂧
􀂩
􀂨 􀂩
􀂷􀂹
􀂹􀀈2x􀀉 􀀈x 1􀀉 􀀈2x 􀀋 􀀉􀀈
􀀉
􀀈 􀀉
2
=
4 2 26 4 2 6 9 x x 􀀈 􀀉 1 x 􀀋 􀀈 􀀉 2 2 􀀍 2x 􀂧
􀂩 􀂧 􀂷
􀂹 􀂷 􀀍 􀀈 􀀉 2 x 􀀈 􀀉 1 x 􀀈 􀀉 2 3 x 􀀋 􀂧 􀂩􀂷
􀂹 􀂷
4×4
=
4
4
2
4
x x
x
􀀈 􀀉 1 x 􀀈 􀀉 12 18 2 6 x 􀀋 􀀍 6x 􀀈 􀀉 3 2 2 x 􀀋 2x 􀀍 􀂧
􀂩
􀂨 􀂩
􀂷
􀂹
􀂸 􀂹
=
x
􀀈 􀀉 x 􀀈 􀀉 x x x x 􀀋
􀀍 x 􀀍 􀀋 􀂧 􀂩
􀂩
􀂷
􀂹
􀂸 􀂧􀂹 2 3
=
x
􀀈x 􀀉􀀈 x 􀀋 x 􀀍 x 􀀋 􀀉
3
Contoh 8.18
Pembahasan Soal
Jika f(x) =
3 2
x 􀀋 4
, maka
turunan f –1(x) adalah ….
Jawab:
f(x) =
3 2
x 􀀋 4
􀂜 􀀝
􀀋
y
x
3x 􀀍2
4
maka x =
4 2
3
y
y
􀀋
􀀍
f –1(x) =
4 2
3 x
􀀋
􀀍
df
dx
􀀍 􀀈x􀀉
􀀝 􀀈 􀀍 x􀀉􀀍􀀈 􀀋
􀀉􀀈􀀍 􀀉
􀀈 􀀍 x􀀉
􀀝
􀀈 􀀍 x􀀉
1
2
2
4x 14
Soal UMPTN 1997
b. f(x) = tan x =
sin
cos
x
x
Misalkan u = sin x maka u’ = cos x dan v = cos x maka v’ = – sin x.
f ‘(x) =
cos cos sin cos sin
cos
xcos x􀀍 x􀀈 sin x􀀉 x x
􀀈cos x􀀉
􀀝
􀀋
2
2 sin2
2 2
1
x x
􀀝
cos
= sec2 x.
212 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
1. f(x) = 4×5 – x3 + 1
2. f(x) = 3 2x 3x
3. f(x) =
x
9 x
9
􀀋
4. f(x) =
18 2
x 3 4x
􀀋
5. f(x) = x
x
3
4x 􀀋1
6. f(x) =
x
x
3
2 􀀋 5
7. f(x) = (x2 – 1)(x3 + 3)
8. f(x) = x4(x – 5)
9. f(x) = (x–3 + 5)(3×2 – 11)
10. f(x) =( )( )
1
3
1
3 2
11. f(x) =
x
x
􀀋
􀀋x􀀋
8
2 2
12. f(x) = x 8x􀀋5
13. f(x) = sin (x + 2)
14. f(x) = 5 sin(3 – x)
15. f(x) = x2 sin x
16. f(x) = 4×3 cos(–6x)
17. f(x) = tan (5x + 1)
18. f(x) = tan (x3 – 5x)
19. f(x) = cot(5x – 3)
20. Luas permukaan kubus berusuk x cm
ditunjukkan oleh fungsi L(x) = 6×2. Tentukan
laju perubahan luas (L) terhadap x untuk x=
7 cm dengan cara menghitung L’ (7).
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 10
m/detik. Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi persamaan h(t) =
30t – 6t² dengan h(t) adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter.
a. Carilah kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.
b. Kapan peluru berhenti?
Jawab:
Diketahui:
Kecepatan awal peluru = 10 m/detik.
Kedudukan peluru pada t detik = h(t) = 30t – 6t².
Ditanyakan:
a. Kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.
b. Kapan peluru berhenti.
Pengerjaan:
a. Dalam fisika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukan
terhadap waktu sehingga v(t) = h’(t) = 30 – 12t.
Jadi, kecepatan peluru pada saat t = 1,5 adalah
v(1,5) = 30 –12(1,5) = 12 m/detik.
b. Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga v(t ) = 0
􀂙 30 – 12t = 0
􀂙 t = 2,5.
Jadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik.
Contoh 8.19
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 213
21. Panjang dan lebar sebuah persegipanjang
adalah 3x + 2 dan 2x. Carilah laju perubahan
luas terhadap x untuk lebar 6 cm.
22. Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah
barang (x) dengan biaya p(x) = 3×2 – 2x +
15. Jika biaya total marginal didefinisikan
sebagai dp
dx
, tentukan biaya total marginal
untuk memproduksi barang itu. Berapa biaya
total untuk memproduksi 20 barang?
23. Pendapatan koperasi “Maju” dalam x tahun,
mulai 1 Januari 2004 adalah
P(x) =
3
4
x2􀀋3x􀀋20,
dengan P dalam jutaan rupiah.
a. Tentukan laju perubahan sesaat P pada
1 Januari 2006.
b. Tentukan laju perubahan sesaat P pada
1 Januari 2009.
24. a. Misalkan pertumbuhan bakteri pada
waktu t memenuhi persamaan
N(t) = 3t2 t .
Tentukan laju pertumbuhan bakteri
tersebut.
b. Populasi penduduk pada suatu daerah
memenuhi persamaan
N = 240.000 –
4
3
3 600
2 t 􀀋
􀀋
􀀈t 􀀋 3􀀉
.
.
Tentukan dN
dt
.
C. Persamaan Garis Singgung
pada Kurva
Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis
singgung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah
f ‘(a) = lim
􀀤 􀁬
􀀈 􀀋 􀀤 􀀉 􀀈 􀀉
x 􀀤
f 􀀍 f
0 x
Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1) dengan
gradien m adalah
y – y1 = m(x – x1)
Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik
A(a, f(a)) pada kurva adalah
y – f(a) = f ‘(a) (x – a)
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.
a. f(x) = x2 di titik (–2, 4)
b. y = x3 di titik yang memiliki absis x = 1 dan x = 2.
Jawab:
a. Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4)
adalah y – 4 = f ‘(–2) (x – (–2)).
f(x) = x2 maka f ‘(x) = 2x sehingga f ‘(–2) = 2(–2) = –4
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik
(–2, 4) adalah y – 4 = –4 (x + 2) 􀂙 y = –4 x – 4.
Contoh 8.20
214 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.
a. y = f(x) di titik (1, 4) jika f ‘(x) = 3×2 + 6x
b. y=f(x) dengan f(x) = 2×3 yang tegak lurus terhadap garis y=–
1
24
x .
Jawab:
a. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (1, 4),
menurut rumus adalah y – f (1) = f ‘(1) (x – 1). Diketahui f(1) = 4
dan f ‘(x) = 3×2 + 6x maka
f ‘(1) = 3 . 12 + 6 . 1 = 9.
Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah
y – 4 = 9 (x – 1) 􀂙 y = 9x – 5.
b. Jika g: y = mx + n adalah garis singgung pada kurva y = 2×3 dan
tegak lurus terhadap garis h: y = –
1
24
x maka m (–
1
24
x ) = –1
􀂙 m = 24.
Persamaan garis singgung pada kurva y = 2×3 adalah y – f(x1) =
f ‘(x1) (x – x1) dengan x1 absis titik singgung pada kurva y = 2×3.
Selanjutnya, nilai x1 ditentukan sebagai berikut.
f ‘(x) = 6×2 maka f ‘(x1) = 6×1
2.
Contoh 8.21
Menentukan Persamaan Garis Singgung pada
Kurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui
Untuk menentukan persamaan garis singgung pada
kurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajari
beberapa contoh berikut.
Pembahasan Soal
Kurva y = (x2 + 2)2 memotong
sumbu-y di titik A. Persamaan
garis singgung pada kurva
tersebut di A adalah ….
Jawab:
A adalah titik potong kurva
y = (x2 + 2)2 terhadap sumbu-y.
absis x A = 0
y A = (0 + 2)2 = 4
m =
dy
dx
= 2(2x)(x2 + 2)
mA = 2(0)(0 +2) = 0
Persamaan garis singgung
y – y A = mA(x – x A )
y – 4 = 0 􀁬 y = 4
Soal UMPTN 2001
b. Untuk absis x = 1.
Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalah
y – f (1) = f ‘(1) (x – 1)
f(1) dan f ‘(1) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 maka
f(1) = 13 = 1.
f ‘(x) = 3×2 sehingga f ‘(1) = 3 . 12 = 3
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik
(1, 1) adalah y – 1 = 3 (x – 1) 􀂙 y = 3x – 2.
Untuk absis x = 2.
Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalah
y – f(2) = f ‘(2) (x – 2)
f(2) dan f ‘(2) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 maka
f(2) = 23 = 8.
f ‘(x) = 3×2 sehingga f ‘(2) = 3 . 22 = 12
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik
(2,8) adalah y – 8 = 12(x – 2) 􀂙 y = 12x – 16.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 215
Diketahui f ‘(x1) = 24 sehingga 6×1
2 = 24 􀂙 x1
2 = 4 􀂙 x1 = ± 2.
Untuk x1 = 2, diperoleh f (x1) = 2 . 23 = 16. Persamaan garis
singgung yang tegak lurus terhadap garis y = –
1
24
x adalah
y – 16 = 24 (x – 2) 􀂙 y = 24x – 32.
Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk x1 = –2.
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihanmu.
1. Tentukan persamaan garis singgung kurvakurva
berikut.
a. f(x) = x2 di titik (2,4)
b. f(x) = 1 –
1
2
x2 di titik (2,–1)
c. f(x) = x3 + 1 di titik (–1, 0)
d. f(x) = x2 – 3x – 7 di x = 4
2. Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = f(x) pada titik yang diketahui
jika gradien garis singgungnya diberikan
oleh persamaan berikut.
a. f ‘(x) = 4x – 4 di (1,–2)
b. f ‘(x) = 2 – 6x di (0,0)
c. f ‘(x) = 3×2 – 2 di (–1,1)
d. f ‘(x) = 3 – 3×2 di (2,–2)
3. a. Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = 2×2 – 3x yang sejajar garis
y = x.
b. Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = x2 – 4x + 5 yang tegak lurus
y = –2x + 3.
c. Tentukan koordinat pada kurva
y=x2 + 3x – 10 agar garis singgung kurva
di titik itu mempunyai gradien 7.
d. Tentukan persamaan garis singgung
kurva y = x –
1
x2
di titik potong kurva
itu dengan sumbu-x.
4. Garis y = x + 1 memotong parabola y = x2 +
2x + 1 di titik A dan B. Tentukan persamaan
garis singgung parabola itu di titik A dan B.
5. Garis singgung kurva y =
1
4
x2 di titik
(2,1) memotong sumbu-x di titik A dan
memotong sumbu-y di titik B. Tunjukkan
bahwa koordinat titik A dan B adalah
A(1,0) dan B(0,–1).
D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan
lintasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = f(x),
seperti pada Gambar 8.5.
Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian
bergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan f disebut naik
dalam daerah D f
= { x| a ≤ x ≤ b} sebab semakin besar nilai x
menyebabkan nilai fungsi
f semakin bertambah besar. Fungsi
f disebut turun dalam daerah D f
= { x| b ≤ x ≤ c} sebab semakin
besar nilai x menyebabkan nilai fungsi
f semakin kecil.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatu
fungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi f disebut
monoton turun?
Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.
Gambar 8.5
y
O
A C
B
a b c
216 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Definisi 8.1
Misalkan f terdefinisi pada selang I. Kita katakan bahwa:
• f monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a
dan b dalam I, a < b mengakibatkan f(a) < f(b);
• f monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan
a dan b dalam I, a f(b).
Sekarang amati Gambar 8.7. Titik P1 adalah titik sebarang
pada grafik yang terletak pada selang (0, a), titik P2 adalah
titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (a, b)
dan titik P3 adalah titik sebarang pada grafik yang terletak
pada selang (b, c). Apabila Anda membuat garis singgung
di P1, P2, dan P3 yang diberi nama g1, g2, dan g3 seperti pada
Gambar 8.8 maka garis singgung g1 memiliki gradien positif
(condong ke kanan), garis singgung g2 memiliki gradien
negatif (condong ke kiri), dan garis singgung g3 memiliki
gradien positif (condong ke kanan).
Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,
mengapa g1 memiliki gradien positif, g2 memiliki gradien
negatif, dan g3 memiliki gradien positif.
Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik dapat
ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan
fungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi f
dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b).
• Jika f ‘(x) > 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka
fungsi f naik pada selang (a, b).
• Jika f ‘(x) < 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka
fungsi f turun pada selang (a, b).
Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.
1. f(x) = –x2 pada selang (0,1)
2. f(x) = 10x – x2 pada selang (0,10)
Jawab:
1. f(x) = –x2 maka f ‘(x) = –2x.
Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.
f ‘(p) = –2p 0 sehingga f(x) = x2 pada selang
(0, 1) merupakan fungsi turun.
2. f(x) = 10x – x2 maka f ‘(x) = 10 – 2x.
Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p 0 untuk p < 5 dan f ‘(p) = 10 – 2p 5. Dengan demikian, f(x) = 10x – x2 pada selang (0, 10)
merupakan fungsi naik dan fungsi turun.
Contoh 8.22
Gambar 8.6
Gambar 8.7
Gambar 8.8
y
x
turun
naik
y
x
B
C
D
P2
PA 3
O a b c
P1
y
x
B
C
D
P2
P3
A
O a b c
P1
g2
g1
g3
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 217
Periksa naik atau turunnya fungsi f(x) = cos x pada selang-selang
berikut.
a. 0
2
,
􀂤 􀁐
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
b. 􀁐, 􀁐
3
2
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
Jawab:
f(x) = cos x maka f ‘(x) = –sin x.
a. f(x) = cos x pada selang 0
2
,
􀂤 􀁐
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
Misalkan, p adalah anggota 0
2
,
􀂤 􀁐
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
sehingga 0 < p < 􀁐
2
.
f ‘(p) = –sin p < 0 untuk 0 < p < 􀁐
2
sehingga f(x) = cos x
pada selang 0
2
,
􀂤 􀁐
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
merupakan fungsi turun.
b. f(x) = cos x pada selang 􀁐, 􀁐
3
2
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
.
Misalkan, p anggota 􀁐, 􀁐
3
2
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
sehingga π < p 0 untuk π < p 0 sehingga –sin (x + π) > 0. Untuk menyelesaikan
pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan
berikut: –sin (x + π) = 0
–sin (x + π) = sin 0 􀂙 x + π = 0 ± k 2π, k bilangan bulat
x = –π ± k 2π
Oleh karena x 􀂌 (0, 2π) maka nilai x yang memenuhi adalah
x1 = π sehingga diperoleh diagram tanda berikut.
0 π 2π
Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan
–sin (x + π) > 0 adalah 0 < x < π.
Contoh 8.24
218 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval
0 < x < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.
• Fungsi f(x) = cos(x+ π) merupakan fungsi turun, jika f ‘(x) < 0
sehingga f ‘(x) = –sin (x + π) < 0.
Dengan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasilkan
–sin(x + π) < 0 adalah π < x < 2.
Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi turun pada interval
π < x < 2π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Periksalah, apakah fungsi-fungsi berikut
pada selang [0,1],[–1.1],[–1,0] merupakan
fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x) = 3×2 – 12x + 9
b. f(x) = x2 – 16x + 12
c. f(x) = 4 + 10x – x2
d. f(x) = 1 + x3
e. f(x) = x3 – 6×2 + 9x + 1
f. f(x) = x3 – 3×2 – 24x + 7
2. Periksalah, apakah fungsi-fungsi f(x) pada
selang [0, 􀁐
2
], [ 􀁐
2
, π],[π,
3
2
􀁐 ], [
3
2
􀁐 , 2π]
merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x) = sin x
b. f(x) = cos(x – 􀁐
2
)
c. f(x) = sin (x + 􀁐
2
)
d. f(x) = sin (x – π)
e. f(x) = cos (x + π)
f. f(x) = cos 2x
3. Tunjukkan bahwa untuk setiap x bilangan
real, fungsi f (x) = 3 1􀀍 x selalu turun.
4. Jika f (x) merupakan fungsi naik pada suatu
interval I, tunjukkan bahwa
a. f(x) + c dengan c konstanta juga naik;
b. –f(x) merupakan fungsi turun.
5. Konsentrasi K(t), suatu obat dalam darah
pasien memenuhi persamaan
K
t
t
􀀈t􀀉􀀝
􀀋 􀀋 t
􀀜t 􀀜
0 16
4t 4
024 2
,
,
dengan t menunjukkan waktu (dalam jam)
setelah pemberian obat. Tentukan interval di
mana konsentrasi obat naik, dan interval di
mana konsentrasi obat turun.
E. Maksimum dan Minimum Fungsi
Anda telah mempelajari fungsi kuadrat dan grafiknya di
Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Anda
telah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titik
ekstrim minimum dari fungsi kuadrat melalui proses aljabar
bilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidak
dapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim fungsifungsi
yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakan
turunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenis
fungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu.
Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut.
x
y
–1
1
π

􀁐
2
3
2
􀁐
Gambar 8.9
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 219
Gambar 8.10 memperlihatkan grafik y = f(x) = x2 – 2.
Anda mungkin memahami bahwa fungsi y = f(x) = x2 – 2
mempunyai nilai minimum pada x = 0 sebab f(x) = f(0) =
02 – 2 = –2. Turunan fungsi f(x) = x2 – 2 adalah f ‘(x) = 2x.
Anda dapat memeriksa bahwa f ‘(x) < 0 untuk x 0
untuk x > 0 serta f ‘(0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x)
turun untuk x 0. Bagaimana dengan
fungsi di x = 0, apakah naik atau turun? Fungsi f(x) di x = 0
tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner.
Definisi 8.2
Jika fungsi f mencapai titik ekstrim pada (a, f(a)) dan terdiferensialkan
pada titik itu maka titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner atau
f ‘(x) = 0.
Jika Anda amati grafik y = f(x) = x2 – 2, tampak adanya
perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari turun menjadi
naik.
Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadi
naik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempat
terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik
x = 0 fungsi bernilai minimum, yaitu f(x) = f(0) = –2.
Sekarang, selidiki grafik y = f(x) = 2 – x2 pada Gambar 8.11.
Mudah diselidiki bahwa fungsi y = f(x) = 2 – x2 mempunyai
nilai maksimum pada x = 0 sebab f(0) = 2 – 02 = 2.
Turunan fungsi f(x) = 2 – x2 adalah f ‘(x) = –2x. Anda dapat
menyelidiki bahwa f ‘(x) > 0 untuk x < 0 dan f ‘(x) 0 serta f ‘(0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) naik
untuk x 0, dan x = 0 adalah titik
stasioner. Jika Anda amati grafik y = f(x) = 2 – x2, tampak
adanya perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari naik
menjadi turun.
Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjadi
turun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempat
terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik
x = 0 fungsi bernilai maksimum, yaitu f(x) = f(0) = 2.
Pembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan minimum
dengan memeriksa fungsi f(x) = x3 dan f(x) = |x|. Kedua
grafik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.12.
• Turunan pertama fungsi f(x) = x3 adalah f ‘(x) = 3×2. Anda
dapat memeriksa bahwa f ‘(x) > 0 untuk x 0 dan f ‘(x) = 0
pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) naik untuk x 0 dan x = 0 adalah titik stasioner. Akibatnya, titik
y
x x 2 x1
–2
O
f ‘(0) = 0
f ‘(x1) 0
y = x2 – 2
Gambar 8.10
Gambar 8.11
y
x x 2 x1
2
O
f ‘(0) = 0
f ‘(x1f ‘(x ) 0
y = 2 – x2
(a)
y
x
y = x3
f’(x2) > 0
x2
x1
f ‘(x2) > 0
220 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimum
atau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar
8.12(a) bahwa grafik y = x3 selalu naik di sekitar x = 0.
• Pada gambar 8.12(b), f(x) = |x| =
xjikax
jik
􀁱
􀀍x jika x 􀀞
􀂪
􀂫
􀂭
􀂭 􀂭
􀂬 􀂭
􀂭
􀂬􀂭
0
0
sehingga f ‘(x) = –1 < 0 untuk x 0
untuk x > 0. Adapun untuk menentukan f ‘(0) digunakan
konsep limit, yaitu sebagai berikut.
f ‘(0) = lim lim lim
x x
f f
x
x
x
x
􀁬 x
􀀈x􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀝
􀀍
􀀍
􀀝
0 0 x􀁬0 0
0
0
Dari Bab 7 tentang pengertian limit telah diterangkan
bahwa limit fungsi tersebut tidak ada.
Jadi, f ‘(0) tidak ada atau f tidak terdiferensialkan. Oleh
karena itu, f(x) turun untuk x 0, dan
x = 0 bukan merupakan titik stasioner sehingga pada x = 0
fungsi bernilai minimum.
Sekarang amati Gambar 8.13.
Diketahui, fungsi f(x) terdefinisi pada interval a ≤ x ≤ d
serta f ‘(b) = f ‘(c) = 0.
Dari Gambar 8.13. diperoleh uraian berikut.
a. Untuk D f = [ a, p] atau D f
= { x | a < x

f(x) untuk x anggota D f
= [ a, p] sehingga
f(b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilai
maksimum global. Oleh karena f(a) 0 2) < 0
f ‘(x) = |x|
y
x
a 0 b p c d
f (x)
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 221
Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsi
f(x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai
f(x) untuk nilai x sebagai titik ujung interval domain fungsi
f(x) dan nilai x yang menyebabkan f ‘(x) = 0. Kemudian,
bandingkan nilai-nilai tersebut.
Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 2×2 – x, untuk:
a. D f = { x | –1 ≤ x ≤ 2},
b. D f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}.
Jawab:
f(x) = 2×2 – x 􀂙 f ‘(x) = 4x – 1
4x – 1 = 0 􀂙 x =
1
4
.
a. x =
1
4
anggota D f = { x | 1 ≤ x ≤ 2}
f
1
4
2
1
4
1
4
1
8
2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝 􀀍 􀀝 􀀍 ….(1)
f(–1) = 2 (–1)2 – 1
= 1 ….(2)
f(2) = 2 (2)2 – 2
= 6 ….(3)
Dari (1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 adalah nilai maksimum
dan f
1
4
1
8
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀝 􀀍 merupakan nilai minimum fungsi f(x) = 2×2 – x
dengan
D f = { x | –1 ≤ x ≤ 2}.
b. x =
1
4
bukan anggota D f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}
f(–6) = 2 (–6)2 – (–6) = 78
f(–4) = 2(–4)2 – (–4) = 36
Jadi, fungsi f(x) = 2×2 – x dengan D f = { x | –6 ≤ x ≤ –4} mempunyai
nilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimum f(–4) = 36.
Contoh 8.25
Soal Terbuka
Arif memiliki kawat yang
panjangnya 28 cm kawat.
Ia akan membuat bingkai
berbentuk persegipanjang.
Tentukan ukuran bingkai
yang mungkin. Tentukan pula
ukuran bingkai yang akan
memberikan luas maksimum.
Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan
volume 8.000π cm3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar
aluminium yang digunakan seminimal mungkin.
Jawab:
Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000π cm3.
Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium
minimal.
Contoh 8.26
222 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
(a)
(b)
Gambar 8.14
(a) Selembar aluminium.
(b) Silinder yang akan dibuat.
Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan
oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam
memenuhi persamaan
Q(v) = 􀀍
1
65
v2 + 2v v + 2.500 liter
Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat
tahun.
Jawab:
Q(v) = 􀀍
1
65
v2 + 2v + 2.500 liter
Nilai stasioner Q(v) diperoleh jika Q’(v) = 0 sehingga
Q’(x) = 􀀍
2
65
v + 2 = 0 􀂙 􀀍
2
65
v = 2 􀂙 v = 65
Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah
Q(65) = 􀀍
1
65
(65)2 + 2(65) + 2.500 = 2.565 liter
Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah
4 × 2.565 = 10.260 liter.
Contoh 8.27
Pengerjaan:
Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas
silinder = r, dan luas permukaan silinder = L (r).
V (r) = luas alas × tinggi
= π r2 × t = 8.000π
sehingga t =
8 000 8 000
2 2
.000􀁐 8.
􀁐r r
􀀝 ….(1)
L (r) = luas alas + luas selubung = π r² + 2πrt ….(2)
Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperoleh
L (r)= 􀁐r 􀁐r 􀁐
r
2 rt
2
2 2
8 000
2
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 . 􀂵􀀝􀁐r2􀀋
Nilai stasioner L (r) diperoleh jika nilai L’ (r) = 0 sehingga
L’ (r) = 2
16 000
2 􀁐
􀁐
r
r
􀀍
.
􀂙 􀀍 􀀝
􀂙 􀀝
􀂙 􀀝
2
16 000
0
2
16 000
8 000
2
2
3
􀁐
􀁐
r
r
.
.
.
􀂙 r = 20 ….(3)
Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleh
t =
8 000 8 000
400
20 2
.000 8.
r
􀀝 􀀝
Jadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alas r = 20 cm.
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 223
Tes Kompetensi Subbab E
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum
fungsi-fungsi berikut untuk domain yang
diberikan.
1. f(x) = x3 – 6×2 + 9x dengan
a. D f = {x | –3 ≤ x ≤ 0}
b. D f = {x | 0 ≤ x ≤ 3}
c. D f = {x | 3 ≤ x≤ 5}
d. D f = {x | 5 ≤ x ≤ 7}
2. f(x) = 4×7 – x4 dengan
a. D f = {x | –1 ≤ x ≤ 0}
b. D f = {x | 0 ≤ x ≤ 1}
c. D f = {x | 1 ≤ x ≤ 2}
d. D f = {x | 2 ≤ x ≤3}
3. f(x) = (x –2)2(x – 5) dengan
a. D f = {x | 0 ≤ x ≤ 2}
b. D f = {x | 2 ≤ x ≤ 4}
c. D f = {x | 3 ≤ x ≤ 5}
d. D f = {x | 5 ≤ x ≤ 7}
4. Jika fungsi f (x) = x3 + px + 3 dengan daerah asal
D f = {x | –1 ≤ x ≤ 1} mencapai nilai minimum
relatif di x = 1, tentukan nilai f (1) dan p.
5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8.
Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar
jumlah kuadratnya minimum.
6. Menurut Departemen Riset sebuah
perusahaan, biaya produksi x unit barang
jenis A sebesar 2×3 – 4.000×2 + 6.000.000x
rupiah per hari. Jika barang diproduksi,
tentukan jumlah unit per hari yang harus
diproduksi agar biaya produksi per unitnya
minimum.
7. Dari selembar seng berbentuk persegipanjang,
akan dibuat talang air. Kedua
tepinya dilipat selebar x, seperti pada gambar
di samping. Jika lebar seng tersebut 40 cm,
x
x
P
Q
R
S
a. tunjukkan bahwa luas penampang
talang adalah L (x) = 40x – 2×2;
b. tentukan ukuran penampang L (x) =
40x – 2×2.
8. Luas sebuah juring lingkaran yang berjarijari
r adalah 4cm2.
a. Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah
K(r) cm dengan K(r) = 2
4
r
r
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 .
b. Tentukan nilai minimum K.
9. Suatu perusahaan membuat kaleng
berbentuk tabung tertutup dengan volume
V. Upah buruh (c) berbanding langsung
dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu
jumlah tinggi kaleng dengan dua kali
keliling alas kaleng.
a. Jika tinggi kaleng t dan jari-jari alas r,
buktikan bahwa c = k
V
r
r
􀁐
􀁐 2 􀀋 4
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
dengan k = konstanta.
b. Buktikan bahwa upah buruh (c)
paling murah jika tinggi kaleng sama
dengan keliling alasnya.
10. Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri
setelah t menit diberikan oleh persamaan
N(t) = 1000 + 30t2 – t3, 0 < t 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada
x < 0, f “(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah
pada 0 < x 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke
atas pada x > 2.
Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan
dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik
(0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0)
merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian
nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner
fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.
Definisi 8.4
Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan
(diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c)
jika f ‘(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.
1. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = 3×2 – 6x + 5.
2. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi
f(x) = x3 + 4×2 – 3x + 2.
Jawab:
1. f(x) = 3×2 – 6x + 5 􀂜 f ‘(x) =6x – 6
Nilai stasioner diperoleh jika f ‘(x) = 0 sehingga
f ‘(x) = 0
6x – 6 = 0
x = 1.
Contoh 8.31
y
0 1 2 3
1
2
3
4
(1,4)
f (x) = – (x – 1)2 + 4
x
Gambar 8.16
x
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 229
f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2
Jadi, nilai stasioner f(x) = 3×2 – 6x + 5 adalah f(1) = 2
2. f(x) = x3 + 4×2 – 3x + 2
f ‘(x) = 3×2 + 8x – 3
untuk f ‘(x) = 0
3×2 + 8x – 3 = 0
(3x – 1) (x + 3) = 0
x =
1
3
atau x = –3
􀂙 f ‘
1
3
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = 0 dan f ‘(–3) = 0
sehingga untuk x =
1
3
diperoleh
f 1
3
1
3
4
1
3
3
3 2 􀂤 􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
1
3
2 1
13
27
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵􀀋􀀝
untuk x = –3 diperoleh f(–3) = (–3)3 + 4 (3)2 – 3.3 + 2 = 2
Jadi, nilai stasioner f(x) = x3 + 4×2 – 3x + 2 adalah f
1
3
1
13
27
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
dan f(–3) = 2.
Titik
1
3
1
13
27
,
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner.
Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval f ‘(x) di
samping.
Untuk mengetahui nilai f ‘(x) pada selang x < –3, –3 < x
1
3
, substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut pada
f ‘(x) sehingga diperoleh
• untuk x = –4, f ‘(–4) = 13 > 0 sehingga f(x) naik untuk
x < –3;
• untuk x = 0, f ‘(0) = –3 < 0 sehingga f(x) turun untuk interval
–3 < x 0 sehingga f(x) naik untuk x >
1
3
.
Jadi, nilai f ‘(x) dapat digambarkan pada selang interval di
samping.
Dari gambar untuk selang interval tersebut
• titik (–3, 2) adalah titik maksimum,
• titik
1
3
1
13
27
,
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂴
􀂵 􀂵 􀂵 adalah titik minimum.
f ‘(x) > 0 f ‘(x) 0
–3 1
3
(3, 2)
f ‘(x)
1
3
1
13
27
,
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
f ‘(x)
–3 1
3
230 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Menentukan Nilai Stasioner Suatu
Fungsi
Anda telah mempelajari cara menentukan nilai stasioner
dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, fungsi f(x) = x3
– 3×2 dengan f ‘(x) = 3×2 – 6x. Untuk f ‘(x) = 0 diperoleh titiktitik
stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titik
balik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balik
minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilai
stasioner suatu fungsi dan penerapannya menggunakan turunan
kedua.
Dengan menggunakan turunan kedua jenis titik stasioner
dapat ditentukan sebagai berikut.
• Jika f “(c) 0, f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x)
dan titik (c, f(c)) adalah titik balik minimum lokal grafik
fungsi f(x).
• Jika f “(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenis
nilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan
pertama.
Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3 – 6×2 + 9x + 1 dan f(x)
= x4 – 4×3 dengan menggunakan uji turunan kedua.
Jawab:
• Untuk fungsi f(x) = x3 – 6×2 + 9x + 1
f ‘(x) = 3×2 – 12x + 9 = 3(x – 1) (x – 3)
f “(x) = 6x – 12
Nilai stasioner diperoleh untuk f ‘(x) = 0, yaitu
3(x – 1) (x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3
untuk x = 1, f “(1) = –6 0 sehingga
f(1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x), yaitu f(1) = 5
f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = 1
• Untuk fungsi f(x) = x4 – 4×3
f ‘(x) = 4×3 – 12×2 = 4×2 (x – 3)
f “(x) = 12×2 – 24x
Nilai stasioner diperoleh untuk f ‘(x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3
untuk x = 0, f “(0) = 0 dan
untuk x = 3, f “(3) = 36 > 0 sehingga
Contoh 8.32
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 231
Tes Kompetensi Subbab G
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan nilai stasioner, titik stasioner, dan
jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut.
a. f (x) =
1
3
x3 + x2 – 3x
b. f (x) = x3 + 5
2
x2 – 2x
c. f (x) = x3 + 1
2
x2 – 2x + 1
d. f (x) = x3 (1 – x)
e. f (x) = 3×4 + 4×3
f. f (x) = (x² – 3x – 4)2
2. Tentukan nilai p jika fungsi-fungsi berikut
mencapai stasioner untuk nilai x yang
diberikan.
a. f (x) = x2 – px + 4, x = 2
b. f (x) = px2 + 4x – 21,x = -2
c. f (x) = p (x – 2)2 –1, x = 2
d. f (x) = x3 – px, x = 1
e. f (x) = px3 – 3x + 1, x = –1
f. f (x) = 2×3 – px2 – 12x, x = –1
g. f (x) = px4 – 4×3 + 2, x = 1
h. f (x) = 2
1
2
2
x
􀀋 x
, x = 0
3. Tentukan f ‘(x) serta nilai stasioner dan
jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut jika
0 ≤ x ≤ 2π.
a. f (x) = 2sinx – x
b. f (x) =
x􀀋 cosx
2
c. f (x) = sin x – cos x
d. f (x) = cos 2x
e. f (x) = 2 sin 2x
f. f (x) = x – 2 cos 2x
4. Tentukan nilai maksimum dan minimum
lokal fungsi-fungsi berikut, menggunakan
uji turunan kedua.
Sekarang, amati diagram di samping.
Amati f “(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas
pada x < 0, f “(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke
bawah pada 0 < x 0 pada x > 2, dikatakan f
cekung ke atas pada x > 2.
Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan
dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik
(0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2,
0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?
Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga cara
menentukan nilai stasioner suatu fungsi? Cobalah nyatakan
dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda
pelajari tersebut membawa kita pada definisi berikut.
Definisi 8.5
f cekung ke atas pada [a, b] jika f “(x) > 0 dan f cekung ke bawah
jika f “(x) < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok.
f ‘(x) < 0 f ‘(x) 0
0 2
f(x)
f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = –27.
Untuk x = 0 dengan f “(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan
dengan uji turunan pertama.
232 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
H. Menggambar Grafik Fungsi
Aljabar
Di Kelas X, Anda telah mempelajari bagaimana
menggambar grafik fungsi y = ax2 + bx +c dengan langkahlangkah
sebagai berikut.
1. Menentukan titik potong grafik y = ax2 + bx +c dengan
sumbu-x.
2. Menentukan titik potong grafik y = ax2 + bx +c dengan
sumbu-y.
3. Menentukan koordinat titik balik fungsi.
4. Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi.
Langkah-langkah tersebut mudah dilakukan untuk
menggambar fungsi parabola y = ax2 + bx +c. Akan tetapi
untuk fungsi yang lebih kompleks, Anda tidak menggunakan
cara tersebut.
Sekarang, Anda akan mempelajari cara lain untuk
menggambar grafik fungsi, yaitu dengan menggunakan
turunan. Titik stasioner dan jenisnya adalah alat yang ampuh
untuk menggambar grafik fungsi tersebut khususnya untuk
mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri
grafik. Untuk memudahkan pengerjaan, berikut ini adalah
langkah-langkah yang harus dilakukan.
Langkah 1: Menganalisis f(x)
a. Menentukan daerah asal fungsi f(x).
b. Menentukan daerah nilai fungsi pada ujung interval
daerah asal.
a. f (x) = x3 – 6×2 + 9x + 1
b. f (x) = x3 – 9×2 + 24x – 10
c. f (x) = 3x – x3
d. f (x) = 2×2 – x4
e. f (x) = x4 – 3×2 + 5
f. f (x) = 2×5 – 3
5. Sebuah perusahaan komputer mengadakan
penelitian pasar untuk produk barunya.
Mereka memperoleh suatu kesimpulan
bahwa hubungan antara harga h (juta per
unit) dan permintaan x (unit per minggu)
memenuhi persamaan
h = 1.296 – 0, 12×2, 0 < x 0 dan interval
fungsi turun diperoleh jika f ‘(x) < 0. Interval-interval
tersebut diperoleh dengan menentukan nilai-nilai x yang
disubstitusikan pada fungsi f ‘(x). Substitusikan x = –3 untuk
x < –2, x = –1 untuk –2 < x 0
pada fungsi
f ‘(x) = 3×2 + 6x sehingga diperoleh
f ‘(–3) = 9 > 0, f ‘(–1) = –3
f ‘(1) = 9 > 0
yang dapat digambarkan sebagai diagram di samping.
f ‘(x) f ‘(–3) = 9 f ‘(–1) = –3 f ‘(1) = 9
Dari diagram tanda tersebut diperoleh interval berikut.
• Interval fungsi naik pada x 0.
• Interval fungsi turun pada –2 < x < 0.
c. Titik balik maksimum dan minimum lokal dapat ditentukan
dari diagram tanda.
• Pada x = –2, f(x) berubah dari fungsi naik menjadi
fungsi turun sehingga x = –2 adalah titik balik
maksimum lokal.
f(x) = x3 + 3×2 􀂙 f(–2) = 4
Titik (–2, 4) adalah titik balik maksimum lokal.
• Pada x = 0, f(x) berubah dari fungsi turun menjadi
fungsi naik sehingga x = 0 adalah titik balik minimum
lokal f(x) = x3 + 3×2 􀂙 f(0) = 0
Titik (0, 0) adalah titik balik minimum lokal.
Langkah 3: Membuat sketsa grafik
Hasil sketsa grafik tampak pada Gambar 8.17.
positif negatif positif
–2 0
f(x)
Gambar 8.17
titik balik
maksimum lokal
titik balik
minimum lokal
turun
naik
1 2 3 x
–1
–2 –1
–2
–3
y
4
3
2
1
0
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 235
Tes Kompetensi Subbab H
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut.
1. f(x) = x3 – x2 – 14x + 11
2. f(x) = x3 – 6×2 9x + 1
3. f (x) = x5 – x4 + 14×3 + 6×2 – 45x – 3
• Beberapa turunan fungsi aljabar
a. f (x) = k; k adalah konstanta fi f ‘ (x) = 0
b. f (x) = x fi f ‘ (x) = 1
c. f (x) = xn; n OE R fi f ‘ (x) = n · xn – 1
• Beberapa turunan fungsi trigonometri
a. f (x) = sin x fi f ‘ (x) = cos x
b. f (x) = cos x fi f ‘ (x) = –sin x
c. f (x) = tan x fi f ‘ (x) = sec2x
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman diatas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 8,
1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telah
dipahamai,
2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di buku
latihan Anda.
Refleksi
236 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 8
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika ika f(x) = 5
1
x
􀀋 x
maka f ‘(2) = ….
a.
1
4
d.
7
9
b.
5
6
e.
5
9
c.
1
2
2. Diketahuif(x)=
sin
sin cos
x
x􀀋 cosx
. Nilai f
1
12
􀁐
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
adalah ….
a.
1
3
d.
3
2
b.
2
3
e. 3
c. 1
3.
d
dx
x
x
x
3
2 1
􀀍
􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 = ….
a. 3×2 +
x2
2
􀀋1
􀀈x2 􀀍1􀀉
b. 3×2 –
x2
2
􀀍1
􀀈x2 􀀍1􀀉
c. x2 + 3 1
2
x 􀀋
􀀈x2 􀀍1􀀉
d. x2 – 3 1
2
x 􀀋
􀀈x2 􀀍1􀀉
e. 3×2 –
3 1
2
x 􀀋
􀀈x2 􀀍1􀀉
4. Titik balik maksimum kurva y =
1
3
x3 – 2×2
+ 3x adalah ….
a. (–3 , –36) d. (3 , –18)
b. (–1 , –5
1
3
) e. (3 , 0)
c. (1 , 1
1
3
)
5. Ditentukan f(x) = 2
1􀀍 x
dan f “(x) adalah
turunan kedua dari f(x). Nilai dari f “(–2)
adalah ….
a.
3
25
d.
4
27
b.
5
29
e.
6
27
c.
6
29
6. Turunan pertama f(x) = (2x – 1) cos (3x + 1)
adalah ….
a. (2x – 1) sin (3x + 1) + 2cos (3x + 1)
b. (2x – 1) cos (3x + 1) – 2 sin (3x + 1)
c. 2 sin(3x + 1) + 2(6x – 3) cos (3x + 1)
d. 2 cos (3x + 1) + (2x – 1) sin (3x + 1)
e. 2 cos(3x + 1) – (6x – 3) sin (3x + 1)
7. Turunan pertama fungsi f(x) = cos5 (4x – 2)
adalah ….
a. 5 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2)
b. –5 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2)
c. – 20 cos4 (4x – 2) sin (4x – 2)
d. 10 cos3 (4x – 2) sin (8x – 2)
e. –10 cos3 (4x – 2) sin (8x – 2)
8. Pada daerah asal 0 < x < 2, grafik fungsi
y = x3 – 2×2 + 1 bersifat ….
a. selalu naik
b. selalu turun
c. naik, lalu turun
d. turun, lalu naik
e. turun naik berulang-ulang
9. Luas semua sisi balok 96 cm2. Jika alasnya
berbentuk persegi, paling besar balok itu
dapat dibuat dengan volume … cm3.
a. 0
b. 54
c. 64
d. 64 2
e. 80
Turunan Fungsi dan Aplikasinya 237
10. Diketahui luas lingkaran merupakan fungsi
dari kelilingnya. Jika keliling sebuah
lingkaran adalah x, laju perubahan luas
lingkaran terhadap kelilingnya adalah ….
a. πx d.
x
􀁐
b. 2πx e.
2x
􀁐
c. x
2􀁐
11. Turunan pertama fungsi f(x) = cos3 (5 – 4x)
adalah ….
a. –12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x)
b. 12 cos (5 – 4x) sin (5 – 4x)
c. 12 sin2 (5 – 4x) sin (5 – 4x)
d. –6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
e. 6 cos (5 – 4x) sin (10 – 8x)
12. Nilai maksimum dari f(x) = x3 – 6×2 + 9x
pada interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah ….
a. 16 d. 1
b. 4 e. 0
c. 3
13. f(x) = x3 – 4×2 + 4x + 6 naik pada interval ….
a. –2 < x < – 2
3
b. 2
3
< x < 2
c. x 2
3
d. x 2
e. x 2
14. Nilai maksimum dari f(x) = 2×3– 6×2 – 48x
dalam interval –3 < x < 4 adalah ….
a. –160 d. –99
b. –155 e. –11
c. –131
15. Turunan pertama dari f(x) =
􀀈x 􀀋 􀀉
􀀈 􀀍 x􀀉
3
2 ,
untuk x = –3 adalah ….
a. 0,000024 d. 0,024
b. 0,00024 e. 0,24
c. 0,0024
16. Turunan dari y = (1 – x)2 (2x + 3) adalah ….
a. (1 – x) (3x + 2)
b. (x – 1) (3x + 2)
c. 2(1 + x) (3x + 2)
d. 2(x – 1) (3x + 2)
e. 2(1 – x) (3x + 2)
17. f(x) =
1
3
x3 – 3×2 + 5x – 10 turun dalam
interval ….
a. –5 < x < – 1
b. x < – 1
c. x < 1
d. 1 < x < 5
e. x 5
18. Kurva y = x3 – 6×2 + 9x + 1 turun pada
interval ….
a. x ≤ 1 atau x ≤ 3
b. –2 ≤ x ≤ 1 atau 3 ≤ x ≤ 6
c. 1 < x 0. Kecepatan terbesar diperoleh pada
waktu t = ….
a. 2k π, k = 0, 1, 2,…
b. 2k π, k = 1, 3, 5,…
c. 2k π, k = 0, 2, 4,…
d. k π, k =
1
2
,
5
2
,
9
2
, …
e. k π, k =
3
2
,
7
2
,
11
2
, …
19. Jika f (x) = x
x
2
2 􀀍 4
maka f ‘(1) = ….
a. –
8
9
d.
8
9
b. – 5
9
e. 1 5
9
c. 5
9
20. Nilai maksimum dari f(x) = x3– 6×2+ 9x pada
interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah ….
a. 16 d. 1
b. 4 e. 0
c. 3
21. Jika f (x) = x
x
􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍 1 3
maka
df
dx
= ….
a. 􀀍 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 3 􀂵
1
1
1 4
2 x
x􀂶 􀂦 x
b. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴 􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
3
1
1
1 4
x􀂶 􀂦 x2
c. 􀀍 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂴
􀂵 􀂵 􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
3
1
1
1 4
2 x
x􀂶 􀂦 x
d. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
3
1
1
1 4
x􀂶 􀂦 x2
e. 􀀍 􀀋
􀂤
􀂦
􀂥 􀂤
􀂥 􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵
􀀍
3
1
1
1 4
x􀂶 􀂦 x2
22. Turunan pertama fungsi f (x) = cos² (5 – 4x)
adalah ….
a. –12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x)
b. 8 cos (5 – 4x) sin (5 – 4x)
c. 12 cos2 (5 – 4x) sin (5 – 4x)
d. – 6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
e. 6 cos (5 – 4x) sin (10 – 8x)
23. Jika f (x) = x
x
2 􀀋 4 maka f ‘(4) = ….
a. 1
4
b. 3
4
Tes Kompetensi Semester 2 241
c. 9
4
d.
11
4
e. 15
4
24. Nilai maksimum dari
f (x) = 2
3
x2 – 2×2– 6x + 5
dalam interval –2 ≤ x ≤ 4 adalah ….
a. 13 d. 6
b. 12 e. 5
c. 8
25. Jika f (x) = x
x
2
2
3 10
9
􀀋3x􀀍
􀀋
maka f ‘(x) = ….
a.
􀀍 􀀋 􀀋
􀀈 􀀋 􀀉
32 38 27
2
38x
b.
32 38 27
2
x 􀀋38x􀀋
􀀈x2 􀀋 9􀀉
c.
􀀍 􀀋
􀀈 􀀋 􀀉
32 38 􀀍27
2
38x
d.
􀀍
􀀈 􀀋 􀀉
32 38 􀀍27
2
x􀀍 38x
e.
􀀍 􀀋
􀀈 􀀋 􀀉
32 38 27
2
x􀀍 38x
26. Jika f (x) =
1
2
sin2 maka f ‘(x) = ….
a. sin x + cos x
b. sin x – cos x
c. sin
cos
x
x
d. sin x cos x
e. sin x (1 – cos x)
27. Jika f (x) = (2 – 4x)5 adalah f ‘(x) = ….
a. 20(2 – 4x)4
b. 20(2 – 4x)6
c. 1
6
(2 – 4x)4
d. – (2 – 4x)4
e. –20(2 – 4x)4
28. Jika f (x) = – cos x + sin x maka df
dx
= ….
a. sin x + cos x
b. sin x – cos x
c. sin
cos
x
x
d. x2 sin x
e. x sin x2
29. Turunan pertama dari f (x) = 5 sin x cos x
adalah ….
a. 5sin 2x
b. 5cos 2x
c. 5sin2 x cos x
d. 5sin x cos2 x
e. 5sin 2x cos x
30. Fungsi f yang dirumuskan dengan
f(x) = 5 + 3x + 4×2 turun pada interval ….
a. –
1
3
< x < 3
b. –3 < x <
1
3
c. x
1
3
d. x 3
e. x 3
31. Jika f (x) = –
1
2
cos x2 maka f ‘(x) = ….
a. x sin x d. x2 sin x2
b. x2 sin x e. sin x2
c. x sin x2
32. Suku banyak f (x) = x3 – 2×2 + px + 6
habis dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan
(x + 3)(x + 1), sisanya adalah ….
a. 16x + 24 d. 24x – 16
b. 16x – 24 e. –24x + 16
c. 24x + 16
33. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 1)
sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh (x –2)
sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak P(x)
oleh (x2 – 3x + 2) adalah ….
a. 12x + 23 d. 23x – 12
b. 12x – 23 e. –23x + 12
c. 23x + 12
242 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Diketahui g(x) = x
x
􀀍
􀀍
1
3
dan [(f ° g)]–1 =
5 3
3
􀀋
􀀋
x
x
. Tentukan nilai:
a. f(0)
b. f(5)
c. f(–2)
2. Tentukan hasil bagi dan sisa suku banyak
3×3 + 10 x2 – 8x + 3 dibagi x2 + 3x – 1.
3. Tentukan jenis nilai stasioner fungsifungsi
berikut, menggunakan uji turunan
kedua.
a. f (x) = 2×2 – 8x + 6
b. f (x) = 2×3 – 3×2 + 12x – 5
c. f (x) = x3 – 18×2 + 10x – 11
d. f (x) = x4 – 8×2 + 10
e. f (x) = x4 – 24×2 + 10x – 5
f. f (x) = 7 + 3x + 4×3 – x4
4. Misalkan, s = f(t) = 24t2 + 4t merupakan
persamaan posisi mobil. Kecepatan mobil
pada saat t = 1 jam dapat diperoleh dari
limit kecepatan rata-rata dalam selang t = 1
sampai t = 1 + Δt, dengan mengambil
Δt􀁬 0. Pernyataan ini dapat ditulis sebagai
berikut.
V
s
t
f t f
t 􀀈t 􀀝 􀀉 􀀤t􀁬 􀀤t􀁬
􀀝
􀀤
􀀤
􀀝
􀀈 􀀋 􀀤􀀉􀀍 􀀈 􀀉
􀀤 1 0 0
1 1
lim lim
Tentukan kecepatan mobil pada saat t = 1.
5. Dengan menggunakan konsep limit,
tentukan gradien singgung pada kurva
berikut.
a. f(x) = 5×2 di titik x = –2
b. f(x) = x2 + x – 5 di titik x = –1
c. f(x) =
1
x2
di titik x = –2
d. f(x) = x􀀋x di titik x = 4
6. Hitunglah lim
h
f x h f x
􀁬 h
􀀈 􀀋 􀀉􀀍 􀀈 􀀉
0
untuk
fungsi berikut.
a. f(x) = 2cos( x – π)
b. f(x) = –cos x – π
c. f(x) = 2tan 3 x
7. Buatlah sketsa grafik fungsi berikut
f(x) = x4 – 3×3 – 9×2 + 23x + 8
Tes Kompetensi Akhir Tahun 243
1. Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang
muncul mata dadu bilangan prima atau mata
dadu bilangan 4 adalah ….
a.
1
12
d.
2
3
b.
1
3
e. 2
c. 1
2
2. Jika titik (–5, k) terletak pada lingkaran
x2 + y2 + 2x – 5y –21 = 0, maka nilai k
adalah ….
a. –1 atau –2 d. 0 atau 3
b. 2 atau 4 e. 1 atau –6
c. –1 atau 6
3. Agar garis y= x + C menyinggung lingkaran
x2+ y2 = 25, maka nilai C adalah ….
a. ± 1 d. ±5 2
b. ±2 2 e. ±6 2
c. ±3 2
4. Titik pusat lingkaran x2 + y2 – ax + by+ 9 = 0
terletak pada garis 2x + 3y = 0 di kuadran
keempat. Jika jari-jari lingkaran itu sama
dengan 1 maka nilai a dan b berturut-turut
adalah ….
a. –6 dan 4 d. 3 dan –2
b. 6 dan 4 e. –3 dan 2
c. 6 dan –4
5. Salah satu koordinat fokus
5×2 + 4y2 – 20x + 8y + 4 = 0 adalah ….
a. (1, –1) d. (2, –2)
b. (2, –1) e. (–2, 1)
c. (3, –1)
6. Persamaan lingkaran yang menyinggung
x – 2y + 2 = 0 dan 2x – y – 17 = 0 serta
melalui titik (6, –1) adalah ….
a. x y
􀂤
􀂦 􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
58
9
13
9
500
81
2 2 Tes Kompetensi Akhir Tahun
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
b. x y
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
54
9
15
9
482
81
2 2 c. x y
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
50
9
12
9
400
81
2 2 d. x y
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
48
9
11
9
386
81
2 2 e. x y
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂶
􀀋 􀀍
􀂤
􀂦 􀂥 􀂤
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵 􀂵 􀀝
47
9
10
9
348
81
2 2 7. Persamaan garis singgung yang melalui titik
(5, 1) pada lingkaran x2 +y2 – 4 x + 6y – 12 = 0
adalah ….
a. 3x + 4y – 19 = 0
b. 3x – 4y – 19 = 0
c. 4x – 3y + 19 = 0
d. x + 7y – 26 = 0
e. x – 7y – 26 = 0
8. Lingkaran x2 + y2 – 2 px + 6y + 49 = 0
menyinggung sumbu–x untuk a ….
a. 10 d. 1
b. 7 e. –2
c. 4
9. (x–5)2 + y2 = 9 bersinggungan dengan
lingkaran ….
a. x2 + y2 = 1 d. x2 + y2 = 4
b. x2 + y2 = 2 e. x2 + y2 = 5
c. x2 + y2 = 3
10. Lingkaran x2 + y2 = 36 berpotongan di dua
titik yang berbeda dalam garis ….
a. x= 4 d. x = 10
b. x = 6 e. x= 12
c. x = 8
11. Suku banyak f (x) = x3 – 2×2 + px + 6 habis
dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan (x + 3)
(x + 1) sisanya adalah ….
a. 16x + 24 d. 24x – 16
b. 16x – 24 e. –24x + 16
c. 24x + 16
244 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
12. Suatu suku banyak P((x) dibagi oleh (x2 – 1)
sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh
(x –2) sisanya 1. Sisa pembagian suku
banyak P(x) oleh (x2 – 3x + 2) adalah ….
a. 12x + 23 d. 23x – 12
b. 12x – 23 e. –23x + 12
c. 23x + 12
13. Sisa bagi dari (4×4 + 3×3 – x + 4) : (x2 + x –2)
adalah ….
a. 12x + 22 d. –12x – 22
b. 12x – 22 e. 22x – 12
c. –12x + 22
14. Diketahui suku banyak
f(x) = x3 + ax2 + bx – 6.
Jika suku banyak ini habis dibagi oleh
(x – 3) dan (x – 2) maka sisa pembagian
f(x) oleh x2 + 5x + 6 adalah ….
a. 60(x + 1) d. –60(x – 1)
b. –60(x + 1) e. 60(1 – x)
c. 60(x – 1)
15. Diketahui P(x) = x3 + 3×2 + px + q. Jika P(x)
dibagi (x2 + 2x – 3) sisanya 7x +3 maka
nilai p dan q berturut-turut adalah ….
a. 3 dan 2 d. –6 dan 0
b. –3 dan 2 e. 6 dan 0
c. –2 dan 3
16. Sebuah suku banyak berderajat n berbentuk
Pn(x)=anxn+an–1xn–1+…+a1x + a0,
dengan an ≠ 0, dan n bilangan positif dan
n ≠ 0. P3(x) – P4(x) adalah suku banyak
berderajat ….
a. –1 d. 4
b. 1 e. 7
c. 3
17. Salah satu faktor dari 2×3 – 5×2 – px + 3
adalah (x + 1). Faktor linear yang lain dari
suku banyak tersebut adalah ….
a. x – 2 dan x – 3
b. x + 2 dan 2x – 1
c. x + 3 dan x + 2
d. 2x + 1dan x – 2
e. 2x – 1dan x – 3
18. Persamaan 2×3 + px2 + 7x + 6 = 0
mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar
persamaan itu adalah ….
a. –9 d. 4
1
2
b. 2 1
2
e. 9
c. 3
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Pada tes calon pramugari, tercatat hasil tes
bahasa Inggris sebagai berikut.
Frekuensi 7 9 12 5 3 3 2
Nilai 50 55 60 65 70 75 80
Seorang peserta dinyatakan lulus jika
nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rataan
hitung dikurangi 0,6. Berapa peserta yang
dinyatakan lulus?
2. Ada 4 buah kartu as, kemudian diambil
dua buah kartu. Berapa macam yang dapat
dipilih jika:
a. kartu yang pertama terambil tidak
disimpan lagi;
b. kartu yang pertama terambil disimpan
lagi.
3. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel,
tentukanlah nilai dari
a. sin 165° d. cos 285°
b. sin 255° e. tan 375°
c. cos 195° f. tan 405°
4. Tentukan persamaan lingkaran yang
melalui titik berikut.
a. (0,3), (0,7), dan (2,7)
b. (–2,–1), (7,2), dan (–1,–4)
c. (–6,–5), (12,7), dan (–5,–10)
d. (4,3), dan (–1,8), dan (2,7)
5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8.
Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar
jumlah kuadratnya minimum.
Tes Kompetensi Akhir Tahun 245
DaftarPustaka
Anton, Howard. 2004. Aljabar Linier Elementer. Edisi kedelapan. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Barnett A. Raymond, Ziegler R. Michael. 2008.Applied Calculus for Business, Economics, Life Sciences,
and Social Sciences. Eleven Edition. New Jersey: Prentice Hall.
Bridgman, Roger. 2000. Jendela IPTEK, Elektronika. Jakarta: Balai Pustaka.
Dodge, Howard P. 2008. Barron’s How to Prepare for SAT II: Mathematics Level IIc. Edisi Kedelapan.
New York: Barron’s Educational Series.
Gribbin, Mary, dan John Gribbin. 2000. Jendela IPTEK, Ruang dan Waktu. Jakarta: Balai Pustaka.
Negoro, ST dan B. Harahap. 2006. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia.
O ‘Brien, Paul. 1995. Understanding Year 11 Maths. First Edition. Turramura NSW.
Parker, Steve. 1997. Jendela IPTEK, Listrik. Jakarta: Balai Pustaka.
Peng Yee, L., et all. 2003. New Syllabus Mathematics. Singapura: Shing Lee.
Purcell, E. J, Varberg, D. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I dan II. Edisi Kedelapan. Jakarta:
Erlangga.
Rawuh, R, Hong, G. K, dan Tat, T. B. 1975. Ilmu Ukur Ruang Teori dan Soal-Soal Jilid I. Bandung:
Terate.
Ruseffendi, E. T. 1989. Dasar-Dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Edisi Keempat.
Bandung: Tarsito.
Sullivan, M. 2007. Precalculus. Edisi Kedelapan. Chicago: Prentice Hall.
——–. 1982. The Official Guide to GMAT. USA: Educational Testing Service Princeton.
Tim Redaksi Oxford Ensiklopedia Pelajar. 1995. Oxford Ensiklopedia Pelajar, Listrik – Origami, Jilid 5.
Jakarta: Widyadara.
Washington, A. J. 2004. Basic Technical Mathematics with Calculus. Edisi Kedelapan. California:
Addison Wesley Publishing Company.
246 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Daftar Simbol
• n! :n faktorial
• P(n, k) :permutasi k unsur dari n unsur
• C(n, k) :kombinasi k unsur dari n unsur
• P(A) :peluang peristiwa A
• fH :frekuensi harapan
• Ac :komplemen dari kejadian A
• OE :elemen atau anggota
• f :fungsi
• D f :domain fungsi
• Rf :range fungsi
• Δ :himpunan kosong
• f –1 :invers dari f
• m :gradien
• x :rata-rata
• S :jumlah total
• » :gabungan
• « :irisan
• Dx :perubahan x
• x :nilai mutlak x

dx
dy
:turunan pertama x terhadap y

d x
dy
2
2 :turunan kedua x terhadap y
• lim
xÆa
:limit x menuju a
• sin :sinus
• cos :kosinus
• tan :tangen
Tes Kompetensi Akhir Tahun 247
Indeks
A
antarkuartil 7, 8, 9, 8, 9, 10, 21, 22, 40, 247
B
baku 31, 32, 33, 34, 35, 39, 40, 34, 31, 98,
103, 115, 116, 247
bijektif 150, 247
D
data 1, 247, 248, 249
desil 2, 24, 28, 29, 248
diagram 11, 12, 15, 231, 234, 247
F
faktorial 44, 45, 56, 69, 246, 247
fungsi 227, 228, 230, 231, 232, 233, 234,
235, 236, 237, 238, 239, 240, 242,
246, 247, 248
fungsi Invers 119, 145, 154, 155, 157
fungsi Komposisi 119, 156, 239
G
garis 14, 20, 19, 14, 13, 95, 96, 98, 102, 99,
102, 103, 104, 105, 106, 109, 105,
106, 107, 108, 107, 108, 109, 110, 111,
112, 113, 114, 95, 111, 127, 147, 162,
185, 194, 195, 197, 195, 196, 197,
201, 213, 214, 215, 214, 216, 243,
247, 248, 249, 243
H
histogram 18, 20, 17, 38, 247
I
injektif 149, 150, 248, 151, 152, 165, 248,
247
invers 119, 145, 146, 145, 160, 161, 162,
246, 162, 161, 162, 163, 164, 165,
169, 165, 246, 247
J
jangkauan 7, 8, 9, 8, 9, 10, 21, 37, 38, 40,
247
K
kejadian majemuk 41, 64, 69, 247
kombinasi 41, 2, 5, 53, 55, 54, 52, 246, 56,
41, 72, 69, 246, 247
komplemen 42, 64, 145, 246, 247, 248
komposisi 239, 247
kuartil 2, 247
L
langkah 13, 14, 15, 16, 23, 184, 186, 189,
192, 188, 171, 179, 187, 193, 220,
226, 232, 233, 234
limit fungsi 181, 182, 178, 176, 178, 183,
247
M
mean 2, 21, 22, 36, 38, 34, 118, 247
median 4, 24, 35, 36, 37, 38, 250
modus 24, 38, 247
N
naik 229, 233, 234, 236, 237, 238, 247
nilai stasioner 247, 228, 229, 230, 231, 242,
250
notasi Leibnitz 247
P
pagar dalam 247
pagar luar 247
peluang 63, 246, 247
pencilan 247
permutasi 246, 247
permutasi siklis 247
persamaan garis singgung kurva 247
R
rata-rata 242, 246, 247
relasi 247
ruang sampel 247
S
simpangan 247
statistik lima serangkai 247
surjektif 247, 248
T
tabel distribusi frekuensi 19, 247
teorema limit 247
titik belok 228, 231, 233, 247
turun 229, 233, 234, 236, 237, 238, 241, 247,
234
turunan 227, 230, 231, 232, 235, 236, 238,
242, 246, 247, 248
turunan fungsi 235, 238, 247
turunan kedua 227, 230, 231, 236, 242, 246,
247, 227
248 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
A
Algoritma: prosedur matematika untuk
memecahkan masalah matematis di
langkah-langkah terbatas • 119
Aljabar:cabang matematika yang menggunakan
benda-benda dan huruf-huruf untuk
menggambarkan atau mewakili angkaangka
• 152
Analisis: penyelidikan terhadap suatu kejadian
untuk mengetahui keadaan yang sebenarnya
• 242
Aturan Sturgess: aturan yang menjelaskan cara
membagi data berukuran besar ke dalam
kelas-kelas tertentu • 15
B
Binomial Newton: persamaan yang menggambarkan
penjabaran bentuk aljabar dua
suku yang dipangkatnya • 54
Bijektif: perpetaan aan f dari himpunan A pada
himpunan B yang bersifat injektif dan
surjektif • 76
D
Data:kumpulan informasi atau fakta, baik berupa
angka maupun kategori • 1
Datum: informasi atau data tunggal • 3
Derajat: satuan ukuran sudut • 75
Desil:nilai yang membagi data menjadi 10 kelompok
sama banyak • 32
Diferensial: teknik numerik untuk memperkirakan
turunan f (x) dari suatu fungsi • 130
F
Faktorial: hasil kali bilangan asli secara berurutan
• 47
Frekuensi: jumlah (kekerapan) pemakaian
unsur • 17
Senarai
G
Gradien: kemiringan garis • 96
Grafik: lukisan pasang surut suatu keadaan
dengan garis atau gambar • 11
H
Horizontal: garis datar atau mendatar • 12
I
Imajiner: hanya terdapat di angan-angan
(tidak nyata) • 102
Invers: pembalikan posisi/arah • 145
K
Komplemen: sesuatu yang melengkapi atau
menyempurnakan • 68
Koefisien: bagian suku yang berupa bilangan
atau konstan yang biasanya dituliskan
sebelum lambang peubah • 33
Konstanta: lambang untuk menyatakan
objek yang sama dikeseluruhan operasi
matematika • 121
P
Polinom: suku banyak • 125
Populasi: keseluruhan objek yang hendak
diteliti • 20
R
Relatif: tidak mutlak (nisbi) • 15
S
Sampel: bagian dari populasi statistik yang
cirinya dipelajari untuk memperoleh
informasi tentang seluruhnya • 3
Senarai 249
Stasioner: tetap atau tidak berubah tentang
jumlah nilai dan sebagainya • 228
Statistik: hasil analisis dan pengolahan suatu
data • 1
Stokastik: mempunyai unsur peluang atau
kebolehjadian • 73
Sudut: bangun yang dibuat oleh dua garis yang
berpotongan di seluruh titik potongnya
itu • 75
Suku: bilangan yang menjadi bagian dari
jajaran bilangan • 119
T
Teorema: pernyataan yang harus dibuktikan
kebenarannya • 83
Tembereng: bagian dari lingkaran yang
terbatas sebagian dari keliling lingkaran
• 95
Trigonometri: ilmu ukur tentang sudut dan
sepadan segitiga • 75
U
Unsur: bagian terkecil dari suatu benda • 52
V
Variabel: faktor atau unsur ikut menentukan
perubahan • 121
Variansi: besaran yang menunjukkan besarnya
penyebaran data pada suatu kelompok
data • 36
Vertikal: membentuk garis tegak lurus • 12
250 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Kunci Jawaban
Bab 1 Statistika
Tes Kompetensi Bab 1
A. 1. a 5. d 9. a 13. a
3. e 7. b 11. a 15. b
B. 1. a. ukuran terkecil = 48
ukuran terbesar = 80
median = 65
Q1 = 50, Q3 = 75, J = 32,
Jk = 25
3. c. Triwulan ke I tahun1994
5. Anak tertua 42 tahun
Anak termuda 11 tahun
Bab 2 Peluang
Tes Kompetensi Bab 2
A. 1. b 5. e
3. a 7. b
B. 1. 720 cara
3. 170 cara
5. a.
6a0ra
189
b. 40
189
Bab 3 Trigonometri
Tes Kompetensi Bab 3
A. 1. d 9. c 17. a
3. b 11. c 19. c
5. e 13. a
7. c 15. e
B. 1. a. 􀀝 i 􀀋cos sin
􀁐
􀁑
􀁐
􀁑
4 4
􀀍 i 􀀋cos sin
􀁐
􀁑
􀁐
􀁑
4 4
= 2 cos 􀁐
􀁑
4
sin
= 􀀍2
1
2
2 sin􀁑
= 2 sin􀁑 􀁬 terbukti
3. tan 2x = 4 3
Bab 4 Lingkaran
Tes Kompetensi Bab 4
A. 1. c 9. c 17. c
3. c 11. b 19. a
5. e 13. e
7. c 15. d
B. 3. 4y – 3x + 25 = 0 atau
3y – 4x – 25 = 0
5. 85
Tes Kompetensi Semester 1
A. 1. c 11. d 21. b
3. c 13. b 23. e
5. c 15. d 25. e
7. a 17. b 27. e
9. a 19. d 29. d
B. 1. a. Mean = 5,3
Modus = 5
Median = 5
d. Mean = 3,92
Modus = 2,7 dan 4,8
Median = 3,7
3. 15
19
5. a. 3
Bab 5 Suku Banyak
Tes Kompetensi Bab 5
A. 1. e 9. c
3. e 11. a
5. e 13. c
7. c 15. e
B. 1. f(–2) = –7 fff
(–1) = –4 fff
(0) = –1 fff
(1) = 2 fff
f(2) = 5
3. a. 2×3 + x2 + 6x + 17,
sisanya 52
Bab 6 Fungsi Komposisi
dan Fungsi Invers
g
Tes Kompetensi Bab 6
A. 1. a 11. a 21. b
3. a 13. c 23. d
5. b 15. b 25. c
7. e 17. e 27. b
9. a 19. c 29. e
B. 1. a. n = 4 dan n = 5
c. n = 9
3. p = 22,9 dan q = –5,9
Bab 7 Limit
Tes Kompetensi Bab 7
A. 1. a 9. a
3. a 11. d
5. b 13. a
7. c 15. e
B. 1. a. 12 d. 1
c.
1
2
g. 18
5. a. 3
4
c. 1 e. 1
Bab 8 Turunan Fungsi dan
Aplikasinya g
Tes Kompetensi Bab 8
A. 1. e 9. c 17. d
3. a 11. d 19. a
5. d 13. d
7. c 15. d
B. 1. a. 2 cos 2x
b. 2
3
sin
cos
x
x
3. f–1(x) =
5 3
2
4
x5
􀀋
5. a. terbukti
b. x = 4 cm
Tes Kompetensi Semester 2
A. 1. d 11. c 21. d
3. c 13. a 23. a
5. c 15. e 25. e
7. c 17. a 27. d
9. b 19. b 29. c
B. 1. a. f(0) = –1
3. a. nilai stasioner 4x – 8 = 0
x = 2 atau x = –2
f(2) = 4 merupakan nilai ffbalik maksimum
f(–2) = –2 merupakan
nilai balik minimum
c. nilai stasioner 2×2 – 36x
+ 10 = 0
x = 11,7 atau x = 0,3
f(11,7) = –756,4
merupakan nilai balik
maksimum
f(0,3) = –0,62 ffmerupakan nilai balik
minimum.
Tes Kompetensi Akhir Tahun
A. 1. d 5. b 13. a 17. b
3. d 11. b 15. d
B. 1. 13 orang
3. a. 1
4􀀈 6 2􀀉
b. 􀀍 􀀈
􀀋 􀀉
1
4
2c.
1
3
3
1
1
3
3
􀀍
􀀋
5. a = 4 dan b = 4